Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5e 40087
Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 40080. EDITORIAL: This is not minimized! (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5e (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 13699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3 flt4lem5a.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnsqcld 13699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5 flt4lem5a.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6 flt4lem5a.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7 2prm 16135 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℙ
81nnzd 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9 prmdvdssq 16161 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
107, 8, 9sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
116, 10mtbid 327 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12 flt4lem5a.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13 2nn 11791 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 rplpwr 16005 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
181nncnd 11734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918flt4lem 40076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
203nncnd 11734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120flt4lem 40076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
2219, 21oveq12d 7190 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
2422, 23eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 40077 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26 flt4lem5a.n . . . . . . 7 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16266 . . . . . 6 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 flt4lem5a.m . . . . . . 7 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16264 . . . . . 6 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3125, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 flt4lem5a.r . . . . . 6 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . . . . 6 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 40083 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
3528nnzd 12169 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
368, 35gcdcomd 15959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
3731nnzd 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3835, 37gcdcomd 15959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
3929, 26flt4lem5 40081 . . . . . . . . 9 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4138, 40eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
4228nnsqcld 13699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
4342nncnd 11734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
442nncnd 11734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4543, 44addcomd 10922 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
4645, 34eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 40073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
4836, 47eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
4932, 33flt4lem5 40081 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1392 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
5132pythagtriplem11 16264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
521, 28, 31, 34, 48, 6, 51syl312anc 1392 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
5333pythagtriplem13 16266 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
541, 28, 31, 34, 48, 6, 53syl312anc 1392 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
5529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5d 40086 . . . . 5 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5631, 52, 54, 55, 50flt4lem5elem 40082 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
5750, 56jca 515 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
58 3anass 1096 . . 3 (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
5957, 58sylibr 237 . 2 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
6052, 54, 313jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
61 sq2 13654 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
62 4cn 11803 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
6361, 62eqeltri 2829 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℂ
6463a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
6552, 54nnmulcld 11771 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
6631, 65nnmulcld 11771 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
6766nncnd 11734 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
68 4ne0 11826 . . . . . . 7 4 ≠ 0
6961, 68eqnetri 3004 . . . . . 6 (2↑2) ≠ 0
7069a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
71 2cn 11793 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
7271sqvali 13637 . . . . . . 7 (2↑2) = (2 · 2)
7372oveq1i 7182 . . . . . 6 ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
74 2cnd 11796 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7531nncnd 11734 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
7665nncnd 11734 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
7774, 74, 75, 76mul4d 10932 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
7829, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5c 40085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
7978eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
8079, 28eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
8180nncnd 11734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
8274, 75, 81mulassd 10744 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
8379oveq2d 7188 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
8483oveq2d 7188 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
8582, 84eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
8629, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5b 40084 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
8777, 85, 863eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
8873, 87syl5eq 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
8964, 67, 70, 88mvllmuld 11552 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
90 2ne0 11822 . . . . . 6 2 ≠ 0
9190a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9220, 74, 91sqdivd 13617 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
9389, 92eqtr4d 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
9466nnzd 12169 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
9593, 94eqeltrrd 2834 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
963nnzd 12169 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
97 znq 12436 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
9896, 13, 97sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
993nngt0d 11767 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐵)
1003nnred 11733 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
101 halfpos2 11947 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
102100, 101syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
10399, 102mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
10495, 98, 103posqsqznn 39942 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
10593, 104jca 515 . 2 (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
10659, 60, 1053jca 1129 1 (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7172  cc 10615  cr 10616  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620   · cmul 10622   < clt 10755  cmin 10950   / cdiv 11377  cn 11718  2c2 11773  4c4 11775  cz 12064  cq 12432  cexp 13523  csqrt 14684  cdvds 15701   gcd cgcd 15939  cprime 16114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-dvds 15702  df-gcd 15940  df-prm 16115  df-numer 16177  df-denom 16178
This theorem is referenced by:  flt4lem5f  40088  flt4lem7  40090
  Copyright terms: Public domain W3C validator