Theorem bitsval 16419

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval	⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 16417	. . . 4 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
2	1	mptrcl 7017	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		bitsfval 16418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
4	3	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))}))
5		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2↑𝑚) = (2↑𝑀))
6	5	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 / (2↑𝑚)) = (𝑁 / (2↑𝑀)))
7	6	fveq2d 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
8	7	breq2d 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
9	8	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
10	9	elrab 3680	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
11	4, 10	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
12	2, 11	biadanii 820	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
13		3anass 1092	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))))
14	12, 13	bitr4i 277	1 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423   / cdiv 11917  2c2 12314  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12605  ⌊cfl 13805  ↑cexp 14076   ∥ cdvds 16251  bitscbits 16414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-1cn 11212  ax-addcl 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-nn 12260  df-n0 12520  df-bits 16417

This theorem is referenced by:  bitsval2  16420  bitsss  16421  bitsfzo  16430  bitsmod  16431  bitscmp  16433