Theorem mavmulass 22555

Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmulass.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
mavmulass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mavmulass	⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Proof of Theorem mavmulass

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mavmulass.m	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8		mavmulass.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
9	1, 3	matbas2 22427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
10	6, 5, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
11	8, 10	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12		mavmulass.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
13	12, 10	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
14	3, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13	mamucl 22405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
15	14, 10	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
16		1mavmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16	mavmulcl 22553	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
18		elmapi 8889	. . 3 ⊢ (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁⟶𝐵)
19		ffn 6736	. . 3 ⊢ (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌):𝑁⟶𝐵 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
20	17, 18, 19	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) Fn 𝑁)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16	mavmulcl 22553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21	mavmulcl 22553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
23		elmapi 8889	. . 3 ⊢ ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁⟶𝐵)
24		ffn 6736	. . 3 ⊢ ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌)):𝑁⟶𝐵 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)) Fn 𝑁)
26	5	ringcmnd 20281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
28	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		elmapi 8889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
31	11, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
33		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35	32, 33, 34	fovcdmd 7605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
36		elmapi 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
37	13, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
39		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
40	38, 34, 39	fovcdmd 7605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
41		elmapi 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌:𝑁⟶𝐵)
42		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
43	42	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
44	16, 41, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
46	45	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 29, 40, 46	ringcld 20257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
48	3, 4, 29, 35, 47	ringcld 20257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) ∈ 𝐵)
49	3, 27, 28, 28, 48	gsumcom3fi 19997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
50	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
51	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
53	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
54		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
56	7, 3, 4, 50, 51, 51, 51, 52, 53, 54, 55	mamufv 22398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))))
57	56	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
58		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	45	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
60	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
62	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
63		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
64		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
65	62, 63, 64	fovcdmd 7605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
66	65	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
67	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
68	67	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
69		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
70		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
71	68, 69, 70	fovcdmd 7605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
72	3, 4, 61, 66, 71	ringcld 20257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ 𝐵)
73		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)))
74		ovexd 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗)) ∈ V)
75		fvexd 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
76	73, 51, 74, 75	fsuppmptdm 9416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
77	3, 58, 4, 50, 51, 59, 72, 76	gsummulc1 20313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
78	3, 4	ringass 20250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
79	29, 35, 40, 46, 78	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
80	79	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
81	80	mpteq2dva 5242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
82	81	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
83	57, 77, 82	3eqtr2d 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
84	83	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))))
85	84	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
86	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
87	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
88	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐴))
89	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
90	1, 2, 3, 4, 86, 87, 88, 89, 64	mavmulfv 22552	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑍 · 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
91	90	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
92	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
93	67	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
94		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
95		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
96	93, 94, 95	fovcdmd 7605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑍𝑗) ∈ 𝐵)
97	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
98	97	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
99	3, 4, 92, 96, 98	ringcld 20257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ 𝐵)
100		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
101		ovexd 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) ∈ V)
102		fvexd 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
103	100, 87, 101, 102	fsuppmptdm 9416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) finSupp (0g‘𝑅))
104	3, 58, 4, 86, 87, 65, 99, 103	gsummulc2 20314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
105	91, 104	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
106	105	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))))
107	106	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑘𝑍𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))))
108	49, 85, 107	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
109	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑋 × 𝑍) ∈ (Base‘𝐴))
110	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
111		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
112	1, 2, 3, 4, 60, 28, 109, 110, 111	mavmulfv 22552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 × 𝑍)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
113	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
114	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑍 · 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
115	1, 2, 3, 4, 60, 28, 113, 114, 111	mavmulfv 22552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)((𝑍 · 𝑌)‘𝑘)))))
116	108, 112, 115	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (((𝑋 × 𝑍) · 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋 · (𝑍 · 𝑌))‘𝑖))
117	20, 25, 116	eqfnfvd 7054	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) · 𝑌) = (𝑋 · (𝑍 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ⟨cop 4632  ⟨cotp 4634   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230   maMul cmmul 22394   Mat cmat 22411   maVecMul cmvmul 22546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-mvmul 22547

This theorem is referenced by:  slesolinv  22686  slesolinvbi  22687