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Theorem tanadd 16049

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tanadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

**Proof of Theorem tanadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3		simpr3 1196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)
4		tanval 16010	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
6		sinadd 16046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
8		cosadd 16047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
10	7, 9	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
11		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	coscld 16013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	coscld 16013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		simpr1 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	tancld 16014	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
18		simpr2 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ≠ 0)
19	13, 18	tancld 16014	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	adddid 11179	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))))
21	12, 14, 17	mul32d 11365	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)))
22		tanval 16010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
23	11, 16, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24	23	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
25	11	sincld 16012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25, 12, 16	divcan2d 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = (sin‘𝐴))
27	24, 26	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
28	27	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
29	21, 28	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	12, 14, 19	mulassd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
31		tanval 16010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
32	13, 18, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
33	32	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
34	13	sincld 16012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34, 14, 18	divcan2d 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (sin‘𝐵))
36	33, 35	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = (sin‘𝐵))
37	36	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
39	29, 38	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
40	20, 39	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
41		1cnd 11150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ∈ ℂ)
42	17, 19	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
43	15, 41, 42	subdid 11611	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
44	15	mulid1d 11172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
45	12, 14, 17, 19	mul4d 11367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
46	27, 36	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
47	45, 46	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
48	44, 47	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
49	43, 48	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
50	40, 49	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
51	17, 19	addcld 11174	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
52		ax-1cn 11109	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
53		subcl 11400	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
54	52, 42, 53	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
55		tanaddlem 16048	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
56	55	3adantr3 1171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
57	3, 56	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1)
58	57	necomd 2999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))
59		subeq0 11427	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
60	59	necon3bid 2988	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
61	52, 42, 60	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
62	58, 61	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0)
63	12, 14, 16, 18	mulne0d 11807	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ≠ 0)
64	51, 54, 15, 62, 63	divcan5d 11957	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
65	10, 50, 64	3eqtr2rd 2783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
66	5, 65	eqtr4d 2779	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 − cmin 11385 / cdiv 11812 sincsin 15946 cosccos 15947 tanctan 15948

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-er 8648 df-pm 8768 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-rp 12916 df-ico 13270 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-seq 13907 df-exp 13968 df-fac 14174 df-bc 14203 df-hash 14231 df-shft 14952 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571 df-ef 15950 df-sin 15952 df-cos 15953 df-tan 15954

This theorem is referenced by: tanregt0 25895

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