Theorem mpoexxg 8100

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpofun 7557	. 2 ⊢ Fun 𝐹
3	1	dmmpossx 8091	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4		vsnex 5434	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
5		xpexg 7770	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
7	6	ralimi 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8		iunexg 7988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
9	7, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10		ssexg 5323	. . 3 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	3, 9, 10	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12		funex 7239	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ∪ ciun 4991   × cxp 5683  dom cdm 5685  Fun wfun 6555   ∈ cmpo 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015

This theorem is referenced by:  mpoexg  8101  mpoex  8104  gsum2d2lem  19991  taylfval  26400  ptrest  37626