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Theorem cevathlem1 43565
 Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cevathlem1.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
Assertion
Ref Expression
cevathlem1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1
StepHypRef Expression
1 cevathlem1.a . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp2d 1140 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 cevathlem1.b . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
43simp3d 1141 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 10665 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6 cevathlem1.c . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
76simp2d 1140 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
85, 7mulcld 10665 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
93simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
106simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 10665 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
126simp3d 1141 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1311, 12mulcld 10665 . 2 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
141simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
153simp2d 1140 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10665 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
171simp3d 1141 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1816, 17mulcld 10665 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19 cevathlem1.d . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
2019simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2119simp2d 1140 . . . 4 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2214, 15, 20, 21mulne0d 11296 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
2319simp3d 1141 . . 3 (𝜑𝐶 ≠ 0)
2416, 17, 22, 23mulne0d 11296 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25 cevathlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
2625simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
2725simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
2826, 27oveq12d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
2914, 2, 15, 4mul4d 10856 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
3017, 9, 14, 10mul4d 10856 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
3128, 29, 303eqtr3d 2841 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
3225simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
3331, 32oveq12d 7160 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
3416, 5, 17, 7mul4d 10856 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
3517, 14mulcld 10665 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
3635, 11, 15, 12mul4d 10856 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
3733, 34, 363eqtr3d 2841 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
3814, 15, 17mul32d 10854 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
3914, 17mulcomd 10666 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
4039oveq1d 7157 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
4138, 40eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
4241oveq1d 7157 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
4337, 42eqtr4d 2836 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
448, 13, 18, 24, 43mulcanad 11279 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7142  ℂcc 10539  0cc0 10541   · cmul 10546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5441  df-so 5442  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877 This theorem is referenced by:  cevath  43567
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