Theorem mpoexxg 8078

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpoexxg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpofun 7543	. 2 ⊢ Fun 𝐹
3	1	dmmpossx 8069	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4		vsnex 5408	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
5		xpexg 7755	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
7	6	ralimi 3104	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8		iunexg 7966	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
9	7, 8	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10		ssexg 5292	. . 3 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	3, 9, 10	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12		funex 7224	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
13	2, 11, 12	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ∪ ciun 4958   × cxp 5661  dom cdm 5663  Fun wfun 6534   ∈ cmpo 7421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993

This theorem is used by:  mpoexg  8079  mpoex  8082  mpoexd  8083  gsum2d2lem  20089  taylfval  26575  ptrest  38329