Theorem mavmuldm 22533

Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmuldm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmuldm.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mavmuldm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvmulfval 22525	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
8	7	dmeqd 5847	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
9		mptexg 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
10	9	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V))
12	11	ralrimivv 3180	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
13		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))))
14	13	dmmpoga 8015	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
16		mavmuldm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
17	16	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19		mavmuldm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁))
21	20	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m 𝑁) = 𝐷)
22	18, 21	xpeq12d 5649	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
23	8, 15, 22	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212   Σ_g cgsu 17394   maVecMul cmvmul 22523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-mvmul 22524

This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  22534