Theorem ipolub00 49791

Description: The LUB of the empty set is the empty set if it is contained. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub00.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolub00.f	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub00	⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ipolub00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipolub00.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
4		ipolub00.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)
5		int0el 4944	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 𝐹 → ∩ 𝐹 = ∅)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 = ∅)
7	6, 4	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
9		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
10	1, 3, 8, 9	ipolub0 49790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)
11	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 = ∅)
12	10, 11	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
13	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
14		fvprc 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (toInc‘𝐹) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝐼 = ∅)
17	16	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (lub‘𝐼) = (lub‘∅))
18	13, 17	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘∅))
19	18	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ((lub‘∅)‘∅))
20		rex0 4315	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧))
21	20	intnan 491	. . . . 5 ⊢ ¬ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
22		base0 17269	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
25		biid 264	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
26		0pos 18372	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Poset
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ∅ ∈ Poset)
28	22, 23, 24, 25, 27	lubeldm2 49754	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (∅ ∈ dom (lub‘∅) ↔ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))))
29	21, 28	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅))
30		ndmfv 6913	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
31	29, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
32	19, 31	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
33	12, 32	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ cint 4912   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  lecple 17312  Posetcpo 18358  lubclub 18360  toInccipo 18578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395  df-ipo 18579

This theorem is referenced by: (None)