Theorem lspsnid 19758

Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 29346 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4701	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspsnid.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 19750	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
5	1, 4	sylan2 595	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
6		snssg 4678	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
7	6	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737

This theorem is referenced by:  lspsnel6  19759  lssats2  19765  lspsneli  19766  lspsn  19767  lspsneq0  19777  lsmelval2  19850  lspprabs  19860  lspabs3  19886  lspsnel4  19889  lspdisjb  19891  lspfixed  19893  lindsadd  35050  lshpnelb  36280  lsateln0  36291  lssats  36308  dia1dimid  38359  dochnel  38689  dihjat1lem  38724  dochsnkr2cl  38770  lcfrvalsnN  38837  lcfrlem15  38853  mapdpglem2  38969  mapdpglem9  38976  mapdpglem12  38979  mapdpglem14  38981  mapdindp0  39015  mapdindp3  39018  hdmap11lem2  39138  hdmaprnlem3N  39146  hdmaprnlem7N  39151  hdmaprnlem8N  39152  hdmaprnlem3eN  39154  hdmaplkr  39209