pellexlem6 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pellexlem6 42815

Description: Lemma for pellex 42816. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pellex.ann	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pellex.bnn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pellex.cz	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pellex.dnn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
pellex.irr	⊢ (𝜑 → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
pellex.enn	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
pellex.fnn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
pellex.neq	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
pellex.cn0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
pellex.no1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
pellex.no2	⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
pellex.xcg	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
pellex.ycg	⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem6	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝐴 𝐵,𝑎,𝑏 𝐶,𝑎,𝑏 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝐹,𝑎,𝑏 𝜑,𝑎,𝑏

**Proof of Theorem pellexlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pellex.ann	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pellex.enn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
6		pellex.dnn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		pellex.bnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10		pellex.fnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
14	5, 13	subcld 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
15		pellex.cz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17		pellex.cn0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	14, 16, 17	absdivd 15400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)))
19	5, 13	negsubd 11515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
20	19	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
21	20	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
22	1	nnred 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	3	nnred 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ)
25	6	nnred 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
26	8	nnred 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27	10	nnred 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℝ)
29	25, 28	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
31	16, 17	absrpcld 15393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺)
32	3	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
33		pellex.xcg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
34		modmul1 13865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
35	22, 23, 32, 31, 33, 34	syl221anc 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
36	4	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
37	11	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
38	7, 37	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
39	36, 38	npcand 11513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐸↑2))
40	4	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
41	39, 40	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) = (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))))
42	41	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
43	23	resqcld 14066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
44	27	resqcld 14066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
45	25, 44	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
46	43, 45	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
47		0red 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
48	16	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
50	16, 17	absne0d 15392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
51	49, 50	dividd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) = 1)
52		1zzd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
53	51, 52	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
54		mod0 13814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
55	48, 31, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0)
57	15	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
58		absmod0 15245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
59	57, 31, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0)
61		pellex.no2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
62	61	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (𝐶 mod (abs‘𝐶)))
63		0mod 13840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺ → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
64	31, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
65	60, 62, 64	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
66		modadd1 13846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶))) → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
67	46, 47, 45, 31, 65, 66	syl221anc 1383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
68	38	addlidd 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐹↑2)))
69	11	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
70	69	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) = (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)))
71	7, 11, 11	mul12d 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
72	68, 70, 71	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
73	72	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
74	42, 67, 73	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
75	6	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
76	10	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
77	75, 76	zmulcld 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ)
78		pellex.ycg	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))
79	78	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶)))
80		modmul1 13865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
81	27, 26, 77, 31, 79, 80	syl221anc 1383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
82	9, 7, 11	mul12d 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) = (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))
83	82	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
84	81, 83	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
85	35, 74, 84	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
86		modadd1 13846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
87	24, 29, 30, 31, 85, 86	syl221anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
88	13	negidd 11499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
89	88	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
90	21, 87, 89	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
91	90, 64	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
92	24, 29	resubcld 11582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ)
93		absmod0 15245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
94	92, 31, 93	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
95	91, 94	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
96	14	abscld 15381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ)
97		mod0 13814	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
98	96, 31, 97	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
99	95, 98	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
100	18, 99	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ)
101	92, 57, 17	redivcld 11986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ)
102		absz 15253	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
103	101, 102	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
104	100, 103	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ)
105		0lt1 11676	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
106		0re 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
107		1re 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
108	106, 107	ltnlei 11271	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
109	105, 108	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
110	9, 4	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ)
111	2, 11	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
112	110, 111	subcld 11509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
113	112, 16, 17	divcld 11934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℂ)
114	113	abscld 15381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℝ)
115	114	resqcld 14066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
116	6	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ₀)
117	116	nn0ge0d 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
118	114	sqge0d 14078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
119	25, 115, 117, 118	mulge0d 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
120	25, 115	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) ∈ ℝ)
121	47, 120	suble0d 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
122	119, 121	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0)
123		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → (1 ≤ 0 ↔ (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0))
124	122, 123	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → 1 ≤ 0))
125	109, 124	mtoi 199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
126		absresq 15244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
127	101, 126	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
128	14, 16, 17	sqdivd 14100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)))
129	14	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) = (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))))
130	129	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
131	127, 128, 130	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
132	26, 23	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ)
133	22, 27	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
134	132, 133	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ)
135	134, 57, 17	redivcld 11986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ)
136		absresq 15244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
138	112, 16, 17	sqdivd 14100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
139	137, 138	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
140	139	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
141	112	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) ∈ ℂ)
142	16	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
143		sqne0 14064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
144	16, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
145	17, 144	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
146	7, 141, 142, 145	divassd 11969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
147	112	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) = (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))
148	147	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) = (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))))
149	148	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
150	140, 146, 149	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
151	131, 150	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
152	14, 14	mulcld 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
153	112, 112	mulcld 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
154	7, 153	mulcld 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
155	152, 154, 142, 145	divsubdird 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
156	5, 13, 5, 13	mulsubd 11613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))))
157	110, 111, 110, 111	mulsubd 11613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) = ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
158	157	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
159	110, 110	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) ∈ ℂ)
160	111, 111	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
161	159, 160	addcld 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
162	110, 111	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
163	162, 162	addcld 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
164	7, 161, 163	subdid 11610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
165	7, 159, 160	adddid 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
166	7, 162, 162	adddid 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
167	165, 166	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
168	158, 164, 167	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
169	156, 168	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
170	169	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)))
171	5, 13	mulcomd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)))
172	7, 12, 5	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))))
173	2, 4	mulcomd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐴))
174	173	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)))
175	9, 11, 4, 2	mul4d 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)))
176	11, 2	mulcomd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐹))
177	176	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
178	174, 175, 177	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
179	178	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
180	171, 172, 179	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
181	180, 180	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
182	181	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
183	182	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
184	5, 5	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
185	13, 13	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
186	184, 185	addcld 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
187	7, 159	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) ∈ ℂ)
188	7, 160	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
189	187, 188	addcld 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
190	7, 162	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
191	190, 190	addcld 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
192	186, 189, 191	nnncan2d 11544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
193	184, 185, 187, 188	addsub4d 11556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
194	5	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)))
195	110	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))
196	195	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))))
197	194, 196	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))))
198	13	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
199	111	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))
200	199	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))
201	198, 200	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
202	197, 201	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
203	2, 4	sqmuld 14099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐸↑2)))
204	9, 4	sqmuld 14099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐸↑2)))
205	204	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
206	9	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
207	7, 206, 36	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
208	205, 207	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)))
209	203, 208	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
210	7	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = (𝐷 · 𝐷))
211	9, 11	sqmuld 14099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐹↑2)))
212	210, 211	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
213	7, 12	sqmuld 14099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)))
214	7, 7	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐷) ∈ ℂ)
215	214, 206, 37	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
216	212, 213, 215	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)))
217	2, 11	sqmuld 14099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐹↑2)))
218	217	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
219	2	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
220	7, 219, 37	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
221	218, 220	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))
222	216, 221	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
223	209, 222	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))))
224	7, 206	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
225	219, 224, 36	subdird 11611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
226		pellex.no1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
227	226	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
228	225, 227	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
229	7, 7, 206	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) = (𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))))
230	229	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
231	230	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)))
232	214, 206	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
233	7, 219	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
234	232, 233, 37	subdird 11611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
235		subdi 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
236	235	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
237	7, 224, 219, 236	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
238		negsubdi2 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)))
239	238	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
240	219, 224, 239	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
241	226	negeqd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = -𝐶)
242	240, 241	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -𝐶)
243	242	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = (𝐷 · -𝐶))
244	7, 16	mulneg2d 11608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -𝐶) = -(𝐷 · 𝐶))
245	237, 243, 244	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = -(𝐷 · 𝐶))
246	245	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
247	231, 234, 246	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
248	228, 247	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))))
249	7, 16	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
250	249, 37	mulneg1d 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
251	7, 16	mulcomd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐷))
252	251	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)))
253	16, 7, 37	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
254	252, 253	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
255	254	negeqd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
256	250, 255	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
257	256	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
258	16, 36	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
259	16, 38	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℂ)
260	258, 259	negsubd 11515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
261	61	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · 𝐶))
262		subdi 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
263	262	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
264	16, 36, 38, 263	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
265	16	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
266	261, 264, 265	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶↑2))
267	257, 260, 266	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = (𝐶↑2))
268	223, 248, 267	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = (𝐶↑2))
269	193, 202, 268	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = (𝐶↑2))
270	183, 192, 269	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (𝐶↑2))
271	270	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)))
272	142, 145	dividd 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)) = 1)
273	170, 271, 272	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = 1)
274	151, 155, 273	3eqtr2d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
275	274	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
276		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
277	276	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = (abs‘(0 / 𝐶)))
278	16, 17	div0d 11933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝐶) = 0)
279	278	abs00bd 15233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
280	279	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
281	277, 280	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = 0)
282	281	sq0id 14135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = 0)
283	282	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
284	275, 283	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
285	125, 284	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
286	285	neqned 2932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ≠ 0)
287	14, 16, 286, 17	divne0d 11950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0)
288		nnabscl 15268	. . 3 ⊢ (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
289	104, 287, 288	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
290	112, 16, 17	absdivd 15400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)))
291		negsub 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))
292	291	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
293	110, 111, 292	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
294	293	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
295	133	renegcld 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
296	11, 4	mulcomd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐹))
297	296	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
298		modmul1 13865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
299	26, 27, 32, 31, 78, 298	syl221anc 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
300		modmul1 13865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
301	22, 23, 76, 31, 33, 300	syl221anc 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
302	297, 299, 301	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
303		modadd1 13846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
304	132, 133, 295, 31, 302, 303	syl221anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
305	111	negidd 11499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) = 0)
306	305	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
307	294, 304, 306	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
308	307, 64	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0)
309		absmod0 15245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
310	134, 31, 309	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
311	308, 310	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
312	112	abscld 15381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ)
313		mod0 13814	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
314	312, 31, 313	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
315	311, 314	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
316	290, 315	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ)
317		absz 15253	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
318	135, 317	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
319	316, 318	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ)
320		pellex.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
321	10	nnne0d 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0)
322	3	nnne0d 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
323	9, 11, 2, 4, 321, 322	divmuleqd 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) ↔ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹)))
324	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
325	324	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))))
326	325	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
327	9, 11, 321	divcld 11934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℂ)
328	327	sqcld 14085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
329	328	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
330	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
331	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
332	329, 330, 331	subdid 11610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
333		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐴 / 𝐸)↑2))
334	333	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
335	334	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
336	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐴 ∈ ℂ)
337	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
338	322	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ≠ 0)
339	336, 337, 338	sqdivd 14100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐴 / 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐸↑2)))
340	339	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)))
341	219	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
342		sqne0 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
343	4, 342	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
344	322, 343	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
345	344	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ≠ 0)
346	341, 330, 345	divcan1d 11935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
347	335, 340, 346	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
348	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
349	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
350	329, 348, 349	mul12d 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))))
351	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
352	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ∈ ℂ)
353	321	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ≠ 0)
354	351, 352, 353	sqdivd 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐹↑2)))
355	354	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)))
356	355	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))))
357	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
358		sqne0 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ ℂ → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
359	11, 358	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
360	321, 359	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≠ 0)
361	360	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ≠ 0)
362	357, 349, 361	divcan1d 11935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐵↑2))
363	362	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
364	350, 356, 363	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
365	347, 364	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
366	326, 332, 365	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
367	226	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
368	367	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
369	366, 368	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
370	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ∈ ℂ)
371	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ≠ 0)
372	329, 370, 371	divcan4d 11940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐹)↑2))
373	226, 226	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = (𝐶 / 𝐶))
374	16, 17	dividd 11932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐶) = 1)
375	373, 374	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
376	375	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
377	369, 372, 376	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1)
378	26, 27, 321	redivcld 11986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℝ)
379	8	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
380	379	nn0ge0d 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
381	10	nngt0d 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐹)
382		divge0 12028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐹)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
383	26, 380, 27, 381, 382	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
384	378, 383	sqrtsqd 15362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (𝐵 / 𝐹))
385	384	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
386	385	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
387		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
388	387	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
389		sqrt1 15213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘1) = 1
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘1) = 1)
391	386, 388, 390	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
392	391	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐵 / 𝐹) = 1))
393		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸))
394		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
395	393, 394	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 / 𝐸) = 1)
396	395	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
397	2, 4, 322	divcan1d 11935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
398	397	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
399	4	mullidd 11168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
400	399	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐸) = 𝐸)
401	396, 398, 400	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐴 = 𝐸)
402	394	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = (1 · 𝐹))
403	9, 11, 321	divcan1d 11935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
404	403	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
405	11	mullidd 11168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐹) = 𝐹)
406	405	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐹) = 𝐹)
407	402, 404, 406	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐵 = 𝐹)
408	401, 407	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
409	408	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
410	392, 409	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
411	377, 410	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
412	411	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
413	323, 412	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
414	320, 413	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹))
415	414	neqned 2932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ≠ (𝐴 · 𝐹))
416	110, 111, 415	subne0d 11518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ≠ 0)
417	112, 16, 416, 17	divne0d 11950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0)
418		nnabscl 15268	. . 3 ⊢ (((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
419	319, 417, 418	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
420		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (𝑎↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2))
421	420	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
422	421	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
423		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝑏↑2) = ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
424	423	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
425	424	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
426	425	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → ((((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1))
427	422, 426	rspc2ev 3598	. 2 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
428	289, 419, 274, 427	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 class class class wbr 5102 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 · cmul 11049 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 -cneg 11382 / cdiv 11811 ℕcn 12162 2c2 12217 ℤcz 12505 ℚcq 12883 ℝ⁺crp 12927 mod cmo 13807 ↑cexp 14002 √csqrt 15175 abscabs 15176

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-er 8648 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-sup 9369 df-inf 9370 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-n0 12419 df-z 12506 df-uz 12770 df-rp 12928 df-fl 13730 df-mod 13808 df-seq 13943 df-exp 14003 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178

This theorem is referenced by: pellex 42816

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