Theorem bitsval 16393

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval	⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 16391	. . . 4 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
2	1	mptrcl 6958	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		bitsfval 16392	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
4	3	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))}))
5		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2↑𝑚) = (2↑𝑀))
6	5	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 / (2↑𝑚)) = (𝑁 / (2↑𝑀)))
7	6	fveq2d 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
8	7	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
9	8	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
10	9	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
11	4, 10	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
12	2, 11	biadanii 822	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
13		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
14	12, 13	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   / cdiv 11807  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ⌊cfl 13749  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221  bitscbits 16388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-n0 12438  df-bits 16391

This theorem is referenced by:  bitsval2  16394  bitsss  16395  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  bitscmp  16407