Theorem maxs2 27754

Description: A surreal is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
maxs2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem maxs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesid 27751	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → 𝐵 ≤s 𝐵)
2	1	ad2antlr 734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐵)
3		iftrue 4462	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
4	3	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5	2, 4	breqtrrd 5102	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
6		lestric 27752	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	orcanai 1011	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐴)
8		iffalse 4465	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
9	8	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
10	7, 9	breqtrrd 5102	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))
11	5, 10	pm2.61dan 819	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ≤s if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ifcif 4456   class class class wbr 5074   No csur 27624   ≤s cles 27728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fv 6496  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27627  df-lts 27628  df-les 27729

This theorem is referenced by: (None)