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Theorem quartlem1 25104
Description: Lemma for quart 25108. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quartlem1.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quartlem1.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
Assertion
Ref Expression
quartlem1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))

Proof of Theorem quartlem1
StepHypRef Expression
1 2cn 11549 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
2 quartlem1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3 sqmul 13323 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5 sq2 13398 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
65oveq1i 7017 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
74, 6syl6eq 2845 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
87oveq1d 7022 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9 4cn 11559 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11 3cn 11555 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
132sqcld 13346 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
1410, 12, 13subdird 10934 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
158, 14eqtr4d 2832 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16 ax-1cn 10430 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 3p1e4 11619 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
189, 11, 16, 17subaddrii 10812 . . . . . . . . 9 (4 − 3) = 1
1918oveq1i 7017 . . . . . . . 8 ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20 mulid2 10475 . . . . . . . 8 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2119, 20syl5eq 2841 . . . . . . 7 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2315, 22eqtr2d 2830 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
2423oveq1d 7022 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
25 mulcl 10456 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
261, 2, 25sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
2726sqcld 13346 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28 mulcl 10456 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
2911, 13, 28sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30 1nn0 11750 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
31 2nn 11547 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 11956 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3332nncni 11485 . . . . . 6 12 ∈ ℂ
34 quartlem1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
35 mulcl 10456 . . . . . 6 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3633, 34, 35sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3727, 29, 36subsubd 10862 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
3824, 37eqtr4d 2832 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
39 quartlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
40 mulcl 10456 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
419, 34, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
4212, 13, 41subdid 10933 . . . . 5 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43 4t3e12 12035 . . . . . . . . 9 (4 · 3) = 12
449, 11, 43mulcomli 10485 . . . . . . . 8 (3 · 4) = 12
4544oveq1i 7017 . . . . . . 7 ((3 · 4) · 𝑅) = (12 · 𝑅)
4612, 10, 34mulassd 10499 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4745, 46syl5eqr 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4847oveq2d 7023 . . . . 5 (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
4942, 48eqtr4d 2832 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)))
5049oveq2d 7023 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
5138, 39, 503eqtr4d 2839 . 2 (𝜑𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
521a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 3nn0 11752 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5552, 2, 54mulexpd 13363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56 cu2 13401 . . . . . . . . . 10 (2↑3) = 8
5756oveq1i 7017 . . . . . . . . 9 ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
5855, 57syl6eq 2845 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
5958oveq2d 7023 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60 8cn 11571 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62 expcl 13285 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
632, 53, 62sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
6452, 61, 63mul12d 10685 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
6559, 64eqtrd 2829 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66 9cn 11574 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68 mulcl 10456 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
691, 63, 68sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
702, 34mulcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71 mulcl 10456 . . . . . . . . 9 ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7260, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7367, 69, 72subdid 10933 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
7426, 13, 41subdid 10933 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
7552, 2, 13mulassd 10499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
762, 13mulcomd 10497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77 df-3 11538 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
7877oveq2i 7018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79 2nn0 11751 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
80 expp1 13274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
812, 79, 80sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8278, 81syl5eq 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8376, 82eqtr4d 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
8483oveq2d 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
8575, 84eqtrd 2829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
8652, 2, 10, 34mul4d 10688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87 4t2e8 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
889, 1, 87mulcomli 10485 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
8988oveq1i 7017 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
9086, 89syl6eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
9185, 90oveq12d 7025 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9274, 91eqtrd 2829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9392oveq2d 7023 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94 9t8e72 12065 . . . . . . . . . 10 (9 · 8) = 72
9594oveq1i 7017 . . . . . . . . 9 ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (72 · (𝑃 · 𝑅))
9667, 61, 70mulassd 10499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9795, 96syl5eqr 2843 . . . . . . . 8 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9897oveq2d 7023 . . . . . . 7 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
9973, 93, 983eqtr4d 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))))
10065, 99oveq12d 7025 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101 mulcl 10456 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10260, 69, 101sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103 mulcl 10456 . . . . . . 7 ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10466, 69, 103sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105 7nn0 11756 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
106105, 31decnncl 11956 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ
107106nncni 11485 . . . . . . 7 72 ∈ ℂ
108 mulcl 10456 . . . . . . 7 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109107, 70, 108sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110102, 104, 109subsubd 10862 . . . . 5 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
111104, 102negsubdi2d 10850 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
11267, 61, 69subdird 10934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113 8p1e9 11624 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
11466, 60, 16, 113subaddrii 10812 . . . . . . . . . . 11 (9 − 8) = 1
115114oveq1i 7017 . . . . . . . . . 10 ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
11669mulid2d 10494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117115, 116syl5eq 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118112, 117eqtr3d 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119118negeqd 10716 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120111, 119eqtr3d 2831 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121120oveq1d 7022 . . . . 5 (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
122100, 110, 1213eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
123 7nn 11566 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
12479, 123decnncl 11956 . . . . . 6 27 ∈ ℕ
125124nncni 11485 . . . . 5 27 ∈ ℂ
126 quartlem1.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
127126sqcld 13346 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128 mulneg2 10914 . . . . 5 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
129125, 127, 128sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
130122, 129oveq12d 7025 . . 3 (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))))
13169negcld 10821 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132 mulcl 10456 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133125, 127, 132sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134131, 109, 133addsubd 10855 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
135131, 109addcld 10495 . . . . 5 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136135, 133negsubd 10840 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))))
137 quartlem1.v . . . 4 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
138134, 136, 1373eqtr4d 2839 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139130, 138eqtr2d 2830 . 2 (𝜑𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))))
14051, 139jca 512 1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  (class class class)co 7007  cc 10370  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  cmin 10706  -cneg 10707  2c2 11529  3c3 11530  4c4 11531  7c7 11534  8c8 11535  9c9 11536  0cn0 11734  cdc 11936  cexp 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-seq 13208  df-exp 13268
This theorem is referenced by:  quart  25108
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