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Theorem heron 26895
Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as (1 / 2) · 𝑋 · 𝑌 · abs(sin𝑂), is equal to the square root of 𝑆 · (𝑆𝑋) · (𝑆𝑌) · (𝑆𝑍), where 𝑆 = (𝑋 + 𝑌 + 𝑍) / 2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
heron.x 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
heron.y 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
heron.z 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
heron.o 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
heron.s 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
heron.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
heron.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
heron.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
heron.ac (𝜑𝐴𝐶)
heron.bc (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
heron (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 11259 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21rehalfcld 12510 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3 heron.x . . . . . . 7 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
4 heron.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 heron.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 11617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
76abscld 15471 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
83, 7eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 heron.y . . . . . . 7 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
10 heron.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110, 5subcld 11617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1211abscld 15471 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
139, 12eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
148, 13remulcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
152, 14remulcld 11288 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℝ)
16 heron.o . . . . . . 7 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
17 negpitopissre 26596 . . . . . . . . 9 (-π(,]π) ⊆ ℝ
18 heron.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐶)
204, 5, 19subne0d 11626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ≠ 0)
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
2210, 5, 21subne0d 11626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ 0)
2318, 6, 20, 11, 22angcld 26862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ (-π(,]π))
2417, 23sselid 3992 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
2524recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
2616, 25eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
2726sincld 16162 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℂ)
2827abscld 15471 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℝ)
2915, 28remulcld 11288 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) ∈ ℝ)
30 halfge0 12480 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
326absge0d 15479 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
3332, 3breqtrrdi 5189 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3411absge0d 15479 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3534, 9breqtrrdi 5189 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
368, 13, 33, 35mulge0d 11837 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · 𝑌))
372, 14, 31, 36mulge0d 11837 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
3827absge0d 15479 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(sin‘𝑂)))
3915, 28, 37, 38mulge0d 11837 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
4029, 39sqrtsqd 15454 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
41 halfcn 12478 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
438recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4413recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4543, 44mulcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
4642, 45mulcld 11278 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
4728recnd 11286 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℂ)
4846, 47sqmuld 14194 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)))
49 2cnd 12341 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
50 2ne0 12367 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5150a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5245, 49, 51sqdivd 14195 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)))
5345, 49, 51divrec2d 12044 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
5453oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2))
55 sq2 14232 . . . . . . . 8 (2↑2) = 4
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑2) = 4)
5756oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
5852, 54, 573eqtr3d 2782 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
5916, 24eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
6059resincld 16175 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℝ)
61 absresq 15337 . . . . . 6 ((sin‘𝑂) ∈ ℝ → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6260, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6358, 62oveq12d 7448 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
6445sqcld 14180 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
6527sqcld 14180 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 11278 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
67 4cn 12348 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
69 heron.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
708, 13readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
71 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
7210, 4subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7372abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7471, 73eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
7675rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2) ∈ ℝ)
7769, 76eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
7877recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
7978, 43subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℂ)
8078, 79mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℂ)
8178, 44subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℂ)
8274recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
8378, 82subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℂ)
8481, 83mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℂ)
8580, 84mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
8668, 85mulcld 11278 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) ∈ ℂ)
87 4ne0 12371 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
8887a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
8949, 45sqmuld 14194 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9056oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9189, 90eqtr2d 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
9291oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)))
9368, 64, 65mulassd 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))))
9449, 45mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
9594sqcld 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
9695, 65mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
9744, 82mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ ℂ)
9849, 97mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ)
9998sqcld 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) ∈ ℂ)
10044sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
10182sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℂ)
10243sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
103101, 102subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
104100, 103addcld 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
105104sqcld 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
10699, 105subcld 11617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) ∈ ℂ)
10726coscld 16163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘𝑂) ∈ ℂ)
108107sqcld 14180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((cos‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
10995, 108mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
110 sincossq 16208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∈ ℂ → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
11126, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
112111oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1))
11395, 65, 108adddid 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
1141002timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
115100, 103, 100ppncand 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
116114, 115eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
1171032timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
118100, 103, 103pnncand 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
119117, 118eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
120116, 119oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
121 2t2e4 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
122121, 68eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 2) ∈ ℂ)
123122, 100, 103mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
124122, 100mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
125124, 101, 102subdid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
12649sqvald 14179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
12744, 82sqmuld 14194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑍↑2)))
128126, 127oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
12949, 97sqmuld 14194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)))
130122, 100, 101mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
131128, 129, 1303eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)))
13243, 44sqmuld 14194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)))
133102, 100mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
134132, 133eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
135126, 134oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
136122, 100, 102mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
137135, 89, 1363eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)))
138131, 137oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
139125, 138eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)))
14049, 49, 100, 103mul4d 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
141123, 139, 1403eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
142100, 103subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
143 subsq 14245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
144104, 142, 143syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
145120, 141, 1443eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
146145oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))))
14799, 95nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
148142sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
14999, 105, 148subsubd 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
150146, 147, 1493eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
15195mulridd 11275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
152102, 100addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
15345, 107mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) ∈ ℂ)
15449, 153mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) ∈ ℂ)
155152, 154nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
156100, 101subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
157156, 102addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
158100, 101, 102subsubd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)))
159102, 100, 101addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
160157, 158, 1593eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)))
16118, 3, 9, 71, 16lawcos 26873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
16210, 4, 5, 21, 19, 161syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
163162oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
164160, 163eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
16549, 45, 107mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
166155, 164, 1653eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)))
167166oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2))
16894, 107sqmuld 14194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)))
169167, 168eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) = (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))
170169oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
171150, 151, 1703eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
172112, 113, 1713eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
17396, 106, 109, 172addcan2ad 11464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
174 subsq 14245 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
17598, 104, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
176100, 101addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
17798, 176, 102addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))))
178100, 101, 102addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2)) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
179178oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
180177, 179eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
181 binom2 14252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
18244, 82, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
183100, 98, 101add32d 11486 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)) = (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))))
184176, 98addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
185182, 183, 1843eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
186185oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
18744, 82addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ)
188 subsq 14245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
189187, 43, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
19069oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 𝑆) = (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2))
19175recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℂ)
192191, 49, 51divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
193190, 192eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19443, 44, 82addassd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
19543, 187addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
196193, 194, 1953eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
19749, 78, 43subdid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)))
198193, 194eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
199432timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
200198, 199oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)))
20143, 187, 43pnpcand 11654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
202197, 200, 2013eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
203196, 202oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
204189, 203eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))))
20549, 78, 49, 79mul4d 11470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
206121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
207206oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
208204, 205, 2073eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
209180, 186, 2083eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
21098, 176subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) ∈ ℂ)
211210, 102addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
212178oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
21398, 176, 102subsubd 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
214212, 213eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
215102, 176, 98subsub2d 11646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
216211, 214, 2153eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
217100, 101, 98addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
218101, 98subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) ∈ ℂ)
219100, 218addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)))
22044, 82mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑌))
221220oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) = (2 · (𝑍 · 𝑌)))
222221oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))))
223222oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
224217, 219, 2233eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
225 binom2sub 14255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
22682, 44, 225syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
227224, 226eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍𝑌)↑2))
228227oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)))
22982, 44subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍𝑌) ∈ ℂ)
230 subsq 14245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑍𝑌) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23143, 229, 230syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23249, 78, 44subdid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)))
23343, 44, 82add32d 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
234193, 233eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
235442timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
236234, 235oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)) = (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)))
23743, 82addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑍) ∈ ℂ)
238237, 44, 44pnpcan2d 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌))
23943, 82, 44, 238assraddsubd 11674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
240232, 236, 2393eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
24149, 78, 82subdid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)))
242822timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑍) = (𝑍 + 𝑍))
243193, 242oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)))
24443, 44addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
245244, 82, 82pnpcan2d 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
24643, 82, 44subsub3d 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 − (𝑍𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
247245, 246eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
248241, 243, 2473eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
249240, 248oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
250231, 249eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))))
25149, 81, 49, 83mul4d 11470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
252206oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
253250, 251, 2523eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
254216, 228, 2533eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
255209, 254oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
256173, 175, 2553eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
25768, 84mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
25868, 80, 257mulassd 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
25980, 68, 84mul12d 11467 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
260259oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
261256, 258, 2603eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26292, 93, 2613eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26366, 86, 68, 88, 262mulcanad 11895 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
264263oveq1d 7445 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4))
26564, 65, 68, 88div23d 12077 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
26677, 8resubcld 11688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℝ)
26777, 266remulcld 11288 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℝ)
26877, 13resubcld 11688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℝ)
26977, 74resubcld 11688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℝ)
270268, 269remulcld 11288 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℝ)
271267, 270remulcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℝ)
272271recnd 11286 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
273272, 68, 88divcan3d 12045 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
274264, 265, 2733eqtr3d 2782 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
27548, 63, 2743eqtrd 2778 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
276275fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
27740, 276eqtr3d 2776 1 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  (,]cioc 13384  cexp 14098  cim 15133  csqrt 15268  abscabs 15269  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612
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