Theorem flt4lem5e 42632

Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 42625. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5e	⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16621	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16647	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13		2nn 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rplpwr 16487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
16	1, 5, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
18	1	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	flt4lem 42621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	flt4lem 42621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 42622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27	26	pythagtriplem13 16757	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	25, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		flt4lem5a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
30	29	pythagtriplem11 16755	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	25, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		flt4lem5a.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
33		flt4lem5a.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
34	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5a 42628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
35	28	nnzd 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36	8, 35	gcdcomd 16443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
37	31	nnzd 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38	35, 37	gcdcomd 16443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
39	29, 26	flt4lem5 42626	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
40	25, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
41	38, 40	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
42	28	nnsqcld 14169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
44	2	nncnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11336	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
46	45, 34	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
47	28, 1, 31, 41, 46	fltabcoprm 42618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
48	36, 47	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
49	32, 33	flt4lem5 42626	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
50	1, 28, 31, 34, 48, 6, 49	syl312anc 1393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
51	32	pythagtriplem11 16755	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	1, 28, 31, 34, 48, 6, 51	syl312anc 1393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
53	33	pythagtriplem13 16757	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
54	1, 28, 31, 34, 48, 6, 53	syl312anc 1393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
55	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5d 42631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
56	31, 52, 54, 55, 50	flt4lem5elem 42627	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57		3anass 1094	. . 3 ⊢ (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
58	50, 56, 57	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
59	52, 54, 31	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
60		sq2 14122	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
61		4cn 12231	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
62	60, 61	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
64	52, 54	nnmulcld 12199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
65	31, 64	nnmulcld 12199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
66	65	nncnd 12162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
67		4ne0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
68	60, 67	eqnetri 2995	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ≠ 0
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
70		2cn 12221	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
71	70	sqvali 14105	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
72	71	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
73		2cnd 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74	31	nncnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
75	64	nncnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
76	73, 73, 74, 75	mul4d 11346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
77	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5c 42630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
78	77, 28	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
79	78	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
80	73, 74, 79	mulassd 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
81	77	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
82	81	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
83	82	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
84	80, 83	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
85	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5b 42629	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
86	76, 84, 85	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
87	72, 86	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
88	63, 66, 69, 87	mvllmuld 11974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
89		2ne0 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
90	89	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
91	20, 73, 90	sqdivd 14084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
92	88, 91	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
93	65	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
94	92, 93	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
95	3	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
96		znq 12871	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
97	95, 13, 96	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
98	3	nngt0d 12195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
99	3	nnred 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
100		halfpos2 12371	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
101	99, 100	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
102	98, 101	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
103	94, 97, 102	posqsqznn 42312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
104	92, 103	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
105	58, 59, 104	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  4c4 12203  ℤcz 12489  ℚcq 12867  ↑cexp 13986  √csqrt 15158   ∥ cdvds 16181   gcd cgcd 16423  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-numer 16664  df-denom 16665

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  42633  flt4lem7  42635