Theorem lspssp 21033

Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspssp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspssp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspssp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20981	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspssp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 4	lspss 21029	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))
6	3, 5	syl3an2 1176	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))
7	2, 4	lspid 21027	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
8	7	3adant3 1144	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
9	6, 8	sseqtrd 3972	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6515  Basecbs 17226  LModclmod 20905  LSubSpclss 20976  LSpanclspn 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17451  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-grp 18959  df-lmod 20907  df-lss 20977  df-lsp 21017

This theorem is referenced by:  lspsnss  21035  lspprss  21037  lsp0  21054  lsslsp  21060  lmhmlsp  21094  lspextmo  21101  lsmsp  21131  lsppratlem3  21197  lsppratlem4  21198  islbs3  21203  rspssp  21287  ocvlsp  21706  frlmsslsp  21826  ply1degltdimlem  33878  lspsslco  49012