Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0xyqsolr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0xyqsolr 47765
Description: Lemma for itsclc0 47767. Solutions of the quadratic equations for the coordinates of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0xyqsolr.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itsclc0xyqsolr.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0xyqsolr (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โˆจ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)))

Proof of Theorem itsclc0xyqsolr
StepHypRef Expression
1 recn 11220 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
213ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
323ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 recn 11220 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
543ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
653ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 recn 11220 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
983ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1093ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
1312anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„))
14133adant2 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„))
15 itsclc0xyqsolr.q . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
16 itsclc0xyqsolr.d . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
1715, 16itsclc0lem3 47754 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1918recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2019sqrtcld 15408 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
2110, 20mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
227, 21addcld 11255 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
2315resum2sqcl 47702 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
24233adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
2524recnd 11264 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
26253ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
27 simp11 1201 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
28 simp12 1202 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
29 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0))
3015resum2sqorgt0 47705 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 < ๐‘„)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ 0 < ๐‘„)
3231gt0ne0d 11800 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
3322, 26, 32sqdivd 14147 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)))
342, 5mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
35343ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
36 binom2 14204 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
3735, 21, 36syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
382, 5sqmuld 14146 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))
39383ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))
4039oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
4110, 20sqmuld 14146 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)))
42 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
43 resqrtth 15226 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
4418, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
4544oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท))
4641, 45eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท))
4740, 46oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)))
4837, 47eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)))
4948oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)) = (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
5033, 49eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
5110, 6mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
523, 20mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
5351, 52subcld 11593 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
5453, 26, 32sqdivd 14147 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)))
5527recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655, 20mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
57 binom2sub 14206 . . . . . . . . . 10 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
5851, 56, 57syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
599, 5sqmuld 14146 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))
60593ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))
6110, 6, 55, 20mul4d 11448 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ต ยท ๐ด) ยท (๐ถ ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
6210, 55mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
6362oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท (๐ถ ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
6455, 10, 6, 20mul4d 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
6563, 64eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท (๐ถ ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
6661, 65eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
6766oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
6860, 67oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
6955, 20sqmuld 14146 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)))
7044oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))
7169, 70eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))
7268, 71oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
7358, 72eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
7473oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)) = (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
7554, 74eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
7650, 75oveq12d 7432 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) + (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2))))
773sqcld 14132 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
786sqcld 14132 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7977, 78mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
80 2cnd 12312 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
817, 21mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
8280, 81mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
8379, 82addcld 11255 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ โ„‚)
8410sqcld 14132 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8584, 19mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
8683, 85addcld 11255 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
8784, 78mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8887, 82subcld 11593 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ โ„‚)
8977, 19mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
9088, 89addcld 11255 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9126sqcld 14132 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
92 2z 12616 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
9392a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
9426, 32, 93expne0d 14140 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘„โ†‘2) โ‰  0)
9586, 90, 91, 94divdird 12050 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) / (๐‘„โ†‘2)) = ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) + (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2))))
9683, 85, 88, 89add4d 11464 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) = (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))))
9779, 82, 87ppncand 11633 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
9855sqcld 14132 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9998, 84, 78adddird 11261 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ถโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
10015eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ๐‘„
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ๐‘„)
102101oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ถโ†‘2)) = (๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)))
10397, 99, 1023eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) = (๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)))
10484, 98, 19adddird 11261 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
10584, 98addcomd 11438 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
106105, 101eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ๐‘„)
107106oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท) = (๐‘„ ยท ๐ท))
108104, 107eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) = (๐‘„ ยท ๐ท))
109103, 108oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) = ((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)))
11096, 109eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) = ((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)))
111110oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) / (๐‘„โ†‘2)) = (((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
11226, 78, 19adddid 11260 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) + ๐ท)) = ((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)))
113112eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) = (๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) + ๐ท)))
11426sqvald 14131 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘„โ†‘2) = (๐‘„ ยท ๐‘„))
115113, 114oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) = ((๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) + ๐ท)) / (๐‘„ ยท ๐‘„)))
11678, 19addcld 11255 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) + ๐ท) โˆˆ โ„‚)
117116, 26, 26, 32, 32divcan5d 12038 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘„ ยท ((๐ถโ†‘2) + ๐ท)) / (๐‘„ ยท ๐‘„)) = (((๐ถโ†‘2) + ๐ท) / ๐‘„))
118115, 117eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) + ๐ท) / ๐‘„))
11916a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
120119oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) + ๐ท) = ((๐ถโ†‘2) + (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))))
121 rpcn 13008 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
1231223ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
124123sqcld 14132 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
125124, 26mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
12678, 125pncan3d 11596 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„))
127120, 126eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) + ๐ท) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„))
128116, 124, 26, 32divmul3d 12046 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ถโ†‘2) + ๐ท) / ๐‘„) = (๐‘…โ†‘2) โ†” ((๐ถโ†‘2) + ๐ท) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„)))
129127, 128mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) + ๐ท) / ๐‘„) = (๐‘…โ†‘2))
130118, 129eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2))
131111, 130eqtrd 2767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) / (๐‘„โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2))
13276, 95, 1313eqtr2d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2))
1333, 22, 26, 32divassd 12047 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
1343, 7, 21adddid 11260 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
1351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1364adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
137135, 135, 136mulassd 11259 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
138135sqvald 14131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
139138eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
140139oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ))
141137, 140eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ))
1421413adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ))
1431423ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ))
1443, 10, 20mulassd 11259 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
145144eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
146143, 145oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) + (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
147134, 146eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
148147oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
149133, 148eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
15010, 53, 26, 32divassd 12047 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
15110, 51, 52subdid 11692 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
152 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
153152recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
155154recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
156153, 153, 155mulassd 11259 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
1578sqvald 14131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
158157eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘2))
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘2))
160159oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
161156, 160eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
1621613adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
1631623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))
16410, 3, 20mulassd 11259 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
1659, 2mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
1661653ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
167166oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
168164, 167eqtr3d 2769 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))
169163, 168oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
170151, 169eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
171170oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
172150, 171eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) = ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
173149, 172oveq12d 7432 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) + ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
17477, 6mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1753, 10mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
176175, 20mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
177174, 176addcld 11255 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
17884, 6mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
179178, 176subcld 11593 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
180177, 179, 26, 32divdird 12050 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) + ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
181174, 176, 178ppncand 11633 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
18277, 84, 6adddird 11261 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
18315a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
184183eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ๐‘„)
185184oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ) = (๐‘„ ยท ๐ถ))
186181, 182, 1853eqtr2d 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (๐‘„ ยท ๐ถ))
187177, 179addcld 11255 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
188187, 6, 26, 32divmul2d 12045 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ๐ถ โ†” ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (๐‘„ ยท ๐ถ)))
189186, 188mpbird 257 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ๐ถ)
190173, 180, 1893eqtr2d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ)
191132, 190jca 511 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ))
192 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2))
193 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2))
194192, 193oveqan12d 7433 . . . . 5 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)))
195194eqeq1d 2729 . . . 4 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โ†” (((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2)))
196 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = (๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
197 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Œ) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
198196, 197oveqan12d 7433 . . . . 5 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
199198eqeq1d 2729 . . . 4 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†” ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ))
200195, 199anbi12d 630 . . 3 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†” ((((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ)))
201191, 200syl5ibrcom 246 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)))
20235, 21subcld 11593 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
203202, 26, 32sqdivd 14147 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)))
204 binom2sub 14206 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
20535, 21, 204syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
20639oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
207206, 46oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)))
208205, 207eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)))
209208oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)) = (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
210203, 209eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
21151, 56addcld 11255 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
212211, 26, 32sqdivd 14147 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)))
213 binom2 14204 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
21451, 56, 213syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)))
21560, 67oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
216215, 71oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))โ†‘2)) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
217214, 216eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
218217oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))โ†‘2) / (๐‘„โ†‘2)) = (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
219212, 218eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) = (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
220210, 219oveq12d 7432 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) + (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2))))
22198, 78mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
22235, 21mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
22380, 222mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
224221, 223subcld 11593 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ โ„‚)
225224, 85addcld 11255 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
22687, 223addcld 11255 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ โ„‚)
22798, 19mulcld 11256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
228226, 227addcld 11255 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
229225, 228, 91, 94divdird 12050 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) / (๐‘„โ†‘2)) = ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)) + (((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2))))
230224, 85, 226, 227add4d 11464 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) = (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))))
231221, 223, 87nppcan3d 11620 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
232231, 99, 1023eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) = (๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)))
233232, 108oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) = ((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)))
234230, 233eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) = ((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)))
235234oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ท)) + ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ด ยท ๐ถ) ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))) / (๐‘„โ†‘2)) = (((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
236220, 229, 2353eqtr2d 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (((๐‘„ ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐‘„ ยท ๐ท)) / (๐‘„โ†‘2)))
237236, 130eqtrd 2767 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2))
238 simp1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
239 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
240238, 239remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
241240recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
2422413ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
243242, 21subcld 11593 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
2443, 243, 26, 32divassd 12047 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
2453, 242, 21subdid 11692 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
246143, 145oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
247245, 246eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
248247oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
249244, 248eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
25051, 52addcld 11255 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
25110, 250, 26, 32divassd 12047 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
25210, 51, 52adddid 11260 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
253163, 168oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท (๐ต ยท ๐ถ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
254252, 253eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
255254oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
256251, 255eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) = ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))
257249, 256oveq12d 7432 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) + ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
258174, 176subcld 11593 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
259178, 176addcld 11255 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„‚)
260258, 259, 26, 32divdird 12050 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) + ((((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
261174, 176, 178nppcan3d 11620 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
262261, 182, 1853eqtr2d 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (๐‘„ ยท ๐ถ))
263258, 259addcld 11255 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„‚)
264263, 6, 26, 32divmul2d 12045 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ๐ถ โ†” ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) = (๐‘„ ยท ๐ถ)))
265262, 264mpbird 257 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท))) + (((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ต) ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) / ๐‘„) = ๐ถ)
266257, 260, 2653eqtr2d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ)
267237, 266jca 511 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ))
268 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2))
269 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐‘Œโ†‘2) = ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2))
270268, 269oveqan12d 7433 . . . . 5 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)))
271270eqeq1d 2729 . . . 4 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โ†” (((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2)))
272 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = (๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
273 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Œ) = (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)))
274272, 273oveqan12d 7433 . . . . 5 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))))
275274eqeq1d 2729 . . . 4 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ โ†” ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ))
276271, 275anbi12d 630 . . 3 ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†” ((((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2) + ((((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)โ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) + (๐ต ยท (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) = ๐ถ)))
277267, 276syl5ibrcom 246 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ ((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)))
278201, 277jaod 858 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (((๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„)) โˆจ (๐‘‹ = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„) โˆง ๐‘Œ = (((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ด ยท (โˆšโ€˜๐ท))) / ๐‘„))) โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  โ†‘cexp 14050  โˆšcsqrt 15204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207
This theorem is referenced by:  itsclc0xyqsolb  47766
  Copyright terms: Public domain W3C validator