MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressms 23905
Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressms ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms
StepHypRef Expression
1 msxms 23830 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2 ressxms 23904 . . 3 ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
31, 2sylan 581 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2733 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
64, 5msmet 23833 . . . . 5 (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
76adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8 metres 23741 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10 resres 5954 . . . . 5 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 inxp 5792 . . . . . 6 (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
1211reseq2i 5938 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
1310, 12eqtri 2761 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
1614, 15ressds 17299 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
18 incom 4165 . . . . . . 7 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
1914, 4ressbas 17126 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2019adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2118, 20eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2221sqxpeqd 5669 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2317, 22reseq12d 5942 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2413, 23eqtrid 2785 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2521fveq2d 6850 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
269, 24, 253eltr3d 2848 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
27 eqid 2733 . . . 4 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
2814, 27resstopn 22560 . . 3 ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾s 𝐴))
29 eqid 2733 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
30 eqid 2733 . . 3 ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
3128, 29, 30isms 23825 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴)))))
323, 26, 31sylanbrc 584 1 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3913   × cxp 5635  cres 5639  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  s cress 17120  distcds 17150  t crest 17310  TopOpenctopn 17311  Metcmet 20805  ∞MetSpcxms 23693  MetSpcms 23694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697
This theorem is referenced by:  subgngp  24014  cmsss  24738  cmscsscms  24760  cnpwstotbnd  36306
  Copyright terms: Public domain W3C validator