MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem2 19916
Description: Lemma for lspprat 19921. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2
StepHypRef Expression
1 lspprat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lspprat.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19874 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsppratlem1.x2 . . . . . . 7 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
76eldifad 3896 . . . . . 6 (𝜑𝑥𝑈)
8 lsppratlem1.y2 . . . . . . 7 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
98eldifad 3896 . . . . . 6 (𝜑𝑦𝑈)
107, 9prssd 4718 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
11 lspprat.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
12 lspprat.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
1312, 1lssss 19704 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
1510, 14sstrd 3928 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
1612, 1, 2lspcl 19744 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
175, 15, 16syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
18 lsppratlem2.x1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
19 lsppratlem2.y1 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
201, 2, 5, 17, 18, 19lspprss 19760 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
211, 2, 5, 11, 7, 9lspprss 19760 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
2220, 21sstrd 3928 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  cdif 3881  wss 3884  wpss 3885  {csn 4528  {cpr 4530  cfv 6328  Basecbs 16478  0gc0g 16708  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  LVecclvec 19870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19919
  Copyright terms: Public domain W3C validator