Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5e 40493
Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 40486. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5e (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 13959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3 flt4lem5a.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnsqcld 13959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5 flt4lem5a.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6 flt4lem5a.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7 2prm 16397 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
81nnzd 12425 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9 prmdvdssq 16423 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
107, 8, 9sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
116, 10mtbid 324 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12 flt4lem5a.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13 2nn 12046 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 rplpwr 16267 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
181nncnd 11989 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918flt4lem 40482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
203nncnd 11989 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120flt4lem 40482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
2219, 21oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
2422, 23eqtr3d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 40483 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26 flt4lem5a.n . . . . . 6 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16528 . . . . 5 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2825, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 flt4lem5a.m . . . . . 6 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16526 . . . . 5 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3125, 30syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 flt4lem5a.r . . . . 5 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . . . 5 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 40489 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
3528nnzd 12425 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
368, 35gcdcomd 16221 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
3731nnzd 12425 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3835, 37gcdcomd 16221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
3929, 26flt4lem5 40487 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4138, 40eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
4228nnsqcld 13959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
4342nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
442nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4543, 44addcomd 11177 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
4645, 34eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 40479 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
4836, 47eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
4932, 33flt4lem5 40487 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1390 . . 3 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
5132pythagtriplem11 16526 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
521, 28, 31, 34, 48, 6, 51syl312anc 1390 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
5333pythagtriplem13 16528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
541, 28, 31, 34, 48, 6, 53syl312anc 1390 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
5529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5d 40492 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5631, 52, 54, 55, 50flt4lem5elem 40488 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57 3anass 1094 . . 3 (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
5850, 56, 57sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
5952, 54, 313jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
60 sq2 13914 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
61 4cn 12058 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
6260, 61eqeltri 2835 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℂ
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
6452, 54nnmulcld 12026 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
6531, 64nnmulcld 12026 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
6665nncnd 11989 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
67 4ne0 12081 . . . . . . 7 4 ≠ 0
6860, 67eqnetri 3014 . . . . . 6 (2↑2) ≠ 0
6968a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
70 2cn 12048 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
7170sqvali 13897 . . . . . . 7 (2↑2) = (2 · 2)
7271oveq1i 7285 . . . . . 6 ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
73 2cnd 12051 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7431nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
7564nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
7673, 73, 74, 75mul4d 11187 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
7729, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5c 40491 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
7877, 28eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
7978nncnd 11989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
8073, 74, 79mulassd 10998 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
8177eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
8281oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
8382oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
8480, 83eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
8529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5b 40490 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
8676, 84, 853eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
8772, 86eqtrid 2790 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
8863, 66, 69, 87mvllmuld 11807 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
89 2ne0 12077 . . . . . 6 2 ≠ 0
9089a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9120, 73, 90sqdivd 13877 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
9288, 91eqtr4d 2781 . . 3 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
9365nnzd 12425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
9492, 93eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
953nnzd 12425 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
96 znq 12692 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
9795, 13, 96sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
983nngt0d 12022 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐵)
993nnred 11988 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
100 halfpos2 12202 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
10199, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
10298, 101mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
10394, 97, 102posqsqznn 40343 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
10492, 103jca 512 . 2 (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
10558, 59, 1043jca 1127 1 (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  4c4 12030  cz 12319  cq 12688  cexp 13782  csqrt 14944  cdvds 15963   gcd cgcd 16201  cprime 16376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-numer 16439  df-denom 16440
This theorem is referenced by:  flt4lem5f  40494  flt4lem7  40496
  Copyright terms: Public domain W3C validator