Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2n 41125
Description: Lemma for lclkr 41138. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2n (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 lclkrlem2n.w . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4 lveclmod 21008 . . 3 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
6 lclkrlem2m.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+g𝐷)
9 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
10 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
116, 7, 8, 5, 9, 10ldualvaddcl 38734 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12 lclkrlem2n.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
136, 12, 1lkrlss 38699 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
145, 11, 13syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15 lclkrlem2n.j . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16 lclkrlem2m.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
17 lclkrlem2m.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 lclkrlem2m.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
19 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2016, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19ellkr2 38695 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
2115, 20mpbird 256 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22 lclkrlem2n.k . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23 lclkrlem2m.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2416, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23ellkr2 38695 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
2522, 24mpbird 256 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
261, 2, 5, 14, 21, 25lspprss 20893 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  {cpr 4632  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  +gcplusg 17241  .rcmulr 17242  Scalarcsca 17244   ·𝑠 cvsca 17245  0gc0g 17429  -gcsg 18905  invrcinvr 20343  LModclmod 20760  LSubSpclss 20832  LSpanclspn 20872  LVecclvec 21004  LFnlclfn 38661  LKerclk 38689  LDualcld 38727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-plusg 17254  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-lvec 21005  df-lfl 38662  df-lkr 38690  df-ldual 38728
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  41133
  Copyright terms: Public domain W3C validator