MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem1 27499
Description: Lemma for chtppilim 27501. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
chtppilim.3 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
chtppilim.4 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))

Proof of Theorem chtppilimlem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chtppilim.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 13064 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 11283 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43sqvald 14156 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
54oveq1d 7431 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))))
6 chtppilim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
7 2re 12332 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
8 elicopnf 13470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
106, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
1110simpld 493 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
12 ppicl 27156 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0red 12579 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ)
1514recnd 11283 . . . 4 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℂ)
16 0red 11258 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
177a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 12361 . . . . . . . . 9 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
2010simprd 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
2116, 17, 11, 19, 20ltletrd 11415 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2211, 21elrpd 13061 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2322relogcld 26647 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
2423recnd 11283 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
253, 3, 15, 24mul4d 11467 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
265, 25eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
272, 14remulcld 11285 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) ∈ ℝ)
282, 23remulcld 11285 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11285 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
3022, 2rpcxpcld 26757 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
3130rpred 13064 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
32 ppicl 27156 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3433nn0red 12579 . . . . 5 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
3514, 34resubcld 11683 . . . 4 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) ∈ ℝ)
3635, 28remulcld 11285 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
37 chtcl 27134 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
3811, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
39 1red 11256 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
40 1lt2 12429 . . . . . . . 8 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 2)
4239, 17, 11, 41, 20ltletrd 11415 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4311, 42rplogcld 26653 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
441, 43rpmulcld 13080 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
4514, 31resubcld 11683 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
46 ppinncl 27199 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ)
4831, 47nndivred 12312 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) ∈ ℝ)
49 chtppilim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
5048, 39, 2, 49ltsub13d 11861 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5131recnd 11283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ)
5247nnrpd 13062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 13073 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0))
54 divsubdir 11953 . . . . . . . . 9 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ ∧ ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0)) → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5515, 51, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
56 divid 11945 . . . . . . . . . 10 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0) → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5857oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5955, 58eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
6050, 59breqtrrd 5173 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)))
612, 45, 52ltmuldivd 13111 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ↔ 𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁))))
6260, 61mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)))
63 ppiltx 27202 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6534, 31, 14, 64ltsub2dd 11868 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6627, 45, 35, 62, 65lttrd 11416 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6727, 35, 44, 66ltmul1dd 13119 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
68 fzfid 13987 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
69 inss1 4227 . . . . . 6 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))
70 ssfi 9204 . . . . . 6 (((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
72 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7372elin2d 4197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
74 prmnn 16670 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7574nnrpd 13062 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
7673, 75syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
7776relogcld 26647 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7871, 77fsumrecl 15733 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℝ)
7928recnd 11283 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
80 fsumconst 15789 . . . . . . 7 ((((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
8171, 79, 80syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
82 ppifl 27185 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
8311, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
84 ppifl 27185 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8531, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8683, 85oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
8739, 11, 42ltled 11403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
88 chtppilim.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 1)
89 1re 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
90 ltle 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
912, 89, 90sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
9288, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ 1)
9311, 87, 2, 39, 92cxplead 26745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ (𝑁𝑐1))
9411recnd 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9594cxp1d 26730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐1) = 𝑁)
9693, 95breqtrd 5171 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁)
97 flword2 13827 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
9831, 11, 96, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
99 ppidif 27188 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10186, 100eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
102101oveq1d 7431 . . . . . 6 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10381, 102eqtr4d 2769 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10428adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
10531adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
106 reflcl 13810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
107 peano2re 11428 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10831, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
109108adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11076rpred 13064 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
111 fllep1 13815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11231, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
113112adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11472elin1d 4196 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)))
115 elfzle1 13552 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
117105, 109, 110, 113, 116letrd 11412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑝)
11822rpne0d 13069 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
11994, 118, 3cxpefd 26736 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))))
120119eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
121120adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
12276reeflogd 26648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
123117, 121, 1223brtr4d 5177 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝)))
124 efle 16115 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
125104, 77, 124syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
126123, 125mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝))
12771, 104, 77, 126fsumle 15798 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
128103, 127eqbrtrrd 5169 . . . 4 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
129 fzfid 13987 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
130 inss1 4227 . . . . . . 7 ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))
131 ssfi 9204 . . . . . . 7 (((1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))) → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
132129, 130, 131sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
133 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
134133elin2d 4197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
135 prmuz2 16692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
137 eluz2b2 12951 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
138136, 137sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
139138simpld 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
140139nnred 12273 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
141138simprd 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
142140, 141rplogcld 26653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
143142rpred 13064 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
144142rpge0d 13068 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
14530rpge0d 13068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴))
146 flge0nn0 13834 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴)) → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
14731, 145, 146syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
148 nn0p1nn 12557 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
150 nnuz 12911 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
151149, 150eleqtrdi 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
152 fzss1 13588 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)))
153 ssrin 4232 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
155132, 143, 144, 154fsumless 15795 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
156 chtval 27135 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
15711, 156syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
158 2eluzge1 12924 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
159 ppisval2 27130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
16011, 158, 159sylancl 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
161160sumeq1d 15700 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
162157, 161eqtrd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
163155, 162breqtrrd 5173 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ (θ‘𝑁))
16436, 78, 38, 128, 163letrd 11412 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (θ‘𝑁))
16529, 36, 38, 67, 164ltletrd 11415 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
16626, 165eqbrtrd 5167 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cin 3945  wss 3946   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  Fincfn 8966  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  +∞cpnf 11286   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485   / cdiv 11912  cn 12258  2c2 12313  0cn0 12518  cuz 12868  +crp 13022  [,)cico 13374  [,]cicc 13375  ...cfz 13532  cfl 13804  cexp 14075  chash 14342  Σcsu 15685  expce 16058  cprime 16667  logclog 26578  𝑐ccxp 26579  θccht 27116  πcppi 27119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-dvds 16252  df-prm 16668  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-limc 25883  df-dv 25884  df-log 26580  df-cxp 26581  df-cht 27122  df-ppi 27125
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  27500
  Copyright terms: Public domain W3C validator