Theorem meale0eq0 43598

Description: A measure that is less than or equal to 0 is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meale0eq0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meale0eq0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meale0eq0.l	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
meale0eq0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem meale0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meale0eq0.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
3		meale0eq0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
4	1, 2, 3	meaxrcl 43581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5		0xr 10778	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7		meale0eq0.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)
8	1, 3	meage0 43595	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
9	4, 6, 7, 8	xrletrid 12643	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  ‘cfv 6349  0cc0 10627  ℝ^*cxr 10764   ≤ cle 10766  Meascmea 43569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-addrcl 10688  ax-rnegex 10698  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-icc 12840  df-mea 43570

This theorem is referenced by: (None)