Theorem mavmuldm 22757

Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmuldm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c	⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d	⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
mavmuldm.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmuldm	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmuldm.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mavmuldm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvmulfval 22749	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
8	7	dmeqd 5897	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))))
9		mptexg 7226	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
10	9	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
11	10	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V))
12	11	ralrimivv 3208	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))))
14	13	dmmpoga 8076	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁)(𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
15	12, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↦ (𝑖 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑗)))))) = ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)))
16		mavmuldm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))
17	16	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19		mavmuldm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵 ↑m 𝑁))
21	20	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵 ↑m 𝑁) = 𝐷)
22	18, 21	xpeq12d 5694	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵 ↑m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
23	8, 15, 22	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333   Σ_g cgsu 17515   maVecMul cmvmul 22747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-mvmul 22748

This theorem is used by:  mavmulsolcl  22758