Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meassre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meassre 42749
Description: If the measure of a measurable set is real, then the measure of any of its measurable subsets is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meassre.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meassre.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meassre.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
meassre.s (𝜑𝐵𝐴)
meassre.b (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
Assertion
Ref Expression
meassre (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem meassre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12836 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 10680 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10687 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 meassre.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 eqid 2819 . . . 4 dom 𝑀 = dom 𝑀
8 meassre.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
96, 7, 8meaxrcl 42733 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
106, 8meage0 42747 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐵))
11 meassre.r . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
1211rexrd 10683 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
13 meassre.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
14 meassre.s . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
156, 7, 8, 13, 14meassle 42735 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ≤ (𝑀𝐴))
1611ltpnfd 12508 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) < +∞)
179, 12, 5, 15, 16xrlelttrd 12545 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) < +∞)
183, 5, 9, 10, 17elicod 12779 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,)+∞))
191, 18sseldi 3963 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  wss 3934  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666  [,)cico 12732  Meascmea 42721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-salg 42584  df-sumge0 42635  df-mea 42722
This theorem is referenced by:  meadif  42751  meaiininclem  42758  vonioolem2  42953
  Copyright terms: Public domain W3C validator