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Theorem cevathlem1 46823
Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevathlem1.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
Assertion
Ref Expression
cevathlem1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1
StepHypRef Expression
1 cevathlem1.a . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp2d 1142 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 cevathlem1.b . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
43simp3d 1143 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 11279 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6 cevathlem1.c . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
76simp2d 1142 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
85, 7mulcld 11279 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
93simp1d 1141 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
106simp1d 1141 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 11279 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
126simp3d 1143 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 11279 . 2 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
141simp1d 1141 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
153simp2d 1142 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11279 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
171simp3d 1143 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1816, 17mulcld 11279 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19 cevathlem1.d . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
2019simp1d 1141 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2119simp2d 1142 . . . 4 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2214, 15, 20, 21mulne0d 11913 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
2319simp3d 1143 . . 3 (𝜑𝐶 ≠ 0)
2416, 17, 22, 23mulne0d 11913 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25 cevathlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
2625simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
2725simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
2826, 27oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
2914, 2, 15, 4mul4d 11471 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
3017, 9, 14, 10mul4d 11471 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
3128, 29, 303eqtr3d 2783 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
3225simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
3331, 32oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
3416, 5, 17, 7mul4d 11471 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
3517, 14mulcld 11279 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
3635, 11, 15, 12mul4d 11471 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
3733, 34, 363eqtr3d 2783 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
3814, 15, 17mul32d 11469 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
3914, 17mulcomd 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
4039oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
4138, 40eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
4241oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
4337, 42eqtr4d 2778 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
448, 13, 18, 24, 43mulcanad 11896 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  cevath  46825
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