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Theorem dvh3dim3N 40624
Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 40623 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 40623 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
dvh3dim3.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
2 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3 dvh3dim.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dvh3dim.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvh3dim.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 40285 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
8 dvh3dim.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 20734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 20754 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
1514adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 20748 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
17 sspss 4099 . . . 4 ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ↔ ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
1816, 17sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
193, 4, 5dvhlvec 40284 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 20734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
249adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
2510adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
26 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 20912 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀}))
2853ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
31303ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3293ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 40623 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})))
3463ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
351lsssssubg 20714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
378, 1, 2lspsncl 20733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
386, 30, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
39383ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4036, 39sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
418, 1, 2lspsncl 20733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4234, 29, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4336, 42sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
44 prssi 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Œ, 𝑇} βŠ† 𝑉)
4521, 10, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {π‘Œ, 𝑇} βŠ† 𝑉)
46 snsspr1 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘Œ} βŠ† {π‘Œ, 𝑇}
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† {π‘Œ, 𝑇})
488, 2lspss 20740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ {π‘Œ, 𝑇} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† {π‘Œ, 𝑇}) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
496, 45, 47, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
50493ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
51 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀}))
5250, 51sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑀}))
53 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
5453lsmless2 19571 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
5540, 43, 52, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 20845 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})))
57563ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})))
58 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑀, 𝑋} = {𝑋, 𝑀}
5958fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋, 𝑀})
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 20845 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑀}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
6159, 60eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
6255, 57, 613sstr4d 4029 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}))
6362ssneld 3984 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
648, 1, 2lspsncl 20733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
656, 9, 64syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
66653ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6736, 66sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
68 snsspr2 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑇} βŠ† {π‘Œ, 𝑇}
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝑇} βŠ† {π‘Œ, 𝑇})
708, 2lspss 20740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ {π‘Œ, 𝑇} βŠ† 𝑉 ∧ {𝑇} βŠ† {π‘Œ, 𝑇}) β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
716, 45, 69, 70syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
72713ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
7372, 51sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑀}))
7453lsmless2 19571 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑇})) βŠ† ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
7567, 43, 73, 74syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑇})) βŠ† ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
768, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 20845 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) = ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑇})))
77763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) = ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑇})))
78 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑀, 𝑍} = {𝑍, 𝑀}
7978fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑀})
808, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 20845 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑀}) = ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
8179, 80eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}) = ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑀})))
8275, 77, 813sstr4d 4029 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}))
8382ssneld 3984 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
8463, 83anim12d 608 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
8584reximdv 3169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
8633, 85mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
8786rexlimdv3a 3158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
8887adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑀}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
8927, 88mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
903, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 40623 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})))
9190adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})))
92 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
93 prcom 4736 . . . . . . . . . . . 12 {π‘Œ, 𝑋} = {𝑋, π‘Œ}
9493fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})
9594eleq2i 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
9695notbii 320 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
9796a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
98 eleq2 2821 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
9998notbid 318 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
10097, 99anbi12d 630 . . . . . . 7 ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
10192, 100syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
102101rexbidv 3177 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
10391, 102mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
10489, 103jaodan 955 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) ⊊ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ∨ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
10518, 104syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
1063, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 40623 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})))
107106adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})))
108 simpl1l 1223 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ πœ‘)
109108, 6syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
110 simpl2 1191 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
111108, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
112 eqid 2731 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
1138, 112lmodvacl 20630 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
114109, 110, 111, 113syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
1158, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 20734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
116108, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1178, 2, 6, 30, 21lspprid2 20754 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
118108, 117syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
119 simpl3l 1227 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
12094eleq2i 2824 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
121119, 120sylnib 328 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1228, 112, 1, 109, 116, 118, 110, 121lssvancl2 20701 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
123108, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
124 simpr 484 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
125 simpl1r 1224 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
1268, 112, 1, 109, 123, 124, 111, 125lssvancl1 20700 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
127 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
128127notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
129 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
130129notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
131128, 130anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ↔ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
132131rspcev 3612 . . . . . 6 (((𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
133114, 122, 126, 132syl12anc 834 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
134 simpl2 1191 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
135 simpl3l 1227 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
136135, 120sylnib 328 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
137 simpr 484 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
138 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
139138notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
140 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
141140notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
142139, 141anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
143142rspcev 3612 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
144134, 136, 137, 143syl12anc 834 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
145133, 144pm2.61dan 810 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
146145rexlimdv3a 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))))
147107, 146mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
148105, 147pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  SubGrpcsubg 19037  LSSumclsm 19544  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LVecclvec 20858  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570
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