Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5e 41398
Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 41391. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.n ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.r ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.s ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
flt4lem5a.2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
flt4lem5a.3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5e (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)))

Proof of Theorem flt4lem5e
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 14207 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3 flt4lem5a.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnsqcld 14207 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
5 flt4lem5a.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
6 flt4lem5a.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
7 2prm 16629 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„™
81nnzd 12585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
9 prmdvdssq 16655 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
107, 8, 9sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
116, 10mtbid 324 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))
12 flt4lem5a.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
13 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
15 rplpwr 16499 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1)
181nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918flt4lem 41387 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘2))
203nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120flt4lem 41387 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘4) = ((๐ตโ†‘2)โ†‘2))
2219, 21oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
2422, 23eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 41388 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))))
26 flt4lem5a.n . . . . . 6 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16760 . . . . 5 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2825, 27syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
29 flt4lem5a.m . . . . . 6 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16758 . . . . 5 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3125, 30syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32 flt4lem5a.r . . . . 5 ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . . . 5 ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 41394 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
3528nnzd 12585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
368, 35gcdcomd 16455 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐ด))
3731nnzd 12585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3835, 37gcdcomd 16455 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
3929, 26flt4lem5 41392 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4138, 40eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
4228nnsqcld 14207 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
442nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44addcomd 11416 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
4645, 34eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 41384 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
4836, 47eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
4932, 33flt4lem5 41392 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘… gcd ๐‘†) = 1)
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1392 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… gcd ๐‘†) = 1)
5132pythagtriplem11 16758 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
521, 28, 31, 34, 48, 6, 51syl312anc 1392 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
5333pythagtriplem13 16760 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
541, 28, 31, 34, 48, 6, 53syl312anc 1392 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
5529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5d 41397 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘…โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
5631, 52, 54, 55, 50flt4lem5elem 41393 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1))
57 3anass 1096 . . 3 (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โ†” ((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง ((๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1)))
5850, 56, 57sylanbrc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1))
5952, 54, 313jca 1129 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•))
60 sq2 14161 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
61 4cn 12297 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
6260, 61eqeltri 2830 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
6362a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6452, 54nnmulcld 12265 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ๐‘†) โˆˆ โ„•)
6531, 64nnmulcld 12265 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„•)
6665nncnd 12228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
67 4ne0 12320 . . . . . . 7 4 โ‰  0
6860, 67eqnetri 3012 . . . . . 6 (2โ†‘2) โ‰  0
6968a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) โ‰  0)
70 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
7170sqvali 14144 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
7271oveq1i 7419 . . . . . 6 ((2โ†‘2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
73 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7431nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7564nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
7673, 73, 74, 75mul4d 11426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = ((2 ยท ๐‘€) ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))))
7729, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5c 41396 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
7877, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„•)
7978nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
8073, 74, 79mulassd 11237 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (2 ยท (๐‘€ ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))))
8177eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ๐‘)
8281oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
8382oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
8480, 83eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘€) ยท (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
8529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5b 41395 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ตโ†‘2))
8676, 84, 853eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (๐ตโ†‘2))
8772, 86eqtrid 2785 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†))) = (๐ตโ†‘2))
8863, 66, 69, 87mvllmuld 12046 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ตโ†‘2) / (2โ†‘2)))
89 2ne0 12316 . . . . . 6 2 โ‰  0
9089a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
9120, 73, 90sqdivd 14124 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / (2โ†‘2)))
9288, 91eqtr4d 2776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2))
9365nnzd 12585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค)
9492, 93eqeltrrd 2835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
953nnzd 12585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
96 znq 12936 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„š)
9795, 13, 96sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„š)
983nngt0d 12261 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
993nnred 12227 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
100 halfpos2 12441 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต / 2)))
10199, 100syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต / 2)))
10298, 101mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต / 2))
10394, 97, 102posqsqznn 41234 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)
10492, 103jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))
10558, 59, 1043jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  โ„คcz 12558  โ„šcq 12932  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-numer 16671  df-denom 16672
This theorem is referenced by:  flt4lem5f  41399  flt4lem7  41401
  Copyright terms: Public domain W3C validator