MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressms 23109
Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressms ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms
StepHypRef Expression
1 msxms 23037 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2 ressxms 23108 . . 3 ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
31, 2sylan 582 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2820 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
64, 5msmet 23040 . . . . 5 (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
76adantr 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8 metres 22948 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10 resres 5840 . . . . 5 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 inxp 5677 . . . . . 6 (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
1211reseq2i 5824 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
1310, 12eqtri 2843 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14 eqid 2820 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
15 eqid 2820 . . . . . . 7 (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
1614, 15ressds 16662 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
18 incom 4154 . . . . . . 7 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
1914, 4ressbas 16530 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2019adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2118, 20syl5eq 2867 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2221sqxpeqd 5561 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2317, 22reseq12d 5828 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2413, 23syl5eq 2867 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2521fveq2d 6648 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
269, 24, 253eltr3d 2925 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
27 eqid 2820 . . . 4 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
2814, 27resstopn 21767 . . 3 ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾s 𝐴))
29 eqid 2820 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
30 eqid 2820 . . 3 ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
3128, 29, 30isms 23032 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴)))))
323, 26, 31sylanbrc 585 1 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  cin 3911   × cxp 5527  cres 5531  cfv 6329  (class class class)co 7131  Basecbs 16459  s cress 16460  distcds 16550  t crest 16670  TopOpenctopn 16671  Metcmet 20504  ∞MetSpcxms 22900  MetSpcms 22901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-9 11684  df-n0 11875  df-z 11959  df-dec 12076  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xneg 12484  df-xadd 12485  df-xmul 12486  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-tset 16560  df-ds 16563  df-rest 16672  df-topn 16673  df-topgen 16693  df-psmet 20510  df-xmet 20511  df-met 20512  df-bl 20513  df-mopn 20514  df-top 21475  df-topon 21492  df-topsp 21514  df-bases 21527  df-xms 22903  df-ms 22904
This theorem is referenced by:  subgngp  23217  cmsss  23931  cmscsscms  23953  cnpwstotbnd  35108
  Copyright terms: Public domain W3C validator