Theorem flt4lem5e 40013

Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 40006. EDITORIAL: This is not minimized! (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5e	⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 13660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 13660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16093	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13		2nn 11752	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rplpwr 15963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
16	1, 5, 14, 15	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
18	1	nncnd 11695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	flt4lem 40002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 11695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	flt4lem 40002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 40003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27	26	pythagtriplem13 16224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		flt4lem5a.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
30	29	pythagtriplem11 16222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	25, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		flt4lem5a.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
33		flt4lem5a.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
34	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5a 40009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
35	28	nnzd 12130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36	8, 35	gcdcomd 15918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
37	31	nnzd 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38	35, 37	gcdcomd 15918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
39	29, 26	flt4lem5 40007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
40	25, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
41	38, 40	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
42	28	nnsqcld 13660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
44	2	nncnd 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 10885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
46	45, 34	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
47	28, 1, 31, 41, 46	fltabcoprm 39999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
48	36, 47	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
49	32, 33	flt4lem5 40007	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
50	1, 28, 31, 34, 48, 6, 49	syl312anc 1388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
51	32	pythagtriplem11 16222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	1, 28, 31, 34, 48, 6, 51	syl312anc 1388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
53	33	pythagtriplem13 16224	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
54	1, 28, 31, 34, 48, 6, 53	syl312anc 1388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
55	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5d 40012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
56	31, 52, 54, 55, 50	flt4lem5elem 40008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57	50, 56	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
58		3anass 1092	. . 3 ⊢ (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
59	57, 58	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
60	52, 54, 31	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
61		sq2 13615	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
62		4cn 11764	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
63	61, 62	eqeltri 2848	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
65	52, 54	nnmulcld 11732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
66	31, 65	nnmulcld 11732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 11695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
68		4ne0 11787	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
69	61, 68	eqnetri 3021	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
71		2cn 11754	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	sqvali 13598	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
73	72	oveq1i 7165	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
74		2cnd 11757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
75	31	nncnd 11695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76	65	nncnd 11695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
77	74, 74, 75, 76	mul4d 10895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
78	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5c 40011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
79	78	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
80	79, 28	eqeltrd 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
81	80	nncnd 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
82	74, 75, 81	mulassd 10707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
83	79	oveq2d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
84	83	oveq2d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
85	82, 84	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
86	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5b 40010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
87	77, 85, 86	3eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
88	73, 87	syl5eq 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
89	64, 67, 70, 88	mvllmuld 11515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
90		2ne0 11783	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
92	20, 74, 91	sqdivd 13578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
93	89, 92	eqtr4d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
94	66	nnzd 12130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
95	93, 94	eqeltrrd 2853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
96	3	nnzd 12130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
97		znq 12397	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
98	96, 13, 97	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
99	3	nngt0d 11728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
100	3	nnred 11694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
101		halfpos2 11908	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
102	100, 101	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
103	99, 102	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
104	95, 98, 103	posqsqznn 39870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
105	93, 104	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
106	59, 60, 105	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   − cmin 10913   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  4c4 11736  ℤcz 12025  ℚcq 12393  ↑cexp 13484  √csqrt 14645   ∥ cdvds 15660   gcd cgcd 15898  ℙcprime 16072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-dvds 15661  df-gcd 15899  df-prm 16073  df-numer 16135  df-denom 16136

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  40014  flt4lem7  40016