Theorem slesolvec 22998

Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
slesolvec	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem slesolvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slesolex.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		slesolex.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22728	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
6		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ≠ ∅)
7	5, 5, 6	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
10	4, 9	syl5com 32	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
12	11	impcom 413	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	13, 14	anim12i 625	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
18		slesolex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
19		slesolex.x	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
20	16, 17, 18, 19, 18	mavmulsolcl 22867	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
21	12, 15, 20	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ⟨cop 4589   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  Fincfn 8974  Basecbs 17388  Ringcrg 20460   Mat cmat 22723   maVecMul cmvmul 22856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-1cn 11259  ax-addcl 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-map 8850  df-nn 12337  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-mat 22724  df-mvmul 22857

This theorem is used by:  slesolinv  22999  cramerimplem3  23004  cramerimp  23005  cramer  23010