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Theorem tanadd 15804

Description: Addition formula for tangent. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
tanadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

**Proof of Theorem tanadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10884	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3		simpr3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)
4		tanval 15765	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
6		sinadd 15801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
8		cosadd 15802	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
10	7, 9	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
11		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	coscld 15768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	coscld 15768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
16		simpr1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	tancld 15769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
18		simpr2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (cos‘𝐵) ≠ 0)
19	13, 18	tancld 15769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	adddid 10930	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))))
21	12, 14, 17	mul32d 11115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)))
22		tanval 15765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
23	11, 16, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24	23	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
25	11	sincld 15767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25, 12, 16	divcan2d 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))) = (sin‘𝐴))
27	24, 26	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
28	27	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · (cos‘𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
29	21, 28	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	12, 14, 19	mulassd 10929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
31		tanval 15765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
32	13, 18, 31	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
33	32	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
34	13	sincld 15767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
35	34, 14, 18	divcan2d 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (sin‘𝐵))
36	33, 35	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵)) = (sin‘𝐵))
37	36	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵)) = ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
39	29, 38	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐴)) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
40	20, 39	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
41		1cnd 10901	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ∈ ℂ)
42	17, 19	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
43	15, 41, 42	subdid 11361	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
44	15	mulid1d 10923	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
45	12, 14, 17, 19	mul4d 11117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))))
46	27, 36	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (tan‘𝐴)) · ((cos‘𝐵) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
47	45, 46	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
48	44, 47	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
49	43, 48	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
50	40, 49	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
51	17, 19	addcld 10925	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) ∈ ℂ)
52		ax-1cn 10860	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
53		subcl 11150	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
54	52, 42, 53	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ∈ ℂ)
55		tanaddlem 15803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
56	55	3adantr3 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1))
57	3, 56	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ≠ 1)
58	57	necomd 2998	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))
59		subeq0 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
60	59	necon3bid 2987	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
61	52, 42, 60	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))
62	58, 61	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))) ≠ 0)
63	12, 14, 16, 18	mulne0d 11557	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ≠ 0)
64	51, 54, 15, 62, 63	divcan5d 11707	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · ((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵))) / (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵))))) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))
65	10, 50, 64	3eqtr2rd 2785	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))) = ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) / (cos‘(𝐴 + 𝐵))))
66	5, 65	eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ≠ 0 ∧ (cos‘𝐵) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝐴 + 𝐵)) ≠ 0)) → (tan‘(𝐴 + 𝐵)) = (((tan‘𝐴) + (tan‘𝐵)) / (1 − ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 − cmin 11135 / cdiv 11562 sincsin 15701 cosccos 15702 tanctan 15703

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-inf2 9329 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-se 5536 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-isom 6427 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-er 8456 df-pm 8576 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-sup 9131 df-inf 9132 df-oi 9199 df-card 9628 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-rp 12660 df-ico 13014 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-fl 13440 df-seq 13650 df-exp 13711 df-fac 13916 df-bc 13945 df-hash 13973 df-shft 14706 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-limsup 15108 df-clim 15125 df-rlim 15126 df-sum 15326 df-ef 15705 df-sin 15707 df-cos 15708 df-tan 15709

This theorem is referenced by: tanregt0 25600

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