Theorem ipolub00 49274

Description: The LUB of the empty set is the empty set if it is contained. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub00.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolub00.f	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub00	⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ipolub00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipolub00.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
4		ipolub00.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)
5		int0el 4935	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 𝐹 → ∩ 𝐹 = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 = ∅)
7	6, 4	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
10	1, 3, 8, 9	ipolub0 49273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)
11	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 = ∅)
12	10, 11	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
13	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
14		fvprc 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (toInc‘𝐹) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝐼 = ∅)
17	16	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (lub‘𝐼) = (lub‘∅))
18	13, 17	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘∅))
19	18	fveq1d 6837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ((lub‘∅)‘∅))
20		rex0 4313	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧))
21	20	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
22		base0 17145	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
25		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
26		0pos 18248	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Poset
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ∅ ∈ Poset)
28	22, 23, 24, 25, 27	lubeldm2 49237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (∅ ∈ dom (lub‘∅) ↔ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))))
29	21, 28	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅))
30		ndmfv 6867	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
32	19, 31	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
33	12, 32	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∩ cint 4903   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  lecple 17188  Posetcpo 18234  lubclub 18236  toInccipo 18454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ocomp 17202  df-proset 18221  df-poset 18240  df-lub 18271  df-ipo 18455

This theorem is referenced by: (None)