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Theorem cevathlem1 46887
Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevathlem1.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
Assertion
Ref Expression
cevathlem1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1
StepHypRef Expression
1 cevathlem1.a . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp2d 1143 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 cevathlem1.b . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
43simp3d 1144 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 11282 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6 cevathlem1.c . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
76simp2d 1143 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
85, 7mulcld 11282 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
93simp1d 1142 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
106simp1d 1142 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 11282 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
126simp3d 1144 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 11282 . 2 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
141simp1d 1142 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
153simp2d 1143 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11282 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
171simp3d 1144 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1816, 17mulcld 11282 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19 cevathlem1.d . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
2019simp1d 1142 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2119simp2d 1143 . . . 4 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2214, 15, 20, 21mulne0d 11916 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
2319simp3d 1144 . . 3 (𝜑𝐶 ≠ 0)
2416, 17, 22, 23mulne0d 11916 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25 cevathlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
2625simp1d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
2725simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
2826, 27oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
2914, 2, 15, 4mul4d 11474 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
3017, 9, 14, 10mul4d 11474 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
3128, 29, 303eqtr3d 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
3225simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
3331, 32oveq12d 7450 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
3416, 5, 17, 7mul4d 11474 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
3517, 14mulcld 11282 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
3635, 11, 15, 12mul4d 11474 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
3733, 34, 363eqtr3d 2784 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
3814, 15, 17mul32d 11472 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
3914, 17mulcomd 11283 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
4039oveq1d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
4138, 40eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
4241oveq1d 7447 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
4337, 42eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
448, 13, 18, 24, 43mulcanad 11899 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496
This theorem is referenced by:  cevath  46889
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