Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pellex.ann |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2 | 1 | nncnd 12233 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | | pellex.enn |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
4 | 3 | nncnd 12233 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
5 | 2, 4 | mulcld 11239 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ธ) โ โ) |
6 | | pellex.dnn |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
7 | 6 | nncnd 12233 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
8 | | pellex.bnn |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
9 | 8 | nncnd 12233 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
10 | | pellex.fnn |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐น โ โ) |
11 | 10 | nncnd 12233 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐น โ โ) |
12 | 9, 11 | mulcld 11239 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ต ยท ๐น) โ โ) |
13 | 7, 12 | mulcld 11239 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โ โ) |
14 | 5, 13 | subcld 11576 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ โ) |
15 | | pellex.cz |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ถ โ โค) |
16 | 15 | zcnd 12672 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
17 | | pellex.cn0 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ถ โ 0) |
18 | 14, 16, 17 | absdivd 15407 |
. . . . 5
โข (๐ โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) = ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ๐ถ))) |
19 | 5, 13 | negsubd 11582 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) |
20 | 19 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = ((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) |
21 | 20 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ))) |
22 | 1 | nnred 12232 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
23 | 3 | nnred 12232 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
24 | 22, 23 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ธ) โ โ) |
25 | 6 | nnred 12232 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
26 | 8 | nnred 12232 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
27 | 10 | nnred 12232 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐น โ โ) |
28 | 26, 27 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (๐ต ยท ๐น) โ โ) |
29 | 25, 28 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โ โ) |
30 | 29 | renegcld 11646 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โ โ) |
31 | 16, 17 | absrpcld 15400 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ
โ+) |
32 | 3 | nnzd 12590 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ธ โ โค) |
33 | | pellex.xcg |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ด mod (absโ๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ๐ถ))) |
34 | | modmul1 13894 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โ โง ๐ธ โ โ) โง (๐ธ โ โค โง
(absโ๐ถ) โ
โ+) โง (๐ด mod (absโ๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ๐ถ))) โ ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ))) |
35 | 22, 23, 32, 31, 33, 34 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ))) |
36 | 4 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ธโ2) โ โ) |
37 | 11 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐นโ2) โ โ) |
38 | 7, 37 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐นโ2)) โ โ) |
39 | 36, 38 | npcand 11580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) + (๐ท ยท (๐นโ2))) = (๐ธโ2)) |
40 | 4 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ธโ2) = (๐ธ ยท ๐ธ)) |
41 | 39, 40 | eqtr2d 2772 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ธ ยท ๐ธ) = (((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) + (๐ท ยท (๐นโ2)))) |
42 | 41 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) + (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ))) |
43 | 23 | resqcld 14095 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ธโ2) โ โ) |
44 | 27 | resqcld 14095 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐นโ2) โ โ) |
45 | 25, 44 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐นโ2)) โ โ) |
46 | 43, 45 | resubcld 11647 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) โ โ) |
47 | | 0red 11222 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ 0 โ
โ) |
48 | 16 | abscld 15388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ
โ) |
49 | 48 | recnd 11247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ
โ) |
50 | 16, 17 | absne0d 15399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ 0) |
51 | 49, 50 | dividd 11993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((absโ๐ถ) / (absโ๐ถ)) = 1) |
52 | | 1zzd 12598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ 1 โ
โค) |
53 | 51, 52 | eqeltrd 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((absโ๐ถ) / (absโ๐ถ)) โ โค) |
54 | | mod0 13846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
(((absโ๐ถ)
โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+) โ
(((absโ๐ถ) mod
(absโ๐ถ)) = 0 โ
((absโ๐ถ) /
(absโ๐ถ)) โ
โค)) |
55 | 48, 31, 54 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (((absโ๐ถ) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ๐ถ) / (absโ๐ถ)) โ โค)) |
56 | 53, 55 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((absโ๐ถ) mod (absโ๐ถ)) = 0) |
57 | 15 | zred 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
58 | | absmod0 15255 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ถ โ โ โง
(absโ๐ถ) โ
โ+) โ ((๐ถ mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ๐ถ) mod (absโ๐ถ)) = 0)) |
59 | 57, 31, 58 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ถ mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ๐ถ) mod (absโ๐ถ)) = 0)) |
60 | 56, 59 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ถ mod (absโ๐ถ)) = 0) |
61 | | pellex.no2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) = ๐ถ) |
62 | 61 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ)) = (๐ถ mod (absโ๐ถ))) |
63 | | 0mod 13872 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((absโ๐ถ)
โ โ+ โ (0 mod (absโ๐ถ)) = 0) |
64 | 31, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (0 mod (absโ๐ถ)) = 0) |
65 | 60, 62, 64 | 3eqtr4d 2781 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ)) = (0 mod (absโ๐ถ))) |
66 | | modadd1 13878 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ธโ2)
โ (๐ท ยท (๐นโ2))) โ โ โง
0 โ โ) โง ((๐ท
ยท (๐นโ2)) โ
โ โง (absโ๐ถ)
โ โ+) โง (((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ)) = (0 mod (absโ๐ถ))) โ ((((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) + (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ)) = ((0 + (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ))) |
67 | 46, 47, 45, 31, 65, 66 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) + (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ)) = ((0 + (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ))) |
68 | 38 | addlidd 11420 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (0 + (๐ท ยท (๐นโ2))) = (๐ท ยท (๐นโ2))) |
69 | 11 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐นโ2) = (๐น ยท ๐น)) |
70 | 69 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐นโ2)) = (๐ท ยท (๐น ยท ๐น))) |
71 | 7, 11, 11 | mul12d 11428 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐น ยท ๐น)) = (๐น ยท (๐ท ยท ๐น))) |
72 | 68, 70, 71 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (0 + (๐ท ยท (๐นโ2))) = (๐น ยท (๐ท ยท ๐น))) |
73 | 72 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((0 + (๐ท ยท (๐นโ2))) mod (absโ๐ถ)) = ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
74 | 42, 67, 73 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
75 | 6 | nnzd 12590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ท โ โค) |
76 | 10 | nnzd 12590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐น โ โค) |
77 | 75, 76 | zmulcld 12677 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ท ยท ๐น) โ โค) |
78 | | pellex.ycg |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ต mod (absโ๐ถ)) = (๐น mod (absโ๐ถ))) |
79 | 78 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐น mod (absโ๐ถ)) = (๐ต mod (absโ๐ถ))) |
80 | | modmul1 13894 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐น โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ท ยท ๐น) โ โค โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โง (๐น mod
(absโ๐ถ)) = (๐ต mod (absโ๐ถ))) โ ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
81 | 27, 26, 77, 31, 79, 80 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
82 | 9, 7, 11 | mul12d 11428 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) = (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) |
83 | 82 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
84 | 81, 83 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
85 | 35, 74, 84 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
86 | | modadd1 13878 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด ยท ๐ธ) โ โ โง (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โ โ) โง (-(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โง ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ))) |
87 | 24, 29, 30, 31, 85, 86 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ))) |
88 | 13 | negidd 11566 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) |
89 | 88 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = (0 mod (absโ๐ถ))) |
90 | 21, 87, 89 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = (0 mod (absโ๐ถ))) |
91 | 90, 64 | eqtrd 2771 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0) |
92 | 24, 29 | resubcld 11647 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ โ) |
93 | | absmod0 15255 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ๐ถ)) = 0)) |
94 | 92, 31, 93 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ๐ถ)) = 0)) |
95 | 91, 94 | mpbid 231 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ๐ถ)) = 0) |
96 | 14 | abscld 15388 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ โ) |
97 | | mod0 13846 |
. . . . . . 7
โข
(((absโ((๐ด
ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โ (((absโ((๐ด
ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ๐ถ)) โ โค)) |
98 | 96, 31, 97 | syl2anc 583 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ๐ถ)) โ โค)) |
99 | 95, 98 | mpbid 231 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((absโ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ๐ถ)) โ โค) |
100 | 18, 99 | eqeltrd 2832 |
. . . 4
โข (๐ โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ โค) |
101 | 92, 57, 17 | redivcld 12047 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โ) |
102 | | absz 15263 |
. . . . 5
โข ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โค โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ โค)) |
103 | 101, 102 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โค โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ โค)) |
104 | 100, 103 | mpbird 257 |
. . 3
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โค) |
105 | | 0lt1 11741 |
. . . . . . . 8
โข 0 <
1 |
106 | | 0re 11221 |
. . . . . . . . 9
โข 0 โ
โ |
107 | | 1re 11219 |
. . . . . . . . 9
โข 1 โ
โ |
108 | 106, 107 | ltnlei 11340 |
. . . . . . . 8
โข (0 < 1
โ ยฌ 1 โค 0) |
109 | 105, 108 | mpbi 229 |
. . . . . . 7
โข ยฌ 1
โค 0 |
110 | 9, 4 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ธ) โ โ) |
111 | 2, 11 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ด ยท ๐น) โ โ) |
112 | 110, 111 | subcld 11576 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) โ โ) |
113 | 112, 16, 17 | divcld 11995 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โ) |
114 | 113 | abscld 15388 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โ) |
115 | 114 | resqcld 14095 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2) โ โ) |
116 | 6 | nnnn0d 12537 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ท โ
โ0) |
117 | 116 | nn0ge0d 12540 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ 0 โค ๐ท) |
118 | 114 | sqge0d 14107 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ 0 โค
((absโ(((๐ต ยท
๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)) |
119 | 25, 115, 117, 118 | mulge0d 11796 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ 0 โค (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) |
120 | 25, 115 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)) โ โ) |
121 | 47, 120 | suble0d 11810 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((0 โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) โค 0 โ 0 โค (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)))) |
122 | 119, 121 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (0 โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) โค 0) |
123 | | breq1 5151 |
. . . . . . . 8
โข (1 = (0
โ (๐ท ยท
((absโ(((๐ต ยท
๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) โ (1 โค 0 โ (0
โ (๐ท ยท
((absโ(((๐ต ยท
๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) โค 0)) |
124 | 122, 123 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (1 = (0 โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) โ 1 โค
0)) |
125 | 109, 124 | mtoi 198 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ยฌ 1 = (0 โ
(๐ท ยท
((absโ(((๐ต ยท
๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)))) |
126 | | absresq 15254 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โ โ ((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)โ2)) |
127 | 101, 126 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)โ2)) |
128 | 14, 16, 17 | sqdivd 14129 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)โ2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))โ2) / (๐ถโ2))) |
129 | 14 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))โ2) = (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) |
130 | 129 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))โ2) / (๐ถโ2)) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ2))) |
131 | 127, 128,
130 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ2))) |
132 | 26, 23 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ธ) โ โ) |
133 | 22, 27 | remulcld 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ด ยท ๐น) โ โ) |
134 | 132, 133 | resubcld 11647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) โ โ) |
135 | 134, 57, 17 | redivcld 12047 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โ) |
136 | | absresq 15254 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โ โ ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)โ2)) |
137 | 135, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)โ2)) |
138 | 112, 16, 17 | sqdivd 14129 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)โ2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2) / (๐ถโ2))) |
139 | 137, 138 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2) / (๐ถโ2))) |
140 | 139 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)) = (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2) / (๐ถโ2)))) |
141 | 112 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2) โ โ) |
142 | 16 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ถโ2) โ โ) |
143 | | sqne0 14093 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ถ โ โ โ ((๐ถโ2) โ 0 โ ๐ถ โ 0)) |
144 | 16, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ถโ2) โ 0 โ ๐ถ โ 0)) |
145 | 17, 144 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ถโ2) โ 0) |
146 | 7, 141, 142, 145 | divassd 12030 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2)) / (๐ถโ2)) = (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2) / (๐ถโ2)))) |
147 | 112 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2) = (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) |
148 | 147 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2)) = (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))))) |
149 | 148 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))โ2)) / (๐ถโ2)) = ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ2))) |
150 | 140, 146,
149 | 3eqtr2d 2777 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)) = ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ2))) |
151 | 131, 150 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) = (((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ2)) โ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ2)))) |
152 | 14, 14 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ โ) |
153 | 112, 112 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) โ โ) |
154 | 7, 153 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) โ โ) |
155 | 152, 154,
142, 145 | divsubdird 12034 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))))) / (๐ถโ2)) = (((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ2)) โ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ2)))) |
156 | 5, 13, 5, 13 | mulsubd 11678 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))))) |
157 | 110, 111,
110, 111 | mulsubd 11678 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) = ((((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) |
158 | 157 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) = (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
159 | 110, 110 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) โ โ) |
160 | 111, 111 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)) โ โ) |
161 | 159, 160 | addcld 11238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ โ) |
162 | 110, 111 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) โ โ) |
163 | 162, 162 | addcld 11238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ โ) |
164 | 7, 161, 163 | subdid 11675 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
165 | 7, 159, 160 | adddid 11243 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) = ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))) |
166 | 7, 162, 162 | adddid 11243 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))) = ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) |
167 | 165, 166 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
168 | 158, 164,
167 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)))) = (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
169 | 156, 168 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))))) = (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))) |
170 | 169 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))))) / (๐ถโ2)) = ((((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) / (๐ถโ2))) |
171 | 5, 13 | mulcomd 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ด ยท ๐ธ))) |
172 | 7, 12, 5 | mulassd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ)))) |
173 | 2, 4 | mulcomd 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ธ) = (๐ธ ยท ๐ด)) |
174 | 173 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) = ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) |
175 | 9, 11, 4, 2 | mul4d 11431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐น ยท ๐ด))) |
176 | 11, 2 | mulcomd 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ (๐น ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐น)) |
177 | 176 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐น ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) |
178 | 174, 175,
177 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) |
179 | 178 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ))) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))) |
180 | 171, 172,
179 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))) |
181 | 180, 180 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) = ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) |
182 | 181 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
183 | 182 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) = (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))) |
184 | 5, 5 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โ โ) |
185 | 13, 13 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ โ) |
186 | 184, 185 | addcld 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ โ) |
187 | 7, 159 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) โ โ) |
188 | 7, 160 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ โ) |
189 | 187, 188 | addcld 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ โ) |
190 | 7, 162 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) โ โ) |
191 | 190, 190 | addcld 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ โ) |
192 | 186, 189,
191 | nnncan2d 11611 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
193 | 184, 185,
187, 188 | addsub4d 11623 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
194 | 5 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ)โ2) = ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ))) |
195 | 110 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ)โ2) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) |
196 | 195 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2)) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))) |
197 | 194, 196 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ)โ2) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2))) = (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))))) |
198 | 13 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) |
199 | 111 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐น)โ2) = ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) |
200 | 199 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2)) = (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) |
201 | 198, 200 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2))) = (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))) |
202 | 197, 201 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ)โ2) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2)))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) |
203 | 2, 4 | sqmuld 14128 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ)โ2) = ((๐ดโ2) ยท (๐ธโ2))) |
204 | 9, 4 | sqmuld 14128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ)โ2) = ((๐ตโ2) ยท (๐ธโ2))) |
205 | 204 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2)) = (๐ท ยท ((๐ตโ2) ยท (๐ธโ2)))) |
206 | 9 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
207 | 7, 206, 36 | mulassd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2)) = (๐ท ยท ((๐ตโ2) ยท (๐ธโ2)))) |
208 | 205, 207 | eqtr4d 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2)) = ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2))) |
209 | 203, 208 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ)โ2) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2))) = (((๐ดโ2) ยท (๐ธโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2)))) |
210 | 7 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ทโ2) = (๐ท ยท ๐ท)) |
211 | 9, 11 | sqmuld 14128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐น)โ2) = ((๐ตโ2) ยท (๐นโ2))) |
212 | 210, 211 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ทโ2) ยท ((๐ต ยท ๐น)โ2)) = ((๐ท ยท ๐ท) ยท ((๐ตโ2) ยท (๐นโ2)))) |
213 | 7, 12 | sqmuld 14128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) = ((๐ทโ2) ยท ((๐ต ยท ๐น)โ2))) |
214 | 7, 7 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ท) โ โ) |
215 | 214, 206,
37 | mulassd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2)) = ((๐ท ยท ๐ท) ยท ((๐ตโ2) ยท (๐นโ2)))) |
216 | 212, 213,
215 | 3eqtr4d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) = (((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2))) |
217 | 2, 11 | sqmuld 14128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐น)โ2) = ((๐ดโ2) ยท (๐นโ2))) |
218 | 217 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2)) = (๐ท ยท ((๐ดโ2) ยท (๐นโ2)))) |
219 | 2 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
220 | 7, 219, 37 | mulassd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2)) = (๐ท ยท ((๐ดโ2) ยท (๐นโ2)))) |
221 | 218, 220 | eqtr4d 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2)) = ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2))) |
222 | 216, 221 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2))) = ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2)))) |
223 | 209, 222 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ)โ2) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2)))) = ((((๐ดโ2) ยท (๐ธโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2))) + ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2))))) |
224 | 7, 206 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐ตโ2)) โ โ) |
225 | 219, 224,
36 | subdird 11676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) ยท (๐ธโ2)) = (((๐ดโ2) ยท (๐ธโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2)))) |
226 | | pellex.no1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) = ๐ถ) |
227 | 226 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) ยท (๐ธโ2)) = (๐ถ ยท (๐ธโ2))) |
228 | 225, 227 | eqtr3d 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (((๐ดโ2) ยท (๐ธโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2))) = (๐ถ ยท (๐ธโ2))) |
229 | 7, 7, 206 | mulassd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) = (๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
230 | 229 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) = ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2)))) |
231 | 230 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) ยท (๐นโ2)) = (((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) ยท (๐นโ2))) |
232 | 214, 206 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) โ โ) |
233 | 7, 219 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (๐ท ยท (๐ดโ2)) โ โ) |
234 | 232, 233,
37 | subdird 11676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) ยท (๐นโ2)) = ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2)))) |
235 | | subdi 11652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ท โ โ โง (๐ท ยท (๐ตโ2)) โ โ โง (๐ดโ2) โ โ) โ
(๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2))) = ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2)))) |
236 | 235 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ท โ โ โง (๐ท ยท (๐ตโ2)) โ โ โง (๐ดโ2) โ โ) โ
((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) = (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2)))) |
237 | 7, 224, 219, 236 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) = (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2)))) |
238 | | negsubdi2 11524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ท ยท (๐ตโ2)) โ โ) โ
-((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) = ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2))) |
239 | 238 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ท ยท (๐ตโ2)) โ โ) โ
((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2)) = -((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
240 | 219, 224,
239 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2)) = -((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
241 | 226 | negeqd 11459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ -((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) = -๐ถ) |
242 | 240, 241 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2)) = -๐ถ) |
243 | 242 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ2)) โ (๐ดโ2))) = (๐ท ยท -๐ถ)) |
244 | 7, 16 | mulneg2d 11673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ท ยท -๐ถ) = -(๐ท ยท ๐ถ)) |
245 | 237, 243,
244 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) = -(๐ท ยท ๐ถ)) |
246 | 245 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ2))) โ (๐ท ยท (๐ดโ2))) ยท (๐นโ2)) = (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2))) |
247 | 231, 234,
246 | 3eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2))) = (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2))) |
248 | 228, 247 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((((๐ดโ2) ยท (๐ธโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ตโ2)) ยท (๐ธโ2))) + ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ2)) ยท (๐นโ2)) โ ((๐ท ยท (๐ดโ2)) ยท (๐นโ2)))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) + (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2)))) |
249 | 7, 16 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ถ) โ โ) |
250 | 249, 37 | mulneg1d 11672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2)) = -((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2))) |
251 | 7, 16 | mulcomd 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ท)) |
252 | 251 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2)) = ((๐ถ ยท ๐ท) ยท (๐นโ2))) |
253 | 16, 7, 37 | mulassd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ท) ยท (๐นโ2)) = (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) |
254 | 252, 253 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2)) = (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) |
255 | 254 | negeqd 11459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ -((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2)) = -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) |
256 | 250, 255 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2)) = -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) |
257 | 256 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) + (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) + -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
258 | 16, 36 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ถ ยท (๐ธโ2)) โ โ) |
259 | 16, 38 | mulcld 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2))) โ โ) |
260 | 258, 259 | negsubd 11582 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) + -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) โ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
261 | 61 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ถ ยท ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2)))) = (๐ถ ยท ๐ถ)) |
262 | | subdi 11652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ถ โ โ โง (๐ธโ2) โ โ โง
(๐ท ยท (๐นโ2)) โ โ) โ
(๐ถ ยท ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2)))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) โ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
263 | 262 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ถ โ โ โง (๐ธโ2) โ โ โง
(๐ท ยท (๐นโ2)) โ โ) โ
((๐ถ ยท (๐ธโ2)) โ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) = (๐ถ ยท ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
264 | 16, 36, 38, 263 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) โ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) = (๐ถ ยท ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
265 | 16 | sqvald 14113 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ถโ2) = (๐ถ ยท ๐ถ)) |
266 | 261, 264,
265 | 3eqtr4d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) โ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) = (๐ถโ2)) |
267 | 257, 260,
266 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((๐ถ ยท (๐ธโ2)) + (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ2))) = (๐ถโ2)) |
268 | 223, 248,
267 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ)โ2) โ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ2))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ2) โ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ2)))) = (๐ถโ2)) |
269 | 193, 202,
268 | 3eqtr2d 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = (๐ถโ2)) |
270 | 183, 192,
269 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) = (๐ถโ2)) |
271 | 270 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) / (๐ถโ2)) = ((๐ถโ2) / (๐ถโ2))) |
272 | 142, 145 | dividd 11993 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ถโ2) / (๐ถโ2)) = 1) |
273 | 170, 271,
272 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))))) / (๐ถโ2)) = 1) |
274 | 151, 155,
273 | 3eqtr2d 2777 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) = 1) |
275 | 274 | adantr 480 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) = 1) |
276 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) |
277 | 276 | fvoveq1d 7434 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) = (absโ(0 / ๐ถ))) |
278 | 16, 17 | div0d 11994 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (0 / ๐ถ) = 0) |
279 | 278 | abs00bd 15243 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (absโ(0 / ๐ถ)) = 0) |
280 | 279 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ (absโ(0 / ๐ถ)) = 0) |
281 | 277, 280 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) = 0) |
282 | 281 | sq0id 14163 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ ((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) = 0) |
283 | 282 | oveq1d 7427 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) = (0 โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)))) |
284 | 275, 283 | eqtr3d 2773 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ 1 = (0 โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)))) |
285 | 125, 284 | mtand 813 |
. . . . 5
โข (๐ โ ยฌ ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) |
286 | 285 | neqned 2946 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ 0) |
287 | 14, 16, 286, 17 | divne0d 12011 |
. . 3
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ 0) |
288 | | nnabscl 15277 |
. . 3
โข
(((((๐ด ยท
๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ โค โง (((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ 0) โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ โ) |
289 | 104, 287,
288 | syl2anc 583 |
. 2
โข (๐ โ (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ โ) |
290 | 112, 16, 17 | absdivd 15407 |
. . . . 5
โข (๐ โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) = ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ๐ถ))) |
291 | | negsub 11513 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ต ยท ๐ธ) โ โ โง (๐ด ยท ๐น) โ โ) โ ((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) = ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) |
292 | 291 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ต ยท ๐ธ) โ โ โง (๐ด ยท ๐น) โ โ) โ ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) = ((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น))) |
293 | 110, 111,
292 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) = ((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น))) |
294 | 293 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = (((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
295 | 133 | renegcld 11646 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ -(๐ด ยท ๐น) โ โ) |
296 | 11, 4 | mulcomd 11240 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐น ยท ๐ธ) = (๐ธ ยท ๐น)) |
297 | 296 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐น ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐น) mod (absโ๐ถ))) |
298 | | modmul1 13894 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ต โ โ โง ๐น โ โ) โง (๐ธ โ โค โง
(absโ๐ถ) โ
โ+) โง (๐ต mod (absโ๐ถ)) = (๐น mod (absโ๐ถ))) โ ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐น ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ))) |
299 | 26, 27, 32, 31, 78, 298 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐น ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ))) |
300 | | modmul1 13894 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โ โง ๐ธ โ โ) โง (๐น โ โค โง
(absโ๐ถ) โ
โ+) โง (๐ด mod (absโ๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ๐ถ))) โ ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐น) mod (absโ๐ถ))) |
301 | 22, 23, 76, 31, 33, 300 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐น) mod (absโ๐ถ))) |
302 | 297, 299,
301 | 3eqtr4d 2781 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ๐ถ))) |
303 | | modadd1 13878 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ต ยท ๐ธ) โ โ โง (๐ด ยท ๐น) โ โ) โง (-(๐ด ยท ๐น) โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โง ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ๐ถ))) โ (((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
304 | 132, 133,
295, 31, 302, 303 | syl221anc 1380 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ))) |
305 | 111 | negidd 11566 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) = 0) |
306 | 305 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = (0 mod (absโ๐ถ))) |
307 | 294, 304,
306 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = (0 mod (absโ๐ถ))) |
308 | 307, 64 | eqtrd 2771 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = 0) |
309 | | absmod0 15255 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โ ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0)) |
310 | 134, 31, 309 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0)) |
311 | 308, 310 | mpbid 231 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0) |
312 | 112 | abscld 15388 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) โ โ) |
313 | | mod0 13846 |
. . . . . . 7
โข
(((absโ((๐ต
ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) โ โ โง (absโ๐ถ) โ โ+)
โ (((absโ((๐ต
ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ๐ถ)) โ โค)) |
314 | 312, 31, 313 | syl2anc 583 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ๐ถ)) = 0 โ ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ๐ถ)) โ โค)) |
315 | 311, 314 | mpbid 231 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((absโ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ๐ถ)) โ โค) |
316 | 290, 315 | eqeltrd 2832 |
. . . 4
โข (๐ โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โค) |
317 | | absz 15263 |
. . . . 5
โข ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โ โ ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โค โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โค)) |
318 | 135, 317 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ ((((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โค โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โค)) |
319 | 316, 318 | mpbird 257 |
. . 3
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โค) |
320 | | pellex.neq |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ยฌ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น)) |
321 | 10 | nnne0d 12267 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐น โ 0) |
322 | 3 | nnne0d 12267 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ธ โ 0) |
323 | 9, 11, 2, 4, 321, 322 | divmuleqd 12041 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ (๐ต ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐น))) |
324 | 61 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))) = ๐ถ) |
325 | 324 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ถ = ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2)))) |
326 | 325 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท ๐ถ) = (((๐ต / ๐น)โ2) ยท ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
327 | 9, 11, 321 | divcld 11995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ต / ๐น) โ โ) |
328 | 327 | sqcld 14114 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ต / ๐น)โ2) โ โ) |
329 | 328 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((๐ต / ๐น)โ2) โ โ) |
330 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ธโ2) โ โ) |
331 | 38 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ท ยท (๐นโ2)) โ โ) |
332 | 329, 330,
331 | subdid 11675 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท ((๐ธโ2) โ (๐ท ยท (๐นโ2)))) = ((((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ธโ2)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ท ยท (๐นโ2))))) |
333 | | oveq1 7419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ ((๐ต / ๐น)โ2) = ((๐ด / ๐ธ)โ2)) |
334 | 333 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ธโ2)) = (((๐ด / ๐ธ)โ2) ยท (๐ธโ2))) |
335 | 334 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ธโ2)) = (((๐ด / ๐ธ)โ2) ยท (๐ธโ2))) |
336 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ด โ โ) |
337 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ธ โ โ) |
338 | 322 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ธ โ 0) |
339 | 336, 337,
338 | sqdivd 14129 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((๐ด / ๐ธ)โ2) = ((๐ดโ2) / (๐ธโ2))) |
340 | 339 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ด / ๐ธ)โ2) ยท (๐ธโ2)) = (((๐ดโ2) / (๐ธโ2)) ยท (๐ธโ2))) |
341 | 219 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ดโ2) โ โ) |
342 | | sqne0 14093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ธ โ โ โ ((๐ธโ2) โ 0 โ ๐ธ โ 0)) |
343 | 4, 342 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ((๐ธโ2) โ 0 โ ๐ธ โ 0)) |
344 | 322, 343 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (๐ธโ2) โ 0) |
345 | 344 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ธโ2) โ 0) |
346 | 341, 330,
345 | divcan1d 11996 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ดโ2) / (๐ธโ2)) ยท (๐ธโ2)) = (๐ดโ2)) |
347 | 335, 340,
346 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ธโ2)) = (๐ดโ2)) |
348 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ท โ โ) |
349 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐นโ2) โ โ) |
350 | 329, 348,
349 | mul12d 11428 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ท ยท (๐นโ2))) = (๐ท ยท (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐นโ2)))) |
351 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ต โ โ) |
352 | 11 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐น โ โ) |
353 | 321 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐น โ 0) |
354 | 351, 352,
353 | sqdivd 14129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((๐ต / ๐น)โ2) = ((๐ตโ2) / (๐นโ2))) |
355 | 354 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐นโ2)) = (((๐ตโ2) / (๐นโ2)) ยท (๐นโ2))) |
356 | 355 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ท ยท (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐นโ2))) = (๐ท ยท (((๐ตโ2) / (๐นโ2)) ยท (๐นโ2)))) |
357 | 206 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ตโ2) โ โ) |
358 | | sqne0 14093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐น โ โ โ ((๐นโ2) โ 0 โ ๐น โ 0)) |
359 | 11, 358 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ((๐นโ2) โ 0 โ ๐น โ 0)) |
360 | 321, 359 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐นโ2) โ 0) |
361 | 360 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐นโ2) โ 0) |
362 | 357, 349,
361 | divcan1d 11996 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ตโ2) / (๐นโ2)) ยท (๐นโ2)) = (๐ตโ2)) |
363 | 362 | oveq2d 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ท ยท (((๐ตโ2) / (๐นโ2)) ยท (๐นโ2))) = (๐ท ยท (๐ตโ2))) |
364 | 350, 356,
363 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ท ยท (๐นโ2))) = (๐ท ยท (๐ตโ2))) |
365 | 347, 364 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ธโ2)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท (๐ท ยท (๐นโ2)))) = ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
366 | 326, 332,
365 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) ยท ๐ถ) = ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
367 | 226 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ถ = ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
368 | 367 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ถ = ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) |
369 | 366, 368 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((((๐ต / ๐น)โ2) ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))))) |
370 | 16 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ถ โ โ) |
371 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ๐ถ โ 0) |
372 | 329, 370,
371 | divcan4d 12001 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((((๐ต / ๐น)โ2) ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ((๐ต / ๐น)โ2)) |
373 | 226, 226 | oveq12d 7430 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) = (๐ถ / ๐ถ)) |
374 | 16, 17 | dividd 11993 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ถ / ๐ถ) = 1) |
375 | 373, 374 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) = 1) |
376 | 375 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2))) / ((๐ดโ2) โ (๐ท ยท (๐ตโ2)))) = 1) |
377 | 369, 372,
376 | 3eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((๐ต / ๐น)โ2) = 1) |
378 | 26, 27, 321 | redivcld 12047 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ต / ๐น) โ โ) |
379 | 8 | nnnn0d 12537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ๐ต โ
โ0) |
380 | 379 | nn0ge0d 12540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ 0 โค ๐ต) |
381 | 10 | nngt0d 12266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ 0 < ๐น) |
382 | | divge0 12088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ต โ โ โง 0 โค
๐ต) โง (๐น โ โ โง 0 < ๐น)) โ 0 โค (๐ต / ๐น)) |
383 | 26, 380, 27, 381, 382 | syl22anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ 0 โค (๐ต / ๐น)) |
384 | 378, 383 | sqrtsqd 15371 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (โโ((๐ต / ๐น)โ2)) = (๐ต / ๐น)) |
385 | 384 | eqcomd 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ต / ๐น) = (โโ((๐ต / ๐น)โ2))) |
386 | 385 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง ((๐ต / ๐น)โ2) = 1) โ (๐ต / ๐น) = (โโ((๐ต / ๐น)โ2))) |
387 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ต / ๐น)โ2) = 1 โ (โโ((๐ต / ๐น)โ2)) =
(โโ1)) |
388 | 387 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง ((๐ต / ๐น)โ2) = 1) โ (โโ((๐ต / ๐น)โ2)) =
(โโ1)) |
389 | | sqrt1 15223 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(โโ1) = 1 |
390 | 389 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง ((๐ต / ๐น)โ2) = 1) โ (โโ1) =
1) |
391 | 386, 388,
390 | 3eqtrd 2775 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง ((๐ต / ๐น)โ2) = 1) โ (๐ต / ๐น) = 1) |
392 | 391 | ex 412 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) = 1 โ (๐ต / ๐น) = 1)) |
393 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) |
394 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ (๐ต / ๐น) = 1) |
395 | 393, 394 | eqtr3d 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ (๐ด / ๐ธ) = 1) |
396 | 395 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ ((๐ด / ๐ธ) ยท ๐ธ) = (1 ยท ๐ธ)) |
397 | 2, 4, 322 | divcan1d 11996 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ด / ๐ธ) ยท ๐ธ) = ๐ด) |
398 | 397 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ ((๐ด / ๐ธ) ยท ๐ธ) = ๐ด) |
399 | 4 | mullidd 11237 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ) |
400 | 399 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ) |
401 | 396, 398,
400 | 3eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ ๐ด = ๐ธ) |
402 | 394 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ ((๐ต / ๐น) ยท ๐น) = (1 ยท ๐น)) |
403 | 9, 11, 321 | divcan1d 11996 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ต / ๐น) ยท ๐น) = ๐ต) |
404 | 403 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ ((๐ต / ๐น) ยท ๐น) = ๐ต) |
405 | 11 | mullidd 11237 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (1 ยท ๐น) = ๐น) |
406 | 405 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ (1 ยท ๐น) = ๐น) |
407 | 402, 404,
406 | 3eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ ๐ต = ๐น) |
408 | 401, 407 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โง (๐ต / ๐น) = 1) โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น)) |
409 | 408 | ex 412 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ ((๐ต / ๐น) = 1 โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น))) |
410 | 392, 409 | syld 47 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (((๐ต / ๐น)โ2) = 1 โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น))) |
411 | 377, 410 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น)) |
412 | 411 | ex 412 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น))) |
413 | 323, 412 | sylbird 260 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐น) โ (๐ด = ๐ธ โง ๐ต = ๐น))) |
414 | 320, 413 | mtod 197 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ยฌ (๐ต ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐น)) |
415 | 414 | neqned 2946 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) |
416 | 110, 111,
415 | subne0d 11585 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) โ 0) |
417 | 112, 16, 416, 17 | divne0d 12011 |
. . 3
โข (๐ โ (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ 0) |
418 | | nnabscl 15277 |
. . 3
โข
(((((๐ต ยท
๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ โค โง (((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ 0) โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โ) |
419 | 319, 417,
418 | syl2anc 583 |
. 2
โข (๐ โ (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โ) |
420 | | oveq1 7419 |
. . . . 5
โข (๐ = (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ (๐โ2) = ((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2)) |
421 | 420 | oveq1d 7427 |
. . . 4
โข (๐ = (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2)))) |
422 | 421 | eqeq1d 2733 |
. . 3
โข (๐ = (absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ (((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1 โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1)) |
423 | | oveq1 7419 |
. . . . . 6
โข (๐ = (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ (๐โ2) = ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)) |
424 | 423 | oveq2d 7428 |
. . . . 5
โข (๐ = (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ (๐ท ยท (๐โ2)) = (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) |
425 | 424 | oveq2d 7428 |
. . . 4
โข (๐ = (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2)))) |
426 | 425 | eqeq1d 2733 |
. . 3
โข (๐ = (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ ((((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1 โ (((absโ(((๐ด ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) = 1)) |
427 | 422, 426 | rspc2ev 3624 |
. 2
โข
(((absโ(((๐ด
ยท ๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ โ โง (absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ โ โง
(((absโ(((๐ด ยท
๐ธ) โ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ2) โ (๐ท ยท ((absโ(((๐ต ยท ๐ธ) โ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ2))) = 1) โ โ๐ โ โ โ๐ โ โ ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1) |
428 | 289, 419,
274, 427 | syl3anc 1370 |
1
โข (๐ โ โ๐ โ โ โ๐ โ โ ((๐โ2) โ (๐ท ยท (๐โ2))) = 1) |