Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2n 41049
Description: Lemma for lclkr 41062. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.w (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lclkrlem2n.j (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
lclkrlem2n.k (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2n (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
2 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3 lclkrlem2n.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4 lveclmod 20995 . . 3 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
6 lclkrlem2m.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
7 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
8 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
9 lclkrlem2m.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
10 lclkrlem2m.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
116, 7, 8, 5, 9, 10ldualvaddcl 38658 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12 lclkrlem2n.l . . . 4 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
136, 12, 1lkrlss 38623 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
145, 11, 13syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
15 lclkrlem2n.j . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
16 lclkrlem2m.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
17 lclkrlem2m.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
18 lclkrlem2m.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘†)
19 lclkrlem2m.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2016, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19ellkr2 38619 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 ))
2115, 20mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
22 lclkrlem2n.k . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
23 lclkrlem2m.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2416, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23ellkr2 38619 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 ))
2522, 24mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
261, 2, 5, 14, 21, 25lspprss 20880 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  {cpr 4626  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  -gcsg 18896  invrcinvr 20330  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613  LDualcld 38651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  41057
  Copyright terms: Public domain W3C validator