Theorem slerflex 33893

Description: Surreal less than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slerflex	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem slerflex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltirr 33876	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		slenlt 33882	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   No csur 33770   <s cslt 33771   ≤s csle 33874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-1o 8267  df-2o 8268  df-no 33773  df-slt 33774  df-sle 33875

This theorem is referenced by:  0slt1s  33950  cofcutrtime  34020