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Theorem tanadd 15876

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tanadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

**Proof of Theorem tanadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10953	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3		simpr3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)
4		tanval 15837	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
6		sinadd 15873	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
8		cosadd 15874	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
10	7, 9	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
11		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	coscld 15840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	coscld 15840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		simpr1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	tancld 15841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
18		simpr2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ≠ 0)
19	13, 18	tancld 15841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	adddid 10999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))))
21	12, 14, 17	mul32d 11185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)))
22		tanval 15837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
23	11, 16, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24	23	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
25	11	sincld 15839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25, 12, 16	divcan2d 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = (sin‘𝐴))
27	24, 26	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
28	27	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
29	21, 28	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	12, 14, 19	mulassd 10998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
31		tanval 15837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
32	13, 18, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
33	32	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
34	13	sincld 15839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34, 14, 18	divcan2d 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (sin‘𝐵))
36	33, 35	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = (sin‘𝐵))
37	36	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
39	29, 38	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
40	20, 39	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
41		1cnd 10970	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ∈ ℂ)
42	17, 19	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
43	15, 41, 42	subdid 11431	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
44	15	mulid1d 10992	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
45	12, 14, 17, 19	mul4d 11187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
46	27, 36	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
47	45, 46	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
48	44, 47	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
49	43, 48	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
50	40, 49	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
51	17, 19	addcld 10994	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
52		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
53		subcl 11220	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
54	52, 42, 53	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
55		tanaddlem 15875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
56	55	3adantr3 1170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
57	3, 56	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1)
58	57	necomd 2999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))
59		subeq0 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
60	59	necon3bid 2988	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
61	52, 42, 60	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
62	58, 61	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0)
63	12, 14, 16, 18	mulne0d 11627	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ≠ 0)
64	51, 54, 15, 62, 63	divcan5d 11777	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
65	10, 50, 64	3eqtr2rd 2785	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
66	5, 65	eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 − cmin 11205 / cdiv 11632 sincsin 15773 cosccos 15774 tanctan 15775

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-er 8498 df-pm 8618 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-ico 13085 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fac 13988 df-bc 14017 df-hash 14045 df-shft 14778 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-limsup 15180 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-ef 15777 df-sin 15779 df-cos 15780 df-tan 15781

This theorem is referenced by: tanregt0 25695

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