Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh3dim3N 39844
Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 39843 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 39843 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh3dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvh3dim2.z (𝜑𝑍𝑉)
dvh3dim3.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧   𝑧,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 dvh3dim.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dvh3dim.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dvh3dim.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 39505 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
8 dvh3dim.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 20392 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 20412 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
1514adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 20406 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
17 sspss 4058 . . . 4 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∨ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
1816, 17sylib 217 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∨ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
193, 4, 5dvhlvec 39504 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 20392 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2322adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
249adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑍𝑉)
2510adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
26 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 20567 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑤𝑉 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}))
2853ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑤𝑉)
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
31303ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑋𝑉)
3293ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑍𝑉)
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 39843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})))
3463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → 𝑈 ∈ LMod)
351lsssssubg 20372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
378, 1, 2lspsncl 20391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
386, 30, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39383ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4036, 39sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
418, 1, 2lspsncl 20391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉) → (𝑁‘{𝑤}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4234, 29, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4336, 42sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
44 prssi 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌𝑉𝑇𝑉) → {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉)
4521, 10, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉)
46 snsspr1 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑌} ⊆ {𝑌, 𝑇}
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌} ⊆ {𝑌, 𝑇})
488, 2lspss 20398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ {𝑌, 𝑇}) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
496, 45, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
50493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
51 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}))
5250, 51sseqtrd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑤}))
53 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5453lsmless2 19402 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
5540, 43, 52, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 20503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
57563ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
58 prcom 4692 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
5958fveq2i 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑤})
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 20503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑤}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
6159, 60eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
6255, 57, 613sstr4d 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}))
6362ssneld 3945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
648, 1, 2lspsncl 20391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
656, 9, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
66653ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6736, 66sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
68 snsspr2 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑇} ⊆ {𝑌, 𝑇}
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑇} ⊆ {𝑌, 𝑇})
708, 2lspss 20398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑌, 𝑇} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑇} ⊆ {𝑌, 𝑇}) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
716, 45, 69, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
72713ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
7372, 51sseqtrd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑤}))
7453lsmless2 19402 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})) ⊆ ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
7567, 43, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})) ⊆ ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
768, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 20503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})))
77763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑇})))
78 prcom 4692 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑤, 𝑍} = {𝑍, 𝑤}
7978fveq2i 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘{𝑤, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑤})
808, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 20503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑤}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
8179, 80eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑤, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑤})))
8275, 77, 813sstr4d 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
8382ssneld 3945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
8463, 83anim12d 610 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8584reximdv 3166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → (∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8633, 85mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
8786rexlimdv3a 3155 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8887adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (∃𝑤𝑉 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑤}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
8927, 88mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
903, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 39843 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
9190adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
92 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
93 prcom 4692 . . . . . . . . . . . 12 {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
9493fveq2i 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌})
9594eleq2i 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9695notbii 320 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9796a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
98 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
9998notbid 318 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
10097, 99anbi12d 632 . . . . . . 7 ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
10192, 100syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
102101rexbidv 3174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) ↔ ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
10391, 102mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
10489, 103jaodan 957 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑌, 𝑇}) ⊊ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∨ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
10518, 104syldan 592 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
1063, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 39843 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
107106adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})))
108 simpl1l 1225 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝜑)
109108, 6syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
110 simpl2 1193 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑤𝑉)
111108, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌𝑉)
112 eqid 2738 . . . . . . . 8 (+g𝑈) = (+g𝑈)
1138, 112lmodvacl 20289 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
114109, 110, 111, 113syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
1158, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 20392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116108, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1178, 2, 6, 30, 21lspprid2 20412 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
118108, 117syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
119 simpl3l 1229 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
12094eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
121119, 120sylnib 328 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1228, 112, 1, 109, 116, 118, 110, 121lssvancl2 20359 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
123108, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
124 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
125 simpl1r 1226 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
1268, 112, 1, 109, 123, 124, 111, 125lssvancl1 20358 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
127 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
128127notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
129 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
130129notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
131128, 130anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ↔ (¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
132131rspcev 3580 . . . . . 6 (((𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
133114, 122, 126, 132syl12anc 836 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
134 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑤𝑉)
135 simpl3l 1229 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
136135, 120sylnib 328 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
137 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
138 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
139138notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
140 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
141140notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
142139, 141anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ↔ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
143142rspcev 3580 . . . . . 6 ((𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
144134, 136, 137, 143syl12anc 836 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
145133, 144pm2.61dan 812 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
146145rexlimdv3a 3155 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))))
147107, 146mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
148105, 147pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  wss 3909  wpss 3910  {csn 4585  {cpr 4587  cfv 6494  (class class class)co 7352  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  SubGrpcsubg 18881  LSSumclsm 19375  LModclmod 20275  LSubSpclss 20345  LSpanclspn 20385  LVecclvec 20516  HLchlt 37744  LHypclh 38379  DVecHcdvh 39473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-riotaBAD 37347
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-undef 8197  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-fz 13380  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-0g 17283  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-p1 18275  df-lat 18281  df-clat 18348  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-lsatoms 37370  df-oposet 37570  df-ol 37572  df-oml 37573  df-covers 37660  df-ats 37661  df-atl 37692  df-cvlat 37716  df-hlat 37745  df-llines 37893  df-lplanes 37894  df-lvols 37895  df-lines 37896  df-psubsp 37898  df-pmap 37899  df-padd 38191  df-lhyp 38383  df-laut 38384  df-ldil 38499  df-ltrn 38500  df-trl 38554  df-tgrp 39138  df-tendo 39150  df-edring 39152  df-dveca 39398  df-disoa 39424  df-dvech 39474  df-dib 39534  df-dic 39568  df-dih 39624  df-doch 39743  df-djh 39790
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator