MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressms 24428
Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressms ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms
StepHypRef Expression
1 msxms 24353 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2 ressxms 24427 . . 3 ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2727 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
64, 5msmet 24356 . . . . 5 (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
76adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8 metres 24264 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10 resres 5992 . . . . 5 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 inxp 5828 . . . . . 6 (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
1211reseq2i 5976 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
1310, 12eqtri 2755 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
15 eqid 2727 . . . . . . 7 (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
1614, 15ressds 17384 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
18 incom 4197 . . . . . . 7 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
1914, 4ressbas 17208 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2118, 20eqtrid 2779 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2221sqxpeqd 5704 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2317, 22reseq12d 5980 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2413, 23eqtrid 2779 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2521fveq2d 6895 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
269, 24, 253eltr3d 2842 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
27 eqid 2727 . . . 4 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
2814, 27resstopn 23083 . . 3 ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾s 𝐴))
29 eqid 2727 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
30 eqid 2727 . . 3 ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
3128, 29, 30isms 24348 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴)))))
323, 26, 31sylanbrc 582 1 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3943   × cxp 5670  cres 5674  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  s cress 17202  distcds 17235  t crest 17395  TopOpenctopn 17396  Metcmet 21258  ∞MetSpcxms 24216  MetSpcms 24217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-tset 17245  df-ds 17248  df-rest 17397  df-topn 17398  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-xms 24219  df-ms 24220
This theorem is referenced by:  subgngp  24537  cmsss  25272  cmscsscms  25294  cnpwstotbnd  37259
  Copyright terms: Public domain W3C validator