Theorem maxs1 28059

Description: A surreal is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
maxs1	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem maxs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesid 28057	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)
2		iffalse 4490	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
3	2	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) ↔ 𝐴 ≤s 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴)))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵)
6		iftrue 4487	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
7	5, 6	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
8	4, 7	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145  ifcif 4481   class class class wbr 5102   No csur 27930   ≤s cles 28034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27933  df-lts 27934  df-les 28035

This theorem is used by: (None)