Theorem flt4lem5e 43371

Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 43364. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5e	⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16751	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16778	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13		2nn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rplpwr 16617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
16	1, 5, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
17	12, 16	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
18	1	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	flt4lem 43360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	flt4lem 43360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 43361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27	26	pythagtriplem13 16888	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	25, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		flt4lem5a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
30	29	pythagtriplem11 16886	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	25, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		flt4lem5a.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
33		flt4lem5a.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
34	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5a 43367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
35	28	nnzd 12618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36	8, 35	gcdcomd 16573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
37	31	nnzd 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38	35, 37	gcdcomd 16573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
39	29, 26	flt4lem5 43365	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
40	25, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
41	38, 40	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
42	28	nnsqcld 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
44	2	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
46	45, 34	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
47	28, 1, 31, 41, 46	fltabcoprm 43357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
48	36, 47	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
49	32, 33	flt4lem5 43365	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
50	1, 28, 31, 34, 48, 6, 49	syl312anc 1418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
51	32	pythagtriplem11 16886	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	1, 28, 31, 34, 48, 6, 51	syl312anc 1418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
53	33	pythagtriplem13 16888	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
54	1, 28, 31, 34, 48, 6, 53	syl312anc 1418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
55	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5d 43370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
56	31, 52, 54, 55, 50	flt4lem5elem 43366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57		3anass 1111	. . 3 ⊢ (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
58	50, 56, 57	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
59	52, 54, 31	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
60		sq2 14235	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
61		4cn 12327	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
62	60, 61	eqeltri 2859	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
64	52, 54	nnmulcld 12290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
65	31, 64	nnmulcld 12290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
66	65	nncnd 12250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
67		4ne0 12353	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
68	60, 67	eqnetri 3028	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ≠ 0
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
70		2cn 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
71	70	sqvali 14218	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
72	71	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
73		2cnd 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74	31	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
75	64	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
76	73, 73, 74, 75	mul4d 11423	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
77	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5c 43369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
78	77, 28	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
79	78	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
80	73, 74, 79	mulassd 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
81	77	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
82	81	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
83	82	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
84	80, 83	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
85	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5b 43368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
86	76, 84, 85	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
87	72, 86	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
88	63, 66, 69, 87	mvllmuld 12048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
89		2ne0 12348	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
90	89	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
91	20, 73, 90	sqdivd 14197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
92	88, 91	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
93	65	nnzd 12618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
94	92, 93	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
95	3	nnzd 12618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
96		znq 12977	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
97	95, 13, 96	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
98	3	nngt0d 12286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
99	3	nnred 12249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
100		halfpos2 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
101	99, 100	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
102	98, 101	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
103	94, 97, 102	posqsqznn 43078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
104	92, 103	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
105	58, 59, 104	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  4c4 12298  ℤcz 12592  ℚcq 12973  ↑cexp 14099  √csqrt 15286   ∥ cdvds 16311   gcd cgcd 16553  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731  df-numer 16795  df-denom 16796

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  43372  flt4lem7  43374