Theorem mndvrid 21896

Description: Tuple-wise right identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mndvlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvrid	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝐼 × { 0 })) = 𝑋)

Proof of Theorem mndvrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8842	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4		elmapi 8843	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
5	4	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6		mndvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		mndvlid.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
8	6, 7	mndidcl 18640	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ 𝐵)
10		mndvcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	6, 10, 7	mndrid 18646	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
12	11	adantlr 714	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
13	3, 5, 9, 12	caofid0r 7702	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + (𝐼 × { 0 })) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629   × cxp 5675  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626

This theorem is referenced by: (None)