Theorem ressms 24357

Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressms	⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 24282	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2		ressxms 24356	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
6	4, 5	msmet 24285	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8		metres 24193	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10		resres 5984	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		inxp 5822	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
12	11	reseq2i 5968	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
13	10, 12	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
15		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
16	14, 15	ressds 17354	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
18		incom 4193	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
19	14, 4	ressbas 17178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
21	18, 20	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
22	21	sqxpeqd 5698	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
23	17, 22	reseq12d 5972	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
24	13, 23	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
26	9, 24, 25	3eltr3d 2839	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
27		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
28	14, 27	resstopn 23012	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
29		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
30		eqid 2724	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
31	28, 29, 30	isms 24277	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
32	3, 26, 31	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  distcds 17205   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  Metcmet 21214  ∞MetSpcxms 24145  MetSpcms 24146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-tset 17215  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-xms 24148  df-ms 24149

This theorem is referenced by:  subgngp  24466  cmsss  25201  cmscsscms  25223  cnpwstotbnd  37155