Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulass 21263
 Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
mavmulass.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
mavmulass.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulass.z (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
mavmulass (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 1mavmul.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 1mavmul.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 1mavmul.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 1mavmul.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulass.m . . . . . 6 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8 mavmulass.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
91, 3matbas2 21135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
106, 5, 9syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
118, 10eleqtrrd 2855 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
12 mavmulass.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
1312, 10eleqtrrd 2855 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 21115 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
1514, 10eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
16 1mavmul.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 21261 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
18 elmapi 8444 . . 3 (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁) → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁𝐵)
19 ffn 6503 . . 3 (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁𝐵 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
2017, 18, 193syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 21261 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 21261 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵m 𝑁))
23 elmapi 8444 . . 3 ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵m 𝑁) → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁𝐵)
24 ffn 6503 . . 3 ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁𝐵 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
2522, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
26 ringcmn 19416 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
275, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
296adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
305ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
31 elmapi 8444 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3211, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
34 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
3633, 34, 35fovrnd 7322 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
37 elmapi 8444 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3813, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
40 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑗𝑁)
4139, 35, 40fovrnd 7322 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
42 elmapi 8444 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
43 ffvelrn 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌:𝑁𝐵𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
4443ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑌:𝑁𝐵 → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
4516, 42, 443syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
4645imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
4746ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
483, 4ringcl 19396 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
4930, 41, 47, 48syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
503, 4ringcl 19396 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) ∈ 𝐵)
5130, 36, 49, 50syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) ∈ 𝐵)
523, 28, 29, 29, 51gsumcom3fi 19181 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
535ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
546ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
5511ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
5613ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
57 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
58 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
597, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58mamufv 21103 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))))
6059oveq1d 7171 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
61 eqid 2758 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
62 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6346adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
645adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6632ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
67 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
68 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
6966, 67, 68fovrnd 7322 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
7069adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
7138adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
73 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
74 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
7572, 73, 74fovrnd 7322 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
763, 4ringcl 19396 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
7765, 70, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
78 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))
79 ovexd 7191 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ V)
80 fvexd 6678 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
8178, 54, 79, 80fsuppmptdm 8890 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) finSupp (0g𝑅))
823, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 81gsummulc1 19441 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
833, 4ringass 19399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8430, 36, 41, 47, 83syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8584anassrs 471 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8685mpteq2dva 5131 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
8786oveq2d 7172 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
8860, 82, 873eqtr2d 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
8988mpteq2dva 5131 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))))
9089oveq2d 7172 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
915ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
926ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
9312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
9416ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
951, 2, 3, 4, 91, 92, 93, 94, 68mavmulfv 21260 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑍 · 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
9695oveq2d 7172 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
9764ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
9871ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
99 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑁)
100 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
10198, 99, 100fovrnd 7322 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
10245ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
103102imp 410 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
10497, 101, 103, 48syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
105 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
106 ovexd 7191 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ V)
107 fvexd 6678 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
108105, 92, 106, 107fsuppmptdm 8890 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) finSupp (0g𝑅))
1093, 61, 62, 4, 91, 92, 69, 104, 108gsummulc2 19442 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
11096, 109eqtr4d 2796 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
111110mpteq2dva 5131 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))))
112111oveq2d 7172 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
11352, 90, 1123eqtr4d 2803 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
11415adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
11516adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
116 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
1171, 2, 3, 4, 64, 29, 114, 115, 116mavmulfv 21260 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
1188adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
11921adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
1201, 2, 3, 4, 64, 29, 118, 119, 116mavmulfv 21260 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
121113, 117, 1203eqtr4d 2803 . 2 ((𝜑𝑖𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖))
12220, 25, 121eqfnfvd 6801 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5116   × cxp 5526   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑m cmap 8422  Fincfn 8540  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  .rcmulr 16638  0gc0g 16785   Σg cgsu 16786  CMndccmn 18987  Ringcrg 19379   maMul cmmul 21099   Mat cmat 21121   maVecMul cmvmul 21254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-hom 16661  df-cco 16662  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-prds 16793  df-pws 16795  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-mulg 18306  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-sra 20026  df-rgmod 20027  df-dsmm 20511  df-frlm 20526  df-mamu 21100  df-mat 21122  df-mvmul 21255 This theorem is referenced by:  slesolinv  21394  slesolinvbi  21395
 Copyright terms: Public domain W3C validator