Theorem ressms 23682

Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressms	⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 23607	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2		ressxms 23681	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
6	4, 5	msmet 23610	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8		metres 23518	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10		resres 5904	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		inxp 5741	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
12	11	reseq2i 5888	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
13	10, 12	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
15		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
16	14, 15	ressds 17120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
17	16	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
18		incom 4135	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
19	14, 4	ressbas 16947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
21	18, 20	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
22	21	sqxpeqd 5621	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
23	17, 22	reseq12d 5892	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
24	13, 23	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
26	9, 24, 25	3eltr3d 2853	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
28	14, 27	resstopn 22337	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
29		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
30		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
31	28, 29, 30	isms 23602	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
32	3, 26, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  distcds 16971   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  Metcmet 20583  ∞MetSpcxms 23470  MetSpcms 23471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-tset 16981  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474

This theorem is referenced by:  subgngp  23791  cmsss  24515  cmscsscms  24537  cnpwstotbnd  35955