Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circum 35187
Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1 𝐴 = ((2 Β· Ο€) / 𝑛)
circum.2 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
circum.3 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
circum 𝑃 ⇝ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅)
Distinct variable group:   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum
Dummy variables 𝑦 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12866 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12594 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 pirp 26347 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
4 nnrp 12988 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
5 rpdivcl 13002 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ+)
76rprene0d 13027 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 𝑛) β‰  0))
8 eldifsn 4785 . . . . . . . 8 ((Ο€ / 𝑛) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((Ο€ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 𝑛) β‰  0))
97, 8sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
109adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Ο€ / 𝑛) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
11 eqidd 2727 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)))
12 eqidd 2727 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
13 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑦 = (Ο€ / 𝑛) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = (Ο€ / 𝑛) β†’ 𝑦 = (Ο€ / 𝑛))
1513, 14oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑦 = (Ο€ / 𝑛) β†’ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))
1610, 11, 12, 15fmptco 7122 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))
1817, 9fmpti 7106 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)):β„•βŸΆ(ℝ βˆ– {0})
19 pire 26344 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
2019recni 11229 . . . . . . 7 Ο€ ∈ β„‚
21 divcnv 15803 . . . . . . 7 (Ο€ ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) ⇝ 0)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) ⇝ 0)
23 sinccvg 35186 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)):β„•βŸΆ(ℝ βˆ– {0}) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)) ⇝ 0) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) ⇝ 1)
2418, 22, 23sylancr 586 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) ⇝ 1)
2516, 24eqbrtrrd 5165 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))) ⇝ 1)
26 2re 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2726, 19remulcli 11231 . . . . . . 7 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
28 circum.3 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
2927, 28remulcli 11231 . . . . . 6 ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) ∈ ℝ
3029recni 11229 . . . . 5 ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) ∈ β„‚
3130a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) ∈ β„‚)
32 circum.2 . . . . . 6 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
33 nnex 12219 . . . . . . 7 β„• ∈ V
3433mptex 7219 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))))) ∈ V
3532, 34eqeltri 2823 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑃 ∈ V)
37 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦))
38 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3938resincld 16091 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (sinβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
40 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
4139, 38, 40redivcld 12043 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
4237, 41fmpti 7106 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)):(ℝ βˆ– {0})βŸΆβ„
43 fco 6734 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)):(ℝ βˆ– {0})βŸΆβ„ ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛)):β„•βŸΆ(ℝ βˆ– {0})) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„)
4442, 18, 43mp2an 689 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„
4516mptru 1540 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))
4645feq1i 6701 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↦ ((sinβ€˜π‘¦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„ ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„)
4744, 46mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))):β„•βŸΆβ„
4847ffvelcdmi 7078 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5049recnd 11243 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5126recni 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
54 nncn 12221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
56 nnne0 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
5852, 53, 55, 57divassd 12026 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· Ο€) / π‘˜) = (2 Β· (Ο€ / π‘˜)))
5958oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2) = ((2 Β· (Ο€ / π‘˜)) / 2))
60 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
61 nndivre 12254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ)
6219, 60, 61sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ)
6362recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ β„‚)
64 2ne0 12317 . . . . . . . . . . . . . 14 2 β‰  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 2 β‰  0)
6663, 52, 65divcan3d 11996 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (Ο€ / π‘˜)) / 2) = (Ο€ / π‘˜))
6759, 66eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2) = (Ο€ / π‘˜))
6867fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)) = (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)))
6962resincld 16091 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) ∈ ℝ)
7069recnd 11243 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
71 nnrp 12988 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
73 rpdivcl 13002 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο€ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ+)
743, 72, 73sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) ∈ ℝ+)
7574rpne0d 13024 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€ / π‘˜) β‰  0)
7670, 63, 75divcan2d 11993 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)))
7768, 76eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)) = ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
7877oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))) = (𝑅 Β· ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
7928recni 11229 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ β„‚
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
81 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (Ο€ / 𝑛) = (Ο€ / π‘˜))
8281fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) = (sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)))
8382, 81oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)) = ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))
84 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))
85 ovex 7437 . . . . . . . . . . . 12 ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6991 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) = ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))
8786adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜) = ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))
8887, 50eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
8980, 63, 88mulassd 11238 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = (𝑅 Β· ((Ο€ / π‘˜) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
9078, 89eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))) = ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
9190oveq2d 7420 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))) = ((2 Β· π‘˜) Β· ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
92 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
9351, 55, 92sylancr 586 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
94 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ β„‚ ∧ (Ο€ / π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
9579, 63, 94sylancr 586 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) ∈ β„‚)
9693, 95, 88mulassd 11238 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· π‘˜) Β· ((𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜)) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜)))))
9752, 55, 80, 63mul4d 11427 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· 𝑅) Β· (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜))))
9853, 55, 57divcan2d 11993 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜)) = Ο€)
9998oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑅) Β· (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· 𝑅) Β· Ο€))
10052, 80, 53mul32d 11425 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑅) Β· Ο€) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅))
10199, 100eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑅) Β· (π‘˜ Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅))
10297, 101eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅))
103102oveq1d 7419 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (Ο€ / π‘˜))) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
10491, 96, 1033eqtr2d 2772 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
105 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((2 Β· Ο€) / 𝑛)
107 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· Ο€) / 𝑛) = ((2 Β· Ο€) / π‘˜))
108106, 107eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ((2 Β· Ο€) / π‘˜))
109108oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 / 2) = (((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))
110109fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))
111110oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) = (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2))))
112105, 111oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑛) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))) = ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))))
113 ovex 7437 . . . . . . 7 ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))) ∈ V
114112, 32, 113fvmpt 6991 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))))
115114adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = ((2 Β· π‘˜) Β· (𝑅 Β· (sinβ€˜(((2 Β· Ο€) / π‘˜) / 2)))))
11687oveq2d 7420 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜)) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((sinβ€˜(Ο€ / π‘˜)) / (Ο€ / π‘˜))))
117104, 115, 1163eqtr4d 2776 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(Ο€ / 𝑛)) / (Ο€ / 𝑛)))β€˜π‘˜)))
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 15585 . . 3 (⊀ β†’ 𝑃 ⇝ (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· 1))
119118mptru 1540 . 2 𝑃 ⇝ (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· 1)
12030mulridi 11219 . 2 (((2 Β· Ο€) Β· 𝑅) Β· 1) = ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅)
121119, 120breqtri 5166 1 𝑃 ⇝ ((2 Β· Ο€) Β· 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11872  β„•cn 12213  2c2 12268  β„+crp 12977   ⇝ cli 15432  sincsin 16011  Ο€cpi 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator