MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmulcl 25265
Description: Closure of the group operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t · = (+g𝐺)
dchrmul.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrmul.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmulcl (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dchrmulcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrmul.t . . 3 · = (+g𝐺)
5 dchrmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
6 dchrmul.y . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrmul 25264 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋𝑓 · 𝑌))
8 mulcl 10273 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
98adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
10 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
111, 2, 3, 10, 5dchrf 25258 . . . 4 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
121, 2, 3, 10, 6dchrf 25258 . . . 4 (𝜑𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
13 fvexd 6390 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ V)
14 inidm 3982 . . . 4 ((Base‘𝑍) ∩ (Base‘𝑍)) = (Base‘𝑍)
159, 11, 12, 13, 13, 14off 7110 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑓 · 𝑌):(Base‘𝑍)⟶ℂ)
16 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
1710, 16unitcl 18926 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
1810, 16unitcl 18926 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))
1917, 18anim12i 606 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)))
201, 3dchrrcl 25256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
215, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
221, 2, 10, 16, 21, 3dchrelbas2 25253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))))
235, 22mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
2423simpld 488 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
25 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
2625, 10mgpbas 18762 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
27 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑍) = (.r𝑍)
2825, 27mgpplusg 18760 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
29 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
30 cnfldmul 20025 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
3129, 30mgpplusg 18760 . . . . . . . . . . . 12 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3226, 28, 31mhmlin 17608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
33323expb 1149 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
3424, 33sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
351, 2, 10, 16, 21, 3dchrelbas2 25253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)((𝑌𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))))
366, 35mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)((𝑌𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
3736simpld 488 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
3826, 28, 31mhmlin 17608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑌𝑥) · (𝑌𝑦)))
39383expb 1149 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑌𝑥) · (𝑌𝑦)))
4037, 39sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑌𝑥) · (𝑌𝑦)))
4134, 40oveq12d 6860 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) · (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = (((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) · ((𝑌𝑥) · (𝑌𝑦))))
4211ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
4342adantrr 708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
44 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))
45 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . 10 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
4611, 44, 45syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
4712ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑌𝑥) ∈ ℂ)
4847adantrr 708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑌𝑥) ∈ ℂ)
49 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . 10 ((𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑌𝑦) ∈ ℂ)
5012, 44, 49syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑌𝑦) ∈ ℂ)
5143, 46, 48, 50mul4d 10502 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) · ((𝑌𝑥) · (𝑌𝑦))) = (((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)) · ((𝑋𝑦) · (𝑌𝑦))))
5241, 51eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) · (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = (((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)) · ((𝑋𝑦) · (𝑌𝑦))))
5311ffnd 6224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
5453adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
5512ffnd 6224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 Fn (Base‘𝑍))
5655adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → 𝑌 Fn (Base‘𝑍))
57 fvexd 6390 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (Base‘𝑍) ∈ V)
5821nnnn0d 11598 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
592zncrng 20165 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
60 crngring 18825 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
6210, 27ringcl 18828 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ (Base‘𝑍))
63623expb 1149 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ (Base‘𝑍))
6461, 63sylan 575 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ (Base‘𝑍))
65 fnfvof 7109 . . . . . . . 8 (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ ((Base‘𝑍) ∈ V ∧ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) · (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))))
6654, 56, 57, 64, 65syl22anc 867 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) · (𝑌‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))))
6753adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
6855adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑌 Fn (Base‘𝑍))
69 fvexd 6390 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (Base‘𝑍) ∈ V)
70 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑍))
71 fnfvof 7109 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ ((Base‘𝑍) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)))
7267, 68, 69, 70, 71syl22anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)))
7372adantrr 708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)))
74 simprr 789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))
75 fnfvof 7109 . . . . . . . . 9 (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ ((Base‘𝑍) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦) = ((𝑋𝑦) · (𝑌𝑦)))
7654, 56, 57, 74, 75syl22anc 867 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦) = ((𝑋𝑦) · (𝑌𝑦)))
7773, 76oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) · ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦)) = (((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)) · ((𝑋𝑦) · (𝑌𝑦))))
7852, 66, 773eqtr4d 2809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) · ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦)))
7919, 78sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) · ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦)))
8079ralrimivva 3118 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) · ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦)))
81 eqid 2765 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
8210, 81ringidcl 18835 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ (Base‘𝑍))
8361, 82syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ (Base‘𝑍))
84 fnfvof 7109 . . . . . 6 (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ ((Base‘𝑍) ∈ V ∧ (1r𝑍) ∈ (Base‘𝑍))) → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(1r𝑍)) = ((𝑋‘(1r𝑍)) · (𝑌‘(1r𝑍))))
8553, 55, 13, 83, 84syl22anc 867 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(1r𝑍)) = ((𝑋‘(1r𝑍)) · (𝑌‘(1r𝑍))))
8625, 81ringidval 18770 . . . . . . . . 9 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
87 cnfld1 20044 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
8829, 87ringidval 18770 . . . . . . . . 9 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
8986, 88mhm0 17609 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9024, 89syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9186, 88mhm0 17609 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑌‘(1r𝑍)) = 1)
9237, 91syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌‘(1r𝑍)) = 1)
9390, 92oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋‘(1r𝑍)) · (𝑌‘(1r𝑍))) = (1 · 1))
94 1t1e1 11440 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
9593, 94syl6eq 2815 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋‘(1r𝑍)) · (𝑌‘(1r𝑍))) = 1)
9685, 95eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(1r𝑍)) = 1)
9772neeq1d 2996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)) ≠ 0))
9842, 47mulne0bd 10932 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑌𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝑋𝑥) · (𝑌𝑥)) ≠ 0))
9997, 98bitr4d 273 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑌𝑥) ≠ 0)))
10023simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
101100r19.21bi 3079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
102101adantrd 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑌𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10399, 102sylbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
104103ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10580, 96, 1043jca 1158 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) · ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦)) ∧ ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
1061, 2, 10, 16, 21, 3dchrelbas3 25254 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑓 · 𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋𝑓 · 𝑌):(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) · ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑦)) ∧ ((𝑋𝑓 · 𝑌)‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(((𝑋𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
10715, 105, 106mpbir2and 704 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑓 · 𝑌) ∈ 𝐷)
1087, 107eqeltrd 2844 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cn 11274  0cn0 11538  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  .rcmulr 16215   MndHom cmhm 17599  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815  Unitcui 18906  fldccnfld 20019  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-imas 16434  df-qus 16435  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-nsg 17856  df-eqg 17857  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zn 20128  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchrabl  25270  dchrinv  25277
  Copyright terms: Public domain W3C validator