pellexlem6 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pellexlem6 43589

Description: Lemma for pellex 43590. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pellex.ann	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pellex.bnn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pellex.cz	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pellex.dnn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
pellex.irr	⊢ (𝜑 → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
pellex.enn	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
pellex.fnn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
pellex.neq	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
pellex.cn0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
pellex.no1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
pellex.no2	⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
pellex.xcg	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
pellex.ycg	⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem6	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝐴 𝐵,𝑎,𝑏 𝐶,𝑎,𝑏 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝐹,𝑎,𝑏 𝜑,𝑎,𝑏

**Proof of Theorem pellexlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pellex.ann	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pellex.enn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
6		pellex.dnn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		pellex.bnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10		pellex.fnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
14	5, 13	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
15		pellex.cz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17		pellex.cn0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	14, 16, 17	absdivd 15516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)))
19	5, 13	negsubd 11581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
20	19	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
21	20	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
22	1	nnred 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	3	nnred 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ)
25	6	nnred 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
26	8	nnred 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27	10	nnred 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℝ)
29	25, 28	remulcld 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
31	16, 17	absrpcld 15509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺)
32	3	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
33		pellex.xcg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
34		modmul1 13967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
35	22, 23, 32, 31, 33, 34	syl221anc 1407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
36	4	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
37	11	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
38	7, 37	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
39	36, 38	npcand 11579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐸↑2))
40	4	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
41	39, 40	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) = (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))))
42	41	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
43	23	resqcld 14168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
44	27	resqcld 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
45	25, 44	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
46	43, 45	resubcld 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
47		0red 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
48	16	abscld 15497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
50	16, 17	absne0d 15508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
51	49, 50	dividd 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) = 1)
52		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
53	51, 52	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
54		mod0 13916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
55	48, 31, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0)
57	15	zred 12706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
58		absmod0 15361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
59	57, 31, 58	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0)
61		pellex.no2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
62	61	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (𝐶 mod (abs‘𝐶)))
63		0mod 13942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺ → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
64	31, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
65	60, 62, 64	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
66		modadd1 13948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶))) → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
67	46, 47, 45, 31, 65, 66	syl221anc 1407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
68	38	addlidd 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐹↑2)))
69	11	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
70	69	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) = (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)))
71	7, 11, 11	mul12d 11425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
72	68, 70, 71	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
73	72	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
74	42, 67, 73	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
75	6	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
76	10	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
77	75, 76	zmulcld 12712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ)
78		pellex.ycg	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))
79	78	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶)))
80		modmul1 13967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
81	27, 26, 77, 31, 79, 80	syl221anc 1407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
82	9, 7, 11	mul12d 11425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) = (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))
83	82	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
84	81, 83	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
85	35, 74, 84	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
86		modadd1 13948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
87	24, 29, 30, 31, 85, 86	syl221anc 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
88	13	negidd 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
89	88	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
90	21, 87, 89	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
91	90, 64	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
92	24, 29	resubcld 11648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ)
93		absmod0 15361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
94	92, 31, 93	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
95	91, 94	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
96	14	abscld 15497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ)
97		mod0 13916	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
98	96, 31, 97	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
100	18, 99	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ)
101	92, 57, 17	redivcld 12049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ)
102		absz 15369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
103	101, 102	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
104	100, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ)
105		0lt1 11742	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
106		0re 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
107		1re 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
108	106, 107	ltnlei 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
109	105, 108	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
110	9, 4	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ)
111	2, 11	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
112	110, 111	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
113	112, 16, 17	divcld 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℂ)
114	113	abscld 15497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℝ)
115	114	resqcld 14168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
116	6	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ₀)
117	116	nn0ge0d 12574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
118	114	sqge0d 14180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
119	25, 115, 117, 118	mulge0d 11797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
120	25, 115	remulcld 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) ∈ ℝ)
121	47, 120	suble0d 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
122	119, 121	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0)
123		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → (1 ≤ 0 ↔ (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0))
124	122, 123	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → 1 ≤ 0))
125	109, 124	mtoi 202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
126		absresq 15360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
127	101, 126	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
128	14, 16, 17	sqdivd 14202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)))
129	14	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) = (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))))
130	129	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
131	127, 128, 130	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
132	26, 23	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ)
133	22, 27	remulcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
134	132, 133	resubcld 11648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ)
135	134, 57, 17	redivcld 12049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ)
136		absresq 15360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
137	135, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
138	112, 16, 17	sqdivd 14202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
139	137, 138	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
140	139	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
141	112	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) ∈ ℂ)
142	16	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
143		sqne0 14166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
144	16, 143	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
145	17, 144	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
146	7, 141, 142, 145	divassd 12032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
147	112	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) = (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))
148	147	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) = (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))))
149	148	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
150	140, 146, 149	3eqtr2d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
151	131, 150	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
152	14, 14	mulcld 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
153	112, 112	mulcld 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
154	7, 153	mulcld 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
155	152, 154, 142, 145	divsubdird 12036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
156	5, 13, 5, 13	mulsubd 11679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))))
157	110, 111, 110, 111	mulsubd 11679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) = ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
158	157	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
159	110, 110	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) ∈ ℂ)
160	111, 111	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
161	159, 160	addcld 11234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
162	110, 111	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
163	162, 162	addcld 11234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
164	7, 161, 163	subdid 11676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
165	7, 159, 160	adddid 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
166	7, 162, 162	adddid 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
167	165, 166	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
168	158, 164, 167	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
169	156, 168	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
170	169	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)))
171	5, 13	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)))
172	7, 12, 5	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))))
173	2, 4	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐴))
174	173	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)))
175	9, 11, 4, 2	mul4d 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)))
176	11, 2	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐹))
177	176	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
178	174, 175, 177	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
179	178	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
180	171, 172, 179	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
181	180, 180	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
182	181	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
183	182	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
184	5, 5	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
185	13, 13	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
186	184, 185	addcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
187	7, 159	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) ∈ ℂ)
188	7, 160	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
189	187, 188	addcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
190	7, 162	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
191	190, 190	addcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
192	186, 189, 191	nnncan2d 11610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
193	184, 185, 187, 188	addsub4d 11622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
194	5	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)))
195	110	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))
196	195	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))))
197	194, 196	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))))
198	13	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
199	111	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))
200	199	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))
201	198, 200	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
202	197, 201	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
203	2, 4	sqmuld 14201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐸↑2)))
204	9, 4	sqmuld 14201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐸↑2)))
205	204	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
206	9	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
207	7, 206, 36	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
208	205, 207	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)))
209	203, 208	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
210	7	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = (𝐷 · 𝐷))
211	9, 11	sqmuld 14201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐹↑2)))
212	210, 211	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
213	7, 12	sqmuld 14201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)))
214	7, 7	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐷) ∈ ℂ)
215	214, 206, 37	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
216	212, 213, 215	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)))
217	2, 11	sqmuld 14201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐹↑2)))
218	217	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
219	2	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
220	7, 219, 37	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
221	218, 220	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))
222	216, 221	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
223	209, 222	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))))
224	7, 206	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
225	219, 224, 36	subdird 11677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
226		pellex.no1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
227	226	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
228	225, 227	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
229	7, 7, 206	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) = (𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))))
230	229	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
231	230	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)))
232	214, 206	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
233	7, 219	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
234	232, 233, 37	subdird 11677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
235		subdi 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
236	235	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
237	7, 224, 219, 236	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
238		negsubdi2 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)))
239	238	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
240	219, 224, 239	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
241	226	negeqd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = -𝐶)
242	240, 241	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -𝐶)
243	242	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = (𝐷 · -𝐶))
244	7, 16	mulneg2d 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -𝐶) = -(𝐷 · 𝐶))
245	237, 243, 244	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = -(𝐷 · 𝐶))
246	245	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
247	231, 234, 246	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
248	228, 247	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))))
249	7, 16	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
250	249, 37	mulneg1d 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
251	7, 16	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐷))
252	251	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)))
253	16, 7, 37	mulassd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
254	252, 253	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
255	254	negeqd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
256	250, 255	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
257	256	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
258	16, 36	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
259	16, 38	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℂ)
260	258, 259	negsubd 11581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
261	61	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · 𝐶))
262		subdi 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
263	262	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
264	16, 36, 38, 263	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
265	16	sqvald 14186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
266	261, 264, 265	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶↑2))
267	257, 260, 266	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = (𝐶↑2))
268	223, 248, 267	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = (𝐶↑2))
269	193, 202, 268	3eqtr2d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = (𝐶↑2))
270	183, 192, 269	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (𝐶↑2))
271	270	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)))
272	142, 145	dividd 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)) = 1)
273	170, 271, 272	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = 1)
274	151, 155, 273	3eqtr2d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
275	274	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
276		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
277	276	fvoveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = (abs‘(0 / 𝐶)))
278	16, 17	div0d 11996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝐶) = 0)
279	278	abs00bd 15349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
280	279	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
281	277, 280	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = 0)
282	281	sq0id 14237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = 0)
283	282	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
284	275, 283	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
285	125, 284	mtand 827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
286	285	neqned 2964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ≠ 0)
287	14, 16, 286, 17	divne0d 12013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0)
288		nnabscl 15384	. . 3 ⊢ (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
289	104, 287, 288	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
290	112, 16, 17	absdivd 15516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)))
291		negsub 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))
292	291	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
293	110, 111, 292	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
294	293	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
295	133	renegcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
296	11, 4	mulcomd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐹))
297	296	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
298		modmul1 13967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
299	26, 27, 32, 31, 78, 298	syl221anc 1407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
300		modmul1 13967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
301	22, 23, 76, 31, 33, 300	syl221anc 1407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
302	297, 299, 301	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
303		modadd1 13948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
304	132, 133, 295, 31, 302, 303	syl221anc 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
305	111	negidd 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) = 0)
306	305	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
307	294, 304, 306	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
308	307, 64	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0)
309		absmod0 15361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
310	134, 31, 309	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
311	308, 310	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
312	112	abscld 15497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ)
313		mod0 13916	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
314	312, 31, 313	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
315	311, 314	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
316	290, 315	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ)
317		absz 15369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
318	135, 317	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
319	316, 318	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ)
320		pellex.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
321	10	nnne0d 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0)
322	3	nnne0d 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
323	9, 11, 2, 4, 321, 322	divmuleqd 12043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) ↔ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹)))
324	61	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
325	324	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))))
326	325	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
327	9, 11, 321	divcld 11997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℂ)
328	327	sqcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
329	328	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
330	36	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
331	38	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
332	329, 330, 331	subdid 11676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
333		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐴 / 𝐸)↑2))
334	333	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
335	334	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
336	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐴 ∈ ℂ)
337	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
338	322	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ≠ 0)
339	336, 337, 338	sqdivd 14202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐴 / 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐸↑2)))
340	339	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)))
341	219	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
342		sqne0 14166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
343	4, 342	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
344	322, 343	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
345	344	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ≠ 0)
346	341, 330, 345	divcan1d 11998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
347	335, 340, 346	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
348	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
349	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
350	329, 348, 349	mul12d 11425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))))
351	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
352	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ∈ ℂ)
353	321	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ≠ 0)
354	351, 352, 353	sqdivd 14202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐹↑2)))
355	354	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)))
356	355	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))))
357	206	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
358		sqne0 14166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ ℂ → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
359	11, 358	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
360	321, 359	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≠ 0)
361	360	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ≠ 0)
362	357, 349, 361	divcan1d 11998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐵↑2))
363	362	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
364	350, 356, 363	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
365	347, 364	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
366	326, 332, 365	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
367	226	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
368	367	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
369	366, 368	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
370	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ∈ ℂ)
371	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ≠ 0)
372	329, 370, 371	divcan4d 12003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐹)↑2))
373	226, 226	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = (𝐶 / 𝐶))
374	16, 17	dividd 11995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐶) = 1)
375	373, 374	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
376	375	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
377	369, 372, 376	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1)
378	26, 27, 321	redivcld 12049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℝ)
379	8	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
380	379	nn0ge0d 12574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
381	10	nngt0d 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐹)
382		divge0 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐹)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
383	26, 380, 27, 381, 382	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
384	378, 383	sqrtsqd 15478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (𝐵 / 𝐹))
385	384	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
386	385	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
387		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
388	387	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
389		sqrt1 15329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘1) = 1
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘1) = 1)
391	386, 388, 390	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
392	391	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐵 / 𝐹) = 1))
393		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸))
394		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
395	393, 394	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 / 𝐸) = 1)
396	395	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
397	2, 4, 322	divcan1d 11998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
398	397	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
399	4	mullidd 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
400	399	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐸) = 𝐸)
401	396, 398, 400	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐴 = 𝐸)
402	394	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = (1 · 𝐹))
403	9, 11, 321	divcan1d 11998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
404	403	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
405	11	mullidd 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐹) = 𝐹)
406	405	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐹) = 𝐹)
407	402, 404, 406	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐵 = 𝐹)
408	401, 407	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
409	408	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
410	392, 409	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
411	377, 410	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
412	411	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
413	323, 412	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
414	320, 413	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹))
415	414	neqned 2964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ≠ (𝐴 · 𝐹))
416	110, 111, 415	subne0d 11584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ≠ 0)
417	112, 16, 416, 17	divne0d 12013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0)
418		nnabscl 15384	. . 3 ⊢ (((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
419	319, 417, 418	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
420		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (𝑎↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2))
421	420	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
422	421	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
423		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝑏↑2) = ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
424	423	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
425	424	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
426	425	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → ((((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1))
427	422, 426	rspc2ev 3593	. 2 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
428	289, 419, 274, 427	syl3anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1102 = wceq 1569 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∃wrex 3088 class class class wbr 5108 ‘cfv 6536 (class class class)co 7412 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11249 ≤ cle 11250 − cmin 11447 -cneg 11448 / cdiv 11877 ℕcn 12239 2c2 12301 ℤcz 12597 ℚcq 12978 ℝ⁺crp 13022 mod cmo 13909 ↑cexp 14104 √csqrt 15291 abscabs 15292

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1824 ax-4 1838 ax-5 1939 ax-6 1996 ax-7 2037 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-sep 5256 ax-nul 5268 ax-pow 5335 ax-pr 5403 ax-un 7734 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1103 df-3an 1104 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1809 df-nf 1813 df-sb 2096 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3456 df-sbc 3744 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4487 df-pw 4563 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4595 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5109 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5555 df-eprel 5560 df-po 5568 df-so 5569 df-fr 5613 df-we 5615 df-xp 5666 df-rel 5667 df-cnv 5668 df-co 5669 df-dm 5670 df-rn 5671 df-res 5672 df-ima 5673 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7861 df-2nd 7985 df-frecs 8276 df-wrecs 8307 df-recs 8356 df-rdg 8395 df-er 8692 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9400 df-inf 9401 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11449 df-neg 11450 df-div 11878 df-nn 12240 df-2 12309 df-3 12310 df-n0 12511 df-z 12598 df-uz 12869 df-rp 13023 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14045 df-exp 14105 df-cj 15157 df-re 15158 df-im 15159 df-sqrt 15293 df-abs 15294

This theorem is used by: pellex 43590

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