Theorem cevathlem1 46788

Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevathlem1.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevathlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cevathlem1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
4	3	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6		cevathlem1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
9	3	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	6	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
12	6	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
14	1	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	3	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
17	1	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19		cevathlem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
20	19	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
21	19	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	14, 15, 20, 21	mulne0d 11942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
23	19	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
24	16, 17, 22, 23	mulne0d 11942	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25		cevathlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
26	25	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
27	25	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
28	26, 27	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
29	14, 2, 15, 4	mul4d 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
30	17, 9, 14, 10	mul4d 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
32	25	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
33	31, 32	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
34	16, 5, 17, 7	mul4d 11502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
35	17, 14	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
36	35, 11, 15, 12	mul4d 11502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
37	33, 34, 36	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
38	14, 15, 17	mul32d 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
39	14, 17	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
40	39	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
41	38, 40	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
42	41	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
43	37, 42	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
44	8, 13, 18, 24, 43	mulcanad 11925	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  cevath  46790