Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5e 41399
Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 41392. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.n ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.r ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.s ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
flt4lem5a.2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
flt4lem5a.3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5e (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)))

Proof of Theorem flt4lem5e
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 14206 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3 flt4lem5a.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnsqcld 14206 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
5 flt4lem5a.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
6 flt4lem5a.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
7 2prm 16628 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„™
81nnzd 12584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
9 prmdvdssq 16654 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
107, 8, 9sylancr 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
116, 10mtbid 323 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))
12 flt4lem5a.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
13 2nn 12284 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
15 rplpwr 16498 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1)
181nncnd 12227 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918flt4lem 41388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘2))
203nncnd 12227 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120flt4lem 41388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘4) = ((๐ตโ†‘2)โ†‘2))
2219, 21oveq12d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
2422, 23eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 41389 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))))
26 flt4lem5a.n . . . . . 6 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16759 . . . . 5 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2825, 27syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
29 flt4lem5a.m . . . . . 6 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16757 . . . . 5 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3125, 30syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32 flt4lem5a.r . . . . 5 ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . . . 5 ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 41395 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
3528nnzd 12584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
368, 35gcdcomd 16454 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐ด))
3731nnzd 12584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3835, 37gcdcomd 16454 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
3929, 26flt4lem5 41393 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4138, 40eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
4228nnsqcld 14206 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12227 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
442nncnd 12227 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44addcomd 11415 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
4645, 34eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 41385 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
4836, 47eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
4932, 33flt4lem5 41393 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘… gcd ๐‘†) = 1)
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1391 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… gcd ๐‘†) = 1)
5132pythagtriplem11 16757 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
521, 28, 31, 34, 48, 6, 51syl312anc 1391 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
5333pythagtriplem13 16759 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
541, 28, 31, 34, 48, 6, 53syl312anc 1391 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
5529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5d 41398 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘…โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
5631, 52, 54, 55, 50flt4lem5elem 41394 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1))
57 3anass 1095 . . 3 (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โ†” ((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง ((๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1)))
5850, 56, 57sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1))
5952, 54, 313jca 1128 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•))
60 sq2 14160 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
61 4cn 12296 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
6260, 61eqeltri 2829 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
6362a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6452, 54nnmulcld 12264 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ๐‘†) โˆˆ โ„•)
6531, 64nnmulcld 12264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„•)
6665nncnd 12227 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
67 4ne0 12319 . . . . . . 7 4 โ‰  0
6860, 67eqnetri 3011 . . . . . 6 (2โ†‘2) โ‰  0
6968a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) โ‰  0)
70 2cn 12286 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
7170sqvali 14143 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
7271oveq1i 7418 . . . . . 6 ((2โ†‘2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
73 2cnd 12289 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7431nncnd 12227 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7564nncnd 12227 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
7673, 73, 74, 75mul4d 11425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = ((2 ยท ๐‘€) ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))))
7729, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5c 41397 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
7877, 28eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„•)
7978nncnd 12227 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
8073, 74, 79mulassd 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (2 ยท (๐‘€ ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))))
8177eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ๐‘)
8281oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
8382oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
8480, 83eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
8529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5b 41396 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ตโ†‘2))
8676, 84, 853eqtrd 2776 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (๐ตโ†‘2))
8772, 86eqtrid 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (๐ตโ†‘2))
8863, 66, 69, 87mvllmuld 12045 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ตโ†‘2) / (2โ†‘2)))
89 2ne0 12315 . . . . . 6 2 โ‰  0
9089a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
9120, 73, 90sqdivd 14123 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / (2โ†‘2)))
9288, 91eqtr4d 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2))
9365nnzd 12584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค)
9492, 93eqeltrrd 2834 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
953nnzd 12584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
96 znq 12935 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„š)
9795, 13, 96sylancl 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„š)
983nngt0d 12260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
993nnred 12226 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
100 halfpos2 12440 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต / 2)))
10199, 100syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต / 2)))
10298, 101mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต / 2))
10394, 97, 102posqsqznn 41234 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)
10492, 103jca 512 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))
10558, 59, 1043jca 1128 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  4c4 12268  โ„คcz 12557  โ„šcq 12931  โ†‘cexp 14026  โˆšcsqrt 15179   โˆฅ cdvds 16196   gcd cgcd 16434  โ„™cprime 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-numer 16670  df-denom 16671
This theorem is referenced by:  flt4lem5f  41400  flt4lem7  41402
  Copyright terms: Public domain W3C validator