Theorem cramerimplem2 22649

Description: Lemma 2 for cramerimp 22651: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimp.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h	⊢ 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem2	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Proof of Theorem cramerimplem2

Dummy variables 𝑙 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramerimp.m	. . 3 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
6		cramerimp.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		cramerimp.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	6, 7	matrcl 22377	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ∈ Fin)
12	9	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
13	12	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
14	6, 2	matbas2 22386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
16	7, 15	eqtr4id 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17	16	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
21	20	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
22	21	pm2.43a 54	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
24	23	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25	24	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26		crngring 20226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
28	27, 10	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
29	28	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
30		ne0i 4282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝑁 ≠ ∅)
31	30	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
32	31	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ≠ ∅)
33	11, 11, 32	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
34		cramerimp.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
35	34	eleq2i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
36	35	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
38	4, 37	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
39	38	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
40		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
42		cramerimp.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
43		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
44	2, 41, 34, 42, 43	mavmulsolcl 22516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
45	44	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑉)
46	33, 39, 40, 45	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑉)
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼 ∈ 𝑁)
49		cramerimp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
50		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
51	6, 7, 34, 50	ma1repvcl 22535	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
52	49, 51	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → 𝐸 ∈ 𝐵)
53	29, 46, 48, 52	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	16	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
55	54	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
56	55	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
57	53, 56	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
58	1, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57	mamuval 22358	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))))
59	27	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
60	59	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
62	61	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
63	62, 46, 48	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
64	63	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
65		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
66		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
67	40	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
68		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
69	6, 7, 34, 50, 68, 49, 42	mulmarep1gsum2 22539	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
70	60, 64, 65, 66, 67, 69	syl113anc 1385	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
71	70	mpoeq3dva 7444	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
72		cramerimp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
74	73	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)
75		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
76	6, 7, 75, 34	marepvval 22532	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
77	62, 74, 48, 76	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
78	72, 77	eqtr2id 2785	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))) = 𝐻)
79	58, 71, 78	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ifcif 4467  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576   ↦ cmpt 5167   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215   maMul cmmul 22355   Mat cmat 22372   maVecMul cmvmul 22505   matRepV cmatrepV 22522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-mamu 22356  df-mat 22373  df-mvmul 22506  df-marepv 22524

This theorem is referenced by:  cramerimplem3  22650