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Theorem circum 35283
Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1 𝐴 = ((2 Β· Ο€) / 𝑛)
circum.2 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
circum.3 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
circum 𝑃 ⇝ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅)
Distinct variable group:   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum
Dummy variables 𝑦 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12901 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12629 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 pirp 26414 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
4 nnrp 13023 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
5 rpdivcl 13037 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ+)
76rprene0d 13062 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 𝑛) β‰  0))
8 eldifsn 4793 . . . . . . . 8 ((Ο€ / 𝑛) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 𝑛) β‰  0))
97, 8sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
109adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
11 eqidd 2728 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)))
12 eqidd 2728 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
13 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑦 = (Ο€ / 𝑛) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = (Ο€ / 𝑛) β†’ 𝑦 = (Ο€ / 𝑛))
1513, 14oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑦 = (Ο€ / 𝑛) β†’ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))
1610, 11, 12, 15fmptco 7142 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))))
17 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))
1817, 9fmpti 7125 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)):β„•βŸΆ(ℝ βˆ– {0})
19 pire 26411 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
2019recni 11264 . . . . . . 7 Ο€ ∈ β„‚
21 divcnv 15837 . . . . . . 7 (Ο€ ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) ⇝ 0)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) ⇝ 0)
23 sinccvg 35282 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)):β„•βŸΆ(ℝ βˆ– {0}) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) ⇝ 0) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) ⇝ 1)
2418, 22, 23sylancr 585 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) ⇝ 1)
2516, 24eqbrtrrd 5174 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))) ⇝ 1)
26 2re 12322 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2726, 19remulcli 11266 . . . . . . 7 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
28 circum.3 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
2927, 28remulcli 11266 . . . . . 6 ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) ∈ ℝ
3029recni 11264 . . . . 5 ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) ∈ β„‚
3130a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) ∈ β„‚)
32 circum.2 . . . . . 6 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
33 nnex 12254 . . . . . . 7 β„• ∈ V
3433mptex 7239 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))))) ∈ V
3532, 34eqeltri 2824 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑃 ∈ V)
37 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦))
38 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3938resincld 16125 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (sinβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
40 eldifsni 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
4139, 38, 40redivcld 12078 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
4237, 41fmpti 7125 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)):(ℝ βˆ– {0})βŸΆβ„
43 fco 6750 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)):(ℝ βˆ– {0})βŸΆβ„ ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)):β„•βŸΆ(ℝ βˆ– {0})) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„)
4442, 18, 43mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„
4516mptru 1540 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))
4645feq1i 6716 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„ ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„)
4744, 46mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„
4847ffvelcdmi 7096 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4948adantl 480 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5049recnd 11278 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5126recni 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
54 nncn 12256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
56 nnne0 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
5756adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
5852, 53, 55, 57divassd 12061 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· Ο€) / π‘˜) = (2 Β· (Ο€ / π‘˜)))
5958oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2) = ((2 Β· (Ο€ / π‘˜)) / 2))
60 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
61 nndivre 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ)
6219, 60, 61sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ)
6362recnd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ β„‚)
64 2ne0 12352 . . . . . . . . . . . . . 14 2 β‰  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 β‰  0)
6663, 52, 65divcan3d 12031 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (Ο€ / π‘˜)) / 2) = (Ο€ / π‘˜))
6759, 66eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2) = (Ο€ / π‘˜))
6867fveq2d 6904 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)) = (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)))
6962resincld 16125 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) ∈ ℝ)
7069recnd 11278 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
71 nnrp 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
7271adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
73 rpdivcl 13037 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο€ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ+)
743, 72, 73sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ+)
7574rpne0d 13059 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) β‰  0)
7670, 63, 75divcan2d 12028 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)))
7768, 76eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)) = ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
7877oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))) = (𝑅 Β· ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
7928recni 11264 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ β„‚
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
81 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (Ο€ / 𝑛) = (Ο€ / π‘˜))
8281fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) = (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)))
8382, 81oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)) = ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))
84 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))
85 ovex 7457 . . . . . . . . . . . 12 ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 7008 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) = ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))
8786adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) = ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))
8887, 50eqeltrrd 2829 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
8980, 63, 88mulassd 11273 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = (𝑅 Β· ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
9078, 89eqtr4d 2770 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))) = ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
9190oveq2d 7440 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))) = ((2 Β· π‘˜) Β· ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
92 mulcl 11228 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
9351, 55, 92sylancr 585 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
94 mulcl 11228 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ β„‚ ∧ (Ο€ / π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
9579, 63, 94sylancr 585 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
9693, 95, 88mulassd 11273 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· π‘˜) Β· ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
9752, 55, 80, 63mul4d 11462 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· 𝑅) Β· (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜))))
9853, 55, 57divcan2d 12028 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜)) = Ο€)
9998oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑅) Β· (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· 𝑅) Β· Ο€))
10052, 80, 53mul32d 11460 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑅) Β· Ο€) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅))
10199, 100eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑅) Β· (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅))
10297, 101eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅))
103102oveq1d 7439 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
10491, 96, 1033eqtr2d 2773 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
105 oveq2 7432 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((2 Β· Ο€) / 𝑛)
107 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· Ο€) / 𝑛) = ((2 Β· Ο€) / π‘˜))
108106, 107eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ((2 Β· Ο€) / π‘˜))
109108oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 / 2) = (((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))
110109fveq2d 6904 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))
111110oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) = (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))))
112105, 111oveq12d 7442 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))) = ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))))
113 ovex 7457 . . . . . . 7 ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))) ∈ V
114112, 32, 113fvmpt 7008 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))))
115114adantl 480 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))))
11687oveq2d 7440 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜)) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
117104, 115, 1163eqtr4d 2777 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜)))
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 15619 . . 3 (⊀ β†’ 𝑃 ⇝ (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· 1))
119118mptru 1540 . 2 𝑃 ⇝ (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· 1)
12030mulridi 11254 . 2 (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· 1) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅)
121119, 120breqtri 5175 1 𝑃 ⇝ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944  {csn 4630   class class class wbr 5150   ↦ cmpt 5233   ∘ ccom 5684  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  β„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   Β· cmul 11149   / cdiv 11907  β„•cn 12248  2c2 12303  β„+crp 13012   ⇝ cli 15466  sincsin 16045  Ο€cpi 16048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
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