Theorem flt4lem5e 27992

Description: Satisfy the hypotheses of flt4lem4 27985. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5e	⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

Proof of Theorem flt4lem5e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16873	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
13		2nn 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rppwr 16740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1))
16	1, 3, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1))
17	12, 16	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1)
18	1	nncnd 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	exp4sqsq 14348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	exp4sqsq 14348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 27982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27	26	pythagtriplem13 17011	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	25, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		flt4lem5a.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
30	29	pythagtriplem11 17009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	25, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
32	28	nnzd 12723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	8, 32	gcdcomd 16692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
34	31	nnzd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35	32, 34	gcdcomd 16692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
36	29, 26	flt4lem5 27986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
37	25, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
38	35, 37	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
39	28	nnsqcld 14392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
41	2	nncnd 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
42	40, 41	addcomd 11516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
43		flt4lem5a.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
44		flt4lem5a.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
45	29, 26, 43, 44, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5a 27988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
46	42, 45	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
47	28, 1, 31, 38, 46	fltabcoprm 27980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
48	33, 47	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
49	1, 28, 31, 6, 48, 45	flt4lem1 27982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)))
50	43, 44	flt4lem5 27986	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
51	49, 50	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑆) = 1)
52	43	pythagtriplem11 17009	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℕ)
53	49, 52	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
54	44	pythagtriplem13 17011	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℕ)
55	49, 54	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
56	29, 26, 43, 44, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5d 27991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
57	31, 53, 55, 56, 51	flt4lem5elem 27987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
58		3anass 1111	. . 3 ⊢ (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ↔ ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ ((𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1)))
59	51, 57, 58	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1))
60	53, 55, 31	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ))
61		2cnd 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
62	61	sqcld 14291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
63	53, 55	nnmulcld 12395	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℕ)
64	31, 63	nnmulcld 12395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℕ)
65	64	nncnd 12355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℂ)
66		2ne0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
68		2z 12732	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
70	61, 67, 69	expne0d 14299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠ 0)
71		2cn 12422	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	sqvali 14327	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
73	72	oveq1i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)))
74	31	nncnd 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
75	63	nncnd 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑆) ∈ ℂ)
76	61, 61, 74, 75	mul4d 11526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
77	29, 26, 43, 44, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5c 27990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2 · (𝑅 · 𝑆)))
78	77	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝑁) = ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))))
79	28	nncnd 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
80	61, 74, 79	mulassd 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝑁) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
81	78, 80	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑀) · (2 · (𝑅 · 𝑆))) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
82	29, 26, 43, 44, 1, 3, 5, 6, 12, 23	flt4lem5b 27989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))
83	76, 81, 82	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
84	73, 83	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀 · (𝑅 · 𝑆))) = (𝐵↑2))
85	62, 65, 70, 84	mvllmuld 12153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
86	20, 61, 67	sqdivd 14306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / (2↑2)))
87	85, 86	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2))
88	64	nnzd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) ∈ ℤ)
89	87, 88	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2)↑2) ∈ ℤ)
90	3	nnzd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
91		znq 13083	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
92	90, 13, 91	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℚ)
93	3	nngt0d 12391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
94	3	nnred 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
95		halfpos2 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
96	94, 95	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 / 2)))
97	93, 96	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 / 2))
98	89, 92, 97	posqsqznn 16942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
99	87, 98	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
100	59, 60, 99	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 gcd 𝑆) = 1 ∧ (𝑅 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝑆 gcd 𝑀) = 1) ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 · (𝑅 · 𝑆)) = ((𝐵 / 2)↑2) ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  4c4 12403  ℤcz 12697  ℚcq 13079  ↑cexp 14208  √csqrt 15406   ∥ cdvds 16428   gcd cgcd 16670  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-numer 16917  df-denom 16918

This theorem is used by:  flt4lem5f  27993  flt4lem7  27995