Theorem maxs2 28154

Description: A surreal is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
maxs2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem maxs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesid 28151	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → 𝐵 ≤s 𝐵)
2	1	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐵)
3		iftrue 4491	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5	2, 4	breqtrrd 5136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
6		lestric 28152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	orcanai 1018	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐴)
8		iffalse 4494	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	breqtrrd 5136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
11	5, 10	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106  Nocsur 28024   ≤s cles 28128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-1o 8501  df-2o 8502  df-no 28027  df-lts 28028  df-les 28129

This theorem is used by: (None)