MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem1 24275
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyaddlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyaddlem.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.b (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plymullem1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑧,𝑘,𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10274 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 14717 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 14717 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 7116 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fveq2 6379 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
11 oveq2 6854 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧𝑚) = (𝑧𝑛))
1210, 11oveq12d 6864 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)))
1312oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
14 fveq2 6379 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝐵𝑚) = (𝐵‘(𝑛𝑘)))
15 oveq2 6854 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝑧𝑚) = (𝑧↑(𝑛𝑘)))
1614, 15oveq12d 6864 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛𝑘) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
1716oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
18 elfznn0 12645 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 expcl 13090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2322adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 10318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2518, 24sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
26 elfznn0 12645 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2827adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2928ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
30 expcl 13090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3130adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3229, 31mulcld 10318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3326, 32sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3425, 33anim12dan 612 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ))
35 mulcl 10277 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3713, 17, 36fsum0diag2 14813 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4039ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44 elfznn0 12645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4544adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4740, 43, 46addsubd 10671 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) = ((𝑀𝑘) + 𝑁))
48 fznn0sub 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
50 nn0uz 11927 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5149, 50syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0))
5241nn0zd 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 eluzadd 11920 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5551, 53, 54syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5647, 55eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5743addid2d 10495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5857fveq2d 6383 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
5956, 58eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁))
60 fzss2 12593 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6244, 24sylan2 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
6362adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
64 elfznn0 12645 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6564, 32sylan2 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6665adantlr 706 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6763, 66mulcld 10318 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
68 eldifn 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
6968adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
70 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73 peano2nn0 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7441, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7574, 50syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
76 uzsplit 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7850, 77syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
79 ax-1cn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
80 pncan 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8142, 79, 80sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8281oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
8382uneq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8478, 83eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8584ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8672, 85eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
87 elun 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8886, 87sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8988ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9127ffund 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Fun 𝐵)
92 ssun2 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9392, 78syl5sseqr 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
9427fdmd 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
9593, 94sseqtr4d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
96 funfvima2 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9791, 95, 96syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9897ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9990, 98mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
100 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
101100ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
10299, 101eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ {0})
103 elsni 4353 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑛) ∈ {0} → (𝐵𝑛) = 0)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) = 0)
105104oveq1d 6861 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = (0 · (𝑧𝑛)))
106 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
107106, 71, 30syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
108107mul02d 10492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑛)) = 0)
109105, 108eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = 0)
110109oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0))
11162adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
112111mul01d 10493 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0) = 0)
113110, 112eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
114 fzfid 12985 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
11561, 67, 113, 114fsumss 14755 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
116115sumeq2dv 14732 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
117 fzfid 12985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
118 fzfid 12985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
119117, 118, 62, 65fsum2mul 14819 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
12039, 42addcomd 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
12141, 50syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12238nn0zd 11732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
123 eluzadd 11920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
124121, 122, 123syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
12539addid2d 10495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
126125fveq2d 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
127124, 126eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
128120, 127eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
129 fzss2 12593 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
131130adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
13262adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
13333adantlr 706 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
134132, 133mulcld 10318 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
135114, 134fsumcl 14763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
136 eldifn 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
137136adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
138 eldifi 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
139138, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
141 peano2nn0 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14238, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143142, 50syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
144 uzsplit 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
14650, 145syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
147 pncan 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
14839, 79, 147sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
149148oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
150149uneq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
151146, 150eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
152151ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
153140, 152eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
154 elun 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
155153, 154sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
156155ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
157137, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
15819ffund 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Fun 𝐴)
159 ssun2 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
160159, 146syl5sseqr 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
16119fdmd 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
162160, 161sseqtr4d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
163 funfvima2 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
164158, 162, 163syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
165164ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
166157, 165mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
167 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
168167ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
169166, 168eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
170 elsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
172171oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
173139, 23sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
174173mul02d 10492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
175172, 174eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
176175adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
177176oveq1d 6861 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
17833adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
179178mul02d 10492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
180177, 179eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
181180sumeq2dv 14732 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0)
182 fzfid 12985 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
183182olcd 900 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin))
184 sumz 14752 . . . . . . . . 9 (((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
185183, 184syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
186181, 185eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
187 fzfid 12985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
188131, 135, 186, 187fsumss 14755 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
189116, 119, 1883eqtr3d 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
190 fzfid 12985 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (0...𝑛) ∈ Fin)
191 elfznn0 12645 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
192191, 31sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
193 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝜑)
194 elfznn0 12645 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19519ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
196193, 194, 195syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
197 fznn0sub 12585 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
19827ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
199193, 197, 198syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
200196, 199mulcld 10318 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ ℂ)
201190, 192, 200fsummulc1 14815 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
202 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℂ)
203202, 194, 22syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
204 expcl 13090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
205202, 197, 204syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
206196, 203, 199, 205mul4d 10506 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
207202adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑧 ∈ ℂ)
208197adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
209194adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
210207, 208, 209expaddd 13222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
211209nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
212191ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
213212nn0cnd 11604 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
214211, 213pncan3d 10653 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑘 + (𝑛𝑘)) = 𝑛)
215214oveq2d 6862 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
216210, 215eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
217216oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
218206, 217eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
219218sumeq2dv 14732 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
220201, 219eqtr4d 2802 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
221220sumeq2dv 14732 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
22237, 189, 2213eqtr4rd 2810 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
223 fveq2 6379 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
224 oveq2 6854 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑘))
225223, 224oveq12d 6864 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
226225cbvsumv 14725 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))
227226oveq2i 6857 . . . 4 𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
228222, 227syl6eq 2815 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
229228mpteq2dva 4905 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2309, 229eqtr4d 2802 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cdif 3731  cun 3732  wss 3734  {csn 4336  cmpt 4890  dom cdm 5279  cima 5282  Fun wfun 6064  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑓 cof 7097  Fincfn 8164  cc 10191  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  cmin 10524  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  ...cfz 12538  cexp 13072  Σcsu 14715  Polycply 24245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-sum 14716
This theorem is referenced by:  plymullem  24277  coemullem  24311
  Copyright terms: Public domain W3C validator