Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | flt4lem5a.a |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2 | 1 | nnsqcld 14153 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
3 | | flt4lem5a.b |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
4 | 3 | nnsqcld 14153 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
5 | | flt4lem5a.c |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
6 | | flt4lem5a.1 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐ด) |
7 | | 2prm 16573 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
โ |
8 | 1 | nnzd 12531 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
9 | | prmdvdssq 16599 |
. . . . . . . 8
โข ((2
โ โ โง ๐ด
โ โค) โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) |
10 | 7, 8, 9 | sylancr 588 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) |
11 | 6, 10 | mtbid 324 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)) |
12 | | flt4lem5a.2 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ถ) = 1) |
13 | | 2nn 12231 |
. . . . . . . . 9
โข 2 โ
โ |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
15 | | rplpwr 16443 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง 2 โ
โ) โ ((๐ด gcd
๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) |
16 | 1, 5, 14, 15 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) |
17 | 12, 16 | mpd 15 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1) |
18 | 1 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | 18 | flt4lem 41026 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ดโ4) = ((๐ดโ2)โ2)) |
20 | 3 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
21 | 20 | flt4lem 41026 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ตโ4) = ((๐ตโ2)โ2)) |
22 | 19, 21 | oveq12d 7376 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2))) |
23 | | flt4lem5a.3 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (๐ถโ2)) |
24 | 22, 23 | eqtr3d 2775 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2)) |
25 | 2, 4, 5, 11, 17, 24 | flt4lem1 41027 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ โ โง (๐ตโ2) โ โ โง
๐ถ โ โ) โง
(((๐ดโ2)โ2) +
((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)))) |
26 | | flt4lem5a.n |
. . . . . 6
โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) โ (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
27 | 26 | pythagtriplem13 16704 |
. . . . 5
โข ((((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ตโ2) โ โ
โง ๐ถ โ โ)
โง (((๐ดโ2)โ2)
+ ((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ ๐ โ
โ) |
28 | 25, 27 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
29 | | flt4lem5a.m |
. . . . . 6
โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) + (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
30 | 29 | pythagtriplem11 16702 |
. . . . 5
โข ((((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ตโ2) โ โ
โง ๐ถ โ โ)
โง (((๐ดโ2)โ2)
+ ((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ ๐ โ
โ) |
31 | 25, 30 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
32 | | flt4lem5a.r |
. . . . 5
โข ๐
= (((โโ(๐ + ๐)) + (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
33 | | flt4lem5a.s |
. . . . 5
โข ๐ = (((โโ(๐ + ๐)) โ (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
34 | 29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12,
23 | flt4lem5a 41033 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ดโ2) + (๐โ2)) = (๐โ2)) |
35 | 28 | nnzd 12531 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
36 | 8, 35 | gcdcomd 16399 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ด gcd ๐) = (๐ gcd ๐ด)) |
37 | 31 | nnzd 12531 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
38 | 35, 37 | gcdcomd 16399 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = (๐ gcd ๐)) |
39 | 29, 26 | flt4lem5 41031 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ตโ2) โ โ
โง ๐ถ โ โ)
โง (((๐ดโ2)โ2)
+ ((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ (๐ gcd ๐) = 1) |
40 | 25, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) |
41 | 38, 40 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) |
42 | 28 | nnsqcld 14153 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐โ2) โ โ) |
43 | 42 | nncnd 12174 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐โ2) โ โ) |
44 | 2 | nncnd 12174 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
45 | 43, 44 | addcomd 11362 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐โ2) + (๐ดโ2)) = ((๐ดโ2) + (๐โ2))) |
46 | 45, 34 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐โ2) + (๐ดโ2)) = (๐โ2)) |
47 | 28, 1, 31, 41, 46 | fltabcoprm 41023 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ gcd ๐ด) = 1) |
48 | 36, 47 | eqtrd 2773 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ด gcd ๐) = 1) |
49 | 32, 33 | flt4lem5 41031 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ((๐ดโ2) + (๐โ2)) = (๐โ2) โง ((๐ด gcd ๐) = 1 โง ยฌ 2 โฅ ๐ด)) โ (๐
gcd ๐) = 1) |
50 | 1, 28, 31, 34, 48, 6, 49 | syl312anc 1392 |
. . 3
โข (๐ โ (๐
gcd ๐) = 1) |
51 | 32 | pythagtriplem11 16702 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ((๐ดโ2) + (๐โ2)) = (๐โ2) โง ((๐ด gcd ๐) = 1 โง ยฌ 2 โฅ ๐ด)) โ ๐
โ โ) |
52 | 1, 28, 31, 34, 48, 6, 51 | syl312anc 1392 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐
โ โ) |
53 | 33 | pythagtriplem13 16704 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ((๐ดโ2) + (๐โ2)) = (๐โ2) โง ((๐ด gcd ๐) = 1 โง ยฌ 2 โฅ ๐ด)) โ ๐ โ โ) |
54 | 1, 28, 31, 34, 48, 6, 53 | syl312anc 1392 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
55 | 29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12,
23 | flt4lem5d 41036 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ = ((๐
โ2) + (๐โ2))) |
56 | 31, 52, 54, 55, 50 | flt4lem5elem 41032 |
. . 3
โข (๐ โ ((๐
gcd ๐) = 1 โง (๐ gcd ๐) = 1)) |
57 | | 3anass 1096 |
. . 3
โข (((๐
gcd ๐) = 1 โง (๐
gcd ๐) = 1 โง (๐ gcd ๐) = 1) โ ((๐
gcd ๐) = 1 โง ((๐
gcd ๐) = 1 โง (๐ gcd ๐) = 1))) |
58 | 50, 56, 57 | sylanbrc 584 |
. 2
โข (๐ โ ((๐
gcd ๐) = 1 โง (๐
gcd ๐) = 1 โง (๐ gcd ๐) = 1)) |
59 | 52, 54, 31 | 3jca 1129 |
. 2
โข (๐ โ (๐
โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
60 | | sq2 14107 |
. . . . . . 7
โข
(2โ2) = 4 |
61 | | 4cn 12243 |
. . . . . . 7
โข 4 โ
โ |
62 | 60, 61 | eqeltri 2830 |
. . . . . 6
โข
(2โ2) โ โ |
63 | 62 | a1i 11 |
. . . . 5
โข (๐ โ (2โ2) โ
โ) |
64 | 52, 54 | nnmulcld 12211 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐
ยท ๐) โ โ) |
65 | 31, 64 | nnmulcld 12211 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ ยท (๐
ยท ๐)) โ โ) |
66 | 65 | nncnd 12174 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ ยท (๐
ยท ๐)) โ โ) |
67 | | 4ne0 12266 |
. . . . . . 7
โข 4 โ
0 |
68 | 60, 67 | eqnetri 3011 |
. . . . . 6
โข
(2โ2) โ 0 |
69 | 68 | a1i 11 |
. . . . 5
โข (๐ โ (2โ2) โ
0) |
70 | | 2cn 12233 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
โ |
71 | 70 | sqvali 14090 |
. . . . . . 7
โข
(2โ2) = (2 ยท 2) |
72 | 71 | oveq1i 7368 |
. . . . . 6
โข
((2โ2) ยท (๐ ยท (๐
ยท ๐))) = ((2 ยท 2) ยท (๐ ยท (๐
ยท ๐))) |
73 | | 2cnd 12236 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
74 | 31 | nncnd 12174 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
75 | 64 | nncnd 12174 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐
ยท ๐) โ โ) |
76 | 73, 73, 74, 75 | mul4d 11372 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((2 ยท 2) ยท
(๐ ยท (๐
ยท ๐))) = ((2 ยท ๐) ยท (2 ยท (๐
ยท ๐)))) |
77 | 29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12,
23 | flt4lem5c 41035 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ = (2 ยท (๐
ยท ๐))) |
78 | 77, 28 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (2 ยท (๐
ยท ๐)) โ โ) |
79 | 78 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (2 ยท (๐
ยท ๐)) โ โ) |
80 | 73, 74, 79 | mulassd 11183 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((2 ยท ๐) ยท (2 ยท (๐
ยท ๐))) = (2 ยท (๐ ยท (2 ยท (๐
ยท ๐))))) |
81 | 77 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (2 ยท (๐
ยท ๐)) = ๐) |
82 | 81 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ ยท (2 ยท (๐
ยท ๐))) = (๐ ยท ๐)) |
83 | 82 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท (2 ยท (๐
ยท ๐)))) = (2 ยท (๐ ยท ๐))) |
84 | 80, 83 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((2 ยท ๐) ยท (2 ยท (๐
ยท ๐))) = (2 ยท (๐ ยท ๐))) |
85 | 29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12,
23 | flt4lem5b 41034 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท ๐)) = (๐ตโ2)) |
86 | 76, 84, 85 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((2 ยท 2) ยท
(๐ ยท (๐
ยท ๐))) = (๐ตโ2)) |
87 | 72, 86 | eqtrid 2785 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((2โ2) ยท
(๐ ยท (๐
ยท ๐))) = (๐ตโ2)) |
88 | 63, 66, 69, 87 | mvllmuld 11992 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ ยท (๐
ยท ๐)) = ((๐ตโ2) / (2โ2))) |
89 | | 2ne0 12262 |
. . . . . 6
โข 2 โ
0 |
90 | 89 | a1i 11 |
. . . . 5
โข (๐ โ 2 โ 0) |
91 | 20, 73, 90 | sqdivd 14070 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ต / 2)โ2) = ((๐ตโ2) / (2โ2))) |
92 | 88, 91 | eqtr4d 2776 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ ยท (๐
ยท ๐)) = ((๐ต / 2)โ2)) |
93 | 65 | nnzd 12531 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ ยท (๐
ยท ๐)) โ โค) |
94 | 92, 93 | eqeltrrd 2835 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ต / 2)โ2) โ
โค) |
95 | 3 | nnzd 12531 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
96 | | znq 12882 |
. . . . 5
โข ((๐ต โ โค โง 2 โ
โ) โ (๐ต / 2)
โ โ) |
97 | 95, 13, 96 | sylancl 587 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ต / 2) โ โ) |
98 | 3 | nngt0d 12207 |
. . . . 5
โข (๐ โ 0 < ๐ต) |
99 | 3 | nnred 12173 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
100 | | halfpos2 12387 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โ โ (0 <
๐ต โ 0 < (๐ต / 2))) |
101 | 99, 100 | syl 17 |
. . . . 5
โข (๐ โ (0 < ๐ต โ 0 < (๐ต / 2))) |
102 | 98, 101 | mpbid 231 |
. . . 4
โข (๐ โ 0 < (๐ต / 2)) |
103 | 94, 97, 102 | posqsqznn 40872 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ต / 2) โ โ) |
104 | 92, 103 | jca 513 |
. 2
โข (๐ โ ((๐ ยท (๐
ยท ๐)) = ((๐ต / 2)โ2) โง (๐ต / 2) โ โ)) |
105 | 58, 59, 104 | 3jca 1129 |
1
โข (๐ โ (((๐
gcd ๐) = 1 โง (๐
gcd ๐) = 1 โง (๐ gcd ๐) = 1) โง (๐
โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ((๐ ยท (๐
ยท ๐)) = ((๐ต / 2)โ2) โง (๐ต / 2) โ โ))) |