Theorem grpvlinv 22342

Description: Tuple-wise left inverse in groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvlinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvlinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8785	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4		elmapi 8786	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6		grpvlinv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	6, 7	grpidcl 18895	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ 𝐵)
10		grpvlinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
11	6, 10	grpinvf 18916	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
13		fcompt 7078	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
14	11, 4, 13	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
15		grpvlinv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15, 7, 10	grplinv 18919	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) + 𝑦) = 0 )
17	16	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) + 𝑦) = 0 )
18	3, 5, 9, 12, 14, 17	caofinvl 7654	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8763  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867

This theorem is referenced by:  mendring  43426