Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meale0eq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meale0eq0 43598
Description: A measure that is less than or equal to 0 is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meale0eq0.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meale0eq0.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meale0eq0.l (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ 0)
Assertion
Ref Expression
meale0eq0 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 0)

Proof of Theorem meale0eq0
StepHypRef Expression
1 meale0eq0.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 eqid 2739 . . 3 dom 𝑀 = dom 𝑀
3 meale0eq0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
41, 2, 3meaxrcl 43581 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
5 0xr 10778 . . 3 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7 meale0eq0.l . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ 0)
81, 3meage0 43595 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))
94, 6, 7, 8xrletrid 12643 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  cfv 6349  0cc0 10627  *cxr 10764  cle 10766  Meascmea 43569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-addrcl 10688  ax-rnegex 10698  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-icc 12840  df-mea 43570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator