MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsval 16406
Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsval (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval
Dummy variables 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 16404 . . . 4 bits = (𝑛 ∈ β„€ ↦ {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘š)))})
21mptrcl 7019 . . 3 (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 bitsfval 16405 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (bitsβ€˜π‘) = {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))})
43eleq2d 2815 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))}))
5 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑀))
65oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) = (𝑁 / (2↑𝑀)))
76fveq2d 6906 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))
87breq2d 5164 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
98notbid 317 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
109elrab 3684 . . . 4 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))} ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
114, 10bitrdi 286 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))))
122, 11biadanii 820 . 2 (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))))
13 3anass 1092 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))))
1412, 13bitr4i 277 1 (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   / cdiv 11909  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  βŒŠcfl 13795  β†‘cexp 14066   βˆ₯ cdvds 16238  bitscbits 16401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-n0 12511  df-bits 16404
This theorem is referenced by:  bitsval2  16407  bitsss  16408  bitsfzo  16417  bitsmod  16418  bitscmp  16420
  Copyright terms: Public domain W3C validator