Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvlinv 21111
 Description: Tuple-wise left inverse in groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvlinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 8443 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 499 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
32adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4 elmapi 8444 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
54adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
6 grpvlinv.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 grpvlinv.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
86, 7grpidcl 18212 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
98adantr 484 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 0𝐵)
10 grpvlinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
116, 10grpinvf 18231 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
1211adantr 484 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑁:𝐵𝐵)
13 fcompt 6892 . . 3 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1411, 4, 13syl2an 598 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
15 grpvlinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
166, 15, 7, 10grplinv 18233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
1716adantlr 714 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
183, 5, 9, 12, 14, 17caofinvl 7440 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  {csn 4525   ↦ cmpt 5116   × cxp 5526   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘f cof 7409   ↑m cmap 8422  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  0gc0g 16785  Grpcgrp 18183  invgcminusg 18184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-map 8424  df-0g 16787  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-grp 18186  df-minusg 18187 This theorem is referenced by:  mendring  40554
 Copyright terms: Public domain W3C validator