Theorem lclkrlem2n 42394

Description: Lemma for lclkr 42407. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2n	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		lclkrlem2n.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
4		lveclmod 21291	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		lclkrlem2m.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2m.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrlem2m.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
9		lclkrlem2m.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
10		lclkrlem2m.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	6, 7, 8, 5, 9, 10	ldualvaddcl 40004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12		lclkrlem2n.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13	6, 12, 1	lkrlss 39969	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	5, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15		lclkrlem2n.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16		lclkrlem2m.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17		lclkrlem2m.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18		lclkrlem2m.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
19		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19	ellkr2 39965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
21	15, 20	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22		lclkrlem2n.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23		lclkrlem2m.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23	ellkr2 39965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
25	22, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	1, 2, 5, 14, 21, 25	lspprss 21177	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  ._rcmulr 17344  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  -_gcsg 19060  inv_rcinvr 20529  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  LVecclvec 21287  LFnlclfn 39931  LKerclk 39959  LDualcld 39997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lfl 39932  df-lkr 39960  df-ldual 39998

This theorem is used by:  lclkrlem2v  42402