Theorem lspsnid 21277

Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 32174 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4742	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspsnid.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 21269	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
5	1, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
6		snssg 4740	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  LModclmod 21144  LSpanclspn 21255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256

This theorem is used by:  ellspsn6  21278  lssats2  21284  ellspsni  21285  lspsn  21286  lspsneq0  21296  lsmelval2  21369  lspprabs  21379  lspabs3  21408  ellspsn4  21411  lspdisjb  21413  lspfixed  21415  lindsadd  38673  lshpnelb  40178  lsateln0  40189  lssats  40206  dia1dimid  42257  dochnel  42587  dihjat1lem  42622  dochsnkr2cl  42668  lcfrvalsnN  42735  lcfrlem15  42751  mapdpglem2  42867  mapdpglem9  42874  mapdpglem12  42877  mapdpglem14  42879  mapdindp0  42913  mapdindp3  42916  hdmap11lem2  43036  hdmaprnlem3N  43044  hdmaprnlem7N  43049  hdmaprnlem8N  43050  hdmaprnlem3eN  43052  hdmaplkr  43107