MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulass 22042
Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1mavmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1mavmul.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
1mavmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1mavmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1mavmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
mavmulass.m ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)
mavmulass.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
mavmulass.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
Assertion
Ref Expression
mavmulass (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 1mavmul.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 1mavmul.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2732 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5 1mavmul.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 1mavmul.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mavmulass.m . . . . . 6 ร— = (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)
8 mavmulass.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
91, 3matbas2 21914 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
106, 5, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
118, 10eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
12 mavmulass.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1312, 10eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 21892 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘) โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
1514, 10eleqtrd 2835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
16 1mavmul.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 22040 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
18 elmapi 8839 . . 3 (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ):๐‘โŸถ๐ต)
19 ffn 6714 . . 3 (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ):๐‘โŸถ๐ต โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) Fn ๐‘)
2017, 18, 193syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) Fn ๐‘)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 22040 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 22040 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
23 elmapi 8839 . . 3 ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)):๐‘โŸถ๐ต)
24 ffn 6714 . . 3 ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)):๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) Fn ๐‘)
2522, 23, 243syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)) Fn ๐‘)
265ringcmnd 20094 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
2726adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
286adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
295ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
30 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3111, 30syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3231ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
33 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
34 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
3532, 33, 34fovcdmd 7575 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
36 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
3837ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
39 simprl 769 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
4038, 34, 39fovcdmd 7575 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต)
41 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต)
42 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4342ex 413 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4416, 41, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4544imp 407 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4645ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
473, 4, 29, 40, 46ringcld 20073 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
483, 4, 29, 35, 47ringcld 20073 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) โˆˆ ๐ต)
493, 27, 28, 28, 48gsumcom3fi 19841 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))))
505ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
516ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5211ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
5313ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
54 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
55 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
567, 3, 4, 50, 51, 51, 51, 52, 53, 54, 55mamufv 21880 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)))))
5756oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
58 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
5945adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
605adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
63 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
64 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6562, 63, 64fovcdmd 7575 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
6665adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
6737adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
6867ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
69 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
70 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
7168, 69, 70fovcdmd 7575 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต)
723, 4, 61, 66, 71ringcld 20073 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
73 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)))
74 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—)) โˆˆ V)
75 fvexd 6903 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
7673, 51, 74, 75fsuppmptdm 9370 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
773, 58, 4, 50, 51, 59, 72, 76gsummulc1 20121 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
783, 4ringass 20069 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘–๐‘‹๐‘˜) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
7929, 35, 40, 46, 78syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
8079anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
8180mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
8281oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘๐‘—))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
8357, 77, 823eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
8483mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))))
8584oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))))
865ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
876ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
8812ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8916ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
901, 2, 3, 4, 86, 87, 88, 89, 64mavmulfv 22039 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
9190oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
9260ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9367ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐ต)
94 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
95 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
9693, 94, 95fovcdmd 7575 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘๐‘—) โˆˆ ๐ต)
9744ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
9897imp 407 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
993, 4, 92, 96, 98ringcld 20073 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
100 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
101 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) โˆˆ V)
102 fvexd 6903 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
103100, 87, 101, 102fsuppmptdm 9370 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
1043, 58, 4, 86, 87, 65, 99, 103gsummulc2 20122 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
10591, 104eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
106105mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))))
107106oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘˜๐‘๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))))
10849, 85, 1073eqtr4d 2782 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)))))
10915adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11016adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
111 simpr 485 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
1121, 2, 3, 4, 60, 28, 109, 110, 111mavmulfv 22039 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘‹ ร— ๐‘)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
1138adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11421adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
1151, 2, 3, 4, 60, 28, 113, 114, 111mavmulfv 22039 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ))โ€˜๐‘–) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)((๐‘ ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘˜)))))
116108, 112, 1153eqtr4d 2782 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ)โ€˜๐‘–) = ((๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ))โ€˜๐‘–))
11720, 25, 116eqfnfvd 7032 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘) ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐‘ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โŸจcop 4633  โŸจcotp 4635   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673   Fn wfn 6535  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   ฮฃg cgsu 17382  CMndccmn 19642  Ringcrg 20049   maMul cmmul 21876   Mat cmat 21898   maVecMul cmvmul 22033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mvmul 22034
This theorem is referenced by:  slesolinv  22173  slesolinvbi  22174
  Copyright terms: Public domain W3C validator