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Theorem tanadd 15514

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tanadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

**Proof of Theorem tanadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3		simpr3 1192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)
4		tanval 15475	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
6		sinadd 15511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
7	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
8		cosadd 15512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
10	7, 9	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
11		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	coscld 15478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	coscld 15478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	mulcld 10655	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		simpr1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	tancld 15479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
18		simpr2 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ≠ 0)
19	13, 18	tancld 15479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	adddid 10659	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))))
21	12, 14, 17	mul32d 10844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)))
22		tanval 15475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
23	11, 16, 22	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24	23	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
25	11	sincld 15477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25, 12, 16	divcan2d 11412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = (sin‘𝐴))
27	24, 26	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
28	27	oveq1d 7165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
29	21, 28	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	12, 14, 19	mulassd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
31		tanval 15475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
32	13, 18, 31	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
33	32	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
34	13	sincld 15477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34, 14, 18	divcan2d 11412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (sin‘𝐵))
36	33, 35	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = (sin‘𝐵))
37	36	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
39	29, 38	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
40	20, 39	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
41		1cnd 10630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ∈ ℂ)
42	17, 19	mulcld 10655	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
43	15, 41, 42	subdid 11090	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
44	15	mulid1d 10652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
45	12, 14, 17, 19	mul4d 10846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
46	27, 36	oveq12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
47	45, 46	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
48	44, 47	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
49	43, 48	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
50	40, 49	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
51	17, 19	addcld 10654	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
52		ax-1cn 10589	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
53		subcl 10879	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
54	52, 42, 53	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
55		tanaddlem 15513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
56	55	3adantr3 1167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
57	3, 56	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1)
58	57	necomd 3071	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))
59		subeq0 10906	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
60	59	necon3bid 3060	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
61	52, 42, 60	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
62	58, 61	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0)
63	12, 14, 16, 18	mulne0d 11286	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ≠ 0)
64	51, 54, 15, 62, 63	divcan5d 11436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
65	10, 50, 64	3eqtr2rd 2863	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
66	5, 65	eqtr4d 2859	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ≠ wne 3016 ‘cfv 6350 (class class class)co 7150 ℂcc 10529 0cc0 10531 1c1 10532 + caddc 10534 · cmul 10536 − cmin 10864 / cdiv 11291 sincsin 15411 cosccos 15412 tanctan 15413

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2156 ax-12 2172 ax-ext 2793 ax-rep 5183 ax-sep 5196 ax-nul 5203 ax-pow 5259 ax-pr 5322 ax-un 7455 ax-inf2 9098 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608 ax-pre-sup 10609 ax-addf 10610 ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3497 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4833 df-int 4870 df-iun 4914 df-br 5060 df-opab 5122 df-mpt 5140 df-tr 5166 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5469 df-so 5470 df-fr 5509 df-se 5510 df-we 5511 df-xp 5556 df-rel 5557 df-cnv 5558 df-co 5559 df-dm 5560 df-rn 5561 df-res 5562 df-ima 5563 df-pred 6143 df-ord 6189 df-on 6190 df-lim 6191 df-suc 6192 df-iota 6309 df-fun 6352 df-fn 6353 df-f 6354 df-f1 6355 df-fo 6356 df-f1o 6357 df-fv 6358 df-isom 6359 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-om 7575 df-1st 7683 df-2nd 7684 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-1o 8096 df-oadd 8100 df-er 8283 df-pm 8403 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-fin 8507 df-sup 8900 df-inf 8901 df-oi 8968 df-card 9362 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-div 11292 df-nn 11633 df-2 11694 df-3 11695 df-n0 11892 df-z 11976 df-uz 12238 df-rp 12384 df-ico 12738 df-fz 12887 df-fzo 13028 df-fl 13156 df-seq 13364 df-exp 13424 df-fac 13628 df-bc 13657 df-hash 13685 df-shft 14420 df-cj 14452 df-re 14453 df-im 14454 df-sqrt 14588 df-abs 14589 df-limsup 14822 df-clim 14839 df-rlim 14840 df-sum 15037 df-ef 15415 df-sin 15417 df-cos 15418 df-tan 15419

This theorem is referenced by: tanregt0 25117

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