Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellexlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellexlem6 41875
Description: Lemma for pellex 41876. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pellex.ann (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pellex.bnn (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pellex.cz (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
pellex.dnn (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
pellex.irr (๐œ‘ โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š)
pellex.enn (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
pellex.fnn (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„•)
pellex.neq (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น))
pellex.cn0 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
pellex.no1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = ๐ถ)
pellex.no2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = ๐ถ)
pellex.xcg (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ€˜๐ถ)))
pellex.ycg (๐œ‘ โ†’ (๐ต mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐น mod (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
pellexlem6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐ด   ๐ต,๐‘Ž,๐‘   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘   ๐ท,๐‘Ž,๐‘   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐น,๐‘Ž,๐‘   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem pellexlem6
StepHypRef Expression
1 pellex.ann . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nncnd 12233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 pellex.enn . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcld 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
6 pellex.dnn . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
76nncnd 12233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8 pellex.bnn . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
98nncnd 12233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10 pellex.fnn . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
129, 11mulcld 11239 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
137, 12mulcld 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โˆˆ โ„‚)
145, 13subcld 11576 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
15 pellex.cz . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12672 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
17 pellex.cn0 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
1814, 16, 17absdivd 15407 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) = ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ€˜๐ถ)))
195, 13negsubd 11582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))
2019eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = ((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))
2120oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)))
221nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
233nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
2422, 23remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
256nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
268nnred 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2710nnred 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
2826, 27remulcld 11249 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐น) โˆˆ โ„)
2925, 28remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โˆˆ โ„)
3029renegcld 11646 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โˆˆ โ„)
3116, 17absrpcld 15400 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+)
323nnzd 12590 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
33 pellex.xcg . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ€˜๐ถ)))
34 modmul1 13894 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โˆง (๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)))
3522, 23, 32, 31, 33, 34syl221anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)))
364sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3711sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
387, 37mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3936, 38npcand 11580 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ธโ†‘2))
404sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) = (๐ธ ยท ๐ธ))
4139, 40eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ธ) = (((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))))
4241oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)))
4323resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„)
4427resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„)
4525, 44remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
4643, 45resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„)
47 0red 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4816abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
4948recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5016, 17absne0d 15399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โ‰  0)
5149, 50dividd 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) / (absโ€˜๐ถ)) = 1)
52 1zzd 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
5351, 52eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
54 mod0 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โ†’ (((absโ€˜๐ถ) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜๐ถ) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
5548, 31, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜๐ถ) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
5653, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
5715zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
58 absmod0 15255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ถ mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜๐ถ) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0))
5957, 31, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜๐ถ) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
61 pellex.no2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = ๐ถ)
6261oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ถ mod (absโ€˜๐ถ)))
63 0mod 13872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
6431, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0 mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
6560, 62, 643eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (0 mod (absโ€˜๐ถ)))
66 modadd1 13878 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โˆง ((๐ท ยท (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (0 mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((0 + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)))
6746, 47, 45, 31, 65, 66syl221anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((0 + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)))
6838addlidd 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0 + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))
6911sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) = (๐น ยท ๐น))
7069oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ท ยท (๐น ยท ๐น)))
717, 11, 11mul12d 11428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐น ยท ๐น)) = (๐น ยท (๐ท ยท ๐น)))
7268, 70, 713eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = (๐น ยท (๐ท ยท ๐น)))
7372oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((0 + (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
7442, 67, 733eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
756nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
7610nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
7775, 76zmulcld 12677 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐น) โˆˆ โ„ค)
78 pellex.ycg . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐น mod (absโ€˜๐ถ)))
7978eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐น mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ต mod (absโ€˜๐ถ)))
80 modmul1 13894 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐น โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ((๐ท ยท ๐น) โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง (๐น mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ต mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
8127, 26, 77, 31, 79, 80syl221anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
829, 7, 11mul12d 11428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) = (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))
8382oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
8481, 83eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ยท (๐ท ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
8535, 74, 843eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
86 modadd1 13878 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โˆˆ โ„) โˆง (-(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)))
8724, 29, 30, 31, 85, 86syl221anc 1380 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)))
8813negidd 11566 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0)
8988oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) + -(๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (0 mod (absโ€˜๐ถ)))
9021, 87, 893eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = (0 mod (absโ€˜๐ถ)))
9190, 64eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
9224, 29resubcld 11647 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆˆ โ„)
93 absmod0 15255 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0))
9492, 31, 93syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0))
9591, 94mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
9614abscld 15388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆˆ โ„)
97 mod0 13846 . . . . . . 7 (((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โ†’ (((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
9896, 31, 97syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
9995, 98mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
10018, 99eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
10192, 57, 17redivcld 12047 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
102 absz 15263 . . . . 5 ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค โ†” (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
103101, 102syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค โ†” (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
104100, 103mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
105 0lt1 11741 . . . . . . . 8 0 < 1
106 0re 11221 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
107 1re 11219 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
108106, 107ltnlei 11340 . . . . . . . 8 (0 < 1 โ†” ยฌ 1 โ‰ค 0)
109105, 108mpbi 229 . . . . . . 7 ยฌ 1 โ‰ค 0
1109, 4mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
1112, 11mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
112110, 111subcld 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆˆ โ„‚)
113112, 16, 17divcld 11995 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
114113abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„)
115114resqcld 14095 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
1166nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
117116nn0ge0d 12540 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
118114sqge0d 14107 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))
11925, 115, 117, 118mulge0d 11796 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2)))
12025, 115remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
12147, 120suble0d 11810 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))))
122119, 121mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) โ‰ค 0)
123 breq1 5151 . . . . . . . 8 (1 = (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) โ†’ (1 โ‰ค 0 โ†” (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) โ‰ค 0))
124122, 123syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 = (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) โ†’ 1 โ‰ค 0))
125109, 124mtoi 198 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 1 = (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))))
126 absresq 15254 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)โ†‘2))
127101, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)โ†‘2))
12814, 16, 17sqdivd 14129 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))โ†‘2) / (๐ถโ†‘2)))
12914sqvald 14113 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))โ†‘2) = (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))))
130129oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))โ†‘2) / (๐ถโ†‘2)) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2)))
131127, 128, 1303eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2)))
13226, 23remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
13322, 27remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„)
134132, 133resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆˆ โ„)
135134, 57, 17redivcld 12047 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
136 absresq 15254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)โ†‘2))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)โ†‘2))
138112, 16, 17sqdivd 14129 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2) / (๐ถโ†‘2)))
139137, 138eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2) / (๐ถโ†‘2)))
140139oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2)) = (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2) / (๐ถโ†‘2))))
141112sqcld 14114 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
14216sqcld 14114 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
143 sqne0 14093 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ถ โ‰  0))
14416, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ถ โ‰  0))
14517, 144mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โ‰  0)
1467, 141, 142, 145divassd 12030 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2)) / (๐ถโ†‘2)) = (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2) / (๐ถโ†‘2))))
147112sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2) = (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))))
148147oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2)) = (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))))
149148oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))โ†‘2)) / (๐ถโ†‘2)) = ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2)))
150140, 146, 1493eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2)) = ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2)))
151131, 150oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) = (((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2))))
15214, 14mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆˆ โ„‚)
153112, 112mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
1547, 153mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) โˆˆ โ„‚)
155152, 154, 142, 145divsubdird 12034 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))))) / (๐ถโ†‘2)) = (((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) / (๐ถโ†‘2))))
1565, 13, 5, 13mulsubd 11678 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))))
157110, 111, 110, 111mulsubd 11678 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) = ((((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆ’ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))
158157oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) = (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆ’ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
159110, 110mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„‚)
160111, 111mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)) โˆˆ โ„‚)
161159, 160addcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
162110, 111mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) โˆˆ โ„‚)
163162, 162addcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
1647, 161, 163subdid 11675 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆ’ (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
1657, 159, 160adddid 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) = ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))))
1667, 162, 162adddid 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))) = ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))
167165, 166oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)) + ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)) + ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
168158, 164, 1673eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))) = (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
169156, 168oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))))) = (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))))
170169oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))))) / (๐ถโ†‘2)) = ((((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) / (๐ถโ†‘2)))
1715, 13mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ด ยท ๐ธ)))
1727, 12, 5mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ))))
1732, 4mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) = (๐ธ ยท ๐ด))
174173oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) = ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))
1759, 11, 4, 2mul4d 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐น ยท ๐ด)))
17611, 2mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐น))
177176oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐น ยท ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))
178174, 175, 1773eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))
179178oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐ธ))) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))
180171, 172, 1793eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))
181180, 180oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) = ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))
182181oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
183182oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) = (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))))
1845, 5mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„‚)
18513, 13mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
186184, 185addcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆˆ โ„‚)
1877, 159mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„‚)
1887, 160mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
189187, 188addcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆˆ โ„‚)
1907, 162mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„‚)
191190, 190addcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆˆ โ„‚)
192186, 189, 191nnncan2d 11611 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
193184, 185, 187, 188addsub4d 11623 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
1945sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) = ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)))
195110sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2) = ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))
196195oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))))
197194, 196oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2))) = (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))))
19813sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) = ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))
199111sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2) = ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))
200199oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))
201198, 200oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2))) = (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))))
202197, 201oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2)))) = ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ)))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))))
2032, 4sqmuld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)))
2049, 4sqmuld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)))
205204oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2))))
2069sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2077, 206, 36mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2)) = (๐ท ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2))))
208205, 207eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2)) = ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2)))
209203, 208oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2))))
2107sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) = (๐ท ยท ๐ท))
2119, 11sqmuld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)))
212210, 211oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ต ยท ๐น)โ†‘2)) = ((๐ท ยท ๐ท) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
2137, 12sqmuld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ต ยท ๐น)โ†‘2)))
2147, 7mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
215214, 206, 37mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) = ((๐ท ยท ๐ท) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
216212, 213, 2153eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)))
2172, 11sqmuld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)))
218217oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
2192sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2207, 219, 37mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ท ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
221218, 220eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2)) = ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)))
222216, 221oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2))) = ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2))))
223209, 222oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2))) + ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)))))
2247, 206mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
225219, 224, 36subdird 11676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) ยท (๐ธโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2))))
226 pellex.no1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = ๐ถ)
227226oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) ยท (๐ธโ†‘2)) = (๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)))
228225, 227eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2))) = (๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)))
2297, 7, 206mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
230229oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) = ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))))
231230oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (๐นโ†‘2)) = (((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (๐นโ†‘2)))
232214, 206mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
2337, 219mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
234232, 233, 37subdird 11676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (๐นโ†‘2)) = ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2))))
235 subdi 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))))
236235eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) = (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
2377, 224, 219, 236syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) = (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
238 negsubdi2 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
239238eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = -((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
240219, 224, 239syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = -((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
241226negeqd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ -((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = -๐ถ)
242240, 241eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = -๐ถ)
243242oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = (๐ท ยท -๐ถ))
2447, 16mulneg2d 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท -๐ถ) = -(๐ท ยท ๐ถ))
245237, 243, 2443eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) = -(๐ท ยท ๐ถ))
246245oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (๐ท ยท (๐ดโ†‘2))) ยท (๐นโ†‘2)) = (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)))
247231, 234, 2463eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2))) = (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)))
248228, 247oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2))) + ((((๐ท ยท ๐ท) ยท (๐ตโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) โˆ’ ((๐ท ยท (๐ดโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) + (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2))))
2497, 16mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
250249, 37mulneg1d 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)) = -((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)))
2517, 16mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ท))
252251oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)) = ((๐ถ ยท ๐ท) ยท (๐นโ†‘2)))
25316, 7, 37mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))))
254252, 253eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))))
255254negeqd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ -((๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)) = -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))))
256250, 255eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2)) = -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))))
257256oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) + (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) + -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
25816, 36mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
25916, 38mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
260258, 259negsubd 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) + -(๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
26161oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = (๐ถ ยท ๐ถ))
262 subdi 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
263262eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = (๐ถ ยท ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
26416, 36, 38, 263syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = (๐ถ ยท ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
26516sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = (๐ถ ยท ๐ถ))
266261, 264, 2653eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (๐ถ ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = (๐ถโ†‘2))
267257, 260, 2663eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ธโ†‘2)) + (-(๐ท ยท ๐ถ) ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ถโ†‘2))
268223, 248, 2673eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ)โ†‘2))) + (((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น)โ†‘2)))) = (๐ถโ†‘2))
269193, 202, 2683eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น))))) = (๐ถโ†‘2))
270183, 192, 2693eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) = (๐ถโ†‘2))
271270oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐ธ)) + ((๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) + ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))))) โˆ’ (((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐ธ))) + (๐ท ยท ((๐ด ยท ๐น) ยท (๐ด ยท ๐น)))) โˆ’ ((๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น))) + (๐ท ยท ((๐ต ยท ๐ธ) ยท (๐ด ยท ๐น)))))) / (๐ถโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) / (๐ถโ†‘2)))
272142, 145dividd 11993 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) / (๐ถโ†‘2)) = 1)
273170, 271, 2723eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) ยท ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น)))) โˆ’ (๐ท ยท (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) ยท ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))))) / (๐ถโ†‘2)) = 1)
274151, 155, 2733eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) = 1)
275274adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) = 1)
276 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0)
277276fvoveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) = (absโ€˜(0 / ๐ถ)))
27816, 17div0d 11994 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐ถ) = 0)
279278abs00bd 15243 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(0 / ๐ถ)) = 0)
280279adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ (absโ€˜(0 / ๐ถ)) = 0)
281277, 280eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) = 0)
282281sq0id 14163 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) = 0)
283282oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) = (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))))
284275, 283eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0) โ†’ 1 = (0 โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))))
285125, 284mtand 813 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) = 0)
286285neqned 2946 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) โ‰  0)
28714, 16, 286, 17divne0d 12011 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ‰  0)
288 nnabscl 15277 . . 3 (((((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ) โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โˆˆ โ„•)
289104, 287, 288syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โˆˆ โ„•)
290112, 16, 17absdivd 15407 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) = ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ€˜๐ถ)))
291 negsub 11513 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) = ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))
292291eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) = ((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)))
293110, 111, 292syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) = ((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)))
294293oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = (((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
295133renegcld 11646 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„)
29611, 4mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐ธ) = (๐ธ ยท ๐น))
297296oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ)))
298 modmul1 13894 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐น โˆˆ โ„) โˆง (๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง (๐ต mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐น mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐น ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)))
29926, 27, 32, 31, 78, 298syl221anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐น ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)))
300 modmul1 13894 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โˆง (๐น โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod (absโ€˜๐ถ)) = (๐ธ mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ)))
30122, 23, 76, 31, 33, 300syl221anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ธ ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ)))
302297, 299, 3013eqtr4d 2781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ)))
303 modadd1 13878 . . . . . . . . . 10 ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„) โˆง (-(๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ต ยท ๐ธ) mod (absโ€˜๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐น) mod (absโ€˜๐ถ))) โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
304132, 133, 295, 31, 302, 303syl221anc 1380 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = (((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)))
305111negidd 11566 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) = 0)
306305oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐น) + -(๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = (0 mod (absโ€˜๐ถ)))
307294, 304, 3063eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = (0 mod (absโ€˜๐ถ)))
308307, 64eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
309 absmod0 15255 . . . . . . . 8 ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0))
310134, 31, 309syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0))
311308, 310mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0)
312112abscld 15388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„)
313 mod0 13846 . . . . . . 7 (((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„+) โ†’ (((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
314312, 31, 313syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) mod (absโ€˜๐ถ)) = 0 โ†” ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
315311, 314mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น))) / (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
316290, 315eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
317 absz 15263 . . . . 5 ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค โ†” (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
318135, 317syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค โ†” (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค))
319316, 318mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
320 pellex.neq . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น))
32110nnne0d 12267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‰  0)
3223nnne0d 12267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โ‰  0)
3239, 11, 2, 4, 321, 322divmuleqd 12041 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ†” (๐ต ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐น)))
32461adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = ๐ถ)
325324eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ถ = ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2))))
326325oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท ๐ถ) = (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
3279, 11, 321divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ๐น) โˆˆ โ„‚)
328327sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ๐น)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
329328adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((๐ต / ๐น)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
33036adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
33138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
332329, 330, 331subdid 11675 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = ((((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))))
333 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ†’ ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = ((๐ด / ๐ธ)โ†‘2))
334333oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) = (((๐ด / ๐ธ)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)))
335334adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) = (((๐ด / ๐ธ)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)))
3362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3374adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
338322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ธ โ‰  0)
339336, 337, 338sqdivd 14129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((๐ด / ๐ธ)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (๐ธโ†‘2)))
340339oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ด / ๐ธ)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / (๐ธโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2)))
341219adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
342 sqne0 14093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ธ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ธโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ธ โ‰  0))
3434, 342syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ธ โ‰  0))
344322, 343mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โ‰  0)
345344adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ธโ†‘2) โ‰  0)
346341, 330, 345divcan1d 11996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ธโ†‘2)) ยท (๐ธโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
347335, 340, 3463eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
3487adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
34937adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
350329, 348, 349mul12d 11428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ท ยท (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
3519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
35211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
353321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐น โ‰  0)
354351, 352, 353sqdivd 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / (๐นโ†‘2)))
355354oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)) = (((๐ตโ†‘2) / (๐นโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)))
356355oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ท ยท (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ท ยท (((๐ตโ†‘2) / (๐นโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2))))
357206adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
358 sqne0 14093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐น โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐นโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐น โ‰  0))
35911, 358syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐น โ‰  0))
360321, 359mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โ‰  0)
361360adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐นโ†‘2) โ‰  0)
362357, 349, 361divcan1d 11996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / (๐นโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ตโ†‘2))
363362oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ท ยท (((๐ตโ†‘2) / (๐นโ†‘2)) ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))
364350, 356, 3633eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2))) = (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))
365347, 364oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) โˆ’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท (๐ท ยท (๐นโ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
366326, 332, 3653eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท ๐ถ) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
367226eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
368367adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ถ = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
369366, 368oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) / ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))))
37016adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
37117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
372329, 370, 371divcan4d 12001 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((((๐ต / ๐น)โ†‘2) ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ((๐ต / ๐น)โ†‘2))
373226, 226oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) / ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = (๐ถ / ๐ถ))
37416, 17dividd 11993 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ถ) = 1)
375373, 374eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) / ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = 1)
376375adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) / ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))) = 1)
377369, 372, 3763eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1)
37826, 27, 321redivcld 12047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ๐น) โˆˆ โ„)
3798nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
380379nn0ge0d 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
38110nngt0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐น)
382 divge0 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐น)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / ๐น))
38326, 380, 27, 381, 382syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / ๐น))
384378, 383sqrtsqd 15371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((๐ต / ๐น)โ†‘2)) = (๐ต / ๐น))
385384eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ๐น) = (โˆšโ€˜((๐ต / ๐น)โ†‘2)))
386385ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1) โ†’ (๐ต / ๐น) = (โˆšโ€˜((๐ต / ๐น)โ†‘2)))
387 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1 โ†’ (โˆšโ€˜((๐ต / ๐น)โ†‘2)) = (โˆšโ€˜1))
388387adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ต / ๐น)โ†‘2)) = (โˆšโ€˜1))
389 sqrt1 15223 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆšโ€˜1) = 1
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1) โ†’ (โˆšโ€˜1) = 1)
391386, 388, 3903eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง ((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1) โ†’ (๐ต / ๐น) = 1)
392391ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1 โ†’ (๐ต / ๐น) = 1))
393 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ))
394 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ (๐ต / ๐น) = 1)
395393, 394eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ (๐ด / ๐ธ) = 1)
396395oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ ((๐ด / ๐ธ) ยท ๐ธ) = (1 ยท ๐ธ))
3972, 4, 322divcan1d 11996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ธ) ยท ๐ธ) = ๐ด)
398397ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ ((๐ด / ๐ธ) ยท ๐ธ) = ๐ด)
3994mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ)
400399ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ)
401396, 398, 4003eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ ๐ด = ๐ธ)
402394oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ ((๐ต / ๐น) ยท ๐น) = (1 ยท ๐น))
4039, 11, 321divcan1d 11996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ๐น) ยท ๐น) = ๐ต)
404403ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ ((๐ต / ๐น) ยท ๐น) = ๐ต)
40511mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐น) = ๐น)
406405ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ (1 ยท ๐น) = ๐น)
407402, 404, 4063eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ ๐ต = ๐น)
408401, 407jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โˆง (๐ต / ๐น) = 1) โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น))
409408ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ ((๐ต / ๐น) = 1 โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น)))
410392, 409syld 47 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (((๐ต / ๐น)โ†‘2) = 1 โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น)))
411377, 410mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ)) โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น))
412411ex 412 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ๐น) = (๐ด / ๐ธ) โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น)))
413323, 412sylbird 260 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐น) โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐ต = ๐น)))
414320, 413mtod 197 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ต ยท ๐ธ) = (๐ด ยท ๐น))
415414neqned 2946 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ธ) โ‰  (๐ด ยท ๐น))
416110, 111, 415subne0d 11585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โ‰  0)
417112, 16, 416, 17divne0d 12011 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ‰  0)
418 nnabscl 15277 . . 3 (((((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ) โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„•)
419319, 417, 418syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„•)
420 oveq1 7419 . . . . 5 (๐‘Ž = (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2))
421420oveq1d 7427 . . . 4 (๐‘Ž = (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))))
422421eqeq1d 2733 . . 3 (๐‘Ž = (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
423 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘ = (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ†’ (๐‘โ†‘2) = ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))
424423oveq2d 7428 . . . . 5 (๐‘ = (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2)))
425424oveq2d 7428 . . . 4 (๐‘ = (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ†’ (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))))
426425eqeq1d 2733 . . 3 (๐‘ = (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โ†’ ((((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) = 1))
427422, 426rspc2ev 3624 . 2 (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ)) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ)) โˆˆ โ„• โˆง (((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ท ยท (๐ต ยท ๐น))) / ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((absโ€˜(((๐ต ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) / ๐ถ))โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
428289, 419, 274, 427syl3anc 1370 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„คcz 12563  โ„šcq 12937  โ„+crp 12979   mod cmo 13839  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15185  abscabs 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188
This theorem is referenced by:  pellex  41876
  Copyright terms: Public domain W3C validator