Theorem bitsval 16369

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval	⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 16367	. . . 4 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
2	1	mptrcl 7000	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		bitsfval 16368	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
4	3	eleq2d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))}))
5		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2↑𝑚) = (2↑𝑀))
6	5	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 / (2↑𝑚)) = (𝑁 / (2↑𝑀)))
7	6	fveq2d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
8	7	breq2d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
9	8	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
10	9	elrab 3678	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
11	4, 10	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
12	2, 11	biadanii 819	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
13		3anass 1092	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
14	12, 13	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   / cdiv 11872  2c2 12268  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ⌊cfl 13758  ↑cexp 14029   ∥ cdvds 16201  bitscbits 16364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-nn 12214  df-n0 12474  df-bits 16367

This theorem is referenced by:  bitsval2  16370  bitsss  16371  bitsfzo  16380  bitsmod  16381  bitscmp  16383