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Theorem tanadd 15512

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tanadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

**Proof of Theorem tanadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3		simpr3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)
4		tanval 15473	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
6		sinadd 15509	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
8		cosadd 15510	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
10	7, 9	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
11		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	coscld 15476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	coscld 15476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		simpr1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	tancld 15477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
18		simpr2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ≠ 0)
19	13, 18	tancld 15477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	adddid 10654	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))))
21	12, 14, 17	mul32d 10839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)))
22		tanval 15473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
23	11, 16, 22	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24	23	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
25	11	sincld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25, 12, 16	divcan2d 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = (sin‘𝐴))
27	24, 26	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
28	27	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
29	21, 28	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	12, 14, 19	mulassd 10653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
31		tanval 15473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
32	13, 18, 31	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
33	32	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
34	13	sincld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34, 14, 18	divcan2d 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (sin‘𝐵))
36	33, 35	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = (sin‘𝐵))
37	36	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
39	29, 38	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
40	20, 39	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
41		1cnd 10625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ∈ ℂ)
42	17, 19	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
43	15, 41, 42	subdid 11085	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
44	15	mulid1d 10647	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
45	12, 14, 17, 19	mul4d 10841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
46	27, 36	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
47	45, 46	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
48	44, 47	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
49	43, 48	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
50	40, 49	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
51	17, 19	addcld 10649	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
52		ax-1cn 10584	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
53		subcl 10874	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
54	52, 42, 53	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
55		tanaddlem 15511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
56	55	3adantr3 1168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
57	3, 56	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1)
58	57	necomd 3042	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))
59		subeq0 10901	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
60	59	necon3bid 3031	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
61	52, 42, 60	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
62	58, 61	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0)
63	12, 14, 16, 18	mulne0d 11281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ≠ 0)
64	51, 54, 15, 62, 63	divcan5d 11431	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
65	10, 50, 64	3eqtr2rd 2840	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
66	5, 65	eqtr4d 2836	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 − cmin 10859 / cdiv 11286 sincsin 15409 cosccos 15410 tanctan 15411

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-oadd 8089 df-er 8272 df-pm 8392 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-ico 12732 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-seq 13365 df-exp 13426 df-fac 13630 df-bc 13659 df-hash 13687 df-shft 14418 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-ef 15413 df-sin 15415 df-cos 15416 df-tan 15417

This theorem is referenced by: tanregt0 25131

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