Theorem ressms 24504

Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressms	⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 24432	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2		ressxms 24503	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
6	4, 5	msmet 24435	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8		metres 24343	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10		resres 5952	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		inxp 5781	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
12	11	reseq2i 5936	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
13	10, 12	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
16	14, 15	ressds 17367	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
18		incom 4150	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
19	14, 4	ressbas 17200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
21	18, 20	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
22	21	sqxpeqd 5657	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
23	17, 22	reseq12d 5940	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
24	13, 23	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
25	21	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
26	9, 24, 25	3eltr3d 2851	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
28	14, 27	resstopn 23164	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
31	28, 29, 30	isms 24427	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
32	3, 26, 31	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  distcds 17223   ↾_t crest 17377  TopOpenctopn 17378  Metcmet 21333  ∞MetSpcxms 24295  MetSpcms 24296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-tset 17233  df-ds 17236  df-rest 17379  df-topn 17380  df-topgen 17400  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-xms 24298  df-ms 24299

This theorem is referenced by:  subgngp  24613  cmsss  25331  cmscsscms  25353  cnpwstotbnd  38135