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Theorem heron 24785
Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as (1 / 2) · 𝑋 · 𝑌 · abs(sin𝑂), is equal to the square root of 𝑆 · (𝑆𝑋) · (𝑆𝑌) · (𝑆𝑍), where 𝑆 = (𝑋 + 𝑌 + 𝑍) / 2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
heron.x 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
heron.y 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
heron.z 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
heron.o 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
heron.s 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
heron.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
heron.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
heron.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
heron.ac (𝜑𝐴𝐶)
heron.bc (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
heron (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 10260 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21rehalfcld 11485 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3 heron.x . . . . . . 7 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
4 heron.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 heron.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10597 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
76abscld 14382 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
83, 7syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 heron.y . . . . . . 7 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
10 heron.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110, 5subcld 10597 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1211abscld 14382 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
139, 12syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
148, 13remulcld 10275 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
152, 14remulcld 10275 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℝ)
16 heron.o . . . . . . 7 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
17 negpitopissre 24506 . . . . . . . . 9 (-π(,]π) ⊆ ℝ
18 heron.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐶)
204, 5, 19subne0d 10606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ≠ 0)
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
2210, 5, 21subne0d 10606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ 0)
2318, 6, 20, 11, 22angcld 24755 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ (-π(,]π))
2417, 23sseldi 3750 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
2524recnd 10273 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
2616, 25syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
2726sincld 15065 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℂ)
2827abscld 14382 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℝ)
2915, 28remulcld 10275 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) ∈ ℝ)
30 0re 10245 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
31 halfre 11452 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
32 halfgt0 11454 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
3330, 31, 32ltleii 10365 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
356absge0d 14390 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
3635, 3syl6breqr 4829 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3711absge0d 14390 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3837, 9syl6breqr 4829 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
398, 13, 36, 38mulge0d 10809 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · 𝑌))
402, 14, 34, 39mulge0d 10809 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
4127absge0d 14390 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(sin‘𝑂)))
4215, 28, 40, 41mulge0d 10809 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
4329, 42sqrtsqd 14365 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
44 halfcn 11453 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
468recnd 10273 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713recnd 10273 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4846, 47mulcld 10265 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
4945, 48mulcld 10265 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
5028recnd 10273 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℂ)
5149, 50sqmuld 13226 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)))
52 2cnd 11298 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 11318 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5548, 52, 54sqdivd 13227 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)))
5648, 52, 54divrec2d 11010 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
5756oveq1d 6810 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2))
58 sq2 13166 . . . . . . . 8 (2↑2) = 4
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑2) = 4)
6059oveq2d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
6155, 57, 603eqtr3d 2813 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
6216, 24syl5eqel 2854 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
6362resincld 15078 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℝ)
64 absresq 14249 . . . . . 6 ((sin‘𝑂) ∈ ℝ → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6661, 65oveq12d 6813 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
6748sqcld 13212 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
6827sqcld 13212 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
6967, 68mulcld 10265 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
70 4cn 11303 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
738, 13readdcld 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
7510, 4subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7675abscld 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7774, 76syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
7873, 77readdcld 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
7978rehalfcld 11485 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2) ∈ ℝ)
8072, 79syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
8180recnd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
8281, 46subcld 10597 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℂ)
8381, 82mulcld 10265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℂ)
8481, 47subcld 10597 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℂ)
8577recnd 10273 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
8681, 85subcld 10597 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℂ)
8784, 86mulcld 10265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℂ)
8883, 87mulcld 10265 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
8971, 88mulcld 10265 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) ∈ ℂ)
90 4ne0 11322 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
9252, 48sqmuld 13226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9359oveq1d 6810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9492, 93eqtr2d 2806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
9594oveq1d 6810 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)))
9671, 67, 68mulassd 10268 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))))
9752, 48mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
9897sqcld 13212 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
9998, 68mulcld 10265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
10047, 85mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ ℂ)
10152, 100mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ)
102101sqcld 13212 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) ∈ ℂ)
10347sqcld 13212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
10485sqcld 13212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℂ)
10546sqcld 13212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
106104, 105subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
107103, 106addcld 10264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
108107sqcld 13212 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
109102, 108subcld 10597 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) ∈ ℂ)
11026coscld 15066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘𝑂) ∈ ℂ)
111110sqcld 13212 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((cos‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
11298, 111mulcld 10265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
113 sincossq 15111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∈ ℂ → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
11426, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
115114oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1))
11698, 68, 111adddid 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
1171032timesd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
118103, 106, 103ppncand 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
119117, 118eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
1201062timesd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
121103, 106, 106pnncand 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
122120, 121eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
123119, 122oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
124 2t2e4 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
125124, 71syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 2) ∈ ℂ)
126125, 103, 106mulassd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
127125, 103mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
128127, 104, 105subdid 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
12952sqvald 13211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
13047, 85sqmuld 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑍↑2)))
131129, 130oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
13252, 100sqmuld 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)))
133125, 103, 104mulassd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
134131, 132, 1333eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)))
13546, 47sqmuld 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)))
136105, 103mulcomd 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
137135, 136eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
138129, 137oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
139125, 103, 105mulassd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
140138, 92, 1393eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)))
141134, 140oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
142128, 141eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)))
14352, 52, 103, 106mul4d 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
144126, 142, 1433eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
145103, 106subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
146 subsq 13178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
147107, 145, 146syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
148123, 144, 1473eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
149148oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))))
150102, 98nncand 10602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
151145sqcld 13212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
152102, 108, 151subsubd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
153149, 150, 1523eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
15498mulid1d 10262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
155105, 103addcld 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
15648, 110mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) ∈ ℂ)
15752, 156mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) ∈ ℂ)
158155, 157nncand 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
159103, 104subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
160159, 105addcomd 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
161103, 104, 105subsubd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)))
162105, 103, 104addsubassd 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
163160, 161, 1623eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)))
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 24766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
166165oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
167163, 166eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
16852, 48, 110mulassd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
169158, 167, 1683eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)))
170169oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2))
17197, 110sqmuld 13226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)))
172170, 171eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) = (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))
173172oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
174153, 154, 1733eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
175115, 116, 1743eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
17699, 109, 112, 175addcan2ad 10447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
177 subsq 13178 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
178101, 107, 177syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
179103, 104addcld 10264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
180101, 179, 105addsubassd 10617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))))
181103, 104, 105addsubassd 10617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2)) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
182181oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
183180, 182eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
184 binom2 13185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
18547, 85, 184syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
186103, 101, 104add32d 10468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)) = (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))))
187179, 101addcomd 10443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
188185, 186, 1873eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
189188oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
19047, 85addcld 10264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ)
191 subsq 13178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
192190, 46, 191syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
19372oveq2i 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 𝑆) = (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2))
19478recnd 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℂ)
195194, 52, 54divcan2d 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
196193, 195syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19746, 47, 85addassd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
19846, 190addcomd 10443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
199196, 197, 1983eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
20052, 81, 46subdid 10691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)))
201196, 197eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
202462timesd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
203201, 202oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)))
20446, 190, 46pnpcand 10634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
205200, 203, 2043eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
206199, 205oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
207192, 206eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))))
20852, 81, 52, 82mul4d 10453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
210209oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
211207, 208, 2103eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
212183, 189, 2113eqtr2d 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
213101, 179subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) ∈ ℂ)
214213, 105addcomd 10443 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
215181oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
216101, 179, 105subsubd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
217215, 216eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
218105, 179, 101subsub2d 10626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
219214, 217, 2183eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
220103, 104, 101addsubassd 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
221104, 101subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) ∈ ℂ)
222103, 221addcomd 10443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)))
22347, 85mulcomd 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑌))
224223oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) = (2 · (𝑍 · 𝑌)))
225224oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))))
226225oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
227220, 222, 2263eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
228 binom2sub 13187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
22985, 47, 228syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
230227, 229eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍𝑌)↑2))
231230oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)))
23285, 47subcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍𝑌) ∈ ℂ)
233 subsq 13178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑍𝑌) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23446, 232, 233syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23552, 81, 47subdid 10691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)))
23646, 47, 85add32d 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
237196, 236eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
238472timesd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
239237, 238oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)) = (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)))
24046, 85addcld 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑍) ∈ ℂ)
241240, 47, 47pnpcan2d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌))
24246, 85, 47addsubassd 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
243241, 242eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
244235, 239, 2433eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
24552, 81, 85subdid 10691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)))
246852timesd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑍) = (𝑍 + 𝑍))
247196, 246oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)))
24846, 47addcld 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
249248, 85, 85pnpcan2d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
25046, 85, 47subsub3d 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 − (𝑍𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
251249, 250eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
252245, 247, 2513eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
253244, 252oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
254234, 253eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))))
25552, 84, 52, 86mul4d 10453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
256209oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
257254, 255, 2563eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
258219, 231, 2573eqtrd 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
259212, 258oveq12d 6813 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
260176, 178, 2593eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
26171, 87mulcld 10265 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
26271, 83, 261mulassd 10268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26383, 71, 87mul12d 10450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
264263oveq2d 6811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
265260, 262, 2643eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26695, 96, 2653eqtr3d 2813 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26769, 89, 71, 91, 266mulcanad 10867 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
268267oveq1d 6810 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4))
26967, 68, 71, 91div23d 11043 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
27080, 8resubcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℝ)
27180, 270remulcld 10275 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℝ)
27280, 13resubcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℝ)
27380, 77resubcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℝ)
274272, 273remulcld 10275 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℝ)
275271, 274remulcld 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℝ)
276275recnd 10273 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
277276, 71, 91divcan3d 11011 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
278268, 269, 2773eqtr3d 2813 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
27951, 66, 2783eqtrd 2809 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
280279fveq2d 6337 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
28143, 280eqtr3d 2807 1 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4317   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6795  cmpt2 6797  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  cle 10280  cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  2c2 11275  4c4 11277  (,]cioc 12380  cexp 13066  cim 14045  csqrt 14180  abscabs 14181  sincsin 14999  cosccos 15000  πcpi 15002  logclog 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523
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