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Theorem quartlem1 27167

Description: Lemma for quart 27171. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quartlem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
quartlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))

**Assertion**
Ref	Expression
quartlem1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

**Proof of Theorem quartlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12399	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quartlem1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
3		sqmul 14242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5		sq2 14320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
6	5	oveq1i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
7	4, 6	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
8	7	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9		4cn 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11		3cn 12405	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
13	2	sqcld 14267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
14	10, 12, 13	subdird 11754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
15	8, 14	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3p1e4 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
18	9, 11, 16, 17	subaddrii 11628	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 3) = 1
19	18	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20		mullid 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
21	19, 20	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
22	13, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
23	15, 22	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
24	23	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
25		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
26	1, 2, 25	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28		mulcl 11265	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
29	11, 13, 28	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30		1nn0 12603	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31		2nn 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12819	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
33	32	nncni 12326	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℂ
34		quartlem1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
35		mulcl 11265	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
37	27, 29, 36	subsubd 11678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
38	24, 37	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
39		quartlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
40		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
41	9, 34, 40	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
42	12, 13, 41	subdid 11753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43		4t3e12 12898	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 3) = ;12
44	9, 11, 43	mulcomli 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 4) = ;12
45	44	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 4) · 𝑅) = (;12 · 𝑅)
46	12, 10, 34	mulassd 11313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
47	45, 46	eqtr3id 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
48	47	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
49	42, 48	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)))
50	49	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
51	38, 39, 50	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
52	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		3nn0 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
55	52, 2, 54	mulexpd 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56		cu2 14323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
57	56	oveq1i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
58	55, 57	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
59	58	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60		8cn 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62		expcl 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
63	2, 53, 62	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
64	52, 61, 63	mul12d 11500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
65	59, 64	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66		9cn 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68		mulcl 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
69	1, 63, 68	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
70	2, 34	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71		mulcl 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
72	60, 70, 71	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
73	67, 69, 72	subdid 11753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
74	26, 13, 41	subdid 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
75	52, 2, 13	mulassd 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
76	2, 13	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77		df-3 12387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
78	77	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79		2nn0 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
80		expp1 14191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
81	2, 79, 80	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
82	78, 81	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
83	76, 82	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
84	83	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
85	75, 84	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
86	52, 2, 10, 34	mul4d 11503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87		2t4e8 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
88	87	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
89	86, 88	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
90	85, 89	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
91	74, 90	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
92	91	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
93		9t8e72 12928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 8) = ;72
94	93	oveq1i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (;72 · (𝑃 · 𝑅))
95	67, 61, 70	mulassd 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
96	94, 95	eqtr3id 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
97	96	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
98	73, 92, 97	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
99	65, 98	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))))
100		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
101	60, 69, 100	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
102		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103	66, 69, 102	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
104		7nn0 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
105	104, 31	decnncl 12819	. . . . . . . 8 ⊢ ;72 ∈ ℕ
106	105	nncni 12326	. . . . . . 7 ⊢ ;72 ∈ ℂ
107		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((;72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
108	106, 70, 107	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109	101, 103, 108	subsubd 11678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
110	103, 101	negsubdi2d 11666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
111	67, 61, 69	subdird 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
112		8p1e9 12473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
113	66, 60, 16, 112	subaddrii 11628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 − 8) = 1
114	113	oveq1i 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
115	69	mullidd 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
116	114, 115	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117	111, 116	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
118	117	negeqd 11532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
119	110, 118	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120	119	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
121	99, 109, 120	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
122		7nn 12416	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
123	79, 122	decnncl 12819	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
124	123	nncni 12326	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℂ
125		quartlem1.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
126	125	sqcld 14267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
127		mulneg2 11734	. . . . 5 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
128	124, 126, 127	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
129	121, 128	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))))
130	69	negcld 11637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
131		mulcl 11265	. . . . . 6 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
132	124, 126, 131	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133	130, 108, 132	addsubd 11671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
134	130, 108	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
135	134, 132	negsubd 11656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))))
136		quartlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
137	133, 135, 136	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
138	129, 137	eqtr2d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))))
139	51, 138	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 (class class class)co 7412 ℂcc 11179 1c1 11182 + caddc 11184 · cmul 11186 − cmin 11522 -cneg 11523 2c2 12378 3c3 12379 4c4 12380 7c7 12383 8c8 12384 9c9 12385 ℕ₀cn0 12587 cdc 12795 ↑cexp 14184

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-er 8701 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-4 12388 df-5 12389 df-6 12390 df-7 12391 df-8 12392 df-9 12393 df-n0 12588 df-z 12675 df-dec 12796 df-uz 12947 df-seq 14125 df-exp 14185

This theorem is used by: quart 27171

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