MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvlinv 22417
Description: Tuple-wise left inverse in groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvlinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 8886 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 495 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
32adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4 elmapi 8887 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
54adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
6 grpvlinv.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 grpvlinv.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
86, 7grpidcl 18995 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
98adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 0𝐵)
10 grpvlinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
116, 10grpinvf 19016 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
1211adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑁:𝐵𝐵)
13 fcompt 7152 . . 3 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1411, 4, 13syl2an 596 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
15 grpvlinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
166, 15, 7, 10grplinv 19019 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
1716adantlr 715 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
183, 5, 9, 12, 14, 17caofinvl 7728 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  {csn 4630  cmpt 5230   × cxp 5686  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  m cmap 8864  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-map 8866  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967
This theorem is referenced by:  mendring  43176
  Copyright terms: Public domain W3C validator