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Theorem quartlem1 26915
Description: Lemma for quart 26919. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quartlem1.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quartlem1.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
Assertion
Ref Expression
quartlem1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))

Proof of Theorem quartlem1
StepHypRef Expression
1 2cn 12339 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
2 quartlem1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3 sqmul 14156 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5 sq2 14233 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
65oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
74, 6eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
87oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9 4cn 12349 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11 3cn 12345 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
132sqcld 14181 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
1410, 12, 13subdird 11718 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
158, 14eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 3p1e4 12409 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
189, 11, 16, 17subaddrii 11596 . . . . . . . . 9 (4 − 3) = 1
1918oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20 mullid 11258 . . . . . . . 8 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2119, 20eqtrid 2787 . . . . . . 7 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2315, 22eqtr2d 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
2423oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
25 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
261, 2, 25sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
2726sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28 mulcl 11237 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
2911, 13, 28sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30 1nn0 12540 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
31 2nn 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 12751 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3332nncni 12274 . . . . . 6 12 ∈ ℂ
34 quartlem1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
35 mulcl 11237 . . . . . 6 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3633, 34, 35sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3727, 29, 36subsubd 11646 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
3824, 37eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
39 quartlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
40 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
419, 34, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
4212, 13, 41subdid 11717 . . . . 5 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43 4t3e12 12829 . . . . . . . . 9 (4 · 3) = 12
449, 11, 43mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (3 · 4) = 12
4544oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((3 · 4) · 𝑅) = (12 · 𝑅)
4612, 10, 34mulassd 11282 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4745, 46eqtr3id 2789 . . . . . 6 (𝜑 → (12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4847oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
4942, 48eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)))
5049oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
5138, 39, 503eqtr4d 2785 . 2 (𝜑𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
521a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 3nn0 12542 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5552, 2, 54mulexpd 14198 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56 cu2 14236 . . . . . . . . . 10 (2↑3) = 8
5756oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
5855, 57eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
5958oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60 8cn 12361 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62 expcl 14117 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
632, 53, 62sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
6452, 61, 63mul12d 11468 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
6559, 64eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66 9cn 12364 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68 mulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
691, 63, 68sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
702, 34mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71 mulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7260, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7367, 69, 72subdid 11717 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
7426, 13, 41subdid 11717 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
7552, 2, 13mulassd 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
762, 13mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
7877oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
80 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
812, 79, 80sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8278, 81eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8376, 82eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
8483oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
8575, 84eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
8652, 2, 10, 34mul4d 11471 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87 4t2e8 12432 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
889, 1, 87mulcomli 11268 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
8988oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
9086, 89eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
9185, 90oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9274, 91eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9392oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94 9t8e72 12859 . . . . . . . . . 10 (9 · 8) = 72
9594oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (72 · (𝑃 · 𝑅))
9667, 61, 70mulassd 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9795, 96eqtr3id 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9897oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
9973, 93, 983eqtr4d 2785 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))))
10065, 99oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10260, 69, 101sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10466, 69, 103sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105 7nn0 12546 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
106105, 31decnncl 12751 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ
107106nncni 12274 . . . . . . 7 72 ∈ ℂ
108 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109107, 70, 108sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110102, 104, 109subsubd 11646 . . . . 5 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
111104, 102negsubdi2d 11634 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
11267, 61, 69subdird 11718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113 8p1e9 12414 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
11466, 60, 16, 113subaddrii 11596 . . . . . . . . . . 11 (9 − 8) = 1
115114oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
11669mullidd 11277 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117115, 116eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118112, 117eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119118negeqd 11500 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120111, 119eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121120oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
122100, 110, 1213eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
123 7nn 12356 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
12479, 123decnncl 12751 . . . . . 6 27 ∈ ℕ
125124nncni 12274 . . . . 5 27 ∈ ℂ
126 quartlem1.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
127126sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128 mulneg2 11698 . . . . 5 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
129125, 127, 128sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
130122, 129oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))))
13169negcld 11605 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132 mulcl 11237 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133125, 127, 132sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134131, 109, 133addsubd 11639 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
135131, 109addcld 11278 . . . . 5 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136135, 133negsubd 11624 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))))
137 quartlem1.v . . . 4 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
138134, 136, 1373eqtr4d 2785 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139130, 138eqtr2d 2776 . 2 (𝜑𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))))
14051, 139jca 511 1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cdc 12731  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  quart  26919
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