Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5e 42666
Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 42659. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5e (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 14283 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3 flt4lem5a.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnsqcld 14283 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5 flt4lem5a.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6 flt4lem5a.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7 2prm 16729 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
81nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9 prmdvdssq 16755 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
107, 8, 9sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
116, 10mtbid 324 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12 flt4lem5a.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 rplpwr 16595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
181nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918flt4lem 42655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
203nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120flt4lem 42655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
2219, 21oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
2422, 23eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 42656 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26 flt4lem5a.n . . . . . 6 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16865 . . . . 5 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2825, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 flt4lem5a.m . . . . . 6 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16863 . . . . 5 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3125, 30syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 flt4lem5a.r . . . . 5 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . . . 5 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 42662 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
3528nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
368, 35gcdcomd 16551 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
3731nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3835, 37gcdcomd 16551 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
3929, 26flt4lem5 42660 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4138, 40eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
4228nnsqcld 14283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
4342nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
442nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4543, 44addcomd 11463 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
4645, 34eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 42652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
4836, 47eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
4932, 33flt4lem5 42660 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1393 . . 3 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
5132pythagtriplem11 16863 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
521, 28, 31, 34, 48, 6, 51syl312anc 1393 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
5333pythagtriplem13 16865 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
541, 28, 31, 34, 48, 6, 53syl312anc 1393 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
5529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5d 42665 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
5631, 52, 54, 55, 50flt4lem5elem 42661 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57 3anass 1095 . . 3 (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
5850, 56, 57sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
5952, 54, 313jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
60 sq2 14236 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
61 4cn 12351 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
6260, 61eqeltri 2837 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℂ
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
6452, 54nnmulcld 12319 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
6531, 64nnmulcld 12319 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
6665nncnd 12282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
67 4ne0 12374 . . . . . . 7 4 ≠ 0
6860, 67eqnetri 3011 . . . . . 6 (2↑2) ≠ 0
6968a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
70 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
7170sqvali 14219 . . . . . . 7 (2↑2) = (2 · 2)
7271oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
73 2cnd 12344 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7431nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
7564nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
7673, 73, 74, 75mul4d 11473 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
7729, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5c 42664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
7877, 28eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
7978nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
8073, 74, 79mulassd 11284 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
8177eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
8281oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
8480, 83eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
8529, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5b 42663 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
8676, 84, 853eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
8772, 86eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
8863, 66, 69, 87mvllmuld 12099 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
89 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
9089a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9120, 73, 90sqdivd 14199 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
9288, 91eqtr4d 2780 . . 3 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
9365nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
9492, 93eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
953nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
96 znq 12994 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
9795, 13, 96sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
983nngt0d 12315 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐵)
993nnred 12281 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
100 halfpos2 12495 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
10199, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
10298, 101mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
10394, 97, 102posqsqznn 42371 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
10492, 103jca 511 . 2 (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
10558, 59, 1043jca 1129 1 (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  cz 12613  cq 12990  cexp 14102  csqrt 15272  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-numer 16772  df-denom 16773
This theorem is referenced by:  flt4lem5f  42667  flt4lem7  42669
  Copyright terms: Public domain W3C validator