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Theorem quartlem1 26105
Description: Lemma for quart 26109. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quartlem1.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quartlem1.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
Assertion
Ref Expression
quartlem1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))

Proof of Theorem quartlem1
StepHypRef Expression
1 2cn 12141 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
2 quartlem1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3 sqmul 13932 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5 sq2 14007 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
65oveq1i 7339 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
74, 6eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
87oveq1d 7344 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9 4cn 12151 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11 3cn 12147 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
132sqcld 13955 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
1410, 12, 13subdird 11525 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
158, 14eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16 ax-1cn 11022 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 3p1e4 12211 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
189, 11, 16, 17subaddrii 11403 . . . . . . . . 9 (4 − 3) = 1
1918oveq1i 7339 . . . . . . . 8 ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20 mulid2 11067 . . . . . . . 8 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2119, 20eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2315, 22eqtr2d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
2423oveq1d 7344 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
25 mulcl 11048 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
261, 2, 25sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
2726sqcld 13955 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28 mulcl 11048 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
2911, 13, 28sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30 1nn0 12342 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
31 2nn 12139 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 12550 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3332nncni 12076 . . . . . 6 12 ∈ ℂ
34 quartlem1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
35 mulcl 11048 . . . . . 6 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3633, 34, 35sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3727, 29, 36subsubd 11453 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
3824, 37eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
39 quartlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
40 mulcl 11048 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
419, 34, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
4212, 13, 41subdid 11524 . . . . 5 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43 4t3e12 12628 . . . . . . . . 9 (4 · 3) = 12
449, 11, 43mulcomli 11077 . . . . . . . 8 (3 · 4) = 12
4544oveq1i 7339 . . . . . . 7 ((3 · 4) · 𝑅) = (12 · 𝑅)
4612, 10, 34mulassd 11091 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4745, 46eqtr3id 2790 . . . . . 6 (𝜑 → (12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4847oveq2d 7345 . . . . 5 (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
4942, 48eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)))
5049oveq2d 7345 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
5138, 39, 503eqtr4d 2786 . 2 (𝜑𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
521a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 3nn0 12344 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5552, 2, 54mulexpd 13972 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56 cu2 14010 . . . . . . . . . 10 (2↑3) = 8
5756oveq1i 7339 . . . . . . . . 9 ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
5855, 57eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
5958oveq2d 7345 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60 8cn 12163 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62 expcl 13893 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
632, 53, 62sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
6452, 61, 63mul12d 11277 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
6559, 64eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66 9cn 12166 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68 mulcl 11048 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
691, 63, 68sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
702, 34mulcld 11088 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71 mulcl 11048 . . . . . . . . 9 ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7260, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7367, 69, 72subdid 11524 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
7426, 13, 41subdid 11524 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
7552, 2, 13mulassd 11091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
762, 13mulcomd 11089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77 df-3 12130 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
7877oveq2i 7340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79 2nn0 12343 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
80 expp1 13882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
812, 79, 80sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8278, 81eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8376, 82eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
8483oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
8575, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
8652, 2, 10, 34mul4d 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87 4t2e8 12234 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
889, 1, 87mulcomli 11077 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
8988oveq1i 7339 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
9086, 89eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
9185, 90oveq12d 7347 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9274, 91eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9392oveq2d 7345 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94 9t8e72 12658 . . . . . . . . . 10 (9 · 8) = 72
9594oveq1i 7339 . . . . . . . . 9 ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (72 · (𝑃 · 𝑅))
9667, 61, 70mulassd 11091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9795, 96eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9897oveq2d 7345 . . . . . . 7 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
9973, 93, 983eqtr4d 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))))
10065, 99oveq12d 7347 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101 mulcl 11048 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10260, 69, 101sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103 mulcl 11048 . . . . . . 7 ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10466, 69, 103sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105 7nn0 12348 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
106105, 31decnncl 12550 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ
107106nncni 12076 . . . . . . 7 72 ∈ ℂ
108 mulcl 11048 . . . . . . 7 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109107, 70, 108sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110102, 104, 109subsubd 11453 . . . . 5 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
111104, 102negsubdi2d 11441 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
11267, 61, 69subdird 11525 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113 8p1e9 12216 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
11466, 60, 16, 113subaddrii 11403 . . . . . . . . . . 11 (9 − 8) = 1
115114oveq1i 7339 . . . . . . . . . 10 ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
11669mulid2d 11086 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117115, 116eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118112, 117eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119118negeqd 11308 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120111, 119eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121120oveq1d 7344 . . . . 5 (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
122100, 110, 1213eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
123 7nn 12158 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
12479, 123decnncl 12550 . . . . . 6 27 ∈ ℕ
125124nncni 12076 . . . . 5 27 ∈ ℂ
126 quartlem1.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
127126sqcld 13955 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128 mulneg2 11505 . . . . 5 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
129125, 127, 128sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
130122, 129oveq12d 7347 . . 3 (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))))
13169negcld 11412 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132 mulcl 11048 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133125, 127, 132sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134131, 109, 133addsubd 11446 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
135131, 109addcld 11087 . . . . 5 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136135, 133negsubd 11431 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))))
137 quartlem1.v . . . 4 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
138134, 136, 1373eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139130, 138eqtr2d 2777 . 2 (𝜑𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))))
14051, 139jca 512 1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  (class class class)co 7329  cc 10962  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  cmin 11298  -cneg 11299  2c2 12121  3c3 12122  4c4 12123  7c7 12126  8c8 12127  9c9 12128  0cn0 12326  cdc 12530  cexp 13875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-seq 13815  df-exp 13876
This theorem is referenced by:  quart  26109
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