Theorem lclkrlem2n 37328

Description: Lemma for lclkr 37341. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2n	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		lclkrlem2n.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
4		lveclmod 19319	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		lclkrlem2m.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2m.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrlem2m.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
9		lclkrlem2m.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
10		lclkrlem2m.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	6, 7, 8, 5, 9, 10	ldualvaddcl 34937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12		lclkrlem2n.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13	6, 12, 1	lkrlss 34902	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	5, 11, 13	syl2anc 573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15		lclkrlem2n.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16		lclkrlem2m.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17		lclkrlem2m.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18		lclkrlem2m.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
19		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19	ellkr2 34898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
21	15, 20	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22		lclkrlem2n.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23		lclkrlem2m.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23	ellkr2 34898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
25	22, 24	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	1, 2, 5, 14, 21, 25	lspprss 19205	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  {cpr 4319  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  ._rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·_𝑠 cvsca 16153  0_gc0g 16308  -_gcsg 17632  inv_rcinvr 18879  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  LFnlclfn 34864  LKerclk 34892  LDualcld 34930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lfl 34865  df-lkr 34893  df-ldual 34931

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  37336