Theorem lsppratlem2 20157

Description: Lemma for lspprat 20162. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lspprat.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspprat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20115	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsppratlem1.x2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑈)
8		lsppratlem1.y2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
9	8	eldifad 3869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	7, 9	prssd 4725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
11		lspprat.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	12, 1	lssss 19945	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	10, 14	sstrd 3901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
16	12, 1, 2	lspcl 19985	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17	5, 15, 16	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
18		lsppratlem2.x1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
19		lsppratlem2.y1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
20	1, 2, 5, 17, 18, 19	lspprss 20001	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	1, 2, 5, 11, 7, 9	lspprss 20001	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	sstrd 3901	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3854   ⊆ wss 3857   ⊊ wpss 3858  {csn 4531  {cpr 4533  ‘cfv 6369  Basecbs 16684  0_gc0g 16916  LModclmod 19871  LSubSpclss 19940  LSpanclspn 19980  LVecclvec 20111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-plusg 16780  df-0g 16918  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-lmod 19873  df-lss 19941  df-lsp 19981  df-lvec 20112

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  20160