MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulass 21844
Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
mavmulass.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
mavmulass.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulass.z (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
mavmulass (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 1mavmul.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 1mavmul.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 1mavmul.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 1mavmul.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulass.m . . . . . 6 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8 mavmulass.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
91, 3matbas2 21716 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
106, 5, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
118, 10eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
12 mavmulass.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
1312, 10eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 21694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
1514, 10eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
16 1mavmul.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 21842 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
18 elmapi 8745 . . 3 (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁) → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁𝐵)
19 ffn 6665 . . 3 (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁𝐵 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
2017, 18, 193syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 21842 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 21842 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵m 𝑁))
23 elmapi 8745 . . 3 ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵m 𝑁) → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁𝐵)
24 ffn 6665 . . 3 ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁𝐵 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
2522, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
26 ringcmn 19950 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
275, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
296adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
305ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
31 elmapi 8745 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3211, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3332ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
34 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
3633, 34, 35fovcdmd 7520 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
37 elmapi 8745 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3813, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
40 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑗𝑁)
4139, 35, 40fovcdmd 7520 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
42 elmapi 8745 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
43 ffvelcdm 7029 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌:𝑁𝐵𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
4443ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑌:𝑁𝐵 → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
4516, 42, 443syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
4645imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
4746ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
483, 4ringcl 19929 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
4930, 41, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
503, 4ringcl 19929 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) ∈ 𝐵)
5130, 36, 49, 50syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) ∈ 𝐵)
523, 28, 29, 29, 51gsumcom3fi 19709 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
535ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
546ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
5511ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
5613ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
57 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
58 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
597, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58mamufv 21682 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))))
6059oveq1d 7366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
61 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
62 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6346adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6632ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
67 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
6966, 67, 68fovcdmd 7520 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
7069adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
7138adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
73 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
74 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
7572, 73, 74fovcdmd 7520 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
763, 4ringcl 19929 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
7765, 70, 75, 76syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
78 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))
79 ovexd 7386 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ V)
80 fvexd 6854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
8178, 54, 79, 80fsuppmptdm 9274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) finSupp (0g𝑅))
823, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 81gsummulc1 19977 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
833, 4ringass 19932 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8430, 36, 41, 47, 83syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8584anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8685mpteq2dva 5203 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
8786oveq2d 7367 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
8860, 82, 873eqtr2d 2782 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
8988mpteq2dva 5203 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))))
9089oveq2d 7367 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
915ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
926ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
9312ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
9416ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
951, 2, 3, 4, 91, 92, 93, 94, 68mavmulfv 21841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑍 · 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
9695oveq2d 7367 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
9764ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
9871ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
99 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑁)
100 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
10198, 99, 100fovcdmd 7520 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
10245ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
103102imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
10497, 101, 103, 48syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
105 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
106 ovexd 7386 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ V)
107 fvexd 6854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
108105, 92, 106, 107fsuppmptdm 9274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) finSupp (0g𝑅))
1093, 61, 62, 4, 91, 92, 69, 104, 108gsummulc2 19978 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
11096, 109eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
111110mpteq2dva 5203 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))))
112111oveq2d 7367 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
11352, 90, 1123eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
11415adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
11516adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
116 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
1171, 2, 3, 4, 64, 29, 114, 115, 116mavmulfv 21841 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
1188adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
11921adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
1201, 2, 3, 4, 64, 29, 118, 119, 116mavmulfv 21841 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
121113, 117, 1203eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑𝑖𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖))
12220, 25, 121eqfnfvd 6982 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cop 4590  cotp 4592  cmpt 5186   × cxp 5629   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  m cmap 8723  Fincfn 8841  Basecbs 17037  +gcplusg 17087  .rcmulr 17088  0gc0g 17275   Σg cgsu 17276  CMndccmn 19515  Ringcrg 19912   maMul cmmul 21678   Mat cmat 21700   maVecMul cmvmul 21835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-hom 17111  df-cco 17112  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-prds 17283  df-pws 17285  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-mhm 18555  df-submnd 18556  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-mulg 18826  df-ghm 18959  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-sra 20580  df-rgmod 20581  df-dsmm 21085  df-frlm 21100  df-mamu 21679  df-mat 21701  df-mvmul 21836
This theorem is referenced by:  slesolinv  21975  slesolinvbi  21976
  Copyright terms: Public domain W3C validator