Theorem lsppratlem2 21301

Description: Lemma for lspprat 21306. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lspprat.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspprat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21256	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsppratlem1.x2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑈)
8		lsppratlem1.y2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
9	8	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	7, 9	prssd 4790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
11		lspprat.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	12, 1	lssss 21086	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
14	11, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	10, 14	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
16	12, 1, 2	lspcl 21126	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17	5, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
18		lsppratlem2.x1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
19		lsppratlem2.y1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
20	1, 2, 5, 17, 18, 19	lspprss 21142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	1, 2, 5, 11, 7, 9	lspprss 21142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	sstrd 3948	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  LModclmod 21010  LSubSpclss 21081  LSpanclspn 21121  LVecclvec 21252

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-plusg 17340  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mgp 20240  df-ur 20287  df-ring 20340  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253

This theorem is used by:  lsppratlem5  21304