Theorem lsppratlem2 21205

Description: Lemma for lspprat 21210. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lspprat.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspprat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21160	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsppratlem1.x2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑈)
8		lsppratlem1.y2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
9	8	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	7, 9	prssd 4777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
11		lspprat.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	12, 1	lssss 20990	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15	10, 14	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
16	12, 1, 2	lspcl 21030	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17	5, 15, 16	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
18		lsppratlem2.x1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
19		lsppratlem2.y1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
20	1, 2, 5, 17, 18, 19	lspprss 21046	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	1, 2, 5, 11, 7, 9	lspprss 21046	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	sstrd 3944	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  0_gc0g 17458  LModclmod 20914  LSubSpclss 20985  LSpanclspn 21025  LVecclvec 21156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mgp 20177  df-ur 20218  df-ring 20271  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-lvec 21157

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21208