MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmuldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmuldm 22556
Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmuldm ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mavmuldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simp1 1137 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅𝑉)
5 simp2 1138 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 22548 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
87dmeqd 5916 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
9 mptexg 7241 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Fin → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1093ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1110a1d 25 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V))
1211ralrimivv 3200 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
13 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))))
1413dmmpoga 8098 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)))
1512, 14syl 17 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)))
16 mavmuldm.c . . . . 5 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
1716eqcomi 2746 . . . 4 (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
1817a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19 mavmuldm.d . . . . 5 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵m 𝑁))
2120eqcomd 2743 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵m 𝑁) = 𝐷)
2218, 21xpeq12d 5716 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
238, 15, 223eqtrd 2781 1 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   Σg cgsu 17485   maVecMul cmvmul 22546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-mvmul 22547
This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  22557
  Copyright terms: Public domain W3C validator