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Theorem pellexlem6 39772
Description: Lemma for pellex 39773. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pellex.ann (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pellex.bnn (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pellex.cz (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
pellex.dnn (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
pellex.irr (𝜑 → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
pellex.enn (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
pellex.fnn (𝜑𝐹 ∈ ℕ)
pellex.neq (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹))
pellex.cn0 (𝜑𝐶 ≠ 0)
pellex.no1 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
pellex.no2 (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
pellex.xcg (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
pellex.ycg (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
pellexlem6 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏   𝐷,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem pellexlem6
StepHypRef Expression
1 pellex.ann . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nncnd 11645 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pellex.enn . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
43nncnd 11645 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 10654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
6 pellex.dnn . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
76nncnd 11645 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
8 pellex.bnn . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10 pellex.fnn . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℕ)
1110nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
129, 11mulcld 10654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
137, 12mulcld 10654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
145, 13subcld 10990 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
15 pellex.cz . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1615zcnd 12080 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
17 pellex.cn0 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
1814, 16, 17absdivd 14811 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)))
195, 13negsubd 10996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
2019eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
2120oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
221nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
233nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ)
256nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
268nnred 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2710nnred 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
2826, 27remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℝ)
2925, 28remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
3029renegcld 11060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
3116, 17absrpcld 14804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ+)
323nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
33 pellex.xcg . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
34 modmul1 13291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
3522, 23, 32, 31, 33, 34syl221anc 1378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
364sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
3711sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
387, 37mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
3936, 38npcand 10994 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐸↑2))
404sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
4139, 40eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) = (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))))
4241oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
4323resqcld 13611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
4427resqcld 13611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
4525, 44remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
4643, 45resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
47 0red 10637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4816abscld 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
4948recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
5016, 17absne0d 14803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
5149, 50dividd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) = 1)
52 1zzd 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5351, 52eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
54 mod0 13243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
5548, 31, 54syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
5653, 55mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0)
5715zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
58 absmod0 14659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
5957, 31, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
6056, 59mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0)
61 pellex.no2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
6261oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (𝐶 mod (abs‘𝐶)))
63 0mod 13269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝐶) ∈ ℝ+ → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
6431, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
6560, 62, 643eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
66 modadd1 13275 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶))) → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
6746, 47, 45, 31, 65, 66syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
6838addid2d 10834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐹↑2)))
6911sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
7069oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) = (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)))
717, 11, 11mul12d 10842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
7268, 70, 713eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
7372oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
7442, 67, 733eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
756nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
7610nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
7775, 76zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ)
78 pellex.ycg . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))
7978eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶)))
80 modmul1 13291 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
8127, 26, 77, 31, 79, 80syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
829, 7, 11mul12d 10842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) = (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))
8382oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
8481, 83eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
8535, 74, 843eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
86 modadd1 13275 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
8724, 29, 30, 31, 85, 86syl221anc 1378 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
8813negidd 10980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
8988oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
9021, 87, 893eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
9190, 64eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
9224, 29resubcld 11061 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ)
93 absmod0 14659 . . . . . . . 8 ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
9492, 31, 93syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
9591, 94mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
9614abscld 14792 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ)
97 mod0 13243 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
9896, 31, 97syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
9995, 98mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
10018, 99eqeltrd 2893 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ)
10192, 57, 17redivcld 11461 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ)
102 absz 14667 . . . . 5 ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
103101, 102syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
104100, 103mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ)
105 0lt1 11155 . . . . . . . 8 0 < 1
106 0re 10636 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
107 1re 10634 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
108106, 107ltnlei 10754 . . . . . . . 8 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
109105, 108mpbi 233 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ 0
1109, 4mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ)
1112, 11mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
112110, 111subcld 10990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
113112, 16, 17divcld 11409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℂ)
114113abscld 14792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℝ)
115114resqcld 13611 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
1166nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
117116nn0ge0d 11950 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
118114sqge0d 13612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
11925, 115, 117, 118mulge0d 11210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
12025, 115remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) ∈ ℝ)
12147, 120suble0d 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
122119, 121mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0)
123 breq1 5036 . . . . . . . 8 (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → (1 ≤ 0 ↔ (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0))
124122, 123syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → 1 ≤ 0))
125109, 124mtoi 202 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
126 absresq 14658 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
127101, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
12814, 16, 17sqdivd 13523 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)))
12914sqvald 13507 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) = (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))))
130129oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
131127, 128, 1303eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
13226, 23remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ)
13322, 27remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
134132, 133resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ)
135134, 57, 17redivcld 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ)
136 absresq 14658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
138112, 16, 17sqdivd 13523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
139137, 138eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
140139oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
141112sqcld 13508 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) ∈ ℂ)
14216sqcld 13508 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
143 sqne0 13489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
14416, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
14517, 144mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
1467, 141, 142, 145divassd 11444 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
147112sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) = (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))
148147oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) = (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))))
149148oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
150140, 146, 1493eqtr2d 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
151131, 150oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
15214, 14mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
153112, 112mulcld 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
1547, 153mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
155152, 154, 142, 145divsubdird 11448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
1565, 13, 5, 13mulsubd 11092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))))
157110, 111, 110, 111mulsubd 11092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) = ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
158157oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
159110, 110mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) ∈ ℂ)
160111, 111mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
161159, 160addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
162110, 111mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
163162, 162addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
1647, 161, 163subdid 11089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
1657, 159, 160adddid 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
1667, 162, 162adddid 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
167165, 166oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
168158, 164, 1673eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
169156, 168oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
170169oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)))
1715, 13mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)))
1727, 12, 5mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))))
1732, 4mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐴))
174173oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)))
1759, 11, 4, 2mul4d 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)))
17611, 2mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐹))
177176oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
178174, 175, 1773eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
179178oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
180171, 172, 1793eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
181180, 180oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
182181oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
183182oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
1845, 5mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
18513, 13mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
186184, 185addcld 10653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
1877, 159mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) ∈ ℂ)
1887, 160mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
189187, 188addcld 10653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
1907, 162mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
191190, 190addcld 10653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
192186, 189, 191nnncan2d 11025 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
193184, 185, 187, 188addsub4d 11037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
1945sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)))
195110sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))
196195oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))))
197194, 196oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))))
19813sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
199111sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))
200199oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))
201198, 200oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
202197, 201oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
2032, 4sqmuld 13522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐸↑2)))
2049, 4sqmuld 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐸↑2)))
205204oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
2069sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2077, 206, 36mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
208205, 207eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)))
209203, 208oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
2107sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷↑2) = (𝐷 · 𝐷))
2119, 11sqmuld 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐹↑2)))
212210, 211oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
2137, 12sqmuld 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)))
2147, 7mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷 · 𝐷) ∈ ℂ)
215214, 206, 37mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
216212, 213, 2153eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)))
2172, 11sqmuld 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐹↑2)))
218217oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
2192sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2207, 219, 37mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
221218, 220eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))
222216, 221oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
223209, 222oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))))
2247, 206mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
225219, 224, 36subdird 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
226 pellex.no1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
227226oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
228225, 227eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
2297, 7, 206mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) = (𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))))
230229oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
231230oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)))
232214, 206mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
2337, 219mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
234232, 233, 37subdird 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
235 subdi 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
236235eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
2377, 224, 219, 236syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
238 negsubdi2 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)))
239238eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
240219, 224, 239syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
241226negeqd 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = -𝐶)
242240, 241eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -𝐶)
243242oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = (𝐷 · -𝐶))
2447, 16mulneg2d 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷 · -𝐶) = -(𝐷 · 𝐶))
245237, 243, 2443eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = -(𝐷 · 𝐶))
246245oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
247231, 234, 2463eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
248228, 247oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))))
2497, 16mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
250249, 37mulneg1d 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
2517, 16mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐷))
252251oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)))
25316, 7, 37mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
254252, 253eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
255254negeqd 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
256250, 255eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
257256oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
25816, 36mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
25916, 38mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℂ)
260258, 259negsubd 10996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
26161oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · 𝐶))
262 subdi 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
263262eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
26416, 36, 38, 263syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
26516sqvald 13507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
266261, 264, 2653eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶↑2))
267257, 260, 2663eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = (𝐶↑2))
268223, 248, 2673eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = (𝐶↑2))
269193, 202, 2683eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = (𝐶↑2))
270183, 192, 2693eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (𝐶↑2))
271270oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)))
272142, 145dividd 11407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)) = 1)
273170, 271, 2723eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = 1)
274151, 155, 2733eqtr2d 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
275274adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
276 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
277276fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = (abs‘(0 / 𝐶)))
27816, 17div0d 11408 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 / 𝐶) = 0)
279278abs00bd 14647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
280279adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
281277, 280eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = 0)
282281sq0id 13557 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = 0)
283282oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
284275, 283eqtr3d 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
285125, 284mtand 815 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
286285neqned 2997 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ≠ 0)
28714, 16, 286, 17divne0d 11425 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0)
288 nnabscl 14681 . . 3 (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
289104, 287, 288syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
290112, 16, 17absdivd 14811 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)))
291 negsub 10927 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))
292291eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
293110, 111, 292syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
294293oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
295133renegcld 11060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
29611, 4mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐹))
297296oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
298 modmul1 13291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
29926, 27, 32, 31, 78, 298syl221anc 1378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
300 modmul1 13291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
30122, 23, 76, 31, 33, 300syl221anc 1378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
302297, 299, 3013eqtr4d 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
303 modadd1 13275 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
304132, 133, 295, 31, 302, 303syl221anc 1378 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
305111negidd 10980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) = 0)
306305oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
307294, 304, 3063eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
308307, 64eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0)
309 absmod0 14659 . . . . . . . 8 ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
310134, 31, 309syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
311308, 310mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
312112abscld 14792 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ)
313 mod0 13243 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
314312, 31, 313syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
315311, 314mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
316290, 315eqeltrd 2893 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ)
317 absz 14667 . . . . 5 ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
318135, 317syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
319316, 318mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ)
320 pellex.neq . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹))
32110nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ≠ 0)
3223nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ≠ 0)
3239, 11, 2, 4, 321, 322divmuleqd 11455 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) ↔ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹)))
32461adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
325324eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))))
326325oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
3279, 11, 321divcld 11409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℂ)
328327sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
329328adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
33036adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
33138adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
332329, 330, 331subdid 11089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
333 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐴 / 𝐸)↑2))
334333oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
335334adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
3362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3374adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
338322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ≠ 0)
339336, 337, 338sqdivd 13523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐴 / 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐸↑2)))
340339oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)))
341219adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
342 sqne0 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐸 ∈ ℂ → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
3434, 342syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
344322, 343mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
345344adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ≠ 0)
346341, 330, 345divcan1d 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
347335, 340, 3463eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
3487adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
34937adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
350329, 348, 349mul12d 10842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))))
3519adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
35211adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ∈ ℂ)
353321adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ≠ 0)
354351, 352, 353sqdivd 13523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐹↑2)))
355354oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)))
356355oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))))
357206adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
358 sqne0 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ ℂ → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
35911, 358syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
360321, 359mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹↑2) ≠ 0)
361360adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ≠ 0)
362357, 349, 361divcan1d 11410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐵↑2))
363362oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
364350, 356, 3633eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
365347, 364oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
366326, 332, 3653eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
367226eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
368367adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
369366, 368oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
37016adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ∈ ℂ)
37117adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ≠ 0)
372329, 370, 371divcan4d 11415 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐹)↑2))
373226, 226oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = (𝐶 / 𝐶))
37416, 17dividd 11407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 / 𝐶) = 1)
375373, 374eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
376375adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
377369, 372, 3763eqtr3d 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1)
37826, 27, 321redivcld 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℝ)
3798nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
380379nn0ge0d 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
38110nngt0d 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 𝐹)
382 divge0 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐹)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
38326, 380, 27, 381, 382syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
384378, 383sqrtsqd 14775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (𝐵 / 𝐹))
385384eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
386385ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
387 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
388387adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
389 sqrt1 14627 . . . . . . . . . . . . . 14 (√‘1) = 1
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘1) = 1)
391386, 388, 3903eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
392391ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐵 / 𝐹) = 1))
393 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸))
394 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
395393, 394eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 / 𝐸) = 1)
396395oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
3972, 4, 322divcan1d 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
398397ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
3994mulid2d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
400399ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐸) = 𝐸)
401396, 398, 4003eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐴 = 𝐸)
402394oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = (1 · 𝐹))
4039, 11, 321divcan1d 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
404403ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
40511mulid2d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 𝐹) = 𝐹)
406405ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐹) = 𝐹)
407402, 404, 4063eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐵 = 𝐹)
408401, 407jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹))
409408ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹) = 1 → (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹)))
410392, 409syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹)))
411377, 410mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹))
412411ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹)))
413323, 412sylbird 263 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹) → (𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐹)))
414320, 413mtod 201 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹))
415414neqned 2997 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ≠ (𝐴 · 𝐹))
416110, 111, 415subne0d 10999 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ≠ 0)
417112, 16, 416, 17divne0d 11425 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0)
418 nnabscl 14681 . . 3 (((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
419319, 417, 418syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
420 oveq1 7146 . . . . 5 (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (𝑎↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2))
421420oveq1d 7154 . . . 4 (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
422421eqeq1d 2803 . . 3 (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
423 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝑏↑2) = ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
424423oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
425424oveq2d 7155 . . . 4 (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
426425eqeq1d 2803 . . 3 (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → ((((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1))
427422, 426rspc2ev 3586 . 2 (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
428289, 419, 274, 427syl3anc 1368 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  cz 11973  cq 12340  +crp 12381   mod cmo 13236  cexp 13429  csqrt 14588  abscabs 14589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591
This theorem is referenced by:  pellex  39773
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