Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circum 33376
Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
circum 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Distinct variable group:   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum
Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12507 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12238 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 pirp 25383 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
4 nnrp 12627 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5 rpdivcl 12641 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
76rprene0d 12666 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8 eldifsn 4717 . . . . . . . 8 ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
97, 8sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
109adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11 eqidd 2740 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12 eqidd 2740 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13 fveq2 6739 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
1513, 14oveq12d 7253 . . . . . 6 (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
1610, 11, 12, 15fmptco 6966 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
1817, 9fmpti 6951 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19 pire 25380 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
2019recni 10877 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
21 divcnv 15450 . . . . . . 7 (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23 sinccvg 33375 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2418, 22, 23sylancr 590 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2516, 24eqbrtrrd 5094 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26 2re 11934 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2726, 19remulcli 10879 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
28 circum.3 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
2927, 28remulcli 10879 . . . . . 6 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
3029recni 10877 . . . . 5 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32 circum.2 . . . . . 6 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33 nnex 11866 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3433mptex 7061 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
3532, 34eqeltri 2836 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38 eldifi 4058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
3938resincld 15737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40 eldifsni 4720 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4139, 38, 40redivcld 11690 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
4237, 41fmpti 6951 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43 fco 6591 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4442, 18, 43mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4516mptru 1550 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
4645feq1i 6558 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4744, 46mpbi 233 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4847ffvelrni 6925 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
4948adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
5049recnd 10891 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5126recni 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54 nncn 11868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5554adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 nnne0 11894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5756adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5852, 53, 55, 57divassd 11673 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
5958oveq1d 7250 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nndivre 11901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6219, 60, 61sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6362recnd 10891 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64 2ne0 11964 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
6663, 52, 65divcan3d 11643 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
6759, 66eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
6867fveq2d 6743 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
6962resincld 15737 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
7069recnd 10891 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71 nnrp 12627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73 rpdivcl 12641 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
743, 72, 73sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
7574rpne0d 12663 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
7670, 63, 75divcan2d 11640 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
7768, 76eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
7877oveq2d 7251 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
7928recni 10877 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ ℂ
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81 oveq2 7243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
8281fveq2d 6743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
8382, 81oveq12d 7253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84 eqid 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85 ovex 7268 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6840 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8786adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8887, 50eqeltrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
8980, 63, 88mulassd 10886 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9078, 89eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
9190oveq2d 7251 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92 mulcl 10843 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9351, 55, 92sylancr 590 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94 mulcl 10843 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9579, 63, 94sylancr 590 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9693, 95, 88mulassd 10886 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9752, 55, 80, 63mul4d 11074 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
9853, 55, 57divcan2d 11640 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
9998oveq2d 7251 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
10052, 80, 53mul32d 11072 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
10199, 100eqtrd 2779 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
10297, 101eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103102oveq1d 7250 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
10491, 96, 1033eqtr2d 2785 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105 oveq2 7243 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107 oveq2 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108106, 107syl5eq 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109108oveq1d 7250 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110109fveq2d 6743 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111110oveq2d 7251 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112105, 111oveq12d 7253 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113 ovex 7268 . . . . . . 7 ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114112, 32, 113fvmpt 6840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115114adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
11687oveq2d 7251 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117104, 115, 1163eqtr4d 2789 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 15231 . . 3 (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119118mptru 1550 . 2 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
12030mulid1i 10867 . 2 (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121119, 120breqtri 5095 1 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1543  wtru 1544  wcel 2112  wne 2943  Vcvv 3423  cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  cmpt 5152  ccom 5573  wf 6397  cfv 6401  (class class class)co 7235  cc 10757  cr 10758  0cc0 10759  1c1 10760   · cmul 10764   / cdiv 11519  cn 11860  2c2 11915  +crp 12616  cli 15078  sincsin 15658  πcpi 15661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-inf2 9286  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836  ax-pre-sup 10837  ax-addf 10838  ax-mulf 10839
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-se 5528  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-isom 6410  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-of 7491  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-supp 7928  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-2o 8227  df-er 8415  df-map 8534  df-pm 8535  df-ixp 8603  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-fsupp 9016  df-fi 9057  df-sup 9088  df-inf 9089  df-oi 9156  df-card 9585  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-div 11520  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-4 11925  df-5 11926  df-6 11927  df-7 11928  df-8 11929  df-9 11930  df-n0 12121  df-z 12207  df-dec 12324  df-uz 12469  df-q 12575  df-rp 12617  df-xneg 12734  df-xadd 12735  df-xmul 12736  df-ioo 12969  df-ioc 12970  df-ico 12971  df-icc 12972  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-fl 13397  df-seq 13607  df-exp 13668  df-fac 13873  df-bc 13902  df-hash 13930  df-shft 14663  df-cj 14695  df-re 14696  df-im 14697  df-sqrt 14831  df-abs 14832  df-limsup 15065  df-clim 15082  df-rlim 15083  df-sum 15283  df-ef 15662  df-sin 15664  df-cos 15665  df-pi 15667  df-struct 16733  df-sets 16750  df-slot 16768  df-ndx 16778  df-base 16794  df-ress 16818  df-plusg 16848  df-mulr 16849  df-starv 16850  df-sca 16851  df-vsca 16852  df-ip 16853  df-tset 16854  df-ple 16855  df-ds 16857  df-unif 16858  df-hom 16859  df-cco 16860  df-rest 16960  df-topn 16961  df-0g 16979  df-gsum 16980  df-topgen 16981  df-pt 16982  df-prds 16985  df-xrs 17040  df-qtop 17045  df-imas 17046  df-xps 17048  df-mre 17122  df-mrc 17123  df-acs 17125  df-mgm 18147  df-sgrp 18196  df-mnd 18207  df-submnd 18252  df-mulg 18522  df-cntz 18744  df-cmn 19205  df-psmet 20388  df-xmet 20389  df-met 20390  df-bl 20391  df-mopn 20392  df-fbas 20393  df-fg 20394  df-cnfld 20397  df-top 21823  df-topon 21840  df-topsp 21862  df-bases 21875  df-cld 21948  df-ntr 21949  df-cls 21950  df-nei 22027  df-lp 22065  df-perf 22066  df-cn 22156  df-cnp 22157  df-haus 22244  df-tx 22491  df-hmeo 22684  df-fil 22775  df-fm 22867  df-flim 22868  df-flf 22869  df-xms 23250  df-ms 23251  df-tms 23252  df-cncf 23807  df-limc 24795  df-dv 24796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator