MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem2 22033
Description: Lemma 2 for cramerimp 22035: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Proof of Theorem cramerimplem2
Dummy variables 𝑙 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramerimp.m . . 3 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2736 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
543ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
6 cramerimp.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 cramerimp.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 21759 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 495 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
109adantr 481 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ∈ Fin)
129anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
1312ancomd 462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
146, 2matbas2 21770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
167, 15eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1716eleq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
1817biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
1918ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2120com12 32 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2221pm2.43a 54 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
2423impcom 408 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25243adant3 1132 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26 crngring 19976 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
2827, 10anim12i 613 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
29283adant3 1132 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
30 ne0i 4294 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑁𝑁 ≠ ∅)
3130adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
32313ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ≠ ∅)
3311, 11, 323jca 1128 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
34 cramerimp.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
3534eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
3635biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
384, 37anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
39383adant3 1132 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
40 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
42 cramerimp.x . . . . . . . 8 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
43 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
442, 41, 34, 42, 43mavmulsolcl 21900 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
4544imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
4633, 39, 40, 45syl21anc 836 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
47 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
48473ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼𝑁)
49 cramerimp.e . . . . . 6 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
50 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
516, 7, 34, 50ma1repvcl 21919 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
5249, 51eqeltrid 2842 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → 𝐸𝐵)
5329, 46, 48, 52syl12anc 835 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸𝐵)
5416eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5554ad2ant2r 745 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
56553adant3 1132 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5753, 56eleqtrrd 2841 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
581, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57mamuval 21735 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))))
59273ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
60593ad2ant1 1133 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
62613ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
6362, 46, 483jca 1128 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
64633ad2ant1 1133 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
65 simp2 1137 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
66 simp3 1138 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
67403ad2ant1 1133 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
68 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
696, 7, 34, 50, 68, 49, 42mulmarep1gsum2 21923 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7060, 64, 65, 66, 67, 69syl113anc 1382 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7170mpoeq3dva 7434 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
72 cramerimp.h . . 3 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
73 simpr 485 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
74733ad2ant2 1134 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑌𝑉)
75 eqid 2736 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
766, 7, 75, 34marepvval 21916 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉𝐼𝑁) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7762, 74, 48, 76syl3anc 1371 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7872, 77eqtr2id 2789 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))) = 𝐻)
7958, 71, 783eqtrd 2780 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  c0 4282  ifcif 4486  cop 4592  cotp 4594  cmpt 5188   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   maMul cmmul 21732   Mat cmat 21754   maVecMul cmvmul 21889   matRepV cmatrepV 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mvmul 21890  df-marepv 21908
This theorem is referenced by:  cramerimplem3  22034
  Copyright terms: Public domain W3C validator