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Theorem itsclc0xyqsolr 46845
Description: Lemma for itsclc0 46847. Solutions of the quadratic equations for the coordinates of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0xyqsolr.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0xyqsolr.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0xyqsolr (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))

Proof of Theorem itsclc0xyqsolr
StepHypRef Expression
1 recn 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
323ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℂ)
73, 6mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 recn 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
983ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1093ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
1312anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ))
14133adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ))
15 itsclc0xyqsolr.q . . . . . . . . . . . . . 14 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
16 itsclc0xyqsolr.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
1715, 16itsclc0lem3 46834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
1918recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2019sqrtcld 15322 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
2110, 20mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
227, 21addcld 11174 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
2315resum2sqcl 46782 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
24233adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
2524recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℂ)
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℂ)
27 simp11 1203 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 simp12 1204 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
3015resum2sqorgt0 46785 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 < 𝑄)
3231gt0ne0d 11719 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
3322, 26, 32sqdivd 14064 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)))
342, 5mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
35343ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
36 binom2 14121 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2)))
3735, 21, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2)))
382, 5sqmuld 14063 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))
4039oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
4110, 20sqmuld 14063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2) = ((𝐵↑2) · ((√‘𝐷)↑2)))
42 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
43 resqrtth 15140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
4418, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
4544oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) · ((√‘𝐷)↑2)) = ((𝐵↑2) · 𝐷))
4641, 45eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2) = ((𝐵↑2) · 𝐷))
4740, 46oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2)) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)))
4837, 47eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)))
4948oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)) = (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
5033, 49eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
5110, 6mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
523, 20mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
5351, 52subcld 11512 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
5453, 26, 32sqdivd 14064 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)))
5527recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5655, 20mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
57 binom2sub 14123 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐵 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2)))
5851, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐵 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2)))
599, 5sqmuld 14063 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
60593ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
6110, 6, 55, 20mul4d 11367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 · (√‘𝐷))))
6210, 55mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
6362oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · (√‘𝐷))))
6455, 10, 6, 20mul4d 11367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))
6563, 64eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐴) · (𝐶 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))
6661, 65eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))
6766oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
6860, 67oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
6955, 20sqmuld 14063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2) = ((𝐴↑2) · ((√‘𝐷)↑2)))
7044oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · ((√‘𝐷)↑2)) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
7169, 70eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
7268, 71oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)))
7358, 72eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)))
7473oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)) = (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
7554, 74eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
7650, 75oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)) + (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2))))
773sqcld 14049 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
786sqcld 14049 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
7977, 78mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
80 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 2 ∈ ℂ)
817, 21mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
8280, 81mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))) ∈ ℂ)
8379, 82addcld 11174 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) ∈ ℂ)
8410sqcld 14049 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
8584, 19mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
8683, 85addcld 11174 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
8784, 78mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
8887, 82subcld 11512 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) ∈ ℂ)
8977, 19mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
9088, 89addcld 11174 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
9126sqcld 14049 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
92 2z 12535 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
9392a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 2 ∈ ℤ)
9426, 32, 93expne0d 14057 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄↑2) ≠ 0)
9586, 90, 91, 94divdird 11969 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝑄↑2)) = ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)) + (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2))))
9683, 85, 88, 89add4d 11383 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) = (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) + (((𝐵↑2) · 𝐷) + ((𝐴↑2) · 𝐷))))
9779, 82, 87ppncand 11552 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
9855sqcld 14049 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
9998, 84, 78adddird 11180 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
10015eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑄
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑄)
102101oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) = (𝑄 · (𝐶↑2)))
10397, 99, 1023eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) = (𝑄 · (𝐶↑2)))
10484, 98, 19adddird 11180 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · 𝐷) = (((𝐵↑2) · 𝐷) + ((𝐴↑2) · 𝐷)))
10584, 98addcomd 11357 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
106105, 101eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = 𝑄)
107106oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · 𝐷) = (𝑄 · 𝐷))
108104, 107eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) · 𝐷) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) = (𝑄 · 𝐷))
109103, 108oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) + (((𝐵↑2) · 𝐷) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) = ((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)))
11096, 109eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) = ((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)))
111110oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝑄↑2)) = (((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
11226, 78, 19adddid 11179 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 · ((𝐶↑2) + 𝐷)) = ((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)))
113112eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) = (𝑄 · ((𝐶↑2) + 𝐷)))
11426sqvald 14048 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄↑2) = (𝑄 · 𝑄))
115113, 114oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) / (𝑄↑2)) = ((𝑄 · ((𝐶↑2) + 𝐷)) / (𝑄 · 𝑄)))
11678, 19addcld 11174 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐶↑2) + 𝐷) ∈ ℂ)
117116, 26, 26, 32, 32divcan5d 11957 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑄 · ((𝐶↑2) + 𝐷)) / (𝑄 · 𝑄)) = (((𝐶↑2) + 𝐷) / 𝑄))
118115, 117eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) / (𝑄↑2)) = (((𝐶↑2) + 𝐷) / 𝑄))
11916a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
120119oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐶↑2) + 𝐷) = ((𝐶↑2) + (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))))
121 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
1231223ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
124123sqcld 14049 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
125124, 26mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
12678, 125pncan3d 11515 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐶↑2) + (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))) = ((𝑅↑2) · 𝑄))
127120, 126eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐶↑2) + 𝐷) = ((𝑅↑2) · 𝑄))
128116, 124, 26, 32divmul3d 11965 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐶↑2) + 𝐷) / 𝑄) = (𝑅↑2) ↔ ((𝐶↑2) + 𝐷) = ((𝑅↑2) · 𝑄)))
129127, 128mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐶↑2) + 𝐷) / 𝑄) = (𝑅↑2))
130118, 129eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) / (𝑄↑2)) = (𝑅↑2))
131111, 130eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝑄↑2)) = (𝑅↑2))
13276, 95, 1313eqtr2d 2782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2))
1333, 22, 26, 32divassd 11966 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
1343, 7, 21adddid 11179 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) = ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
1351adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1364adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
137135, 135, 136mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)))
138135sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
139138eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
140139oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐶) = ((𝐴↑2) · 𝐶))
141137, 140eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴↑2) · 𝐶))
1421413adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴↑2) · 𝐶))
1431423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴↑2) · 𝐶))
1443, 10, 20mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)) = (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))))
145144eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))
146143, 145oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) + (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
147134, 146eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
148147oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
149133, 148eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
15010, 53, 26, 32divassd 11966 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
15110, 51, 52subdid 11611 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) = ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) − (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))))
152 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
153152recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
154 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
155154recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
156153, 153, 155mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)))
1578sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
158157eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) = (𝐵↑2))
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) = (𝐵↑2))
160159oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
161156, 160eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
1621613adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
1631623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐵↑2) · 𝐶))
16410, 3, 20mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐴) · (√‘𝐷)) = (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷))))
1659, 2mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
1661653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
167166oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐴) · (√‘𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))
168164, 167eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))
169163, 168oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) − (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
170151, 169eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
171170oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = ((((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
172150, 171eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) = ((((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
173149, 172oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = (((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄) + ((((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
17477, 6mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
1753, 10mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
176175, 20mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
177174, 176addcld 11174 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
17884, 6mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
179178, 176subcld 11512 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
180177, 179, 26, 32divdird 11969 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄) + ((((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
181174, 176, 178ppncand 11552 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
18277, 84, 6adddird 11180 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
18315a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
184183eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑄)
185184oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = (𝑄 · 𝐶))
186181, 182, 1853eqtr2d 2782 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) = (𝑄 · 𝐶))
187177, 179addcld 11174 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) ∈ ℂ)
188187, 6, 26, 32divmul2d 11964 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = 𝐶 ↔ ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) = (𝑄 · 𝐶)))
189186, 188mpbird 256 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = 𝐶)
190173, 180, 1893eqtr2d 2782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶)
191132, 190jca 512 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶))
192 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝑋↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2))
193 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝑌↑2) = ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2))
194192, 193oveqan12d 7376 . . . . 5 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)))
195194eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2)))
196 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
197 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝐵 · 𝑌) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
198196, 197oveqan12d 7376 . . . . 5 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
199198eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶))
200195, 199anbi12d 631 . . 3 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶)))
201191, 200syl5ibrcom 246 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
20235, 21subcld 11512 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
203202, 26, 32sqdivd 14064 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)))
204 binom2sub 14123 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2)))
20535, 21, 204syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2)))
20639oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
207206, 46oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵 · (√‘𝐷))↑2)) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)))
208205, 207eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)))
209208oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)) = (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
210203, 209eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
21151, 56addcld 11174 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
212211, 26, 32sqdivd 14064 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)))
213 binom2 14121 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐵 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2)))
21451, 56, 213syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐵 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2)))
21560, 67oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))))
216215, 71oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝐶) · (𝐴 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴 · (√‘𝐷))↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)))
217214, 216eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)))
218217oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))↑2) / (𝑄↑2)) = (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
219212, 218eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) = (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
220210, 219oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)) + (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2))))
22198, 78mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
22235, 21mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
22380, 222mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))) ∈ ℂ)
224221, 223subcld 11512 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) ∈ ℂ)
225224, 85addcld 11174 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
22687, 223addcld 11174 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) ∈ ℂ)
22798, 19mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
228226, 227addcld 11174 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
229225, 228, 91, 94divdird 11969 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝑄↑2)) = ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2)) + (((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝑄↑2))))
230224, 85, 226, 227add4d 11383 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) = (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) + (((𝐵↑2) · 𝐷) + ((𝐴↑2) · 𝐷))))
231221, 223, 87nppcan3d 11539 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
232231, 99, 1023eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) = (𝑄 · (𝐶↑2)))
233232, 108oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷)))))) + (((𝐵↑2) · 𝐷) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) = ((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)))
234230, 233eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) = ((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)))
235234oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐵↑2) · 𝐷)) + ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · (√‘𝐷))))) + ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝑄↑2)) = (((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
236220, 229, 2353eqtr2d 2782 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (((𝑄 · (𝐶↑2)) + (𝑄 · 𝐷)) / (𝑄↑2)))
237236, 130eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2))
238 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
239 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
240238, 239remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
241240recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
2422413ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
243242, 21subcld 11512 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
2443, 243, 26, 32divassd 11966 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
2453, 242, 21subdid 11611 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) = ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))))
246143, 145oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (𝐴 · 𝐶)) − (𝐴 · (𝐵 · (√‘𝐷)))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
247245, 246eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
248247oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
249244, 248eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
25051, 52addcld 11174 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
25110, 250, 26, 32divassd 11966 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
25210, 51, 52adddid 11179 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) = ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))))
253163, 168oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
254252, 253eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) = (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))))
255254oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
256251, 255eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) = ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄))
257249, 256oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = (((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄) + ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
258174, 176subcld 11512 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
259178, 176addcld 11174 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
260258, 259, 26, 32divdird 11969 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = (((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄) + ((((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
261174, 176, 178nppcan3d 11539 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
262261, 182, 1853eqtr2d 2782 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) = (𝑄 · 𝐶))
263258, 259addcld 11174 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) ∈ ℂ)
264263, 6, 26, 32divmul2d 11964 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = 𝐶 ↔ ((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) = (𝑄 · 𝐶)))
265262, 264mpbird 256 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((((𝐴↑2) · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷))) + (((𝐵↑2) · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐵) · (√‘𝐷)))) / 𝑄) = 𝐶)
266257, 260, 2653eqtr2d 2782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶)
267237, 266jca 512 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶))
268 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝑋↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2))
269 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝑌↑2) = ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2))
270268, 269oveqan12d 7376 . . . . 5 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)))
271270eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2)))
272 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
273 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → (𝐵 · 𝑌) = (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
274272, 273oveqan12d 7376 . . . . 5 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
275274eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶))
276271, 275anbi12d 631 . . 3 ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2) + ((((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) + (𝐵 · (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) = 𝐶)))
277267, 276syl5ibrcom 246 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
278201, 277jaod 857 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ (𝑋 = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  itsclc0xyqsolb  46846
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