Theorem lspsnid 20983

Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 31652 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4717	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspsnid.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspsnid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 20975	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
5	1, 4	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
6		snssg 4715	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
8	5, 7	mpbird 258	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  LModclmod 20850  LSpanclspn 20961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962

This theorem is referenced by:  ellspsn6  20984  lssats2  20990  ellspsni  20991  lspsn  20992  lspsneq0  21002  lsmelval2  21075  lspprabs  21085  lspabs3  21114  ellspsn4  21117  lspdisjb  21119  lspfixed  21121  lindsadd  37980  lshpnelb  39476  lsateln0  39487  lssats  39504  dia1dimid  41555  dochnel  41885  dihjat1lem  41920  dochsnkr2cl  41966  lcfrvalsnN  42033  lcfrlem15  42049  mapdpglem2  42165  mapdpglem9  42172  mapdpglem12  42175  mapdpglem14  42177  mapdindp0  42211  mapdindp3  42214  hdmap11lem2  42334  hdmaprnlem3N  42342  hdmaprnlem7N  42347  hdmaprnlem8N  42348  hdmaprnlem3eN  42350  hdmaplkr  42405