Theorem mavmuldm 22465

Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmuldm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmuldm.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mavmuldm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvmulfval 22457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
8	7	dmeqd 5844	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
9		mptexg 7155	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V))
12	11	ralrimivv 3173	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))))
14	13	dmmpoga 8005	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
16		mavmuldm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
17	16	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19		mavmuldm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁))
21	20	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m 𝑁) = 𝐷)
22	18, 21	xpeq12d 5645	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
23	8, 15, 22	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ⟨cop 4579   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   Σ_g cgsu 17344   maVecMul cmvmul 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-mvmul 22456

This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  22466