Theorem meale0eq0 44016

Description: A measure that is less than or equal to 0 is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meale0eq0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meale0eq0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meale0eq0.l	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
meale0eq0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem meale0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meale0eq0.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
3		meale0eq0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
4	1, 2, 3	meaxrcl 43999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5		0xr 11022	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7		meale0eq0.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)
8	1, 3	meage0 44013	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
9	4, 6, 7, 8	xrletrid 12889	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  0cc0 10871  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  Meascmea 43987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-icc 13086  df-mea 43988

This theorem is referenced by: (None)