Proof of Theorem heron
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1red 10975 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
2 | 1 | rehalfcld 12218 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈
ℝ) |
3 | | heron.x |
. . . . . . 7
⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶)) |
4 | | heron.b |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
5 | | heron.c |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
6 | 4, 5 | subcld 11330 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) |
7 | 6 | abscld 15144 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ) |
8 | 3, 7 | eqeltrid 2845 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
9 | | heron.y |
. . . . . . 7
⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶)) |
10 | | heron.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
11 | 10, 5 | subcld 11330 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ) |
12 | 11 | abscld 15144 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ) |
13 | 9, 12 | eqeltrid 2845 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
14 | 8, 13 | remulcld 11004 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ) |
15 | 2, 14 | remulcld 11004 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℝ) |
16 | | heron.o |
. . . . . . 7
⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) |
17 | | negpitopissre 25692 |
. . . . . . . . 9
⊢
(-π(,]π) ⊆ ℝ |
18 | | heron.f |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})
↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) |
19 | | heron.bc |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) |
20 | 4, 5, 19 | subne0d 11339 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) |
21 | | heron.ac |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶) |
22 | 10, 5, 21 | subne0d 11339 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0) |
23 | 18, 6, 20, 11, 22 | angcld 25951 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) ∈ (-π(,]π)) |
24 | 17, 23 | sselid 3924 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ) |
25 | 24 | recnd 11002 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ) |
26 | 16, 25 | eqeltrid 2845 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ) |
27 | 26 | sincld 15835 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈
ℂ) |
28 | 27 | abscld 15144 |
. . . 4
⊢ (𝜑 →
(abs‘(sin‘𝑂))
∈ ℝ) |
29 | 15, 28 | remulcld 11004 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) ∈
ℝ) |
30 | | halfge0 12188 |
. . . . . 6
⊢ 0 ≤ (1
/ 2) |
31 | 30 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 /
2)) |
32 | 6 | absge0d 15152 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) |
33 | 32, 3 | breqtrrdi 5121 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋) |
34 | 11 | absge0d 15152 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))) |
35 | 34, 9 | breqtrrdi 5121 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌) |
36 | 8, 13, 33, 35 | mulge0d 11550 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · 𝑌)) |
37 | 2, 14, 31, 36 | mulge0d 11550 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) ·
(𝑋 · 𝑌))) |
38 | 27 | absge0d 15152 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ≤
(abs‘(sin‘𝑂))) |
39 | 15, 28, 37, 38 | mulge0d 11550 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((1 / 2) ·
(𝑋 · 𝑌)) ·
(abs‘(sin‘𝑂)))) |
40 | 29, 39 | sqrtsqd 15127 |
. 2
⊢ (𝜑 → (√‘((((1 / 2)
· (𝑋 · 𝑌)) ·
(abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))) |
41 | | halfcn 12186 |
. . . . . . 7
⊢ (1 / 2)
∈ ℂ |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈
ℂ) |
43 | 8 | recnd 11002 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
44 | 13 | recnd 11002 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ) |
45 | 43, 44 | mulcld 10994 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ) |
46 | 42, 45 | mulcld 10994 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ) |
47 | 28 | recnd 11002 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
(abs‘(sin‘𝑂))
∈ ℂ) |
48 | 46, 47 | sqmuld 13872 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((((1 / 2)
· (𝑋 · 𝑌))↑2) ·
((abs‘(sin‘𝑂))↑2))) |
49 | | 2cnd 12049 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
50 | | 2ne0 12075 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
52 | 45, 49, 51 | sqdivd 13873 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2))) |
53 | 45, 49, 51 | divrec2d 11753 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))) |
54 | 53 | oveq1d 7284 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2)) |
55 | | sq2 13910 |
. . . . . . . 8
⊢
(2↑2) = 4 |
56 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2↑2) =
4) |
57 | 56 | oveq2d 7285 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4)) |
58 | 52, 54, 57 | 3eqtr3d 2788 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4)) |
59 | 16, 24 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℝ) |
60 | 59 | resincld 15848 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈
ℝ) |
61 | | absresq 15010 |
. . . . . 6
⊢
((sin‘𝑂)
∈ ℝ → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2)) |
62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2)) |
63 | 58, 62 | oveq12d 7287 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) ·
((abs‘(sin‘𝑂))↑2)) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2))) |
64 | 45 | sqcld 13858 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ) |
65 | 27 | sqcld 13858 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((sin‘𝑂)↑2) ∈
ℂ) |
66 | 64, 65 | mulcld 10994 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈
ℂ) |
67 | | 4cn 12056 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℂ |
68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℂ) |
69 | | heron.s |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2) |
70 | 8, 13 | readdcld 11003 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ) |
71 | | heron.z |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵)) |
72 | 10, 4 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
73 | 72 | abscld 15144 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
74 | 71, 73 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ) |
75 | 70, 74 | readdcld 11003 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ) |
76 | 75 | rehalfcld 12218 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2) ∈ ℝ) |
77 | 69, 76 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ) |
78 | 77 | recnd 11002 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ) |
79 | 78, 43 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑋) ∈ ℂ) |
80 | 78, 79 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) ∈ ℂ) |
81 | 78, 44 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑌) ∈ ℂ) |
82 | 74 | recnd 11002 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ) |
83 | 78, 82 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑍) ∈ ℂ) |
84 | 81, 83 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)) ∈ ℂ) |
85 | 80, 84 | mulcld 10994 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))) ∈ ℂ) |
86 | 68, 85 | mulcld 10994 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) ∈ ℂ) |
87 | | 4ne0 12079 |
. . . . . . . 8
⊢ 4 ≠
0 |
88 | 87 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0) |
89 | 49, 45 | sqmuld 13872 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2))) |
90 | 56 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2↑2) ·
((𝑋 · 𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2))) |
91 | 89, 90 | eqtr2d 2781 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) |
92 | 91 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 ·
(𝑋 · 𝑌))↑2) ·
((sin‘𝑂)↑2))) |
93 | 68, 64, 65 | mulassd 10997 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 ·
(((𝑋 · 𝑌)↑2) ·
((sin‘𝑂)↑2)))) |
94 | 49, 45 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ) |
95 | 94 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ) |
96 | 95, 65 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈
ℂ) |
97 | 44, 82 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ ℂ) |
98 | 49, 97 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ) |
99 | 98 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) ∈ ℂ) |
100 | 44 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ) |
101 | 82 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℂ) |
102 | 43 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ) |
103 | 101, 102 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) ∈ ℂ) |
104 | 100, 103 | addcld 10993 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) |
105 | 104 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈
ℂ) |
106 | 99, 105 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) ∈
ℂ) |
107 | 26 | coscld 15836 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (cos‘𝑂) ∈
ℂ) |
108 | 107 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((cos‘𝑂)↑2) ∈
ℂ) |
109 | 95, 108 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) ∈
ℂ) |
110 | | sincossq 15881 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑂 ∈ ℂ →
(((sin‘𝑂)↑2) +
((cos‘𝑂)↑2)) =
1) |
111 | 26, 110 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1) |
112 | 111 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = (((2 ·
(𝑋 · 𝑌))↑2) ·
1)) |
113 | 95, 65, 108 | adddid 10998 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 ·
(𝑋 · 𝑌))↑2) ·
((sin‘𝑂)↑2)) +
(((2 · (𝑋 ·
𝑌))↑2) ·
((cos‘𝑂)↑2)))) |
114 | 100 | 2timesd 12214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2))) |
115 | 100, 103,
100 | ppncand 11370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2))) |
116 | 114, 115 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) |
117 | 103 | 2timesd 12214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) |
118 | 100, 103,
103 | pnncand 11369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) |
119 | 117, 118 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) |
120 | 116, 119 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌↑2)) · (2 ·
((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))) |
121 | | 2t2e4 12135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (2
· 2) = 4 |
122 | 121, 68 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (2 · 2) ∈
ℂ) |
123 | 122, 100,
103 | mulassd 10997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) ·
((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · 2)
· ((𝑌↑2)
· ((𝑍↑2)
− (𝑋↑2))))) |
124 | 122, 100 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) ∈
ℂ) |
125 | 124, 101,
102 | subdid 11429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) ·
((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((((2 · 2)
· (𝑌↑2))
· (𝑍↑2))
− (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)))) |
126 | 49 | sqvald 13857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 ·
2)) |
127 | 44, 82 | sqmuld 13872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))) |
128 | 126, 127 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((2↑2) ·
((𝑌 · 𝑍)↑2)) = ((2 · 2)
· ((𝑌↑2)
· (𝑍↑2)))) |
129 | 49, 97 | sqmuld 13872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2))) |
130 | 122, 100,
101 | mulassd 10997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) = ((2 · 2)
· ((𝑌↑2)
· (𝑍↑2)))) |
131 | 128, 129,
130 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) · (𝑍↑2))) |
132 | 43, 44 | sqmuld 13872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝑌↑2))) |
133 | 102, 100 | mulcomd 10995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))) |
134 | 132, 133 | eqtrd 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))) |
135 | 126, 134 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((2↑2) ·
((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · 2)
· ((𝑌↑2)
· (𝑋↑2)))) |
136 | 122, 100,
102 | mulassd 10997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) · (𝑋↑2)) = ((2 · 2)
· ((𝑌↑2)
· (𝑋↑2)))) |
137 | 135, 89, 136 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) · (𝑋↑2))) |
138 | 131, 137 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 ·
2) · (𝑌↑2))
· (𝑋↑2)))) |
139 | 125, 138 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((2 · 2) ·
(𝑌↑2)) ·
((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((2 ·
(𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 ·
(𝑋 · 𝑌))↑2))) |
140 | 49, 49, 100, 103 | mul4d 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((2 · 2) ·
((𝑌↑2) ·
((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((2 ·
(𝑌↑2)) · (2
· ((𝑍↑2)
− (𝑋↑2))))) |
141 | 123, 139,
140 | 3eqtr3d 2788 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 ·
((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) |
142 | 100, 103 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) |
143 | | subsq 13922 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
→ ((((𝑌↑2) +
((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) −
(((𝑌↑2) −
((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))) |
144 | 104, 142,
143 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))) |
145 | 120, 141,
144 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) |
146 | 145 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))) |
147 | 99, 95 | nncand 11335 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) |
148 | 142 | sqcld 13858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈
ℂ) |
149 | 99, 105, 148 | subsubd 11358 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) = ((((2
· (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) |
150 | 146, 147,
149 | 3eqtr3d 2788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) |
151 | 95 | mulid1d 10991 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) |
152 | 102, 100 | addcld 10993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ) |
153 | 45, 107 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) ∈ ℂ) |
154 | 49, 153 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) ∈ ℂ) |
155 | 152, 154 | nncand 11335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) |
156 | 100, 101 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) ∈ ℂ) |
157 | 156, 102 | addcomd 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)))) |
158 | 100, 101,
102 | subsubd 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2))) |
159 | 102, 100,
101 | addsubassd 11350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)))) |
160 | 157, 158,
159 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2))) |
161 | 18, 3, 9, 71, 16 | lawcos 25962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) |
162 | 10, 4, 5, 21, 19, 161 | syl32anc 1377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) |
163 | 162 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))) |
164 | 160, 163 | eqtrd 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))) |
165 | 49, 45, 107 | mulassd 10997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) |
166 | 155, 164,
165 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))) |
167 | 166 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2)) |
168 | 94, 107 | sqmuld 13872 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) |
169 | 167, 168 | eqtr2d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) = (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) |
170 | 169 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 ·
(𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) |
171 | 150, 151,
170 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((((2 ·
(𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)))) |
172 | 112, 113,
171 | 3eqtr3d 2788 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 ·
(𝑋 · 𝑌))↑2) ·
((cos‘𝑂)↑2))) =
((((2 · (𝑌 ·
𝑍))↑2) −
(((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2
· (𝑋 · 𝑌))↑2) ·
((cos‘𝑂)↑2)))) |
173 | 96, 106, 109, 172 | addcan2ad 11179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 ·
(𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) |
174 | | subsq 13922 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((2
· (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → (((2
· (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))) |
175 | 98, 104, 174 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))) |
176 | 100, 101 | addcld 10993 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) ∈ ℂ) |
177 | 98, 176, 102 | addsubassd 11350 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2)))) |
178 | 100, 101,
102 | addsubassd 11350 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2)) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) |
179 | 178 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) |
180 | 177, 179 | eqtr2d 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2))) |
181 | | binom2 13929 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2))) |
182 | 44, 82, 181 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2))) |
183 | 100, 98, 101 | add32d 11200 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)) = (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍)))) |
184 | 176, 98 | addcomd 11175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))) |
185 | 182, 183,
184 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))) |
186 | 185 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2))) |
187 | 44, 82 | addcld 10993 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ) |
188 | | subsq 13922 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))) |
189 | 187, 43, 188 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))) |
190 | 69 | oveq2i 7280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (2
· 𝑆) = (2 ·
(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)) |
191 | 75 | recnd 11002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℂ) |
192 | 191, 49, 51 | divcan2d 11751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)) |
193 | 190, 192 | eqtrid 2792 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)) |
194 | 43, 44, 82 | addassd 10996 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍))) |
195 | 43, 187 | addcomd 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋)) |
196 | 193, 194,
195 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋)) |
197 | 49, 78, 43 | subdid 11429 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆 − 𝑋)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋))) |
198 | 193, 194 | eqtrd 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍))) |
199 | 43 | 2timesd 12214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋)) |
200 | 198, 199 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋))) |
201 | 43, 187, 43 | pnpcand 11367 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)) |
202 | 197, 200,
201 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆 − 𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)) |
203 | 196, 202 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆 − 𝑋))) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))) |
204 | 189, 203 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆 − 𝑋)))) |
205 | 49, 78, 49, 79 | mul4d 11185 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆 − 𝑋))) = ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋)))) |
206 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 · 2) =
4) |
207 | 206 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · 2) ·
(𝑆 · (𝑆 − 𝑋))) = (4 · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋)))) |
208 | 204, 205,
207 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (4 · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋)))) |
209 | 180, 186,
208 | 3eqtr2d 2786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋)))) |
210 | 98, 176 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) ∈ ℂ) |
211 | 210, 102 | addcomd 11175 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))) |
212 | 178 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) |
213 | 98, 176, 102 | subsubd 11358 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2))) |
214 | 212, 213 | eqtr3d 2782 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2))) |
215 | 102, 176,
98 | subsub2d 11359 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))) |
216 | 211, 214,
215 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))))) |
217 | 100, 101,
98 | addsubassd 11350 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))))) |
218 | 101, 98 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) ∈ ℂ) |
219 | 100, 218 | addcomd 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2))) |
220 | 44, 82 | mulcomd 10995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑌)) |
221 | 220 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) = (2 · (𝑍 · 𝑌))) |
222 | 221 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌)))) |
223 | 222 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2))) |
224 | 217, 219,
223 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2))) |
225 | | binom2sub 13931 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑍 − 𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2))) |
226 | 82, 44, 225 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑍 − 𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2))) |
227 | 224, 226 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍 − 𝑌)↑2)) |
228 | 227 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) − ((𝑍 − 𝑌)↑2))) |
229 | 82, 44 | subcld 11330 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑌) ∈ ℂ) |
230 | | subsq 13922 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑍 − 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − ((𝑍 − 𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) · (𝑋 − (𝑍 − 𝑌)))) |
231 | 43, 229, 230 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍 − 𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) · (𝑋 − (𝑍 − 𝑌)))) |
232 | 49, 78, 44 | subdid 11429 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆 − 𝑌)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌))) |
233 | 43, 44, 82 | add32d 11200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌)) |
234 | 193, 233 | eqtrd 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌)) |
235 | 44 | 2timesd 12214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌)) |
236 | 234, 235 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)) = (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌))) |
237 | 43, 82 | addcld 10993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑍) ∈ ℂ) |
238 | 237, 44, 44 | pnpcan2d 11368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌)) |
239 | 43, 82, 44, 238 | assraddsubd 11387 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌))) |
240 | 232, 236,
239 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆 − 𝑌)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌))) |
241 | 49, 78, 82 | subdid 11429 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆 − 𝑍)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍))) |
242 | 82 | 2timesd 12214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑍) = (𝑍 + 𝑍)) |
243 | 193, 242 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍))) |
244 | 43, 44 | addcld 10993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ) |
245 | 244, 82, 82 | pnpcan2d 11368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍)) |
246 | 43, 82, 44 | subsub3d 11360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍)) |
247 | 245, 246 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = (𝑋 − (𝑍 − 𝑌))) |
248 | 241, 243,
247 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆 − 𝑍)) = (𝑋 − (𝑍 − 𝑌))) |
249 | 240, 248 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑆 − 𝑌)) · (2 · (𝑆 − 𝑍))) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) · (𝑋 − (𝑍 − 𝑌)))) |
250 | 231, 249 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍 − 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑆 − 𝑌)) · (2 · (𝑆 − 𝑍)))) |
251 | 49, 81, 49, 83 | mul4d 11185 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑆 − 𝑌)) · (2 · (𝑆 − 𝑍))) = ((2 · 2) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
252 | 206 | oveq1d 7284 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · 2) ·
((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))) = (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
253 | 250, 251,
252 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍 − 𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
254 | 216, 228,
253 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
255 | 209, 254 | oveq12d 7287 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) = ((4 · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋))) · (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) |
256 | 173, 175,
255 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((4 · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋))) · (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) |
257 | 68, 84 | mulcld 10994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))) ∈ ℂ) |
258 | 68, 80, 257 | mulassd 10997 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆 · (𝑆 − 𝑋))) · (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))))) |
259 | 80, 68, 84 | mul12d 11182 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) |
260 | 259 | oveq2d 7285 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · (4 · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))))) |
261 | 256, 258,
260 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (4
· ((𝑆 ·
(𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))))) |
262 | 92, 93, 261 | 3eqtr3d 2788 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))) = (4 · (4
· ((𝑆 ·
(𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))))) |
263 | 66, 86, 68, 88, 262 | mulcanad 11608 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) |
264 | 263 | oveq1d 7284 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((4 ·
((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) / 4)) |
265 | 64, 65, 68, 88 | div23d 11786 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2))) |
266 | 77, 8 | resubcld 11401 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑋) ∈ ℝ) |
267 | 77, 266 | remulcld 11004 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) ∈ ℝ) |
268 | 77, 13 | resubcld 11401 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑌) ∈ ℝ) |
269 | 77, 74 | resubcld 11401 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑍) ∈ ℝ) |
270 | 268, 269 | remulcld 11004 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)) ∈ ℝ) |
271 | 267, 270 | remulcld 11004 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))) ∈ ℝ) |
272 | 271 | recnd 11002 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))) ∈ ℂ) |
273 | 272, 68, 88 | divcan3d 11754 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) / 4) = ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
274 | 264, 265,
273 | 3eqtr3d 2788 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
275 | 48, 63, 274 | 3eqtrd 2784 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍)))) |
276 | 275 | fveq2d 6773 |
. 2
⊢ (𝜑 → (√‘((((1 / 2)
· (𝑋 · 𝑌)) ·
(abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (√‘((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) |
277 | 40, 276 | eqtr3d 2782 |
1
⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆 − 𝑋)) · ((𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍))))) |