Proof of Theorem cevathlem1
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | cevathlem1.a | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) | 
| 2 | 1 | simp2d 1143 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 3 |  | cevathlem1.b | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) | 
| 4 | 3 | simp3d 1144 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ) | 
| 5 | 2, 4 | mulcld 11282 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ) | 
| 6 |  | cevathlem1.c | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) | 
| 7 | 6 | simp2d 1143 | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ) | 
| 8 | 5, 7 | mulcld 11282 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ) | 
| 9 | 3 | simp1d 1142 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) | 
| 10 | 6 | simp1d 1142 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ) | 
| 11 | 9, 10 | mulcld 11282 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ) | 
| 12 | 6 | simp3d 1144 | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ) | 
| 13 | 11, 12 | mulcld 11282 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ) | 
| 14 | 1 | simp1d 1142 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 15 | 3 | simp2d 1143 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) | 
| 16 | 14, 15 | mulcld 11282 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ) | 
| 17 | 1 | simp3d 1144 | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 18 | 16, 17 | mulcld 11282 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 19 |  | cevathlem1.d | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0)) | 
| 20 | 19 | simp1d 1142 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) | 
| 21 | 19 | simp2d 1143 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0) | 
| 22 | 14, 15, 20, 21 | mulne0d 11916 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0) | 
| 23 | 19 | simp3d 1144 | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0) | 
| 24 | 16, 17, 22, 23 | mulne0d 11916 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0) | 
| 25 |  | cevathlem1.e | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))) | 
| 26 | 25 | simp1d 1142 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷)) | 
| 27 | 25 | simp2d 1143 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺)) | 
| 28 | 26, 27 | oveq12d 7450 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺))) | 
| 29 | 14, 2, 15, 4 | mul4d 11474 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹))) | 
| 30 | 17, 9, 14, 10 | mul4d 11474 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺))) | 
| 31 | 28, 29, 30 | 3eqtr3d 2784 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺))) | 
| 32 | 25 | simp3d 1144 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)) | 
| 33 | 31, 32 | oveq12d 7450 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾))) | 
| 34 | 16, 5, 17, 7 | mul4d 11474 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻))) | 
| 35 | 17, 14 | mulcld 11282 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ) | 
| 36 | 35, 11, 15, 12 | mul4d 11474 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) | 
| 37 | 33, 34, 36 | 3eqtr3d 2784 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) | 
| 38 | 14, 15, 17 | mul32d 11472 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸)) | 
| 39 | 14, 17 | mulcomd 11283 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴)) | 
| 40 | 39 | oveq1d 7447 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸)) | 
| 41 | 38, 40 | eqtrd 2776 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸)) | 
| 42 | 41 | oveq1d 7447 | . . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) | 
| 43 | 37, 42 | eqtr4d 2779 | . 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))) | 
| 44 | 8, 13, 18, 24, 43 | mulcanad 11899 | 1
⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) |