Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cevathlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cevathlem1 45009
Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevathlem1.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
cevathlem1.b (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚))
cevathlem1.c (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ป โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚))
cevathlem1.d (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ธ โ‰  0 โˆง ๐ถ โ‰  0))
cevathlem1.e (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ท) โˆง (๐ธ ยท ๐น) = (๐ด ยท ๐บ) โˆง (๐ถ ยท ๐ป) = (๐ธ ยท ๐พ)))
Assertion
Ref Expression
cevathlem1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น) ยท ๐ป) = ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ))

Proof of Theorem cevathlem1
StepHypRef Expression
1 cevathlem1.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
21simp2d 1143 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 cevathlem1.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚))
43simp3d 1144 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcld 11133 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
6 cevathlem1.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ป โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚))
76simp2d 1143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
85, 7mulcld 11133 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น) ยท ๐ป) โˆˆ โ„‚)
93simp1d 1142 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
106simp1d 1142 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
119, 10mulcld 11133 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚)
126simp3d 1144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
1311, 12mulcld 11133 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
141simp1d 1142 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
153simp2d 1143 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1614, 15mulcld 11133 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
171simp3d 1144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1816, 17mulcld 11133 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
19 cevathlem1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ธ โ‰  0 โˆง ๐ถ โ‰  0))
2019simp1d 1142 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
2119simp2d 1143 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โ‰  0)
2214, 15, 20, 21mulne0d 11765 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โ‰  0)
2319simp3d 1144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
2416, 17, 22, 23mulne0d 11765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) โ‰  0)
25 cevathlem1.e . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ท) โˆง (๐ธ ยท ๐น) = (๐ด ยท ๐บ) โˆง (๐ถ ยท ๐ป) = (๐ธ ยท ๐พ)))
2625simp1d 1142 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ท))
2725simp2d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐น) = (๐ด ยท ๐บ))
2826, 27oveq12d 7369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐น)) = ((๐ถ ยท ๐ท) ยท (๐ด ยท ๐บ)))
2914, 2, 15, 4mul4d 11325 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐น)) = ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐น)))
3017, 9, 14, 10mul4d 11325 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) ยท (๐ด ยท ๐บ)) = ((๐ถ ยท ๐ด) ยท (๐ท ยท ๐บ)))
3128, 29, 303eqtr3d 2785 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐น)) = ((๐ถ ยท ๐ด) ยท (๐ท ยท ๐บ)))
3225simp3d 1144 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ป) = (๐ธ ยท ๐พ))
3331, 32oveq12d 7369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ถ ยท ๐ป)) = (((๐ถ ยท ๐ด) ยท (๐ท ยท ๐บ)) ยท (๐ธ ยท ๐พ)))
3416, 5, 17, 7mul4d 11325 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท (๐ต ยท ๐น)) ยท (๐ถ ยท ๐ป)) = (((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท ๐ป)))
3517, 14mulcld 11133 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3635, 11, 15, 12mul4d 11325 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) ยท (๐ท ยท ๐บ)) ยท (๐ธ ยท ๐พ)) = (((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ธ) ยท ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ)))
3733, 34, 363eqtr3d 2785 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท ๐ป)) = (((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ธ) ยท ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ)))
3814, 15, 17mul32d 11323 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ธ))
3914, 17mulcomd 11134 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด))
4039oveq1d 7366 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ธ) = ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ธ))
4138, 40eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ธ))
4241oveq1d 7366 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) ยท ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ)) = (((๐ถ ยท ๐ด) ยท ๐ธ) ยท ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ)))
4337, 42eqtr4d 2780 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) ยท ((๐ต ยท ๐น) ยท ๐ป)) = (((๐ด ยท ๐ธ) ยท ๐ถ) ยท ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ)))
448, 13, 18, 24, 43mulcanad 11748 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐น) ยท ๐ป) = ((๐ท ยท ๐บ) ยท ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7351  โ„‚cc 11007  0cc0 11009   ยท cmul 11014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346
This theorem is referenced by:  cevath  45011
  Copyright terms: Public domain W3C validator