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Theorem quartlem1 25435

Description: Lemma for quart 25439. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quartlem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
quartlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))

**Assertion**
Ref	Expression
quartlem1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

**Proof of Theorem quartlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11713	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		quartlem1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
3		sqmul 13486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5		sq2 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
6	5	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
7	4, 6	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
8	7	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9		4cn 11723	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11		3cn 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
13	2	sqcld 13509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
14	10, 12, 13	subdird 11097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
15	8, 14	eqtr4d 2859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3p1e4 11783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
18	9, 11, 16, 17	subaddrii 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 3) = 1
19	18	oveq1i 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20		mulid2 10640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
21	19, 20	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
22	13, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
23	15, 22	eqtr2d 2857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
24	23	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
25		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
26	1, 2, 25	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 13509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28		mulcl 10621	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
29	11, 13, 28	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30		1nn0 11914	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
31		2nn 11711	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12119	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
33	32	nncni 11648	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℂ
34		quartlem1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
35		mulcl 10621	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
36	33, 34, 35	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) ∈ ℂ)
37	27, 29, 36	subsubd 11025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (;12 · 𝑅)))
38	24, 37	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
39		quartlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
40		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
41	9, 34, 40	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
42	12, 13, 41	subdid 11096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43		4t3e12 12197	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 3) = ;12
44	9, 11, 43	mulcomli 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 4) = ;12
45	44	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 4) · 𝑅) = (;12 · 𝑅)
46	12, 10, 34	mulassd 10664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
47	45, 46	syl5eqr 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
48	47	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
49	42, 48	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅)))
50	49	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (;12 · 𝑅))))
51	38, 39, 50	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
52	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		3nn0 11916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
55	52, 2, 54	mulexpd 13526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56		cu2 13564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑3) = 8
57	56	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
58	55, 57	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
59	58	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60		8cn 11735	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62		expcl 13448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
63	2, 53, 62	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
64	52, 61, 63	mul12d 10849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
65	59, 64	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66		9cn 11738	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68		mulcl 10621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
69	1, 63, 68	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
70	2, 34	mulcld 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71		mulcl 10621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
72	60, 70, 71	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
73	67, 69, 72	subdid 11096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
74	26, 13, 41	subdid 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
75	52, 2, 13	mulassd 10664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
76	2, 13	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77		df-3 11702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
78	77	oveq2i 7167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79		2nn0 11915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
80		expp1 13437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
81	2, 79, 80	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
82	78, 81	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
83	76, 82	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
84	83	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
85	75, 84	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
86	52, 2, 10, 34	mul4d 10852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87		4t2e8 11806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
88	9, 1, 87	mulcomli 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
89	88	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
90	86, 89	syl6eq 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
91	85, 90	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
92	74, 91	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
93	92	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94		9t8e72 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 8) = ;72
95	94	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (;72 · (𝑃 · 𝑅))
96	67, 61, 70	mulassd 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
97	95, 96	syl5eqr 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
98	97	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
99	73, 93, 98	3eqtr4d 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
100	65, 99	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
102	60, 69, 101	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
104	66, 69, 103	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105		7nn0 11920	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
106	105, 31	decnncl 12119	. . . . . . . 8 ⊢ ;72 ∈ ℕ
107	106	nncni 11648	. . . . . . 7 ⊢ ;72 ∈ ℂ
108		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((;72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109	107, 70, 108	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110	102, 104, 109	subsubd 11025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (;72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
111	104, 102	negsubdi2d 11013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
112	67, 61, 69	subdird 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113		8p1e9 11788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
114	66, 60, 16, 113	subaddrii 10975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 − 8) = 1
115	114	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
116	69	mulid2d 10659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117	115, 116	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118	112, 117	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119	118	negeqd 10880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120	111, 119	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121	120	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
122	100, 110, 121	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
123		7nn 11730	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
124	79, 123	decnncl 12119	. . . . . 6 ⊢ ;27 ∈ ℕ
125	124	nncni 11648	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℂ
126		quartlem1.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
127	126	sqcld 13509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128		mulneg2 11077	. . . . 5 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
129	125, 127, 128	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;27 · -(𝑄↑2)) = -(;27 · (𝑄↑2)))
130	122, 129	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))))
131	69	negcld 10984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132		mulcl 10621	. . . . . 6 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133	125, 127, 132	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134	131, 109, 133	addsubd 11018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
135	131, 109	addcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136	135, 133	negsubd 11003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) − (;27 · (𝑄↑2))))
137		quartlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
138	134, 136, 137	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(;27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139	130, 138	eqtr2d 2857	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2))))
140	51, 139	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (;27 · -(𝑄↑2)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 398 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 − cmin 10870 -cneg 10871 2c2 11693 3c3 11694 4c4 11695 7c7 11698 8c8 11699 9c9 11700 ℕ₀cn0 11898 cdc 12099 ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-4 11703 df-5 11704 df-6 11705 df-7 11706 df-8 11707 df-9 11708 df-n0 11899 df-z 11983 df-dec 12100 df-uz 12245 df-seq 13371 df-exp 13431

This theorem is referenced by: quart 25439

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