Theorem ipolub00 48985

Description: The LUB of the empty set is the empty set if it is contained. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub00.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolub00.f	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub00	⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ipolub00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipolub00.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
4		ipolub00.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)
5		int0el 4946	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 𝐹 → ∩ 𝐹 = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 = ∅)
7	6, 4	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
10	1, 3, 8, 9	ipolub0 48984	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)
11	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 = ∅)
12	10, 11	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
13	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
14		fvprc 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (toInc‘𝐹) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝐼 = ∅)
17	16	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (lub‘𝐼) = (lub‘∅))
18	13, 17	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘∅))
19	18	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ((lub‘∅)‘∅))
20		rex0 4326	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧))
21	20	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
22		base0 17191	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
24		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
25		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
26		0pos 18289	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Poset
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ∅ ∈ Poset)
28	22, 23, 24, 25, 27	lubeldm2 48948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (∅ ∈ dom (lub‘∅) ↔ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))))
29	21, 28	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅))
30		ndmfv 6896	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
32	19, 31	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
33	12, 32	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  lecple 17234  Posetcpo 18275  lubclub 18277  toInccipo 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ocomp 17248  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-ipo 18494

This theorem is referenced by: (None)