Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmuldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmuldm 21159
 Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmuldm ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mavmuldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅𝑉)
5 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6 simp3 1135 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 21151 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
87dmeqd 5761 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
9 mptexg 6975 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Fin → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1093ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1110a1d 25 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V))
1211ralrimivv 3185 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
13 eqid 2824 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))))
1413dmmpoga 7766 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)))
1512, 14syl 17 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)))
16 mavmuldm.c . . . . 5 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
1716eqcomi 2833 . . . 4 (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
1817a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19 mavmuldm.d . . . . 5 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵m 𝑁))
2120eqcomd 2830 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵m 𝑁) = 𝐷)
2218, 21xpeq12d 5573 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
238, 15, 223eqtrd 2863 1 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480  ⟨cop 4556   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  dom cdm 5542  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505  Basecbs 16483  .rcmulr 16566   Σg cgsu 16714   maVecMul cmvmul 21149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-mvmul 21150 This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  21160
 Copyright terms: Public domain W3C validator