Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meale0eq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meale0eq0 46434
Description: A measure that is less than or equal to 0 is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meale0eq0.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meale0eq0.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meale0eq0.l (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ 0)
Assertion
Ref Expression
meale0eq0 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 0)

Proof of Theorem meale0eq0
StepHypRef Expression
1 meale0eq0.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 eqid 2735 . . 3 dom 𝑀 = dom 𝑀
3 meale0eq0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
41, 2, 3meaxrcl 46417 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
5 0xr 11306 . . 3 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7 meale0eq0.l . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ 0)
81, 3meage0 46431 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))
94, 6, 7, 8xrletrid 13194 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294  Meascmea 46405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-mea 46406
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator