Theorem flt4lem5e 40087

Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 40080. EDITORIAL: This is not minimized! (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5e	⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 13699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 13699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16135	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13		2nn 11791	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rplpwr 16005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
16	1, 5, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
18	1	nncnd 11734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	flt4lem 40076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 11734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	flt4lem 40076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 40077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27	26	pythagtriplem13 16266	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		flt4lem5a.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
30	29	pythagtriplem11 16264	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	25, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		flt4lem5a.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
33		flt4lem5a.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
34	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5a 40083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
35	28	nnzd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36	8, 35	gcdcomd 15959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
37	31	nnzd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38	35, 37	gcdcomd 15959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
39	29, 26	flt4lem5 40081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
40	25, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
41	38, 40	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
42	28	nnsqcld 13699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 11734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
44	2	nncnd 11734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 10922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
46	45, 34	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
47	28, 1, 31, 41, 46	fltabcoprm 40073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
48	36, 47	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
49	32, 33	flt4lem5 40081	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
50	1, 28, 31, 34, 48, 6, 49	syl312anc 1392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
51	32	pythagtriplem11 16264	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	1, 28, 31, 34, 48, 6, 51	syl312anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
53	33	pythagtriplem13 16266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
54	1, 28, 31, 34, 48, 6, 53	syl312anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
55	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5d 40086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
56	31, 52, 54, 55, 50	flt4lem5elem 40082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57	50, 56	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
58		3anass 1096	. . 3 ⊢ (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
59	57, 58	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
60	52, 54, 31	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
61		sq2 13654	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
62		4cn 11803	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
63	61, 62	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
65	52, 54	nnmulcld 11771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
66	31, 65	nnmulcld 11771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 11734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
68		4ne0 11826	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
69	61, 68	eqnetri 3004	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
71		2cn 11793	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	sqvali 13637	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
73	72	oveq1i 7182	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
74		2cnd 11796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
75	31	nncnd 11734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76	65	nncnd 11734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
77	74, 74, 75, 76	mul4d 10932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
78	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5c 40085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
79	78	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
80	79, 28	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
81	80	nncnd 11734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
82	74, 75, 81	mulassd 10744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
83	79	oveq2d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
84	83	oveq2d 7188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
85	82, 84	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
86	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5b 40084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
87	77, 85, 86	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
88	73, 87	syl5eq 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
89	64, 67, 70, 88	mvllmuld 11552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
90		2ne0 11822	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
91	90	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
92	20, 74, 91	sqdivd 13617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
93	89, 92	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
94	66	nnzd 12169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
95	93, 94	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
96	3	nnzd 12169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
97		znq 12436	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
98	96, 13, 97	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
99	3	nngt0d 11767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
100	3	nnred 11733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
101		halfpos2 11947	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
102	100, 101	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
103	99, 102	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
104	95, 98, 103	posqsqznn 39942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
105	93, 104	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
106	59, 60, 105	3jca 1129	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172  ℂcc 10615  ℝcr 10616  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620   · cmul 10622   < clt 10755   − cmin 10950   / cdiv 11377  ℕcn 11718  2c2 11773  4c4 11775  ℤcz 12064  ℚcq 12432  ↑cexp 13523  √csqrt 14684   ∥ cdvds 15701   gcd cgcd 15939  ℙcprime 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-dvds 15702  df-gcd 15940  df-prm 16115  df-numer 16177  df-denom 16178

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  40088  flt4lem7  40090