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Theorem heron 25027
 Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as (1 / 2) · 𝑋 · 𝑌 · abs(sin𝑂), is equal to the square root of 𝑆 · (𝑆 − 𝑋) · (𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍), where 𝑆 = (𝑋 + 𝑌 + 𝑍) / 2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
heron.x 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
heron.y 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
heron.z 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
heron.o 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
heron.s 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
heron.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
heron.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
heron.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
heron.ac (𝜑𝐴𝐶)
heron.bc (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
heron (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 10379 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21rehalfcld 11634 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3 heron.x . . . . . . 7 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
4 heron.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 heron.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10736 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
76abscld 14590 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
83, 7syl5eqel 2863 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 heron.y . . . . . . 7 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
10 heron.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110, 5subcld 10736 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1211abscld 14590 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
139, 12syl5eqel 2863 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
148, 13remulcld 10409 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
152, 14remulcld 10409 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℝ)
16 heron.o . . . . . . 7 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
17 negpitopissre 24735 . . . . . . . . 9 (-π(,]π) ⊆ ℝ
18 heron.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐶)
204, 5, 19subne0d 10745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ≠ 0)
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
2210, 5, 21subne0d 10745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ 0)
2318, 6, 20, 11, 22angcld 24994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ (-π(,]π))
2417, 23sseldi 3819 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
2524recnd 10407 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
2616, 25syl5eqel 2863 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
2726sincld 15271 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℂ)
2827abscld 14590 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℝ)
2915, 28remulcld 10409 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) ∈ ℝ)
30 0re 10380 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
31 halfre 11601 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
32 halfgt0 11603 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
3330, 31, 32ltleii 10501 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
356absge0d 14598 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
3635, 3syl6breqr 4930 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3711absge0d 14598 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3837, 9syl6breqr 4930 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
398, 13, 36, 38mulge0d 10955 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · 𝑌))
402, 14, 34, 39mulge0d 10955 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
4127absge0d 14598 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(sin‘𝑂)))
4215, 28, 40, 41mulge0d 10955 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
4329, 42sqrtsqd 14573 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
44 halfcn 11602 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
468recnd 10407 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713recnd 10407 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4846, 47mulcld 10399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
4945, 48mulcld 10399 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
5028recnd 10407 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℂ)
5149, 50sqmuld 13344 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)))
52 2cnd 11458 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 11491 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5548, 52, 54sqdivd 13345 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)))
5648, 52, 54divrec2d 11158 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
5756oveq1d 6939 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2))
58 sq2 13284 . . . . . . . 8 (2↑2) = 4
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑2) = 4)
6059oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
6155, 57, 603eqtr3d 2822 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
6216, 24syl5eqel 2863 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
6362resincld 15284 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℝ)
64 absresq 14456 . . . . . 6 ((sin‘𝑂) ∈ ℝ → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6661, 65oveq12d 6942 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
6748sqcld 13330 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
6827sqcld 13330 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
6967, 68mulcld 10399 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
70 4cn 11466 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
738, 13readdcld 10408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
7510, 4subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7675abscld 14590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7774, 76syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
7873, 77readdcld 10408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
7978rehalfcld 11634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2) ∈ ℝ)
8072, 79syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
8180recnd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
8281, 46subcld 10736 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℂ)
8381, 82mulcld 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℂ)
8481, 47subcld 10736 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℂ)
8577recnd 10407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
8681, 85subcld 10736 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℂ)
8784, 86mulcld 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℂ)
8883, 87mulcld 10399 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
8971, 88mulcld 10399 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) ∈ ℂ)
90 4ne0 11495 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
9252, 48sqmuld 13344 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9359oveq1d 6939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9492, 93eqtr2d 2815 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
9594oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)))
9671, 67, 68mulassd 10402 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))))
9752, 48mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
9897sqcld 13330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
9998, 68mulcld 10399 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
10047, 85mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ ℂ)
10152, 100mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ)
102101sqcld 13330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) ∈ ℂ)
10347sqcld 13330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
10485sqcld 13330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℂ)
10546sqcld 13330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
106104, 105subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
107103, 106addcld 10398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
108107sqcld 13330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
109102, 108subcld 10736 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) ∈ ℂ)
11026coscld 15272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘𝑂) ∈ ℂ)
111110sqcld 13330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((cos‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
11298, 111mulcld 10399 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
113 sincossq 15317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∈ ℂ → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
11426, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
115114oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1))
11698, 68, 111adddid 10403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
1171032timesd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
118103, 106, 103ppncand 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
119117, 118eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
1201062timesd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
121103, 106, 106pnncand 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
122120, 121eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
123119, 122oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
124 2t2e4 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
125124, 71syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 2) ∈ ℂ)
126125, 103, 106mulassd 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
127125, 103mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
128127, 104, 105subdid 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
12952sqvald 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
13047, 85sqmuld 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑍↑2)))
131129, 130oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
13252, 100sqmuld 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)))
133125, 103, 104mulassd 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
134131, 132, 1333eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)))
13546, 47sqmuld 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)))
136105, 103mulcomd 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
137135, 136eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
138129, 137oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
139125, 103, 105mulassd 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
140138, 92, 1393eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)))
141134, 140oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
142128, 141eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)))
14352, 52, 103, 106mul4d 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
144126, 142, 1433eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
145103, 106subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
146 subsq 13296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
147107, 145, 146syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
148123, 144, 1473eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
149148oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))))
150102, 98nncand 10741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
151145sqcld 13330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
152102, 108, 151subsubd 10764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
153149, 150, 1523eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
15498mulid1d 10396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
155105, 103addcld 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
15648, 110mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) ∈ ℂ)
15752, 156mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) ∈ ℂ)
158155, 157nncand 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
159103, 104subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
160159, 105addcomd 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
161103, 104, 105subsubd 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)))
162105, 103, 104addsubassd 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
163160, 161, 1623eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)))
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 25005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
166165oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
167163, 166eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
16852, 48, 110mulassd 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
169158, 167, 1683eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)))
170169oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2))
17197, 110sqmuld 13344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)))
172170, 171eqtr2d 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) = (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))
173172oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
174153, 154, 1733eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
175115, 116, 1743eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
17699, 109, 112, 175addcan2ad 10584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
177 subsq 13296 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
178101, 107, 177syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
179103, 104addcld 10398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
180101, 179, 105addsubassd 10756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))))
181103, 104, 105addsubassd 10756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2)) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
182181oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
183180, 182eqtr2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
184 binom2 13303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
18547, 85, 184syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
186103, 101, 104add32d 10605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)) = (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))))
187179, 101addcomd 10580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
188185, 186, 1873eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
189188oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
19047, 85addcld 10398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ)
191 subsq 13296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
192190, 46, 191syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
19372oveq2i 6935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 𝑆) = (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2))
19478recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℂ)
195194, 52, 54divcan2d 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
196193, 195syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19746, 47, 85addassd 10401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
19846, 190addcomd 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
199196, 197, 1983eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
20052, 81, 46subdid 10834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)))
201196, 197eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
202462timesd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
203201, 202oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)))
20446, 190, 46pnpcand 10773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
205200, 203, 2043eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
206199, 205oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
207192, 206eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))))
20852, 81, 52, 82mul4d 10590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
210209oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
211207, 208, 2103eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
212183, 189, 2113eqtr2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
213101, 179subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) ∈ ℂ)
214213, 105addcomd 10580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
215181oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
216101, 179, 105subsubd 10764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
217215, 216eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
218105, 179, 101subsub2d 10765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
219214, 217, 2183eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
220103, 104, 101addsubassd 10756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
221104, 101subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) ∈ ℂ)
222103, 221addcomd 10580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)))
22347, 85mulcomd 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑌))
224223oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) = (2 · (𝑍 · 𝑌)))
225224oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))))
226225oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
227220, 222, 2263eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
228 binom2sub 13305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
22985, 47, 228syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
230227, 229eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍𝑌)↑2))
231230oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)))
23285, 47subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍𝑌) ∈ ℂ)
233 subsq 13296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑍𝑌) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23446, 232, 233syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23552, 81, 47subdid 10834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)))
23646, 47, 85add32d 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
237196, 236eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
238472timesd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
239237, 238oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)) = (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)))
24046, 85addcld 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑍) ∈ ℂ)
241240, 47, 47pnpcan2d 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌))
24246, 85, 47, 241assraddsubd 10792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
243235, 239, 2423eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
24452, 81, 85subdid 10834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)))
245852timesd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑍) = (𝑍 + 𝑍))
246196, 245oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)))
24746, 47addcld 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
248247, 85, 85pnpcan2d 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
24946, 85, 47subsub3d 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 − (𝑍𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
250248, 249eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
251244, 246, 2503eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
252243, 251oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
253234, 252eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))))
25452, 84, 52, 86mul4d 10590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
255209oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
256253, 254, 2553eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
257219, 231, 2563eqtrd 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
258212, 257oveq12d 6942 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
259176, 178, 2583eqtrd 2818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
26071, 87mulcld 10399 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
26171, 83, 260mulassd 10402 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26283, 71, 87mul12d 10587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
263262oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
264259, 261, 2633eqtrd 2818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26595, 96, 2643eqtr3d 2822 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26669, 89, 71, 91, 265mulcanad 11013 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
267266oveq1d 6939 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4))
26867, 68, 71, 91div23d 11191 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
26980, 8resubcld 10806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℝ)
27080, 269remulcld 10409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℝ)
27180, 13resubcld 10806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℝ)
27280, 77resubcld 10806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℝ)
273271, 272remulcld 10409 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℝ)
274270, 273remulcld 10409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℝ)
275274recnd 10407 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
276275, 71, 91divcan3d 11159 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
277267, 268, 2763eqtr3d 2822 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
27851, 66, 2773eqtrd 2818 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
279278fveq2d 6452 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
28043, 279eqtr3d 2816 1 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∖ cdif 3789  {csn 4398   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↦ cmpt2 6926  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   ≤ cle 10414   − cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11035  2c2 11435  4c4 11437  (,]cioc 12493  ↑cexp 13183  ℑcim 14251  √csqrt 14386  abscabs 14387  sincsin 15205  cosccos 15206  πcpi 15208  logclog 24749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ioc 12497  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-ef 15209  df-sin 15211  df-cos 15212  df-pi 15214  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-limc 24078  df-dv 24079  df-log 24751 This theorem is referenced by: (None)
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