MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulass 22406
Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1mavmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1mavmul.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
1mavmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1mavmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1mavmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
mavmulass.m ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)
mavmulass.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
mavmulass.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
Assertion
Ref Expression
mavmulass (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 1mavmul.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 1mavmul.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2726 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5 1mavmul.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 1mavmul.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mavmulass.m . . . . . 6 ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)
8 mavmulass.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
91, 3matbas2 22278 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
106, 5, 9syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
118, 10eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
12 mavmulass.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1312, 10eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 22256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘) โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
1514, 10eleqtrd 2829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
16 1mavmul.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 22404 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
18 elmapi 8845 . . 3 (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ):๐‘โŸถ๐ต)
19 ffn 6711 . . 3 (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ):๐‘โŸถ๐ต โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) Fn ๐‘)
2017, 18, 193syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) Fn ๐‘)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 22404 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 22404 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
23 elmapi 8845 . . 3 ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)):๐‘โŸถ๐ต)
24 ffn 6711 . . 3 ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)):๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) Fn ๐‘)
2522, 23, 243syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) Fn ๐‘)
265ringcmnd 20183 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
2726adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
286adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
295ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
30 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3111, 30syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3231ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
33 simplr 766 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
34 simprr 770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
3532, 33, 34fovcdmd 7576 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
36 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3837ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
39 simprl 768 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
4038, 34, 39fovcdmd 7576 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต)
41 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต)
42 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4342ex 412 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4416, 41, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4544imp 406 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4645ad2ant2r 744 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
473, 4, 29, 40, 46ringcld 20162 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
483, 4, 29, 35, 47ringcld 20162 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) โˆˆ ๐ต)
493, 27, 28, 28, 48gsumcom3fi 19899 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))))
505ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
516ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5211ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
5313ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
54 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
55 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
567, 3, 4, 50, 51, 51, 51, 52, 53, 54, 55mamufv 22244 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)))))
5756oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
58 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
5945adantlr 712 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
605adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6231ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
63 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6562, 63, 64fovcdmd 7576 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
6665adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
6737adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
69 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
70 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
7168, 69, 70fovcdmd 7576 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต)
723, 4, 61, 66, 71ringcld 20162 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
73 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)))
74 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)) โˆˆ V)
75 fvexd 6900 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
7673, 51, 74, 75fsuppmptdm 9376 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
773, 58, 4, 50, 51, 59, 72, 76gsummulc1 20215 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
783, 4ringass 20158 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
7929, 35, 40, 46, 78syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
8079anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
8180mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
8281oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
8357, 77, 823eqtr2d 2772 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
8483mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))))
8584oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))))
865ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
876ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
8812ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8916ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
901, 2, 3, 4, 86, 87, 88, 89, 64mavmulfv 22403 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
9190oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
9260ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9367ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
94 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
95 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
9693, 94, 95fovcdmd 7576 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต)
9744ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
9897imp 406 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
993, 4, 92, 96, 98ringcld 20162 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
100 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
101 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ V)
102 fvexd 6900 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
103100, 87, 101, 102fsuppmptdm 9376 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
1043, 58, 4, 86, 87, 65, 99, 103gsummulc2 20216 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
10591, 104eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
106105mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))))
107106oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))))
10849, 85, 1073eqtr4d 2776 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)))))
10915adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11016adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
111 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
1121, 2, 3, 4, 60, 28, 109, 110, 111mavmulfv 22403 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
1138adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11421adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
1151, 2, 3, 4, 60, 28, 113, 114, 111mavmulfv 22403 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ))โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)))))
116108, 112, 1153eqtr4d 2776 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ))โ€˜๐‘–))
11720, 25, 116eqfnfvd 7029 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โŸจcop 4629  โŸจcotp 4631   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   ฮฃg cgsu 17395  CMndccmn 19700  Ringcrg 20138   maMul cmmul 22240   Mat cmat 22262   maVecMul cmvmul 22397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-mvmul 22398
This theorem is referenced by:  slesolinv  22537  slesolinvbi  22538
  Copyright terms: Public domain W3C validator