MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolvec 22685
Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
slesolvec (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))

Proof of Theorem slesolvec
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 slesolex.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22416 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 494 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ≠ ∅)
75, 5, 63jca 1129 . . . . . . 7 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
87ex 412 . . . . . 6 (𝑁 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
104, 9syl5com 31 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1110adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1211impcom 407 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
13 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpr 484 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1513, 14anim12i 613 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉))
16 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17 eqid 2737 . . 3 ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
18 slesolex.v . . 3 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
19 slesolex.x . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
2016, 17, 18, 19, 18mavmulsolcl 22557 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
2112, 15, 20syl2anc 584 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333  cop 4632   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411   maVecMul cmvmul 22546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-mat 22412  df-mvmul 22547
This theorem is referenced by:  slesolinv  22686  cramerimplem3  22691  cramerimp  22692  cramer  22697
  Copyright terms: Public domain W3C validator