MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmuldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmuldm 22273
Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mavmuldm.c ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
mavmuldm.d ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
mavmuldm.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
mavmuldm ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))

Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 mavmuldm.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2731 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 simp1 1135 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 simp2 1136 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 simp3 1137 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 22265 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ยท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
87dmeqd 5906 . 2 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = dom (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
9 mptexg 7226 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
1093ad2ant2 1133 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
1110a1d 25 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V))
1211ralrimivv 3197 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)(๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V)
13 eqid 2731 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
1413dmmpoga 8062 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘)(๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) โˆˆ V โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = ((๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) ร— (๐ต โ†‘m ๐‘)))
1512, 14syl 17 . 2 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = ((๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) ร— (๐ต โ†‘m ๐‘)))
16 mavmuldm.c . . . . 5 ๐ถ = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘))
1716eqcomi 2740 . . . 4 (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) = ๐ถ
1817a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) = ๐ถ)
19 mavmuldm.d . . . . 5 ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘)
2019a1i 11 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐ท = (๐ต โ†‘m ๐‘))
2120eqcomd 2737 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ต โ†‘m ๐‘) = ๐ท)
2218, 21xpeq12d 5708 . 2 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) ร— (๐ต โ†‘m ๐‘)) = (๐ถ ร— ๐ท))
238, 15, 223eqtrd 2775 1 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ dom ยท = (๐ถ ร— ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  Vcvv 3473  โŸจcop 4635   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   โˆˆ cmpo 7414   โ†‘m cmap 8823  Fincfn 8942  Basecbs 17149  .rcmulr 17203   ฮฃg cgsu 17391   maVecMul cmvmul 22263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-mvmul 22264
This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  22274
  Copyright terms: Public domain W3C validator