Theorem lsppratlem2 21148

Description: Lemma for lspprat 21153. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lspprat.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspprat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21103	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsppratlem1.x2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑈)
8		lsppratlem1.y2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
9	8	eldifad 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	7, 9	prssd 4760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
11		lspprat.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	12, 1	lssss 20933	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	10, 14	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
16	12, 1, 2	lspcl 20973	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17	5, 15, 16	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
18		lsppratlem2.x1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
19		lsppratlem2.y1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
20	1, 2, 5, 17, 18, 19	lspprss 20989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	1, 2, 5, 11, 7, 9	lspprss 20989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	sstrd 3932	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  {csn 4562  {cpr 4564  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  LModclmod 20857  LSubSpclss 20928  LSpanclspn 20968  LVecclvec 21099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21151