MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvlinv 21826
Description: Tuple-wise left inverse in groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvlinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 8825 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 496 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
32adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4 elmapi 8826 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
54adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
6 grpvlinv.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 grpvlinv.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
86, 7grpidcl 18825 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
98adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 0𝐵)
10 grpvlinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
116, 10grpinvf 18846 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
1211adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑁:𝐵𝐵)
13 fcompt 7115 . . 3 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1411, 4, 13syl2an 596 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
15 grpvlinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
166, 15, 7, 10grplinv 18849 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
1716adantlr 713 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
183, 5, 9, 12, 14, 17caofinvl 7683 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  {csn 4622  cmpt 5224   × cxp 5667  ccom 5673  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  f cof 7651  m cmap 8803  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  0gc0g 17367  Grpcgrp 18794  invgcminusg 18795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-map 8805  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798
This theorem is referenced by:  mendring  41705
  Copyright terms: Public domain W3C validator