pellexlem6 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pellexlem6 43773

Description: Lemma for pellex 43774. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pellex.ann	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pellex.bnn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pellex.cz	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pellex.dnn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
pellex.irr	⊢ (𝜑 → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
pellex.enn	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
pellex.fnn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
pellex.neq	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
pellex.cn0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
pellex.no1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
pellex.no2	⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
pellex.xcg	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
pellex.ycg	⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem6	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝐴 𝐵,𝑎,𝑏 𝐶,𝑎,𝑏 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝐹,𝑎,𝑏 𝜑,𝑎,𝑏

**Proof of Theorem pellexlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pellex.ann	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pellex.enn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
6		pellex.dnn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		pellex.bnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10		pellex.fnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
14	5, 13	subcld 11626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
15		pellex.cz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12759	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17		pellex.cn0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	14, 16, 17	absdivd 15578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)))
19	5, 13	negsubd 11632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
20	19	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
21	20	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
22	1	nnred 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	3	nnred 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ)
25	6	nnred 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
26	8	nnred 12305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27	10	nnred 12305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℝ)
29	25, 28	remulcld 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 11698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
31	16, 17	absrpcld 15571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺)
32	3	nnzd 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
33		pellex.xcg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
34		modmul1 14021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
35	22, 23, 32, 31, 33, 34	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
36	4	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
37	11	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
38	7, 37	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
39	36, 38	npcand 11630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐸↑2))
40	4	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
41	39, 40	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) = (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))))
42	41	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
43	23	resqcld 14222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
44	27	resqcld 14222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
45	25, 44	remulcld 11296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
46	43, 45	resubcld 11699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
47		0red 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
48	16	abscld 15559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
50	16, 17	absne0d 15570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
51	49, 50	dividd 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) = 1)
52		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
53	51, 52	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
54		mod0 13970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
55	48, 31, 54	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0)
57	15	zred 12758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
58		absmod0 15423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
59	57, 31, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0)
61		pellex.no2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
62	61	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (𝐶 mod (abs‘𝐶)))
63		0mod 13996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺ → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
64	31, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
65	60, 62, 64	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
66		modadd1 14002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶))) → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
67	46, 47, 45, 31, 65, 66	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
68	38	addlidd 11468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐹↑2)))
69	11	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
70	69	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) = (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)))
71	7, 11, 11	mul12d 11476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
72	68, 70, 71	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
73	72	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
74	42, 67, 73	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
75	6	nnzd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
76	10	nnzd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
77	75, 76	zmulcld 12764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ)
78		pellex.ycg	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))
79	78	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶)))
80		modmul1 14021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
81	27, 26, 77, 31, 79, 80	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
82	9, 7, 11	mul12d 11476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) = (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))
83	82	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
84	81, 83	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
85	35, 74, 84	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
86		modadd1 14002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
87	24, 29, 30, 31, 85, 86	syl221anc 1408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
88	13	negidd 11616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
89	88	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
90	21, 87, 89	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
91	90, 64	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
92	24, 29	resubcld 11699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ)
93		absmod0 15423	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
94	92, 31, 93	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
95	91, 94	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
96	14	abscld 15559	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ)
97		mod0 13970	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
98	96, 31, 97	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
100	18, 99	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ)
101	92, 57, 17	redivcld 12100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ)
102		absz 15431	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
103	101, 102	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
104	100, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ)
105		0lt1 11793	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
106		0re 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
107		1re 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
108	106, 107	ltnlei 11388	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
109	105, 108	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
110	9, 4	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ)
111	2, 11	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
112	110, 111	subcld 11626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
113	112, 16, 17	divcld 12048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℂ)
114	113	abscld 15559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℝ)
115	114	resqcld 14222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
116	6	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ₀)
117	116	nn0ge0d 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
118	114	sqge0d 14234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
119	25, 115, 117, 118	mulge0d 11848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
120	25, 115	remulcld 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) ∈ ℝ)
121	47, 120	suble0d 11862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
122	119, 121	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0)
123		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → (1 ≤ 0 ↔ (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0))
124	122, 123	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → 1 ≤ 0))
125	109, 124	mtoi 202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
126		absresq 15422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
127	101, 126	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
128	14, 16, 17	sqdivd 14256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)))
129	14	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) = (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))))
130	129	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
131	127, 128, 130	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
132	26, 23	remulcld 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ)
133	22, 27	remulcld 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
134	132, 133	resubcld 11699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ)
135	134, 57, 17	redivcld 12100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ)
136		absresq 15422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
137	135, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
138	112, 16, 17	sqdivd 14256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
139	137, 138	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
140	139	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
141	112	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) ∈ ℂ)
142	16	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
143		sqne0 14220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
144	16, 143	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
145	17, 144	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
146	7, 141, 142, 145	divassd 12083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
147	112	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) = (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))
148	147	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) = (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))))
149	148	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
150	140, 146, 149	3eqtr2d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
151	131, 150	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
152	14, 14	mulcld 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
153	112, 112	mulcld 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
154	7, 153	mulcld 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
155	152, 154, 142, 145	divsubdird 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
156	5, 13, 5, 13	mulsubd 11730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))))
157	110, 111, 110, 111	mulsubd 11730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) = ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
158	157	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
159	110, 110	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) ∈ ℂ)
160	111, 111	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
161	159, 160	addcld 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
162	110, 111	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
163	162, 162	addcld 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
164	7, 161, 163	subdid 11727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
165	7, 159, 160	adddid 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
166	7, 162, 162	adddid 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
167	165, 166	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
168	158, 164, 167	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
169	156, 168	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
170	169	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)))
171	5, 13	mulcomd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)))
172	7, 12, 5	mulassd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))))
173	2, 4	mulcomd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐴))
174	173	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)))
175	9, 11, 4, 2	mul4d 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)))
176	11, 2	mulcomd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐹))
177	176	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
178	174, 175, 177	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
179	178	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
180	171, 172, 179	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
181	180, 180	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
182	181	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
183	182	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
184	5, 5	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
185	13, 13	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
186	184, 185	addcld 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
187	7, 159	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) ∈ ℂ)
188	7, 160	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
189	187, 188	addcld 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
190	7, 162	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
191	190, 190	addcld 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
192	186, 189, 191	nnncan2d 11661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
193	184, 185, 187, 188	addsub4d 11673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
194	5	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)))
195	110	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))
196	195	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))))
197	194, 196	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))))
198	13	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
199	111	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))
200	199	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))
201	198, 200	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
202	197, 201	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
203	2, 4	sqmuld 14255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐸↑2)))
204	9, 4	sqmuld 14255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐸↑2)))
205	204	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
206	9	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
207	7, 206, 36	mulassd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
208	205, 207	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)))
209	203, 208	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
210	7	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = (𝐷 · 𝐷))
211	9, 11	sqmuld 14255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐹↑2)))
212	210, 211	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
213	7, 12	sqmuld 14255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)))
214	7, 7	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐷) ∈ ℂ)
215	214, 206, 37	mulassd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
216	212, 213, 215	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)))
217	2, 11	sqmuld 14255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐹↑2)))
218	217	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
219	2	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
220	7, 219, 37	mulassd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
221	218, 220	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))
222	216, 221	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
223	209, 222	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))))
224	7, 206	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
225	219, 224, 36	subdird 11728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
226		pellex.no1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
227	226	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
228	225, 227	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
229	7, 7, 206	mulassd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) = (𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))))
230	229	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
231	230	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)))
232	214, 206	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
233	7, 219	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
234	232, 233, 37	subdird 11728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
235		subdi 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
236	235	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
237	7, 224, 219, 236	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
238		negsubdi2 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)))
239	238	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
240	219, 224, 239	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
241	226	negeqd 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = -𝐶)
242	240, 241	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -𝐶)
243	242	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = (𝐷 · -𝐶))
244	7, 16	mulneg2d 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -𝐶) = -(𝐷 · 𝐶))
245	237, 243, 244	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = -(𝐷 · 𝐶))
246	245	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
247	231, 234, 246	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
248	228, 247	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))))
249	7, 16	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
250	249, 37	mulneg1d 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
251	7, 16	mulcomd 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐷))
252	251	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)))
253	16, 7, 37	mulassd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
254	252, 253	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
255	254	negeqd 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
256	250, 255	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
257	256	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
258	16, 36	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
259	16, 38	mulcld 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℂ)
260	258, 259	negsubd 11632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
261	61	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · 𝐶))
262		subdi 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
263	262	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
264	16, 36, 38, 263	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
265	16	sqvald 14240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
266	261, 264, 265	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶↑2))
267	257, 260, 266	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = (𝐶↑2))
268	223, 248, 267	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = (𝐶↑2))
269	193, 202, 268	3eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = (𝐶↑2))
270	183, 192, 269	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (𝐶↑2))
271	270	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)))
272	142, 145	dividd 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)) = 1)
273	170, 271, 272	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = 1)
274	151, 155, 273	3eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
275	274	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
276		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
277	276	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = (abs‘(0 / 𝐶)))
278	16, 17	div0d 12047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝐶) = 0)
279	278	abs00bd 15411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
280	279	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
281	277, 280	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = 0)
282	281	sq0id 14291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = 0)
283	282	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
284	275, 283	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
285	125, 284	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
286	285	neqned 2962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ≠ 0)
287	14, 16, 286, 17	divne0d 12064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0)
288		nnabscl 15446	. . 3 ⊢ (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
289	104, 287, 288	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
290	112, 16, 17	absdivd 15578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)))
291		negsub 11563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))
292	291	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
293	110, 111, 292	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
294	293	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
295	133	renegcld 11698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
296	11, 4	mulcomd 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐹))
297	296	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
298		modmul1 14021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
299	26, 27, 32, 31, 78, 298	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
300		modmul1 14021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
301	22, 23, 76, 31, 33, 300	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
302	297, 299, 301	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
303		modadd1 14002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
304	132, 133, 295, 31, 302, 303	syl221anc 1408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
305	111	negidd 11616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) = 0)
306	305	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
307	294, 304, 306	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
308	307, 64	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0)
309		absmod0 15423	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
310	134, 31, 309	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
311	308, 310	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
312	112	abscld 15559	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ)
313		mod0 13970	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
314	312, 31, 313	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
315	311, 314	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
316	290, 315	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ)
317		absz 15431	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
318	135, 317	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
319	316, 318	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ)
320		pellex.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
321	10	nnne0d 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0)
322	3	nnne0d 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
323	9, 11, 2, 4, 321, 322	divmuleqd 12094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) ↔ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹)))
324	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
325	324	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))))
326	325	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
327	9, 11, 321	divcld 12048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℂ)
328	327	sqcld 14241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
329	328	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
330	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
331	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
332	329, 330, 331	subdid 11727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
333		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐴 / 𝐸)↑2))
334	333	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
335	334	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
336	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐴 ∈ ℂ)
337	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
338	322	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ≠ 0)
339	336, 337, 338	sqdivd 14256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐴 / 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐸↑2)))
340	339	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)))
341	219	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
342		sqne0 14220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
343	4, 342	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
344	322, 343	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
345	344	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ≠ 0)
346	341, 330, 345	divcan1d 12049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
347	335, 340, 346	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
348	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
349	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
350	329, 348, 349	mul12d 11476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))))
351	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
352	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ∈ ℂ)
353	321	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ≠ 0)
354	351, 352, 353	sqdivd 14256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐹↑2)))
355	354	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)))
356	355	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))))
357	206	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
358		sqne0 14220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ ℂ → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
359	11, 358	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
360	321, 359	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≠ 0)
361	360	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ≠ 0)
362	357, 349, 361	divcan1d 12049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐵↑2))
363	362	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
364	350, 356, 363	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
365	347, 364	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
366	326, 332, 365	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
367	226	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
368	367	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
369	366, 368	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
370	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ∈ ℂ)
371	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ≠ 0)
372	329, 370, 371	divcan4d 12054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐹)↑2))
373	226, 226	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = (𝐶 / 𝐶))
374	16, 17	dividd 12046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐶) = 1)
375	373, 374	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
376	375	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
377	369, 372, 376	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1)
378	26, 27, 321	redivcld 12100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℝ)
379	8	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
380	379	nn0ge0d 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
381	10	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐹)
382		divge0 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐹)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
383	26, 380, 27, 381, 382	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
384	378, 383	sqrtsqd 15540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (𝐵 / 𝐹))
385	384	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
386	385	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
387		fveq2 6874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
388	387	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
389		sqrt1 15391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘1) = 1
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘1) = 1)
391	386, 388, 390	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
392	391	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐵 / 𝐹) = 1))
393		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸))
394		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
395	393, 394	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 / 𝐸) = 1)
396	395	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
397	2, 4, 322	divcan1d 12049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
398	397	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
399	4	mullidd 11284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
400	399	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐸) = 𝐸)
401	396, 398, 400	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐴 = 𝐸)
402	394	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = (1 · 𝐹))
403	9, 11, 321	divcan1d 12049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
404	403	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
405	11	mullidd 11284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐹) = 𝐹)
406	405	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐹) = 𝐹)
407	402, 404, 406	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐵 = 𝐹)
408	401, 407	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
409	408	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
410	392, 409	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
411	377, 410	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
412	411	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
413	323, 412	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
414	320, 413	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹))
415	414	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ≠ (𝐴 · 𝐹))
416	110, 111, 415	subne0d 11636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ≠ 0)
417	112, 16, 416, 17	divne0d 12064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0)
418		nnabscl 15446	. . 3 ⊢ (((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
419	319, 417, 418	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
420		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (𝑎↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2))
421	420	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
422	421	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
423		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝑏↑2) = ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
424	423	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
425	424	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
426	425	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → ((((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1))
427	422, 426	rspc2ev 3589	. 2 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
428	289, 419, 274, 427	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∃wrex 3086 class class class wbr 5103 ‘cfv 6528 (class class class)co 7409 ℂcc 11155 ℝcr 11156 0cc0 11157 1c1 11158 + caddc 11160 · cmul 11162 < clt 11300 ≤ cle 11301 − cmin 11498 -cneg 11499 / cdiv 11928 ℕcn 12290 2c2 12352 ℤcz 12648 ℚcq 13030 ℝ⁺crp 13075 mod cmo 13963 ↑cexp 14158 √csqrt 15353 abscabs 15354

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7735 ax-cnex 11213 ax-resscn 11214 ax-1cn 11215 ax-icn 11216 ax-addcl 11217 ax-addrcl 11218 ax-mulcl 11219 ax-mulrcl 11220 ax-mulcom 11221 ax-addass 11222 ax-mulass 11223 ax-distr 11224 ax-i2m1 11225 ax-1ne0 11226 ax-1rid 11227 ax-rnegex 11228 ax-rrecex 11229 ax-cnre 11230 ax-pre-lttri 11231 ax-pre-lttrn 11232 ax-pre-ltadd 11233 ax-pre-mulgt0 11234 ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5543 df-eprel 5548 df-po 5556 df-so 5557 df-fr 5601 df-we 5603 df-xp 5654 df-rel 5655 df-cnv 5656 df-co 5657 df-dm 5658 df-rn 5659 df-res 5660 df-ima 5661 df-pred 6294 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6530 df-fn 6531 df-f 6532 df-f1 6533 df-fo 6534 df-f1o 6535 df-fv 6536 df-riota 7366 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7862 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-er 8696 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-sup 9412 df-inf 9413 df-pnf 11302 df-mnf 11303 df-xr 11304 df-ltxr 11305 df-le 11306 df-sub 11500 df-neg 11501 df-div 11929 df-nn 12291 df-2 12360 df-3 12361 df-n0 12562 df-z 12649 df-uz 12921 df-rp 13076 df-fl 13886 df-mod 13964 df-seq 14099 df-exp 14159 df-cj 15219 df-re 15220 df-im 15221 df-sqrt 15355 df-abs 15356

This theorem is used by: pellex 43774

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