Theorem lspssp 19354

Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspssp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspssp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspssp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 19300	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspssp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 4	lspss 19350	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))
6	3, 5	syl3an2 1207	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))
7	2, 4	lspid 19348	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
8	7	3adant3 1166	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
9	6, 8	sseqtrd 3866	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338

This theorem is referenced by:  lspsnss  19356  lspprss  19358  lsp0  19375  lsslsp  19381  lmhmlsp  19415  lspextmo  19422  lsmsp  19452  lsppratlem3  19517  lsppratlem4  19518  islbs3  19523  rspssp  19594  ocvlsp  20390  frlmsslsp  20509  lspsslco  43087