Theorem slerflex 27823

Description: Surreal less-than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slerflex	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem slerflex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltirr 27806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		slenlt 27812	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   No csur 27699   <s cslt 27700   ≤s csle 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-sle 27805

This theorem is referenced by:  maxs1  27825  maxs2  27826  mins1  27827  mins2  27828  0slt1s  27889  cofcutrtime  27976  cofss  27979  coiniss  27980  cutlt  27981  cutmax  27983  cutmin  27984  slemuld  28179  mulsge0d  28187  slemul1ad  28223  abs0s  28281  sleabs  28287  n0sge0  28356  uzsind  28406  zscut  28408  nohalf  28422  halfcut  28431  addhalfcut  28434