MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem1 26837
Description: Lemma for chtppilim 26839. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
chtppilim.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
chtppilim.4 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘)) < (1 βˆ’ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) < (ΞΈβ€˜π‘))

Proof of Theorem chtppilimlem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chtppilim.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 12964 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 11190 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43sqvald 14055 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) = (𝐴 Β· 𝐴))
54oveq1d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) = ((𝐴 Β· 𝐴) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
6 chtppilim.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
7 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
8 elicopnf 13369 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ β†’ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁))
106, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁))
1110simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
12 ppicl 26496 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•0)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•0)
1413nn0red 12481 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ ℝ)
1514recnd 11190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚)
16 0red 11165 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
177a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
18 2pos 12263 . . . . . . . . 9 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
2010simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝑁)
2116, 17, 11, 19, 20ltletrd 11322 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
2211, 21elrpd 12961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
2322relogcld 25994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2423recnd 11190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
253, 3, 15, 24mul4d 11374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝐴) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) = ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
265, 25eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) = ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
272, 14remulcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) ∈ ℝ)
282, 23remulcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
3022, 2rpcxpcld 26103 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
3130rpred 12964 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
32 ppicl 26496 . . . . . . 7 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
3433nn0red 12481 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
3514, 34resubcld 11590 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) ∈ ℝ)
3635, 28remulcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
37 chtcl 26474 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3811, 37syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) ∈ ℝ)
39 1red 11163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
40 1lt2 12331 . . . . . . . 8 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
4239, 17, 11, 41, 20ltletrd 11322 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
4311, 42rplogcld 26000 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
441, 43rpmulcld 12980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
4514, 31resubcld 11590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
46 ppinncl 26539 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ β„•)
4831, 47nndivred 12214 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘)) ∈ ℝ)
49 chtppilim.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘)) < (1 βˆ’ 𝐴))
5048, 39, 2, 49ltsub13d 11768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (1 βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
5131recnd 11190 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ β„‚)
5247nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘) β‰  0))
54 divsubdir 11856 . . . . . . . . 9 (((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘) β‰  0)) β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)) = (((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
5515, 51, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)) = (((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
56 divid 11849 . . . . . . . . . 10 (((Ο€β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘) β‰  0) β†’ ((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) = 1)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) = 1)
5857oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) / (Ο€β€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))) = (1 βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
5955, 58eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)) = (1 βˆ’ ((𝑁↑𝑐𝐴) / (Ο€β€˜π‘))))
6050, 59breqtrrd 5138 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘)))
612, 45, 52ltmuldivd 13011 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) ↔ 𝐴 < (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) / (Ο€β€˜π‘))))
6260, 61mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)))
63 ppiltx 26542 . . . . . . 7 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ+ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) < (𝑁↑𝑐𝐴))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) < (𝑁↑𝑐𝐴))
6534, 31, 14, 64ltsub2dd 11775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (𝑁↑𝑐𝐴)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
6627, 45, 35, 62, 65lttrd 11323 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) < ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
6727, 35, 44, 66ltmul1dd 13019 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) < (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
68 fzfid 13885 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin)
69 inss1 4193 . . . . . 6 ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘))
70 ssfi 9124 . . . . . 6 (((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin ∧ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘))) β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
72 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
7372elin2d 4164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
74 prmnn 16557 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
7574nnrpd 12962 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
7673, 75syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
7776relogcld 25994 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
7871, 77fsumrecl 15626 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
7928recnd 11190 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
80 fsumconst 15682 . . . . . . 7 ((((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) = ((β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
8171, 79, 80syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) = ((β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
82 ppifl 26525 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) = (Ο€β€˜π‘))
8311, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) = (Ο€β€˜π‘))
84 ppifl 26525 . . . . . . . . . 10 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) = (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))
8531, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) = (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))
8683, 85oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) βˆ’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))) = ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
8739, 11, 42ltled 11310 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
88 chtppilim.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
89 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
90 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 1 β†’ 𝐴 ≀ 1))
912, 89, 90sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 1 β†’ 𝐴 ≀ 1))
9288, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 1)
9311, 87, 2, 39, 92cxplead 26092 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ (𝑁↑𝑐1))
9411recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
9594cxp1d 26077 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐1) = 𝑁)
9693, 95breqtrd 5136 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ 𝑁)
97 flword2 13725 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ 𝑁) β†’ (βŒŠβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
9831, 11, 96, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))))
99 ppidif 26528 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) β†’ ((Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) βˆ’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))) = (β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)))
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜(βŒŠβ€˜π‘)) βˆ’ (Ο€β€˜(βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)))) = (β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)))
10186, 100eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) = (β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)))
102101oveq1d 7377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) = ((β™―β€˜((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
10381, 102eqtr4d 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) = (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
10428adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
10531adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
106 reflcl 13708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
107 peano2re 11335 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10831, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
109108adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11076rpred 12964 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
111 fllep1 13713 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1))
11231, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1))
113112adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1))
11472elin1d 4163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)))
115 elfzle1 13451 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ≀ 𝑝)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ≀ 𝑝)
117105, 109, 110, 113, 116letrd 11319 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) ≀ 𝑝)
11822rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
11994, 118, 3cxpefd 26083 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))))
120119eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) = (𝑁↑𝑐𝐴))
121120adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) = (𝑁↑𝑐𝐴))
12276reeflogd 25995 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑝)
123117, 121, 1223brtr4d 5142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
124 efle 16007 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
125104, 77, 124syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
126123, 125mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
12771, 104, 77, 126fsumle 15691 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(𝐴 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
128103, 127eqbrtrrd 5134 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
129 fzfid 13885 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin)
130 inss1 4193 . . . . . . 7 ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘))
131 ssfi 9124 . . . . . . 7 (((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
132129, 130, 131sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) ∈ Fin)
133 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
134133elin2d 4164 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
135 prmuz2 16579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
137 eluz2b2 12853 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑝 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑝))
138136, 137sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑝))
139138simpld 496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
140139nnred 12175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
141138simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝑝)
142140, 141rplogcld 26000 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
143142rpred 12964 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
144142rpge0d 12968 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘))
14530rpge0d 12968 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑁↑𝑐𝐴))
146 flge0nn0 13732 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁↑𝑐𝐴)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
14731, 145, 146syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0)
148 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ β„•)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ β„•)
150 nnuz 12813 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
151149, 150eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
152 fzss1 13487 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘)))
153 ssrin 4198 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘)) β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
155132, 143, 144, 154fsumless 15688 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ≀ Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
156 chtval 26475 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
15711, 156syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
158 2eluzge1 12826 . . . . . . . 8 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
159 ppisval2 26470 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
16011, 158, 159sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
161160sumeq1d 15593 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
162157, 161eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
163155, 162breqtrrd 5138 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑝 ∈ ((((βŒŠβ€˜(𝑁↑𝑐𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ≀ (ΞΈβ€˜π‘))
16436, 78, 38, 128, 163letrd 11319 . . 3 (πœ‘ β†’ (((Ο€β€˜π‘) βˆ’ (Ο€β€˜(𝑁↑𝑐𝐴))) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) ≀ (ΞΈβ€˜π‘))
16529, 36, 38, 67, 164ltletrd 11322 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (Ο€β€˜π‘)) Β· (𝐴 Β· (logβ€˜π‘))) < (ΞΈβ€˜π‘))
16626, 165eqbrtrd 5132 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))) < (ΞΈβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237  Ξ£csu 15577  expce 15951  β„™cprime 16554  logclog 25926  β†‘𝑐ccxp 25927  ΞΈccht 26456  Ο€cppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-prm 16555  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-cht 26462  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  26838
  Copyright terms: Public domain W3C validator