Theorem slesolvec 22172

Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
slesolvec	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem slesolvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slesolex.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		slesolex.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 21903	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
6		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ≠ ∅)
7	5, 5, 6	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
8	7	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
10	4, 9	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
12	11	impcom 408	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
13		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	13, 14	anim12i 613	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
16		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
18		slesolex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
19		slesolex.x	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
20	16, 17, 18, 19, 18	mavmulsolcl 22044	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
21	12, 15, 20	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4321  ⟨cop 4633   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17140  Ringcrg 20049   Mat cmat 21898   maVecMul cmvmul 22033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-map 8818  df-nn 12209  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-mat 21899  df-mvmul 22034

This theorem is referenced by:  slesolinv  22173  cramerimplem3  22178  cramerimp  22179  cramer  22184