Theorem mavmulass 21263

Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmulass.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
mavmulass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mavmulass	⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Proof of Theorem mavmulass

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mavmulass.m	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8		mavmulass.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
9	1, 3	matbas2 21135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
10	6, 5, 9	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
11	8, 10	eleqtrrd 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12		mavmulass.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
13	12, 10	eleqtrrd 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
14	3, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13	mamucl 21115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
15	14, 10	eleqtrd 2854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
16		1mavmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16	mavmulcl 21261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
18		elmapi 8444	. . 3 ⊢ (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁⟶𝐵)
19		ffn 6503	. . 3 ⊢ (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁⟶𝐵 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
20	17, 18, 19	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16	mavmulcl 21261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21	mavmulcl 21261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
23		elmapi 8444	. . 3 ⊢ ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁⟶𝐵)
24		ffn 6503	. . 3 ⊢ ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁⟶𝐵 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
26		ringcmn 19416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
27	5, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
28	27	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
29	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
30	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		elmapi 8444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
32	11, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
33	32	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
34		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
35		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
36	33, 34, 35	fovrnd 7322	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
37		elmapi 8444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
38	13, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
40		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
41	39, 35, 40	fovrnd 7322	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
42		elmapi 8444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
43		ffvelrn 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
44	43	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	16, 42, 44	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
46	45	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	46	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
48	3, 4	ringcl 19396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
49	30, 41, 47, 48	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
50	3, 4	ringcl 19396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) ∈ 𝐵)
51	30, 36, 49, 50	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) ∈ 𝐵)
52	3, 28, 29, 29, 51	gsumcom3fi 19181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
53	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
54	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
55	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
56	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
57		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
58		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
59	7, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58	mamufv 21103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))))
60	59	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
61		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
62		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
63	46	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
64	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
65	64	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
66	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
67		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
68		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
69	66, 67, 68	fovrnd 7322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
70	69	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
71	38	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
73		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
74		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
75	72, 73, 74	fovrnd 7322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
76	3, 4	ringcl 19396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
77	65, 70, 75, 76	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
78		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))
79		ovexd 7191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ V)
80		fvexd 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
81	78, 54, 79, 80	fsuppmptdm 8890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
82	3, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 81	gsummulc1 19441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
83	3, 4	ringass 19399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
84	30, 36, 41, 47, 83	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
85	84	anassrs 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
86	85	mpteq2dva 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
87	86	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
88	60, 82, 87	3eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
89	88	mpteq2dva 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))))
90	89	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
91	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
92	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
93	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
94	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
95	1, 2, 3, 4, 91, 92, 93, 94, 68	mavmulfv 21260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑍 · 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
96	95	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
97	64	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
98	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
99		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
100		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
101	98, 99, 100	fovrnd 7322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
102	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
103	102	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
104	97, 101, 103, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
105		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
106		ovexd 7191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ V)
107		fvexd 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
108	105, 92, 106, 107	fsuppmptdm 8890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
109	3, 61, 62, 4, 91, 92, 69, 104, 108	gsummulc2 19442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
110	96, 109	eqtr4d 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
111	110	mpteq2dva 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))))
112	111	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
113	52, 90, 112	3eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
114	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
115	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
116		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
117	1, 2, 3, 4, 64, 29, 114, 115, 116	mavmulfv 21260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
118	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
119	21	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
120	1, 2, 3, 4, 64, 29, 118, 119, 116	mavmulfv 21260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
121	113, 117, 120	3eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖))
122	20, 25, 121	eqfnfvd 6801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5116   × cxp 5526   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8422  Fincfn 8540  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  ._rcmulr 16638  0_gc0g 16785   Σ_g cgsu 16786  CMndccmn 18987  Ringcrg 19379   maMul cmmul 21099   Mat cmat 21121   maVecMul cmvmul 21254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-hom 16661  df-cco 16662  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-prds 16793  df-pws 16795  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-mulg 18306  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-sra 20026  df-rgmod 20027  df-dsmm 20511  df-frlm 20526  df-mamu 21100  df-mat 21122  df-mvmul 21255

This theorem is referenced by:  slesolinv  21394  slesolinvbi  21395