Theorem bitsval 16518

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval	⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 16516	. . . 4 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
2	1	mptrcl 7000	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		bitsfval 16517	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
4	3	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))}))
5		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2↑𝑚) = (2↑𝑀))
6	5	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 / (2↑𝑚)) = (𝑁 / (2↑𝑀)))
7	6	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
8	7	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
9	8	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
10	9	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
11	4, 10	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
12	2, 11	biadanii 834	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
13		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
14	12, 13	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   / cdiv 11898  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ⌊cfl 13853  ↑cexp 14127   ∥ cdvds 16346  bitscbits 16513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12261  df-n0 12532  df-bits 16516

This theorem is used by:  bitsval2  16519  bitsss  16520  bitsfzo  16529  bitsmod  16530  bitscmp  16532