MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem2 20989
Description: Lemma for lspprat 20994. Show that if 𝑋 and π‘Œ are both in (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ, contradicting the hypothesis for π‘ˆ. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppratlem1.x2 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
lsppratlem1.y2 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
lsppratlem2.x1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
lsppratlem2.y1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)

Proof of Theorem lsppratlem2
StepHypRef Expression
1 lspprat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspprat.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 lspprat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20944 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lsppratlem1.x2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
76eldifad 3952 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
8 lsppratlem1.y2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
98eldifad 3952 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
107, 9prssd 4817 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† π‘ˆ)
11 lspprat.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lspprat.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
1312, 1lssss 20773 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
1510, 14sstrd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝑉)
1612, 1, 2lspcl 20813 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∈ 𝑆)
175, 15, 16syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∈ 𝑆)
18 lsppratlem2.x1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
19 lsppratlem2.y1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
201, 2, 5, 17, 18, 19lspprss 20829 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
211, 2, 5, 11, 7, 9lspprss 20829 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) βŠ† π‘ˆ)
2220, 21sstrd 3984 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940   ⊊ wpss 3941  {csn 4620  {cpr 4622  β€˜cfv 6533  Basecbs 17143  0gc0g 17384  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  LVecclvec 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  20992
  Copyright terms: Public domain W3C validator