Theorem maxs2 28127

Description: A surreal is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
maxs2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem maxs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesid 28124	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → 𝐵 ≤s 𝐵)
2	1	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐵)
3		iftrue 4487	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5	2, 4	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
6		lestric 28125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	orcanai 1018	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐴)
8		iffalse 4490	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
11	5, 10	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  Nocsur 27997   ≤s cles 28101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-1o 8476  df-2o 8477  df-no 28000  df-lts 28001  df-les 28102

This theorem is used by: (None)