Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circum 35114
Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
circum 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Distinct variable group:   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum
Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12589 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 pirp 26301 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
4 nnrp 12981 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
76rprene0d 13020 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8 eldifsn 4782 . . . . . . . 8 ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
97, 8sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
109adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11 eqidd 2725 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12 eqidd 2725 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
1513, 14oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
1610, 11, 12, 15fmptco 7119 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
1817, 9fmpti 7103 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19 pire 26298 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
2019recni 11224 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
21 divcnv 15795 . . . . . . 7 (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23 sinccvg 35113 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2418, 22, 23sylancr 586 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2516, 24eqbrtrrd 5162 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26 2re 12282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2726, 19remulcli 11226 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
28 circum.3 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
2927, 28remulcli 11226 . . . . . 6 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
3029recni 11224 . . . . 5 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32 circum.2 . . . . . 6 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33 nnex 12214 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3433mptex 7216 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
3532, 34eqeltri 2821 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
3938resincld 16082 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40 eldifsni 4785 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4139, 38, 40redivcld 12038 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
4237, 41fmpti 7103 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43 fco 6731 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4442, 18, 43mp2an 689 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4516mptru 1540 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
4645feq1i 6698 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4744, 46mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4847ffvelcdmi 7075 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
5049recnd 11238 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5126recni 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5852, 53, 55, 57divassd 12021 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
5958oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nndivre 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6219, 60, 61sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6362recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
6663, 52, 65divcan3d 11991 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
6759, 66eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
6867fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
6962resincld 16082 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
7069recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71 nnrp 12981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
743, 72, 73sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
7574rpne0d 13017 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
7670, 63, 75divcan2d 11988 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
7768, 76eqtr4d 2767 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
7877oveq2d 7417 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
7928recni 11224 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ ℂ
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
8281fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
8382, 81oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85 ovex 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6988 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8786adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8887, 50eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
8980, 63, 88mulassd 11233 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9078, 89eqtr4d 2767 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
9190oveq2d 7417 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92 mulcl 11189 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9351, 55, 92sylancr 586 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94 mulcl 11189 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9579, 63, 94sylancr 586 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9693, 95, 88mulassd 11233 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9752, 55, 80, 63mul4d 11422 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
9853, 55, 57divcan2d 11988 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
9998oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
10052, 80, 53mul32d 11420 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
10199, 100eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
10297, 101eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103102oveq1d 7416 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
10491, 96, 1033eqtr2d 2770 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108106, 107eqtrid 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109108oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110109fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111110oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112105, 111oveq12d 7419 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113 ovex 7434 . . . . . . 7 ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114112, 32, 113fvmpt 6988 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115114adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
11687oveq2d 7417 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117104, 115, 1163eqtr4d 2774 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 15577 . . 3 (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119118mptru 1540 . 2 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
12030mulridi 11214 . 2 (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121119, 120breqtri 5163 1 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  cdif 3937  {csn 4620   class class class wbr 5138  cmpt 5221  ccom 5670  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   · cmul 11110   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  +crp 12970  cli 15424  sincsin 16003  πcpi 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-nei 22912  df-lp 22950  df-perf 22951  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-haus 23129  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-fil 23660  df-fm 23752  df-flim 23753  df-flf 23754  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138  df-cncf 24708  df-limc 25705  df-dv 25706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator