Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circum 35658
Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
circum 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Distinct variable group:   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum
Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12918 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12645 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 pirp 26517 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
4 nnrp 13043 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5 rpdivcl 13057 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
76rprene0d 13082 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
97, 8sylibr 234 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
109adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11 eqidd 2735 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12 eqidd 2735 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
1513, 14oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
1610, 11, 12, 15fmptco 7148 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
1817, 9fmpti 7131 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19 pire 26514 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
2019recni 11272 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
21 divcnv 15885 . . . . . . 7 (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23 sinccvg 35657 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2418, 22, 23sylancr 587 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2516, 24eqbrtrrd 5171 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26 2re 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2726, 19remulcli 11274 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
28 circum.3 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
2927, 28remulcli 11274 . . . . . 6 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
3029recni 11272 . . . . 5 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32 circum.2 . . . . . 6 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33 nnex 12269 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3433mptex 7242 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
3532, 34eqeltri 2834 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
3938resincld 16175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4139, 38, 40redivcld 12092 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
4237, 41fmpti 7131 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43 fco 6760 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4442, 18, 43mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4516mptru 1543 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
4645feq1i 6727 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4744, 46mpbi 230 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4847ffvelcdmi 7102 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
5049recnd 11286 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5126recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5852, 53, 55, 57divassd 12075 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
5958oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nndivre 12304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6219, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6362recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
6663, 52, 65divcan3d 12045 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
6759, 66eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
6867fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
6962resincld 16175 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
7069recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73 rpdivcl 13057 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
743, 72, 73sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
7574rpne0d 13079 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
7670, 63, 75divcan2d 12042 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
7768, 76eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
7877oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
7928recni 11272 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ ℂ
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
8281fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
8382, 81oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85 ovex 7463 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 7015 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8786adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8887, 50eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
8980, 63, 88mulassd 11281 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9078, 89eqtr4d 2777 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
9190oveq2d 7446 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92 mulcl 11236 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9351, 55, 92sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94 mulcl 11236 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9579, 63, 94sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9693, 95, 88mulassd 11281 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9752, 55, 80, 63mul4d 11470 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
9853, 55, 57divcan2d 12042 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
9998oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
10052, 80, 53mul32d 11468 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
10199, 100eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
10297, 101eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103102oveq1d 7445 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
10491, 96, 1033eqtr2d 2780 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108106, 107eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109108oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110109fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111110oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112105, 111oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113 ovex 7463 . . . . . . 7 ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114112, 32, 113fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115114adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
11687oveq2d 7446 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117104, 115, 1163eqtr4d 2784 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 15669 . . 3 (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119118mptru 1543 . 2 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
12030mulridi 11262 . 2 (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121119, 120breqtri 5172 1 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  +crp 13031  cli 15516  sincsin 16095  πcpi 16098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator