Theorem slerflex 27691

Description: Surreal less-than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slerflex	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem slerflex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltirr 27674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		slenlt 27680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095   No csur 27567   <s cslt 27568   ≤s csle 27672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-sle 27673

This theorem is referenced by:  maxs1  27693  maxs2  27694  mins1  27695  mins2  27696  0slt1s  27761  cofcutrtime  27858  cofss  27861  coiniss  27862  cutlt  27863  cutmax  27865  cutmin  27866  slemuld  28064  mulsge0d  28072  slemul1ad  28108  abs0s  28167  sleabs  28173  onscutlt  28188  n0sge0  28253  n0sfincut  28269  uzsind  28316  zscut  28318  zsoring  28319  halfcut  28364  addhalfcut  28365