Theorem ipolub00 49690

Description: The LUB of the empty set is the empty set if it is contained. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub00.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolub00.f	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub00	⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ipolub00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipolub00.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
4		ipolub00.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)
5		int0el 4948	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 𝐹 → ∩ 𝐹 = ∅)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 = ∅)
7	6, 4	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
9		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
10	1, 3, 8, 9	ipolub0 49689	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)
11	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 = ∅)
12	10, 11	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
13	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
14		fvprc 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (toInc‘𝐹) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝐼 = ∅)
17	16	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (lub‘𝐼) = (lub‘∅))
18	13, 17	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘∅))
19	18	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ((lub‘∅)‘∅))
20		rex0 4323	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧))
21	20	intnan 491	. . . . 5 ⊢ ¬ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
22		base0 17274	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
24		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
25		biid 264	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
26		0pos 18377	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Poset
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ∅ ∈ Poset)
28	22, 23, 24, 25, 27	lubeldm2 49653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (∅ ∈ dom (lub‘∅) ↔ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))))
29	21, 28	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅))
30		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
31	29, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
32	19, 31	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
33	12, 32	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∩ cint 4916   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  lecple 17317  Posetcpo 18363  lubclub 18365  toInccipo 18583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ocomp 17331  df-proset 18350  df-poset 18369  df-lub 18400  df-ipo 18584

This theorem is referenced by: (None)