Theorem lclkrlem2n 41780

Description: Lemma for lclkr 41793. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2n	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		lclkrlem2n.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
4		lveclmod 21058	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		lclkrlem2m.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2m.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrlem2m.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
9		lclkrlem2m.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
10		lclkrlem2m.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	6, 7, 8, 5, 9, 10	ldualvaddcl 39390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12		lclkrlem2n.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13	6, 12, 1	lkrlss 39355	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	5, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15		lclkrlem2n.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16		lclkrlem2m.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17		lclkrlem2m.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18		lclkrlem2m.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
19		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19	ellkr2 39351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
21	15, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22		lclkrlem2n.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23		lclkrlem2m.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	16, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23	ellkr2 39351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
25	22, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	1, 2, 5, 14, 21, 25	lspprss 20943	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  -_gcsg 18865  inv_rcinvr 20323  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LFnlclfn 39317  LKerclk 39345  LDualcld 39383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lfl 39318  df-lkr 39346  df-ldual 39384

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  41788