Theorem cevathlem1 47696

Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevathlem1.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevathlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cevathlem1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
4	3	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6		cevathlem1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
9	3	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	6	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
12	6	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
14	1	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	3	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
17	1	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19		cevathlem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
20	19	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
21	19	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	14, 15, 20, 21	mulne0d 11891	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
23	19	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
24	16, 17, 22, 23	mulne0d 11891	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25		cevathlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
26	25	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
27	25	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
28	26, 27	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
29	14, 2, 15, 4	mul4d 11447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
30	17, 9, 14, 10	mul4d 11447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
32	25	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
33	31, 32	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
34	16, 5, 17, 7	mul4d 11447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
35	17, 14	mulcld 11254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
36	35, 11, 15, 12	mul4d 11447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
37	33, 34, 36	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
38	14, 15, 17	mul32d 11445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
39	14, 17	mulcomd 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
40	39	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
41	38, 40	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
42	41	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
43	37, 42	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
44	8, 13, 18, 24, 43	mulcanad 11874	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125   · cmul 11130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  cevath  47698