Theorem mavmulass 22532

Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmulass.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
mavmulass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mavmulass	⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Proof of Theorem mavmulass

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mavmulass.m	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8		mavmulass.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
9	1, 3	matbas2 22404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
10	6, 5, 9	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
11	8, 10	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12		mavmulass.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
13	12, 10	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
14	3, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13	mamucl 22384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
15	14, 10	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
16		1mavmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16	mavmulcl 22530	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
18		elmapi 8786	. . 3 ⊢ (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁⟶𝐵)
19		ffn 6655	. . 3 ⊢ (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁⟶𝐵 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
20	17, 18, 19	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16	mavmulcl 22530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21	mavmulcl 22530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
23		elmapi 8786	. . 3 ⊢ ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁⟶𝐵)
24		ffn 6655	. . 3 ⊢ ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁⟶𝐵 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
26	5	ringcmnd 20256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
28	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29	5	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		elmapi 8786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
31	11, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
32	31	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
33		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	32, 33, 34	fovcdmd 7528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
36		elmapi 8786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
37	13, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
38	37	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
39		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
40	38, 34, 39	fovcdmd 7528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
41		elmapi 8786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
42		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
43	42	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
44	16, 41, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
46	45	ad2ant2r 753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 29, 40, 46	ringcld 20232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
48	3, 4, 29, 35, 47	ringcld 20232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) ∈ 𝐵)
49	3, 27, 28, 28, 48	gsumcom3fi 19945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
50	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
51	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
53	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
54		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
55		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
56	7, 3, 4, 50, 51, 51, 51, 52, 53, 54, 55	mamufv 22377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))))
57	56	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
58		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	45	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
60	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61	60	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
62	31	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
63		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
64		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
65	62, 63, 64	fovcdmd 7528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
66	65	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
67	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
68	67	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
69		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
70		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
71	68, 69, 70	fovcdmd 7528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
72	3, 4, 61, 66, 71	ringcld 20232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
73		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))
74		ovexd 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ V)
75		fvexd 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
76	73, 51, 74, 75	fsuppmptdm 9279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
77	3, 58, 4, 50, 51, 59, 72, 76	gsummulc1 20286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
78	3, 4	ringass 20225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
79	29, 35, 40, 46, 78	syl13anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
80	79	anassrs 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
81	80	mpteq2dva 5165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
82	81	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
83	57, 77, 82	3eqtr2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
84	83	mpteq2dva 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))))
85	84	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
86	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
87	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
88	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
89	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
90	1, 2, 3, 4, 86, 87, 88, 89, 64	mavmulfv 22529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑍 · 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
91	90	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
92	60	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
93	67	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
94		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
95		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
96	93, 94, 95	fovcdmd 7528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
97	44	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
98	97	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
99	3, 4, 92, 96, 98	ringcld 20232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
100		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
101		ovexd 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ V)
102		fvexd 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
103	100, 87, 101, 102	fsuppmptdm 9279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
104	3, 58, 4, 86, 87, 65, 99, 103	gsummulc2 20287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
105	91, 104	eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
106	105	mpteq2dva 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))))
107	106	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
108	49, 85, 107	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
109	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
110	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
111		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
112	1, 2, 3, 4, 60, 28, 109, 110, 111	mavmulfv 22529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
113	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
114	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
115	1, 2, 3, 4, 60, 28, 113, 114, 111	mavmulfv 22529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
116	108, 112, 115	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖))
117	20, 25, 116	eqfnfvd 6974	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ⟨cop 4561  ⟨cotp 4563   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746  Ringcrg 20205   maMul cmmul 22373   Mat cmat 22390   maVecMul cmvmul 22523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-mamu 22374  df-mat 22391  df-mvmul 22524

This theorem is referenced by:  slesolinv  22663  slesolinvbi  22664