Theorem flt4lem5e 42642

Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 42635. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5e	⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16725	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16751	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13		2nn 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rplpwr 16591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
16	1, 5, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
18	1	nncnd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	flt4lem 42631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	flt4lem 42631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 42632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27	26	pythagtriplem13 16860	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	25, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		flt4lem5a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
30	29	pythagtriplem11 16858	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	25, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32		flt4lem5a.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
33		flt4lem5a.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
34	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5a 42638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
35	28	nnzd 12637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36	8, 35	gcdcomd 16547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
37	31	nnzd 12637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
38	35, 37	gcdcomd 16547	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
39	29, 26	flt4lem5 42636	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
40	25, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
41	38, 40	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
42	28	nnsqcld 14279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
44	2	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
46	45, 34	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
47	28, 1, 31, 41, 46	fltabcoprm 42628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
48	36, 47	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
49	32, 33	flt4lem5 42636	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
50	1, 28, 31, 34, 48, 6, 49	syl312anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
51	32	pythagtriplem11 16858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	1, 28, 31, 34, 48, 6, 51	syl312anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
53	33	pythagtriplem13 16860	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
54	1, 28, 31, 34, 48, 6, 53	syl312anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
55	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5d 42641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
56	31, 52, 54, 55, 50	flt4lem5elem 42637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
57		3anass 1094	. . 3 ⊢ (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
58	50, 56, 57	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
59	52, 54, 31	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
60		sq2 14232	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
61		4cn 12348	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
62	60, 61	eqeltri 2834	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
64	52, 54	nnmulcld 12316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
65	31, 64	nnmulcld 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
66	65	nncnd 12279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
67		4ne0 12371	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
68	60, 67	eqnetri 3008	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ≠ 0
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
70		2cn 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
71	70	sqvali 14215	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
72	71	oveq1i 7440	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
73		2cnd 12341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74	31	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
75	64	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
76	73, 73, 74, 75	mul4d 11470	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
77	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5c 42640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
78	77, 28	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
79	78	nncnd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
80	73, 74, 79	mulassd 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))))
81	77	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑅 · 𝑆)) = 𝑁)
82	81	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝑀 · 𝑁))
83	82	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · (2 · (𝑅 · 𝑆)))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
84	80, 83	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
85	29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5b 42639	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
86	76, 84, 85	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
87	72, 86	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
88	63, 66, 69, 87	mvllmuld 12096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
89		2ne0 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
90	89	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
91	20, 73, 90	sqdivd 14195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
92	88, 91	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
93	65	nnzd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
94	92, 93	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
95	3	nnzd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
96		znq 12991	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
97	95, 13, 96	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
98	3	nngt0d 12312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
99	3	nnred 12278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
100		halfpos2 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
101	99, 100	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
102	98, 101	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
103	94, 97, 102	posqsqznn 42349	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
104	92, 103	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
105	58, 59, 104	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  4c4 12320  ℤcz 12610  ℚcq 12987  ↑cexp 14098  √csqrt 15268   ∥ cdvds 16286   gcd cgcd 16527  ℙcprime 16704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-numer 16768  df-denom 16769

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  42643  flt4lem7  42645