MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssp 19736
Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspssp.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspssp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspssp ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspssp
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lspssp.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19684 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 lspssp.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
51, 4lspss 19732 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))
63, 5syl3an2 1160 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))
72, 4lspid 19730 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
873adant3 1128 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑇𝑈) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
96, 8sseqtrd 3986 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913  cfv 6331  Basecbs 16462  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720
This theorem is referenced by:  lspsnss  19738  lspprss  19740  lsp0  19757  lsslsp  19763  lmhmlsp  19797  lspextmo  19804  lsmsp  19834  lsppratlem3  19897  lsppratlem4  19898  islbs3  19903  rspssp  19975  ocvlsp  20796  frlmsslsp  20916  lspsslco  44637
  Copyright terms: Public domain W3C validator