MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolvec 22701
Description: Every solution of a system of linear equations represented by a matrix and a vector is a vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
slesolvec (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))

Proof of Theorem slesolvec
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 slesolex.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22432 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 494 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ≠ ∅)
75, 5, 63jca 1127 . . . . . . 7 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
87ex 412 . . . . . 6 (𝑁 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
104, 9syl5com 31 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1110adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
1211impcom 407 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
13 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpr 484 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1513, 14anim12i 613 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉))
16 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17 eqid 2735 . . 3 ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
18 slesolex.v . . 3 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
19 slesolex.x . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
2016, 17, 18, 19, 18mavmulsolcl 22573 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
2112, 15, 20syl2anc 584 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339  cop 4637   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427   maVecMul cmvmul 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-mat 22428  df-mvmul 22563
This theorem is referenced by:  slesolinv  22702  cramerimplem3  22707  cramerimp  22708  cramer  22713
  Copyright terms: Public domain W3C validator