MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolvec 20895
Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
slesolvec (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))

Proof of Theorem slesolvec
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 slesolex.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 20626 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 490 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ≠ ∅)
75, 5, 63jca 1119 . . . . . . 7 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
87ex 403 . . . . . 6 (𝑁 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
98adantr 474 . . . . 5 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
104, 9syl5com 31 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1110adantr 474 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1211impcom 398 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
13 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpr 479 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1513, 14anim12i 606 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉))
16 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17 eqid 2778 . . 3 ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))
18 slesolex.v . . 3 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
19 slesolex.x . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
2016, 17, 18, 19, 18mavmulsolcl 20766 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
2112, 15, 20syl2anc 579 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  c0 4141  cop 4404   × cxp 5355  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  Basecbs 16259  Ringcrg 18938   Mat cmat 20621   maVecMul cmvmul 20755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-map 8144  df-slot 16263  df-base 16265  df-mat 20622  df-mvmul 20756
This theorem is referenced by:  slesolinv  20896  cramerimplem3  20902  cramerimp  20903  cramer  20908
  Copyright terms: Public domain W3C validator