Theorem maxs1 27739

Description: A surreal is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
maxs1	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem maxs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slerflex 27737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)
2		iffalse 4487	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
3	2	breq2d 5109	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) ↔ 𝐴 ≤s 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴)))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵)
6		iftrue 4484	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
7	5, 6	breqtrrd 5125	. 2 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
8	4, 7	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114  ifcif 4478   class class class wbr 5097   No csur 27609   ≤s csle 27714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fv 6499  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27612  df-slt 27613  df-sle 27715

This theorem is referenced by: (None)