MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem2 22690
Description: Lemma 2 for cramerimp 22692: The matrix of a system of linear equations multiplied with the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)

Proof of Theorem cramerimplem2
Dummy variables 𝑙 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramerimp.m . . 3 × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2737 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
543ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
6 cramerimp.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 cramerimp.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 22416 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 494 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
109adantr 480 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1135 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ∈ Fin)
129anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
1312ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
146, 2matbas2 22427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
167, 15eqtr4id 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1716eleq2d 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
1817biimpd 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
1918ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2120com12 32 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))))
2221pm2.43a 54 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))))
2423impcom 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25243adant3 1133 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
26 crngring 20242 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
2827, 10anim12i 613 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
29283adant3 1133 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
30 ne0i 4341 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑁𝑁 ≠ ∅)
3130adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
32313ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑁 ≠ ∅)
3311, 11, 323jca 1129 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
34 cramerimp.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
3534eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
3635biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
384, 37anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
39383adant3 1133 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
40 simp3 1139 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))
42 cramerimp.x . . . . . . . 8 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
43 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
442, 41, 34, 42, 43mavmulsolcl 22557 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
4544imp 406 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
4633, 39, 40, 45syl21anc 838 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
47 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
48473ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼𝑁)
49 cramerimp.e . . . . . 6 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
50 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
516, 7, 34, 50ma1repvcl 22576 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
5249, 51eqeltrid 2845 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → 𝐸𝐵)
5329, 46, 48, 52syl12anc 837 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸𝐵)
5416eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5554ad2ant2r 747 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
56553adant3 1133 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
5753, 56eleqtrrd 2844 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
581, 2, 3, 5, 11, 11, 11, 25, 57mamuval 22397 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))))
59273ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
60593ad2ant1 1134 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
61 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
62613ad2ant2 1135 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
6362, 46, 483jca 1129 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
64633ad2ant1 1134 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁))
65 simp2 1138 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
66 simp3 1139 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
67403ad2ant1 1134 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
68 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
696, 7, 34, 50, 68, 49, 42mulmarep1gsum2 22580 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝑉𝐼𝑁) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7060, 64, 65, 66, 67, 69syl113anc 1384 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗)))) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗)))
7170mpoeq3dva 7510 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝑗))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
72 cramerimp.h . . 3 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
73 simpr 484 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
74733ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑌𝑉)
75 eqid 2737 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
766, 7, 75, 34marepvval 22573 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉𝐼𝑁) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7762, 74, 48, 76syl3anc 1373 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))))
7872, 77eqtr2id 2790 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐼, (𝑌𝑖), (𝑖𝑋𝑗))) = 𝐻)
7958, 71, 783eqtrd 2781 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 × 𝐸) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333  ifcif 4525  cop 4632  cotp 4634  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   maMul cmmul 22394   Mat cmat 22411   maVecMul cmvmul 22546   matRepV cmatrepV 22563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-mvmul 22547  df-marepv 22565
This theorem is referenced by:  cramerimplem3  22691
  Copyright terms: Public domain W3C validator