MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssp 20464
Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspssp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspssp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspssp ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† π‘ˆ)

Proof of Theorem lspssp
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspssp.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20412 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lspssp.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
51, 4lspss 20460 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
63, 5syl3an2 1165 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
72, 4lspid 20458 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
873adant3 1133 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
96, 8sseqtrd 3985 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448
This theorem is referenced by:  lspsnss  20466  lspprss  20468  lsp0  20485  lsslsp  20491  lmhmlsp  20525  lspextmo  20532  lsmsp  20562  lsppratlem3  20626  lsppratlem4  20627  islbs3  20632  rspssp  20712  ocvlsp  21096  frlmsslsp  21218  ply1degltdimlem  32374  lspsslco  46604
  Copyright terms: Public domain W3C validator