MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem1 25710
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyaddlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyaddlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyaddlem.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.b (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plymullem1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑧,𝑘,𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 11187 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 15630 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 15630 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 7685 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
11 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧𝑚) = (𝑧𝑛))
1210, 11oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)))
1312oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
14 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝐵𝑚) = (𝐵‘(𝑛𝑘)))
15 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝑧𝑚) = (𝑧↑(𝑛𝑘)))
1614, 15oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛𝑘) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
1716oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
18 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 expcl 14041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2322adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2518, 24sylan2 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
26 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2928ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
30 expcl 14041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3229, 31mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3326, 32sylan2 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3425, 33anim12dan 620 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ))
35 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3713, 17, 36fsum0diag2 15725 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44 elfznn0 13590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4740, 43, 46addsubd 11588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) = ((𝑀𝑘) + 𝑁))
48 fznn0sub 13529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
50 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5149, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0))
5241nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 eluzadd 12847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5647, 55eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5743addlidd 11411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5857fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
5956, 58eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁))
60 fzss2 13537 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6244, 24sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
6362adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
64 elfznn0 13590 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6564, 32sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6665adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6763, 66mulcld 11230 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
68 eldifn 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
6968adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
70 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7441, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7574, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
76 uzsplit 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7850, 77eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
79 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
80 pncan 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8142, 79, 80sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8281oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
8382uneq1d 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8478, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8584ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8672, 85eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
87 elun 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8886, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8988ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9127ffund 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Fun 𝐵)
92 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9392, 78sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
9427fdmd 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
9593, 94sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
96 funfvima2 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9791, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9990, 98mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
100 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
101100ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
10299, 101eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ {0})
103 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑛) ∈ {0} → (𝐵𝑛) = 0)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) = 0)
105104oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = (0 · (𝑧𝑛)))
106 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
107106, 71, 30syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
108107mul02d 11408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑛)) = 0)
109105, 108eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = 0)
110109oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0))
11162adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
112111mul01d 11409 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0) = 0)
113110, 112eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
114 fzfid 13934 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
11561, 67, 113, 114fsumss 15667 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
116115sumeq2dv 15645 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
117 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
118 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
119117, 118, 62, 65fsum2mul 15731 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
12039, 42addcomd 11412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
12141, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12238nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
123 eluzadd 12847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
124121, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
12539addlidd 11411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
126125fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
127124, 126eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
128120, 127eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
129 fzss2 13537 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
131130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
13262adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
13333adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
134132, 133mulcld 11230 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
135114, 134fsumcl 15675 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
136 eldifn 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
137136adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
138 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
139138, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140139adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
141 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14238, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143142, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
144 uzsplit 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
14650, 145eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
147 pncan 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
14839, 79, 147sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
149148oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
150149uneq1d 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
151146, 150eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
153140, 152eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
154 elun 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
155153, 154sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
156155ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
157137, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
15819ffund 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Fun 𝐴)
159 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
160159, 146sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
16119fdmd 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
162160, 161sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
163 funfvima2 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
164158, 162, 163syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
165164ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
166157, 165mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
167 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
168167ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
169166, 168eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
170 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
172171oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
173139, 23sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
174173mul02d 11408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
175172, 174eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
176175adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
177176oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
17833adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
179178mul02d 11408 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
180177, 179eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
181180sumeq2dv 15645 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0)
182 fzfid 13934 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
183182olcd 873 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin))
184 sumz 15664 . . . . . . . . 9 (((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
185183, 184syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
186181, 185eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
187 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
188131, 135, 186, 187fsumss 15667 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
189116, 119, 1883eqtr3d 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
190 fzfid 13934 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (0...𝑛) ∈ Fin)
191 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
192191, 31sylan2 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
193 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝜑)
194 elfznn0 13590 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19519ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
196193, 194, 195syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
197 fznn0sub 13529 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
19827ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
199193, 197, 198syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
200196, 199mulcld 11230 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ ℂ)
201190, 192, 200fsummulc1 15727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
202 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℂ)
203202, 194, 22syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
204 expcl 14041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
205202, 197, 204syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
206196, 203, 199, 205mul4d 11422 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
207202adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑧 ∈ ℂ)
208197adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
209194adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
210207, 208, 209expaddd 14109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
211209nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
212191ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
213212nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
214211, 213pncan3d 11570 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑘 + (𝑛𝑘)) = 𝑛)
215214oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
216210, 215eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
217216oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
218206, 217eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
219218sumeq2dv 15645 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
220201, 219eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
221220sumeq2dv 15645 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
22237, 189, 2213eqtr4rd 2784 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
223 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
224 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑘))
225223, 224oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
226225cbvsumv 15638 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))
227226oveq2i 7415 . . . 4 𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
228222, 227eqtrdi 2789 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
229228mpteq2dva 5247 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2309, 229eqtr4d 2776 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  {csn 4627  cmpt 5230  dom cdm 5675  cima 5678  Fun wfun 6534  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  f cof 7663  Fincfn 8935  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  cexp 14023  Σcsu 15628  Polycply 25680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  plymullem  25712  coemullem  25746
  Copyright terms: Public domain W3C validator