MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspssp 20833
Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspssp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspssp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspssp ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† π‘ˆ)
Proof of Theorem lspssp
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspssp.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20781 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 lspssp.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
51, 4lspss 20829 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
63, 5syl3an2 1161 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
72, 4lspid 20827 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
873adant3 1129 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
96, 8sseqtrd 4017 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817
This theorem is referenced by:  lspsnss  20835  lspprss  20837  lsp0  20854  lsslsp  20860  lsslspOLD  20861  lmhmlsp  20895  lspextmo  20902  lsmsp  20932  lsppratlem3  20998  lsppratlem4  20999  islbs3  21004  rspssp  21096  ocvlsp  21565  frlmsslsp  21687  ply1degltdimlem  33225  lspsslco  47374
  Copyright terms: Public domain W3C validator