Theorem meale0eq0 47691

Description: A measure that is less than or equal to 0 is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meale0eq0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meale0eq0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meale0eq0.l	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
meale0eq0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem meale0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meale0eq0.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
3		meale0eq0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
4	1, 2, 3	meaxrcl 47674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5		0xr 11380	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7		meale0eq0.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)
8	1, 3	meage0 47688	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
9	4, 6, 7, 8	xrletrid 13308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  0cc0 11224  ℝ^*cxr 11366   ≤ cle 11368  Meascmea 47662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-addrcl 11285  ax-rnegex 11295  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-icc 13507  df-mea 47663

This theorem is used by: (None)