Theorem cramerimplem2 22578

Description: Lemma 2 for cramerimp 22580: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimp.e	⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h	⊢ 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem2	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Proof of Theorem cramerimplem2

Dummy variables 𝑙 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramerimp.m	. . 3 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
6		cramerimp.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		cramerimp.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	6, 7	matrcl 22306	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ∈ Fin)
12	9	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
13	12	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
14	6, 2	matbas2 22315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
16	7, 15	eqtr4id 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17	16	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
21	20	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
22	21	pm2.43a 54	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
24	23	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25	24	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26		crngring 20161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
28	27, 10	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
29	28	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
30		ne0i 4307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝑁 ≠ ∅)
31	30	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ≠ ∅)
33	11, 11, 32	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
34		cramerimp.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
35	34	eleq2i 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
36	35	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
38	4, 37	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
39	38	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
40		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
42		cramerimp.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
43		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
44	2, 41, 34, 42, 43	mavmulsolcl 22445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
45	44	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑉)
46	33, 39, 40, 45	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑉)
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼 ∈ 𝑁)
49		cramerimp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
50		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
51	6, 7, 34, 50	ma1repvcl 22464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (((1r‘𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
52	49, 51	eqeltrid 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → 𝐸 ∈ 𝐵)
53	29, 46, 48, 52	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	16	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
55	54	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
56	55	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
57	53, 56	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
58	1, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57	mamuval 22287	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))))
59	27	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
60	59	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
62	61	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
63	62, 46, 48	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
64	63	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
65		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
66		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
67	40	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
68		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
69	6, 7, 34, 50, 68, 49, 42	mulmarep1gsum2 22468	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
70	60, 64, 65, 66, 67, 69	syl113anc 1384	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
71	70	mpoeq3dva 7469	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
72		cramerimp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
74	73	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)
75		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
76	6, 7, 75, 34	marepvval 22461	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
77	62, 74, 48, 76	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
78	72, 77	eqtr2id 2778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌‘𝑖), (𝑖𝑋𝑗))) = 𝐻)
79	58, 71, 78	3eqtrd 2769	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ifcif 4491  ⟨cop 4598  ⟨cotp 4600   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   maMul cmmul 22284   Mat cmat 22301   maVecMul cmvmul 22434   matRepV cmatrepV 22451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-mamu 22285  df-mat 22302  df-mvmul 22435  df-marepv 22453

This theorem is referenced by:  cramerimplem3  22579