Theorem ipolub00 46279

Description: The LUB of the empty set is the empty set if it is contained. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub00.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolub00.f	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolub00	⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ipolub00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipolub00.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
4		ipolub00.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐹)
5		int0el 4910	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 𝐹 → ∩ 𝐹 = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 = ∅)
7	6, 4	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
9		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
10	1, 3, 8, 9	ipolub0 46278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)
11	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → ∩ 𝐹 = ∅)
12	10, 11	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
13	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘𝐼))
14		fvprc 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (toInc‘𝐹) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝐼 = ∅)
17	16	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (lub‘𝐼) = (lub‘∅))
18	13, 17	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → 𝑈 = (lub‘∅))
19	18	fveq1d 6776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ((lub‘∅)‘∅))
20		rex0 4291	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧))
21	20	intnan 487	. . . . 5 ⊢ ¬ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
22		base0 16917	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
24		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
25		biid 260	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))
26		0pos 18039	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Poset
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ∅ ∈ Poset)
28	22, 23, 24, 25, 27	lubeldm2 46250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (∅ ∈ dom (lub‘∅) ↔ (∅ ⊆ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ (∀𝑦 ∈ ∅ 𝑦(le‘∅)𝑧 → 𝑥(le‘∅)𝑧)))))
29	21, 28	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅))
30		ndmfv 6804	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom (lub‘∅) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → ((lub‘∅)‘∅) = ∅)
32	19, 31	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ V) → (𝑈‘∅) = ∅)
33	12, 32	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∩ cint 4879   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  lecple 16969  Posetcpo 18025  lubclub 18027  toInccipo 18245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ocomp 16983  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064  df-ipo 18246

This theorem is referenced by: (None)