Theorem maxs1 27811

Description: A surreal is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
maxs1	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem maxs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slerflex 27809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)
2		iffalse 4533	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
3	2	breq2d 5154	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) ↔ 𝐴 ≤s 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴)))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵)
6		iftrue 4530	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
7	5, 6	breqtrrd 5170	. 2 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
8	4, 7	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2107  ifcif 4524   class class class wbr 5142   No csur 27685   ≤s csle 27790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689  df-sle 27791

This theorem is referenced by: (None)