Proof of Theorem cevathlem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cevathlem1.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) |
2 | 1 | simp2d 1145 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
3 | | cevathlem1.b |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) |
4 | 3 | simp3d 1146 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ) |
5 | 2, 4 | mulcld 10853 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ) |
6 | | cevathlem1.c |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) |
7 | 6 | simp2d 1145 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ) |
8 | 5, 7 | mulcld 10853 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ) |
9 | 3 | simp1d 1144 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) |
10 | 6 | simp1d 1144 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ) |
11 | 9, 10 | mulcld 10853 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ) |
12 | 6 | simp3d 1146 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) |
13 | 11, 12 | mulcld 10853 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ) |
14 | 1 | simp1d 1144 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
15 | 3 | simp2d 1145 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
16 | 14, 15 | mulcld 10853 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ) |
17 | 1 | simp3d 1146 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
18 | 16, 17 | mulcld 10853 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ) |
19 | | cevathlem1.d |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0)) |
20 | 19 | simp1d 1144 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
21 | 19 | simp2d 1145 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0) |
22 | 14, 15, 20, 21 | mulne0d 11484 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0) |
23 | 19 | simp3d 1146 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0) |
24 | 16, 17, 22, 23 | mulne0d 11484 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0) |
25 | | cevathlem1.e |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))) |
26 | 25 | simp1d 1144 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷)) |
27 | 25 | simp2d 1145 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺)) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7231 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺))) |
29 | 14, 2, 15, 4 | mul4d 11044 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹))) |
30 | 17, 9, 14, 10 | mul4d 11044 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺))) |
31 | 28, 29, 30 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺))) |
32 | 25 | simp3d 1146 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)) |
33 | 31, 32 | oveq12d 7231 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾))) |
34 | 16, 5, 17, 7 | mul4d 11044 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻))) |
35 | 17, 14 | mulcld 10853 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ) |
36 | 35, 11, 15, 12 | mul4d 11044 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) |
37 | 33, 34, 36 | 3eqtr3d 2785 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) |
38 | 14, 15, 17 | mul32d 11042 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸)) |
39 | 14, 17 | mulcomd 10854 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴)) |
40 | 39 | oveq1d 7228 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸)) |
41 | 38, 40 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸)) |
42 | 41 | oveq1d 7228 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) |
43 | 37, 42 | eqtr4d 2780 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) |
44 | 8, 13, 18, 24, 43 | mulcanad 11467 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) |