Theorem circum 34262

Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
circum.1	⊢ 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
circum	⊢ 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)

Distinct variable group:   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum

Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12806	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		pirp 25818	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
4		nnrp 12926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5		rpdivcl 12940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
7	6	rprene0d 12965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8		eldifsn 4747	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
15	13, 14	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
16	10, 11, 12, 15	fmptco 7075	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
18	17, 9	fmpti 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19		pire 25815	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
20	19	recni 11169	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
21		divcnv 15738	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23		sinccvg 34261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
24	18, 22, 23	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
25	16, 24	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26		2re 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	26, 19	remulcli 11171	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
28		circum.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
29	27, 28	remulcli 11171	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
30	29	recni 11169	. . . . 5 ⊢ ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32		circum.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33		nnex 12159	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
34	33	mptex 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
35	32, 34	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	resincld 16025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40		eldifsni 4750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
41	39, 38, 40	redivcld 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
42	37, 41	fmpti 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43		fco 6692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
44	42, 18, 43	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
45	16	mptru 1548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
46	45	feq1i 6659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
47	44, 46	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
48	47	ffvelcdmi 7034	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
49	48	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
51	26	recni 11169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54		nncn 12161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56		nnne0 12187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
58	52, 53, 55, 57	divassd 11966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
59	58	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61		nndivre 12194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
62	19, 60, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64		2ne0 12257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
66	63, 52, 65	divcan3d 11936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
67	59, 66	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
68	67	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
69	62	resincld 16025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71		nnrp 12926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73		rpdivcl 12940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
74	3, 72, 73	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
75	74	rpne0d 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
76	70, 63, 75	divcan2d 11933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
77	68, 76	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
78	77	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
79	28	recni 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
82	81	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
83	82, 81	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
86	83, 84, 85	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
88	87, 50	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
89	80, 63, 88	mulassd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
90	78, 89	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
91	90	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92		mulcl 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	51, 55, 92	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94		mulcl 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
95	79, 63, 94	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
96	93, 95, 88	mulassd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
97	52, 55, 80, 63	mul4d 11367	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
98	53, 55, 57	divcan2d 11933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
99	98	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
100	52, 80, 53	mul32d 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
101	99, 100	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
102	97, 101	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103	102	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
104	91, 96, 103	3eqtr2d 2782	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106		circum.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108	106, 107	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109	108	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110	109	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111	110	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112	105, 111	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114	112, 32, 113	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃‘𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115	114	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
116	87	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117	104, 115, 116	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
118	1, 2, 25, 31, 36, 50, 117	climmulc2 15519	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119	118	mptru 1548	. 2 ⊢ 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
120	30	mulid1i 11159	. 2 ⊢ (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121	119, 120	breqtri 5130	1 ⊢ 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915   ⇝ cli 15366  sincsin 15946  πcpi 15949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by: (None)