![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > slesolvec | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
slesolex.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
slesolex.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
slesolex.v | โข ๐ = ((Baseโ๐ ) โm ๐) |
slesolex.x | โข ยท = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) |
Ref | Expression |
---|---|
slesolvec | โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | slesolex.a | . . . . . . 7 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | slesolex.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | 1, 2 | matrcl 22330 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
4 | 3 | simpld 493 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ Fin) |
5 | simpr 483 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ ๐ โ Fin) | |
6 | simpl 481 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ ๐ โ โ ) | |
7 | 5, 5, 6 | 3jca 1125 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ )) |
8 | 7 | ex 411 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ (๐ โ Fin โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
9 | 8 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
10 | 4, 9 | syl5com 31 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
11 | 10 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ))) |
12 | 11 | impcom 406 | . 2 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ )) |
13 | simpr 483 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โ ๐ โ Ring) | |
14 | simpr 483 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
15 | 13, 14 | anim12i 611 | . 2 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ (๐ โ Ring โง ๐ โ ๐)) |
16 | eqid 2725 | . . 3 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
17 | eqid 2725 | . . 3 โข ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐)) = ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐)) | |
18 | slesolex.v | . . 3 โข ๐ = ((Baseโ๐ ) โm ๐) | |
19 | slesolex.x | . . 3 โข ยท = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) | |
20 | 16, 17, 18, 19, 18 | mavmulsolcl 22471 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ ) โง (๐ โ Ring โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ ๐)) |
21 | 12, 15, 20 | syl2anc 582 | 1 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 Vcvv 3463 โ c0 4318 โจcop 4630 ร cxp 5670 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โm cmap 8843 Fincfn 8962 Basecbs 17179 Ringcrg 20177 Mat cmat 22325 maVecMul cmvmul 22460 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-1cn 11196 ax-addcl 11198 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-map 8845 df-nn 12243 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-mat 22326 df-mvmul 22461 |
This theorem is referenced by: slesolinv 22600 cramerimplem3 22605 cramerimp 22606 cramer 22611 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |