MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem2 22706
Description: Lemma 2 for cramerimp 22708: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Proof of Theorem cramerimplem2
Dummy variables 𝑙 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramerimp.m . . 3 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2735 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
543ad2ant1 1132 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
6 cramerimp.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 cramerimp.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 22432 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 494 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
109adantr 480 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1133 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ∈ Fin)
129anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
1312ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
146, 2matbas2 22443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
167, 15eqtr4id 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1716eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
1817biimpd 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
1918ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2120com12 32 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2221pm2.43a 54 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
2423impcom 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25243adant3 1131 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26 crngring 20263 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
2827, 10anim12i 613 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
29283adant3 1131 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
30 ne0i 4347 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑁𝑁 ≠ ∅)
3130adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
32313ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ≠ ∅)
3311, 11, 323jca 1127 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
34 cramerimp.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
3534eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
3635biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
384, 37anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
39383adant3 1131 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
40 simp3 1137 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41 eqid 2735 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
42 cramerimp.x . . . . . . . 8 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
43 eqid 2735 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
442, 41, 34, 42, 43mavmulsolcl 22573 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
4544imp 406 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
4633, 39, 40, 45syl21anc 838 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
47 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
48473ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼𝑁)
49 cramerimp.e . . . . . 6 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
50 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
516, 7, 34, 50ma1repvcl 22592 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
5249, 51eqeltrid 2843 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → 𝐸𝐵)
5329, 46, 48, 52syl12anc 837 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸𝐵)
5416eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5554ad2ant2r 747 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
56553adant3 1131 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5753, 56eleqtrrd 2842 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
581, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57mamuval 22413 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))))
59273ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
60593ad2ant1 1132 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
62613ad2ant2 1133 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
6362, 46, 483jca 1127 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
64633ad2ant1 1132 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
65 simp2 1136 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
66 simp3 1137 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
67403ad2ant1 1132 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
68 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
696, 7, 34, 50, 68, 49, 42mulmarep1gsum2 22596 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7060, 64, 65, 66, 67, 69syl113anc 1381 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7170mpoeq3dva 7510 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
72 cramerimp.h . . 3 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
73 simpr 484 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
74733ad2ant2 1133 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑌𝑉)
75 eqid 2735 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
766, 7, 75, 34marepvval 22589 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉𝐼𝑁) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7762, 74, 48, 76syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7872, 77eqtr2id 2788 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))) = 𝐻)
7958, 71, 783eqtrd 2779 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339  ifcif 4531  cop 4637  cotp 4639  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   maMul cmmul 22410   Mat cmat 22427   maVecMul cmvmul 22562   matRepV cmatrepV 22579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-mvmul 22563  df-marepv 22581
This theorem is referenced by:  cramerimplem3  22707
  Copyright terms: Public domain W3C validator