MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmuldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmuldm 22272
Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mavmuldm.c ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
mavmuldm.d ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
mavmuldm.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
mavmuldm ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))

Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 mavmuldm.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2730 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 simp1 1134 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 simp2 1135 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 simp3 1136 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 22264 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ยท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
87dmeqd 5904 . 2 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = dom (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
9 mptexg 7224 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
1093ad2ant2 1132 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
1110a1d 25 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V))
1211ralrimivv 3196 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)(๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
13 eqid 2730 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
1413dmmpoga 8061 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)(๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = ((๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) ร— (๐ต โ†‘m ๐‘)))
1512, 14syl 17 . 2 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = ((๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) ร— (๐ต โ†‘m ๐‘)))
16 mavmuldm.c . . . . 5 ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
1716eqcomi 2739 . . . 4 (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) = ๐ถ
1817a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) = ๐ถ)
19 mavmuldm.d . . . . 5 ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
2019a1i 11 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘))
2120eqcomd 2736 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ต โ†‘m ๐‘) = ๐ท)
2218, 21xpeq12d 5706 . 2 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) ร— (๐ต โ†‘m ๐‘)) = (๐ถ ร— ๐ท))
238, 15, 223eqtrd 2774 1 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472  โŸจcop 4633   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  dom cdm 5675  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17148  .rcmulr 17202   ฮฃg cgsu 17390   maVecMul cmvmul 22262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-mvmul 22263
This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  22273
  Copyright terms: Public domain W3C validator