Theorem mpoexxg 8123

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpofun 7575	. 2 ⊢ Fun 𝐹
3	1	dmmpossx 8112	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4		vsnex 5400	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
5		xpexg 7796	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
7	6	ralimi 3103	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8		iunexg 8009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
9	7, 8	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10		ssexg 5288	. . 3 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	3, 9, 10	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12		funex 7256	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ ciun 4956   × cxp 5656  dom cdm 5658  Fun wfun 6560   ∈ cmpo 7453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036

This theorem is used by:  mpoexg  8124  mpoex  8127  mpoexd  8128  gsum2d2lem  20238  taylfval  26743  ptrest  38805