Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2n 40904
Description: Lemma for lclkr 40917. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.w (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lclkrlem2n.j (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
lclkrlem2n.k (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2n (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
2 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3 lclkrlem2n.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4 lveclmod 20954 . . 3 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
6 lclkrlem2m.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
7 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
8 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
9 lclkrlem2m.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
10 lclkrlem2m.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
116, 7, 8, 5, 9, 10ldualvaddcl 38513 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12 lclkrlem2n.l . . . 4 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
136, 12, 1lkrlss 38478 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
145, 11, 13syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
15 lclkrlem2n.j . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
16 lclkrlem2m.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
17 lclkrlem2m.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
18 lclkrlem2m.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘†)
19 lclkrlem2m.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2016, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19ellkr2 38474 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 ))
2115, 20mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
22 lclkrlem2n.k . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
23 lclkrlem2m.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2416, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23ellkr2 38474 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 ))
2522, 24mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
261, 2, 5, 14, 21, 25lspprss 20839 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  -gcsg 18865  invrcinvr 20289  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  40912
  Copyright terms: Public domain W3C validator