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Theorem quartlem1 26834

Description: Lemma for quart 26838. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quartlem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
quartlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))

**Assertion**
Ref	Expression
quartlem1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

**Proof of Theorem quartlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quartlem1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
3		sqmul 14072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5		sq2 14150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
6	5	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
7	4, 6	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
8	7	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9		4cn 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11		3cn 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
13	2	sqcld 14097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
14	10, 12, 13	subdird 11598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
15	8, 14	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3p1e4 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
18	9, 11, 16, 17	subaddrii 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 3) = 1
19	18	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20		mullid 11134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
21	19, 20	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
22	13, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
23	15, 22	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
24	23	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
25		mulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
26	1, 2, 25	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28		mulcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
29	11, 13, 28	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30		1nn0 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12655	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
33	32	nncni 12175	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℂ
34		quartlem1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
35		mulcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
37	27, 29, 36	subsubd 11524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
38	24, 37	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
39		quartlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
40		mulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
41	9, 34, 40	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
42	12, 13, 41	subdid 11597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43		4t3e12 12733	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 3) = ;12
44	9, 11, 43	mulcomli 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 4) = ;12
45	44	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 4) · 𝑅) = (;12 · 𝑅)
46	12, 10, 34	mulassd 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
47	45, 46	eqtr3id 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
48	47	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
49	42, 48	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)))
50	49	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
51	38, 39, 50	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
52	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		3nn0 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
55	52, 2, 54	mulexpd 14114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56		cu2 14153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
57	56	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
58	55, 57	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
59	58	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60		8cn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62		expcl 14032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
63	2, 53, 62	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
64	52, 61, 63	mul12d 11346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
65	59, 64	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66		9cn 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68		mulcl 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
69	1, 63, 68	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
70	2, 34	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71		mulcl 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
72	60, 70, 71	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
73	67, 69, 72	subdid 11597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
74	26, 13, 41	subdid 11597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
75	52, 2, 13	mulassd 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
76	2, 13	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77		df-3 12236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
78	77	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79		2nn0 12445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
80		expp1 14021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
81	2, 79, 80	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
82	78, 81	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
83	76, 82	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
84	83	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
85	75, 84	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
86	52, 2, 10, 34	mul4d 11349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87		4t2e8 12335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
88	9, 1, 87	mulcomli 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
89	88	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
90	86, 89	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
91	85, 90	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
92	74, 91	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
93	92	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94		9t8e72 12763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 8) = ;72
95	94	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (;72 · (𝑃 · 𝑅))
96	67, 61, 70	mulassd 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
97	95, 96	eqtr3id 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
98	97	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
99	73, 93, 98	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
100	65, 99	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101		mulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
102	60, 69, 101	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103		mulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
104	66, 69, 103	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105		7nn0 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
106	105, 31	decnncl 12655	. . . . . . . 8 ⊢ ;72 ∈ ℕ
107	106	nncni 12175	. . . . . . 7 ⊢ ;72 ∈ ℂ
108		mulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((;72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109	107, 70, 108	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110	102, 104, 109	subsubd 11524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
111	104, 102	negsubdi2d 11512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
112	67, 61, 69	subdird 11598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113		8p1e9 12317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
114	66, 60, 16, 113	subaddrii 11474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 − 8) = 1
115	114	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
116	69	mullidd 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117	115, 116	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118	112, 117	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119	118	negeqd 11378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120	111, 119	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121	120	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
122	100, 110, 121	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
123		7nn 12264	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
124	79, 123	decnncl 12655	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
125	124	nncni 12175	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℂ
126		quartlem1.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
127	126	sqcld 14097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128		mulneg2 11578	. . . . 5 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
129	125, 127, 128	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
130	122, 129	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))))
131	69	negcld 11483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132		mulcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133	125, 127, 132	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134	131, 109, 133	addsubd 11517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
135	131, 109	addcld 11155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136	135, 133	negsubd 11502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))))
137		quartlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
138	134, 136, 137	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139	130, 138	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))))
140	51, 139	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 -cneg 11369 2c2 12227 3c3 12228 4c4 12229 7c7 12232 8c8 12233 9c9 12234 ℕ₀cn0 12428 cdc 12635 ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-seq 13955 df-exp 14015

This theorem is referenced by: quart 26838

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