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Theorem quartlem1 26980

Description: Lemma for quart 26984. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quartlem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
quartlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))

**Assertion**
Ref	Expression
quartlem1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

**Proof of Theorem quartlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quartlem1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
3		sqmul 14146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5		sq2 14224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
6	5	oveq1i 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
7	4, 6	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
8	7	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9		4cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11		3cn 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
13	2	sqcld 14171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
14	10, 12, 13	subdird 11659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
15	8, 14	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3p1e4 12376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
18	9, 11, 16, 17	subaddrii 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 3) = 1
19	18	oveq1i 7410	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20		mullid 11195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
21	19, 20	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
22	13, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
23	15, 22	eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
24	23	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
25		mulcl 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
26	1, 2, 25	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28		mulcl 11172	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
29	11, 13, 28	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30		1nn0 12511	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31		2nn 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12726	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
33	32	nncni 12234	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℂ
34		quartlem1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
35		mulcl 11172	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
37	27, 29, 36	subsubd 11585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
38	24, 37	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
39		quartlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
40		mulcl 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
41	9, 34, 40	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
42	12, 13, 41	subdid 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43		4t3e12 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 3) = ;12
44	9, 11, 43	mulcomli 11206	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 4) = ;12
45	44	oveq1i 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 4) · 𝑅) = (;12 · 𝑅)
46	12, 10, 34	mulassd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
47	45, 46	eqtr3id 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
48	47	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
49	42, 48	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)))
50	49	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
51	38, 39, 50	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
52	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		3nn0 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
55	52, 2, 54	mulexpd 14188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56		cu2 14227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
57	56	oveq1i 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
58	55, 57	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
59	58	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60		8cn 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62		expcl 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
63	2, 53, 62	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
64	52, 61, 63	mul12d 11407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
65	59, 64	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66		9cn 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68		mulcl 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
69	1, 63, 68	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
70	2, 34	mulcld 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71		mulcl 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
72	60, 70, 71	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
73	67, 69, 72	subdid 11658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
74	26, 13, 41	subdid 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
75	52, 2, 13	mulassd 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
76	2, 13	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77		df-3 12295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
78	77	oveq2i 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79		2nn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
80		expp1 14095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
81	2, 79, 80	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
82	78, 81	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
83	76, 82	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
84	83	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
85	75, 84	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
86	52, 2, 10, 34	mul4d 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87		4t2e8 12400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
88	9, 1, 87	mulcomli 11206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
89	88	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
90	86, 89	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
91	85, 90	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
92	74, 91	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
93	92	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94		9t8e72 12835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 8) = ;72
95	94	oveq1i 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (;72 · (𝑃 · 𝑅))
96	67, 61, 70	mulassd 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
97	95, 96	eqtr3id 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
98	97	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
99	73, 93, 98	3eqtr4d 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
100	65, 99	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101		mulcl 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
102	60, 69, 101	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103		mulcl 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
104	66, 69, 103	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105		7nn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
106	105, 31	decnncl 12726	. . . . . . . 8 ⊢ ;72 ∈ ℕ
107	106	nncni 12234	. . . . . . 7 ⊢ ;72 ∈ ℂ
108		mulcl 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((;72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109	107, 70, 108	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110	102, 104, 109	subsubd 11585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
111	104, 102	negsubdi2d 11573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
112	67, 61, 69	subdird 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113		8p1e9 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
114	66, 60, 16, 113	subaddrii 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 − 8) = 1
115	114	oveq1i 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
116	69	mullidd 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117	115, 116	eqtrid 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118	112, 117	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119	118	negeqd 11439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120	111, 119	eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121	120	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
122	100, 110, 121	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
123		7nn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
124	79, 123	decnncl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
125	124	nncni 12234	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℂ
126		quartlem1.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
127	126	sqcld 14171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128		mulneg2 11639	. . . . 5 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
129	125, 127, 128	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
130	122, 129	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))))
131	69	negcld 11544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132		mulcl 11172	. . . . . 6 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133	125, 127, 132	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134	131, 109, 133	addsubd 11578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
135	131, 109	addcld 11216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136	135, 133	negsubd 11563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))))
137		quartlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
138	134, 136, 137	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139	130, 138	eqtr2d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))))
140	51, 139	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 400 = wceq 1563 ∈ wcel 2145 (class class class)co 7400 ℂcc 11086 1c1 11089 + caddc 11091 · cmul 11093 − cmin 11429 -cneg 11430 2c2 12286 3c3 12287 4c4 12288 7c7 12291 8c8 12292 9c9 12293 ℕ₀cn0 12495 cdc 12702 ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5327 ax-pr 5395 ax-un 7722 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4869 df-iun 4954 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5547 df-eprel 5552 df-po 5560 df-so 5561 df-fr 5605 df-we 5607 df-xp 5658 df-rel 5659 df-cnv 5660 df-co 5661 df-dm 5662 df-rn 5663 df-res 5664 df-ima 5665 df-pred 6292 df-ord 6353 df-on 6354 df-lim 6355 df-suc 6356 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-om 7851 df-2nd 7975 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-er 8682 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-nn 12225 df-2 12294 df-3 12295 df-4 12296 df-5 12297 df-6 12298 df-7 12299 df-8 12300 df-9 12301 df-n0 12496 df-z 12583 df-dec 12703 df-uz 12854 df-seq 14029 df-exp 14089

This theorem is referenced by: quart 26984

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