MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem1 27213
Description: Lemma for chtppilim 27215. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
chtppilim.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
chtppilim.4 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘)) < (1 βˆ’ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) < (ΞΈβ€˜π‘))

Proof of Theorem chtppilimlem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chtppilim.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 13021 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 11247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43sqvald 14113 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) = (𝐴 Β· 𝐴))
54oveq1d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) = ((𝐴 Β· 𝐴) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
6 chtppilim.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
7 2re 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
8 elicopnf 13427 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ β†’ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁))
106, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁))
1110simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
12 ppicl 26872 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•0)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•0)
1413nn0red 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ ℝ)
1514recnd 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚)
16 0red 11222 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
177a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
18 2pos 12320 . . . . . . . . 9 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
2010simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝑁)
2116, 17, 11, 19, 20ltletrd 11379 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
2211, 21elrpd 13018 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
2322relogcld 26368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2423recnd 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
253, 3, 15, 24mul4d 11431 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝐴) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) = ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
265, 25eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) = ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
272, 14remulcld 11249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) ∈ ℝ)
282, 23remulcld 11249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11249 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
3022, 2rpcxpcld 26478 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
3130rpred 13021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
32 ppicl 26872 . . . . . . 7 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
3433nn0red 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
3514, 34resubcld 11647 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) ∈ ℝ)
3635, 28remulcld 11249 . . 3 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
37 chtcl 26850 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3811, 37syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ ℝ)
39 1red 11220 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
40 1lt2 12388 . . . . . . . 8 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
4239, 17, 11, 41, 20ltletrd 11379 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
4311, 42rplogcld 26374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
441, 43rpmulcld 13037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
4514, 31resubcld 11647 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
46 ppinncl 26915 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•)
4831, 47nndivred 12271 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘)) ∈ ℝ)
49 chtppilim.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘)) < (1 βˆ’ 𝐴))
5048, 39, 2, 49ltsub13d 11825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (1 βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
5131recnd 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ β„‚)
5247nnrpd 13019 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 13030 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘) β‰  0))
54 divsubdir 11913 . . . . . . . . 9 (((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘) β‰  0)) β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)) = (((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
5515, 51, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)) = (((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
56 divid 11906 . . . . . . . . . 10 (((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘) β‰  0) β†’ ((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) = 1)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) = 1)
5857oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))) = (1 βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
5955, 58eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)) = (1 βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
6050, 59breqtrrd 5176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)))
612, 45, 52ltmuldivd 13068 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) ↔ 𝐴 < (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘))))
6260, 61mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)))
63 ppiltx 26918 . . . . . . 7 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) < (𝑁↑𝑐𝐴))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) < (𝑁↑𝑐𝐴))
6534, 31, 14, 64ltsub2dd 11832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
6627, 45, 35, 62, 65lttrd 11380 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
6727, 35, 44, 66ltmul1dd 13076 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) < (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
68 fzfid 13943 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin)
69 inss1 4228 . . . . . 6 ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘))
70 ssfi 9177 . . . . . 6 (((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin ∧ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘))) β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
72 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
7372elin2d 4199 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
74 prmnn 16616 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
7574nnrpd 13019 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
7673, 75syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
7776relogcld 26368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
7871, 77fsumrecl 15685 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
7928recnd 11247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
80 fsumconst 15741 . . . . . . 7 ((((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) = ((β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
8171, 79, 80syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) = ((β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
82 ppifl 26901 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) = (Ο€β€˜π‘))
8311, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) = (Ο€β€˜π‘))
84 ppifl 26901 . . . . . . . . . 10 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) = (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))
8531, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) = (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))
8683, 85oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) βˆ’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))) = ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
8739, 11, 42ltled 11367 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
88 chtppilim.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
89 1re 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
90 ltle 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 1 β†’ 𝐴 ≀ 1))
912, 89, 90sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 1 β†’ 𝐴 ≀ 1))
9288, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 1)
9311, 87, 2, 39, 92cxplead 26466 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ (𝑁↑𝑐1))
9411recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
9594cxp1d 26451 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐1) = 𝑁)
9693, 95breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ 𝑁)
97 flword2 13783 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ 𝑁) β†’ (βŒŠβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
9831, 11, 96, 97syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
99 ppidif 26904 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) β†’ ((Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) βˆ’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))) = (β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)))
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) βˆ’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))) = (β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)))
10186, 100eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) = (β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)))
102101oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) = ((β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
10381, 102eqtr4d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) = (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
10428adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
10531adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
106 reflcl 13766 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
107 peano2re 11392 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10831, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
109108adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11076rpred 13021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
111 fllep1 13771 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1))
11231, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1))
113112adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1))
11472elin1d 4198 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)))
115 elfzle1 13509 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ≀ 𝑝)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ≀ 𝑝)
117105, 109, 110, 113, 116letrd 11376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ 𝑝)
11822rpne0d 13026 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
11994, 118, 3cxpefd 26457 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
120119eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) = (𝑁↑𝑐𝐴))
121120adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) = (𝑁↑𝑐𝐴))
12276reeflogd 26369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑝)
123117, 121, 1223brtr4d 5180 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
124 efle 16066 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
125104, 77, 124syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
126123, 125mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
12771, 104, 77, 126fsumle 15750 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
128103, 127eqbrtrrd 5172 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
129 fzfid 13943 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin)
130 inss1 4228 . . . . . . 7 ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘))
131 ssfi 9177 . . . . . . 7 (((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
132129, 130, 131sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
133 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
134133elin2d 4199 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
135 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
137 eluz2b2 12910 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑝 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑝))
138136, 137sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑝))
139138simpld 494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
140139nnred 12232 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
141138simprd 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝑝)
142140, 141rplogcld 26374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
143142rpred 13021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
144142rpge0d 13025 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘))
14530rpge0d 13025 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑁↑𝑐𝐴))
146 flge0nn0 13790 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁↑𝑐𝐴)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
14731, 145, 146syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
148 nn0p1nn 12516 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ β„•)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ β„•)
150 nnuz 12870 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
151149, 150eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
152 fzss1 13545 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘)))
153 ssrin 4233 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘)) β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
155132, 143, 144, 154fsumless 15747 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ≀ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
156 chtval 26851 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
15711, 156syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
158 2eluzge1 12883 . . . . . . . 8 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
159 ppisval2 26846 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
16011, 158, 159sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
161160sumeq1d 15652 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
162157, 161eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
163155, 162breqtrrd 5176 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ≀ (ΞΈβ€˜π‘))
16436, 78, 38, 128, 163letrd 11376 . . 3 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (ΞΈβ€˜π‘))
16529, 36, 38, 67, 164ltletrd 11379 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) < (ΞΈβ€˜π‘))
16626, 165eqbrtrd 5170 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) < (ΞΈβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  [,)cico 13331  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  β†‘cexp 14032  β™―chash 14295  Ξ£csu 15637  expce 16010  β„™cprime 16613  logclog 26300  β†‘𝑐ccxp 26301  ΞΈccht 26832  Ο€cppi 26835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303  df-cht 26838  df-ppi 26841
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator