Theorem meale0eq0 46498

Description: A measure that is less than or equal to 0 is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meale0eq0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meale0eq0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meale0eq0.l	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
meale0eq0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem meale0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meale0eq0.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
3		meale0eq0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
4	1, 2, 3	meaxrcl 46481	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
5		0xr 11309	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7		meale0eq0.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ 0)
8	1, 3	meage0 46495	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
9	4, 6, 7, 8	xrletrid 13198	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  0cc0 11156  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297  Meascmea 46469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-addrcl 11217  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-icc 13395  df-mea 46470

This theorem is referenced by: (None)