Theorem cevathlem1 47441

Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevathlem1.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevathlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cevathlem1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
4	3	simp3d 1157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6		cevathlem1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
9	3	simp1d 1155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	6	simp1d 1155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
12	6	simp3d 1157	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
14	1	simp1d 1155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	3	simp2d 1156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
17	1	simp3d 1157	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19		cevathlem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
20	19	simp1d 1155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
21	19	simp2d 1156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	14, 15, 20, 21	mulne0d 11839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
23	19	simp3d 1157	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
24	16, 17, 22, 23	mulne0d 11839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25		cevathlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
26	25	simp1d 1155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
27	25	simp2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
28	26, 27	oveq12d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
29	14, 2, 15, 4	mul4d 11395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
30	17, 9, 14, 10	mul4d 11395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
32	25	simp3d 1157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
33	31, 32	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
34	16, 5, 17, 7	mul4d 11395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
35	17, 14	mulcld 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
36	35, 11, 15, 12	mul4d 11395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
37	33, 34, 36	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
38	14, 15, 17	mul32d 11393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
39	14, 17	mulcomd 11203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
40	39	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
41	38, 40	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
42	41	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
43	37, 42	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
44	8, 13, 18, 24, 43	mulcanad 11822	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   · cmul 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417

This theorem is referenced by:  cevath  47443