MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulass 21898
Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
mavmulass.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
mavmulass.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulass.z (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
mavmulass (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 1mavmul.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 1mavmul.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 1mavmul.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 1mavmul.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulass.m . . . . . 6 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8 mavmulass.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
91, 3matbas2 21770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
106, 5, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
118, 10eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
12 mavmulass.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
1312, 10eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 21748 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
1514, 10eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
16 1mavmul.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 21896 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
18 elmapi 8787 . . 3 (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁) → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁𝐵)
19 ffn 6668 . . 3 (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁𝐵 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
2017, 18, 193syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 21896 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 21896 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵m 𝑁))
23 elmapi 8787 . . 3 ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵m 𝑁) → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁𝐵)
24 ffn 6668 . . 3 ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁𝐵 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
2522, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
26 ringcmn 20003 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
275, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
296adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
305ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
31 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3211, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3332ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
34 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑘𝑁)
3633, 34, 35fovcdmd 7526 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
37 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3813, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
40 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → 𝑗𝑁)
4139, 35, 40fovcdmd 7526 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
42 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
43 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌:𝑁𝐵𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
4443ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑌:𝑁𝐵 → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
4516, 42, 443syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
4645imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
4746ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
483, 4ringcl 19981 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
4930, 41, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
503, 4ringcl 19981 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) ∈ 𝐵)
5130, 36, 49, 50syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) ∈ 𝐵)
523, 28, 29, 29, 51gsumcom3fi 19756 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
535ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
546ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
5511ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
5613ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑁)))
57 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
58 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
597, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58mamufv 21736 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))))
6059oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
61 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
62 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6346adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6632ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
67 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
6966, 67, 68fovcdmd 7526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
7069adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
7138adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
73 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
74 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
7572, 73, 74fovcdmd 7526 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
763, 4ringcl 19981 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
7765, 70, 75, 76syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
78 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))
79 ovexd 7392 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ V)
80 fvexd 6857 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
8178, 54, 79, 80fsuppmptdm 9316 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) finSupp (0g𝑅))
823, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 81gsummulc1 20030 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
833, 4ringass 19984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8430, 36, 41, 47, 83syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ (𝑗𝑁𝑘𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8584anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))
8685mpteq2dva 5205 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
8786oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
8860, 82, 873eqtr2d 2782 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
8988mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))))
9089oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
915ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
926ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
9312ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
9416ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
951, 2, 3, 4, 91, 92, 93, 94, 68mavmulfv 21895 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑍 · 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
9695oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
9764ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
9871ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
99 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑁)
100 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
10198, 99, 100fovcdmd 7526 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
10245ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑁 → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵))
103102imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
10497, 101, 103, 48syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
105 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
106 ovexd 7392 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)) ∈ V)
107 fvexd 6857 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
108105, 92, 106, 107fsuppmptdm 9316 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))) finSupp (0g𝑅))
1093, 61, 62, 4, 91, 92, 69, 104, 108gsummulc2 20031 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
11096, 109eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))
111110mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))))
112111oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗))))))))
11352, 90, 1123eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
11415adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
11516adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
116 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
1171, 2, 3, 4, 64, 29, 114, 115, 116mavmulfv 21895 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r𝑅)(𝑌𝑗)))))
1188adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
11921adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵m 𝑁))
1201, 2, 3, 4, 64, 29, 118, 119, 116mavmulfv 21895 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁) → ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
121113, 117, 1203eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑𝑖𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖))
12220, 25, 121eqfnfvd 6985 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cop 4592  cotp 4594  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964   maMul cmmul 21732   Mat cmat 21754   maVecMul cmvmul 21889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mvmul 21890
This theorem is referenced by:  slesolinv  22029  slesolinvbi  22030
  Copyright terms: Public domain W3C validator