Theorem cevathlem1 45420

Description: Ceva's theorem first lemma. Multiplies three identities and divides by the common factors. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cevathlem1.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
cevathlem1.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
cevathlem1.c	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
cevathlem1.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
cevathlem1.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
cevathlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Proof of Theorem cevathlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cevathlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cevathlem1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
4	3	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
6		cevathlem1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐻 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) ∈ ℂ)
9	3	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	6	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐺) ∈ ℂ)
12	6	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcld 11218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾) ∈ ℂ)
14	1	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	3	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
17	1	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ∈ ℂ)
19		cevathlem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
20	19	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
21	19	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	14, 15, 20, 21	mulne0d 11850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ≠ 0)
23	19	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
24	16, 17, 22, 23	mulne0d 11850	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) ≠ 0)
25		cevathlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷) ∧ (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺) ∧ (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾)))
26	25	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐷))
27	25	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐴 · 𝐺))
28	26, 27	oveq12d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)))
29	14, 2, 15, 4	mul4d 11410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐹)) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)))
30	17, 9, 14, 10	mul4d 11410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐴 · 𝐺)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
31	28, 29, 30	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) = ((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)))
32	25	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐻) = (𝐸 · 𝐾))
33	31, 32	oveq12d 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)))
34	16, 5, 17, 7	mul4d 11410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐶 · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)))
35	17, 14	mulcld 11218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
36	35, 11, 15, 12	mul4d 11410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) · (𝐷 · 𝐺)) · (𝐸 · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
37	33, 34, 36	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
38	14, 15, 17	mul32d 11408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸))
39	14, 17	mulcomd 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
40	39	oveq1d 7409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
41	38, 40	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐴) · 𝐸))
42	41	oveq1d 7409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)) = (((𝐶 · 𝐴) · 𝐸) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
43	37, 42	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻)) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) · ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾)))
44	8, 13, 18, 24, 43	mulcanad 11833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · 𝐻) = ((𝐷 · 𝐺) · 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7394  ℂcc 11092  0cc0 11094   · cmul 11099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431

This theorem is referenced by:  cevath  45422