Theorem mavmuldm 21153

Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmuldm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmuldm.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mavmuldm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvmulfval 21145	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
8	7	dmeqd 5769	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
9		mptexg 6978	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
10	9	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V))
12	11	ralrimivv 3190	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
13		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))))
14	13	dmmpoga 7765	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
16		mavmuldm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
17	16	eqcomi 2830	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19		mavmuldm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁))
21	20	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m 𝑁) = 𝐷)
22	18, 21	xpeq12d 5581	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
23	8, 15, 22	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3495  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5139   × cxp 5548  dom cdm 5550  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560   Σ_g cgsu 16708   maVecMul cmvmul 21143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-mvmul 21144

This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  21154