Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem1 24915
 Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plymullem1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑧,𝑘,𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10661 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 15097 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 15097 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 7429 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fveq2 6662 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
11 oveq2 7163 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧𝑚) = (𝑧𝑛))
1210, 11oveq12d 7173 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)))
1312oveq2d 7171 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
14 fveq2 6662 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝐵𝑚) = (𝐵‘(𝑛𝑘)))
15 oveq2 7163 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝑧𝑚) = (𝑧↑(𝑛𝑘)))
1614, 15oveq12d 7173 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛𝑘) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
1716oveq2d 7171 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
18 elfznn0 13054 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 expcl 13502 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2322adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 10704 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2518, 24sylan2 595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
26 elfznn0 13054 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2827adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2928ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
30 expcl 13502 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3229, 31mulcld 10704 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3326, 32sylan2 595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3425, 33anim12dan 621 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ))
35 mulcl 10664 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3713, 17, 36fsum0diag2 15191 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44 elfznn0 13054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4544adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4740, 43, 46addsubd 11061 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) = ((𝑀𝑘) + 𝑁))
48 fznn0sub 12993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
4948adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
50 nn0uz 12325 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5149, 50eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0))
5241nn0zd 12129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 eluzadd 12318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5551, 53, 54syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5647, 55eqeltrd 2852 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5743addid2d 10884 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5857fveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
5956, 58eleqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁))
60 fzss2 13001 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6244, 24sylan2 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
6362adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
64 elfznn0 13054 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6564, 32sylan2 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6665adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6763, 66mulcld 10704 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
68 eldifn 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
6968adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
70 eldifi 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73 peano2nn0 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7441, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7574, 50eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
76 uzsplit 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7850, 77syl5eq 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
79 ax-1cn 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
80 pncan 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8142, 79, 80sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8281oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
8382uneq1d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8478, 83eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8584ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8672, 85eleqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
87 elun 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8886, 87sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8988ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9127ffund 6506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Fun 𝐵)
92 ssun2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9392, 78sseqtrrid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
9427fdmd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
9593, 94sseqtrrd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
96 funfvima2 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9791, 95, 96syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9990, 98mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
100 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
101100ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
10299, 101eleqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ {0})
103 elsni 4542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑛) ∈ {0} → (𝐵𝑛) = 0)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) = 0)
105104oveq1d 7170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = (0 · (𝑧𝑛)))
106 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
107106, 71, 30syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
108107mul02d 10881 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑛)) = 0)
109105, 108eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = 0)
110109oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0))
11162adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
112111mul01d 10882 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0) = 0)
113110, 112eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
114 fzfid 13395 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
11561, 67, 113, 114fsumss 15135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
116115sumeq2dv 15113 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
117 fzfid 13395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
118 fzfid 13395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
119117, 118, 62, 65fsum2mul 15197 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
12039, 42addcomd 10885 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
12141, 50eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12238nn0zd 12129 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
123 eluzadd 12318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
124121, 122, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
12539addid2d 10884 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
126125fveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
127124, 126eleqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
128120, 127eqeltrd 2852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
129 fzss2 13001 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
131130adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
13262adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
13333adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
134132, 133mulcld 10704 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
135114, 134fsumcl 15143 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
136 eldifn 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
137136adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
138 eldifi 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
139138, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140139adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
141 peano2nn0 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14238, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143142, 50eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
144 uzsplit 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
14650, 145syl5eq 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
147 pncan 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
14839, 79, 147sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
149148oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
150149uneq1d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
151146, 150eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
153140, 152eleqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
154 elun 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
155153, 154sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
156155ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
157137, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
15819ffund 6506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Fun 𝐴)
159 ssun2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
160159, 146sseqtrrid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
16119fdmd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
162160, 161sseqtrrd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
163 funfvima2 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
164158, 162, 163syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
165164ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
166157, 165mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
167 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
168167ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
169166, 168eleqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
170 elsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
172171oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
173139, 23sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
174173mul02d 10881 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
175172, 174eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
176175adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
177176oveq1d 7170 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
17833adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
179178mul02d 10881 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
180177, 179eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
181180sumeq2dv 15113 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0)
182 fzfid 13395 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
183182olcd 871 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin))
184 sumz 15132 . . . . . . . . 9 (((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
185183, 184syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
186181, 185eqtrd 2793 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
187 fzfid 13395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
188131, 135, 186, 187fsumss 15135 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
189116, 119, 1883eqtr3d 2801 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
190 fzfid 13395 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (0...𝑛) ∈ Fin)
191 elfznn0 13054 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
192191, 31sylan2 595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
193 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝜑)
194 elfznn0 13054 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19519ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
196193, 194, 195syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
197 fznn0sub 12993 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
19827ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
199193, 197, 198syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
200196, 199mulcld 10704 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ ℂ)
201190, 192, 200fsummulc1 15193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
202 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℂ)
203202, 194, 22syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
204 expcl 13502 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
205202, 197, 204syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
206196, 203, 199, 205mul4d 10895 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
207202adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑧 ∈ ℂ)
208197adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
209194adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
210207, 208, 209expaddd 13567 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
211209nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
212191ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
213212nn0cnd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
214211, 213pncan3d 11043 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑘 + (𝑛𝑘)) = 𝑛)
215214oveq2d 7171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
216210, 215eqtr3d 2795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
217216oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
218206, 217eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
219218sumeq2dv 15113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
220201, 219eqtr4d 2796 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
221220sumeq2dv 15113 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
22237, 189, 2213eqtr4rd 2804 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
223 fveq2 6662 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
224 oveq2 7163 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑘))
225223, 224oveq12d 7173 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
226225cbvsumv 15106 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))
227226oveq2i 7166 . . . 4 𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
228222, 227eqtrdi 2809 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
229228mpteq2dva 5130 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2309, 229eqtr4d 2796 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  {csn 4525   ↦ cmpt 5115  dom cdm 5527   “ cima 5530  Fun wfun 6333  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∘f cof 7408  Fincfn 8532  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   − cmin 10913  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025  ℤ≥cuz 12287  ...cfz 12944  ↑cexp 13484  Σcsu 15095  Polycply 24885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-sum 15096 This theorem is referenced by:  plymullem  24917  coemullem  24951
 Copyright terms: Public domain W3C validator