MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs4lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs4lem 18509
Description: In a closure system in which directed unions of closed sets are closed, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
isacs4lem ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠,𝑑   𝐹,𝑠,𝑑   𝑋,𝑠,𝑑

Proof of Theorem isacs4lem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
2 elpwi 4604 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑋)
32ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑋)
4 acsdrscl.f . . . . . . . 8 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
54mrcuni 17574 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑋) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)))
61, 3, 5syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)))
74mrcf 17562 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπΆ)
87ffnd 6712 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝑋)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝑋)
10 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
11 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑦)
12 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
1310, 4, 11, 12mrcssd 17577 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
14 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)
152ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑋)
164fvexi 6899 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ V
1716imaex 7904 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ V)
199, 13, 14, 15, 18ipodrsima 18506 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝑑)) ∈ Dirset)
2019adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝑑)) ∈ Dirset)
21 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑑) β†’ (toIncβ€˜π‘ ) = (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝑑)))
2221eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑑) β†’ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝑑)) ∈ Dirset))
23 unieq 4913 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑑) β†’ βˆͺ 𝑠 = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
2423eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑑) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝐢))
2522, 24imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐹 β€œ 𝑑) β†’ (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢) ↔ ((toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝑑)) ∈ Dirset β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝐢)))
26 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
27 imassrn 6064 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ 𝑑) βŠ† ran 𝐹
287frnd 6719 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
2927, 28sstrid 3988 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑑) βŠ† 𝐢)
3017elpw 4601 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐢 ↔ (𝐹 β€œ 𝑑) βŠ† 𝐢)
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐢)
3231ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐢)
3325, 26, 32rspcdva 3607 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ ((toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝑑)) ∈ Dirset β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝐢))
3420, 33mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝐢)
354mrcid 17566 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
361, 34, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
376, 36eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
3837exp32 420 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 β†’ ((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
3938ralrimiv 3139 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)))
4039ex 412 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
4140imdistani 568 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  Dirsetcdrs 18259  toInccipo 18492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18278  df-ipo 18493
This theorem is referenced by:  acsdrscl  18511  acsficl  18512  isacs5  18513  isacs4  18514  isacs3  18515
  Copyright terms: Public domain W3C validator