MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolvec 22536
Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
slesolex.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
slesolex.v ๐‘‰ = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)
slesolex.x ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
slesolvec (((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰))

Proof of Theorem slesolvec
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 slesolex.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
31, 2matrcl 22267 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
43simpld 494 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ โ‰  โˆ…)
75, 5, 63jca 1125 . . . . . . 7 ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…))
87ex 412 . . . . . 6 (๐‘ โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…)))
98adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…)))
104, 9syl5com 31 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…)))
1110adantr 480 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…)))
1211impcom 407 . 2 (((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…))
13 simpr 484 . . 3 ((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 simpr 484 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰)
1513, 14anim12i 612 . 2 (((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰))
16 eqid 2726 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
17 eqid 2726 . . 3 ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))
18 slesolex.v . . 3 ๐‘‰ = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)
19 slesolex.x . . 3 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
2016, 17, 18, 19, 18mavmulsolcl 22408 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰))
2112, 15, 20syl2anc 583 1 (((๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  Vcvv 3468  โˆ…c0 4317  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17153  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262   maVecMul cmvmul 22397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8824  df-nn 12217  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-mat 22263  df-mvmul 22398
This theorem is referenced by:  slesolinv  22537  cramerimplem3  22542  cramerimp  22543  cramer  22548
  Copyright terms: Public domain W3C validator