MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem1 25982
Description: Lemma for chtppilim 25984. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
chtppilim.3 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
chtppilim.4 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))

Proof of Theorem chtppilimlem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chtppilim.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 12426 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 10663 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43sqvald 13502 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
54oveq1d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))))
6 chtppilim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
7 2re 11705 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
8 elicopnf 12828 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
106, 9sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
1110simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
12 ppicl 25641 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11950 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ)
1514recnd 10663 . . . 4 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℂ)
16 0red 10638 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
177a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 11734 . . . . . . . . 9 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
2010simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
2116, 17, 11, 19, 20ltletrd 10794 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2211, 21elrpd 12423 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2322relogcld 25138 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
2423recnd 10663 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
253, 3, 15, 24mul4d 10846 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
265, 25eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
272, 14remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) ∈ ℝ)
282, 23remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 10665 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
3022, 2rpcxpcld 25247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
3130rpred 12426 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
32 ppicl 25641 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11950 . . . . 5 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
3514, 34resubcld 11062 . . . 4 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) ∈ ℝ)
3635, 28remulcld 10665 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
37 chtcl 25619 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
3811, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
39 1red 10636 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
40 1lt2 11802 . . . . . . . 8 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 2)
4239, 17, 11, 41, 20ltletrd 10794 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4311, 42rplogcld 25144 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
441, 43rpmulcld 12442 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
4514, 31resubcld 11062 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
46 ppinncl 25684 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ)
4831, 47nndivred 11685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) ∈ ℝ)
49 chtppilim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
5048, 39, 2, 49ltsub13d 11240 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5131recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ)
5247nnrpd 12424 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 12435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0))
54 divsubdir 11328 . . . . . . . . 9 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ ∧ ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0)) → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5515, 51, 53, 54syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
56 divid 11321 . . . . . . . . . 10 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0) → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5857oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5955, 58eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
6050, 59breqtrrd 5091 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)))
612, 45, 52ltmuldivd 12473 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ↔ 𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁))))
6260, 61mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)))
63 ppiltx 25687 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6534, 31, 14, 64ltsub2dd 11247 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6627, 45, 35, 62, 65lttrd 10795 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6727, 35, 44, 66ltmul1dd 12481 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
68 fzfid 13336 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
69 inss1 4209 . . . . . 6 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))
70 ssfi 8732 . . . . . 6 (((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
72 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7372elin2d 4180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
74 prmnn 16013 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7574nnrpd 12424 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
7673, 75syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
7776relogcld 25138 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7871, 77fsumrecl 15086 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℝ)
7928recnd 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
80 fsumconst 15140 . . . . . . 7 ((((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
8171, 79, 80syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
82 ppifl 25670 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
8311, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
84 ppifl 25670 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8531, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8683, 85oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
8739, 11, 42ltled 10782 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
88 chtppilim.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 1)
89 1re 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
90 ltle 10723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
912, 89, 90sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
9288, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ 1)
9311, 87, 2, 39, 92cxplead 25236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ (𝑁𝑐1))
9411recnd 10663 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9594cxp1d 25221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐1) = 𝑁)
9693, 95breqtrd 5089 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁)
97 flword2 13178 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
9831, 11, 96, 97syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
99 ppidif 25673 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10186, 100eqtr3d 2863 . . . . . . 7 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
102101oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10381, 102eqtr4d 2864 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10428adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
10531adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
106 reflcl 13161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
107 peano2re 10807 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10831, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
109108adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11076rpred 12426 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
111 fllep1 13166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11231, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
113112adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11472elin1d 4179 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)))
115 elfzle1 12905 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
117105, 109, 110, 113, 116letrd 10791 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑝)
11822rpne0d 12431 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
11994, 118, 3cxpefd 25227 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))))
120119eqcomd 2832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
121120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
12276reeflogd 25139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
123117, 121, 1223brtr4d 5095 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝)))
124 efle 15466 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
125104, 77, 124syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
126123, 125mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝))
12771, 104, 77, 126fsumle 15149 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
128103, 127eqbrtrrd 5087 . . . 4 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
129 fzfid 13336 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
130 inss1 4209 . . . . . . 7 ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))
131 ssfi 8732 . . . . . . 7 (((1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))) → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
132129, 130, 131sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
133 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
134133elin2d 4180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
135 prmuz2 16035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
137 eluz2b2 12315 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
138136, 137sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
139138simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
140139nnred 11647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
141138simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
142140, 141rplogcld 25144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
143142rpred 12426 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
144142rpge0d 12430 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
14530rpge0d 12430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴))
146 flge0nn0 13185 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴)) → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
14731, 145, 146syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
148 nn0p1nn 11930 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
150 nnuz 12275 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
151149, 150syl6eleq 2928 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
152 fzss1 12941 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)))
153 ssrin 4214 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
155132, 143, 144, 154fsumless 15146 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
156 chtval 25620 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
15711, 156syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
158 2eluzge1 12288 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
159 ppisval2 25615 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
16011, 158, 159sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
161160sumeq1d 15053 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
162157, 161eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
163155, 162breqtrrd 5091 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ (θ‘𝑁))
16436, 78, 38, 128, 163letrd 10791 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (θ‘𝑁))
16529, 36, 38, 67, 164ltletrd 10794 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
16626, 165eqbrtrd 5085 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cuz 12237  +crp 12384  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  ...cfz 12887  cfl 13155  cexp 13424  chash 13685  Σcsu 15037  expce 15410  cprime 16010  logclog 25070  𝑐ccxp 25071  θccht 25601  πcppi 25604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-prm 16011  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072  df-cxp 25073  df-cht 25607  df-ppi 25610
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  25983
  Copyright terms: Public domain W3C validator