![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > slesolvec | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
slesolex.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
slesolex.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
slesolex.v | โข ๐ = ((Baseโ๐ ) โm ๐) |
slesolex.x | โข ยท = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) |
Ref | Expression |
---|---|
slesolvec | โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | slesolex.a | . . . . . . 7 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | slesolex.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | 1, 2 | matrcl 22267 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
4 | 3 | simpld 494 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ Fin) |
5 | simpr 484 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ ๐ โ Fin) | |
6 | simpl 482 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ ๐ โ โ ) | |
7 | 5, 5, 6 | 3jca 1125 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ )) |
8 | 7 | ex 412 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ (๐ โ Fin โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
9 | 8 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
10 | 4, 9 | syl5com 31 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
11 | 10 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
12 | 11 | impcom 407 | . 2 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ )) |
13 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ ๐ โ Ring) | |
14 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
15 | 13, 14 | anim12i 612 | . 2 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ (๐ โ Ring โง ๐ โ ๐)) |
16 | eqid 2726 | . . 3 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
17 | eqid 2726 | . . 3 โข ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐)) = ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐)) | |
18 | slesolex.v | . . 3 โข ๐ = ((Baseโ๐ ) โm ๐) | |
19 | slesolex.x | . . 3 โข ยท = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) | |
20 | 16, 17, 18, 19, 18 | mavmulsolcl 22408 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ) โง (๐ โ Ring โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ ๐)) |
21 | 12, 15, 20 | syl2anc 583 | 1 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 Vcvv 3468 โ c0 4317 โจcop 4629 ร cxp 5667 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โm cmap 8822 Fincfn 8941 Basecbs 17153 Ringcrg 20138 Mat cmat 22262 maVecMul cmvmul 22397 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-1cn 11170 ax-addcl 11172 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-map 8824 df-nn 12217 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-mat 22263 df-mvmul 22398 |
This theorem is referenced by: slesolinv 22537 cramerimplem3 22542 cramerimp 22543 cramer 22548 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |