Theorem mavmuldm 21607

Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmuldm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmuldm.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mavmuldm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvmulfval 21599	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
8	7	dmeqd 5803	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
9		mptexg 7079	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
10	9	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V))
12	11	ralrimivv 3113	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))))
14	13	dmmpoga 7886	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
16		mavmuldm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
17	16	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19		mavmuldm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁))
21	20	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m 𝑁) = 𝐷)
22	18, 21	xpeq12d 5611	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
23	8, 15, 22	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   Σ_g cgsu 17068   maVecMul cmvmul 21597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-mvmul 21598

This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  21608