Theorem grpvlinv 21572

Description: Tuple-wise left inverse in groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvlinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvlinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8656	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4		elmapi 8657	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6		grpvlinv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	6, 7	grpidcl 18635	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ 𝐵)
10		grpvlinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
11	6, 10	grpinvf 18654	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
13		fcompt 7025	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
14	11, 4, 13	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
15		grpvlinv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15, 7, 10	grplinv 18656	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) + 𝑦) = 0 )
17	16	adantlr 711	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) + 𝑦) = 0 )
18	3, 5, 9, 12, 14, 17	caofinvl 7583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∘f + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  Vcvv 3434  {csn 4564   ↦ cmpt 5160   × cxp 5589   ∘ ccom 5595  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   ∘_f cof 7551   ↑_m cmap 8635  Basecbs 16940  +_gcplusg 16990  0_gc0g 17178  Grpcgrp 18605  inv_gcminusg 18606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-map 8637  df-0g 17180  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608  df-minusg 18609

This theorem is referenced by:  mendring  41041