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Theorem dchrmulcl 26613
Description: Closure of the group operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrmul.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmul.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrmulcl (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dchrmulcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 dchrmul.t . . 3 Β· = (+gβ€˜πΊ)
5 dchrmul.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
6 dchrmul.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrmul 26612 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 ∘f Β· π‘Œ))
8 mulcl 11142 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
98adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
10 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
111, 2, 3, 10, 5dchrf 26606 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
121, 2, 3, 10, 6dchrf 26606 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
13 fvexd 6862 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ V)
14 inidm 4183 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘) ∩ (Baseβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜π‘)
159, 11, 12, 13, 13, 14off 7640 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f Β· π‘Œ):(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
1710, 16unitcl 20095 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
1810, 16unitcl 20095 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))
1917, 18anim12i 614 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)))
201, 3dchrrcl 26604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
215, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
221, 2, 10, 16, 21, 3dchrelbas2 26601 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))))
235, 22mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
2423simpld 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
2625, 10mgpbas 19909 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
2825, 27mgpplusg 19907 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
30 cnfldmul 20818 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3129, 30mgpplusg 19907 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3226, 28, 31mhmlin 18616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
33323expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
3424, 33sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
351, 2, 10, 16, 21, 3dchrelbas2 26601 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)((π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))))
366, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)((π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
3736simpld 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
3826, 28, 31mhmlin 18616 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘Œβ€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))
39383expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘Œβ€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))
4037, 39sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘Œβ€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))
4134, 40oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) Β· (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = (((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) Β· ((π‘Œβ€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))))
4211ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4342adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
44 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))
45 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . 10 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
4611, 44, 45syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
4712ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4847adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
49 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
5012, 44, 49syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
5143, 46, 48, 50mul4d 11374 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) Β· ((π‘Œβ€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))) = (((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) Β· ((π‘‹β€˜π‘¦) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))))
5241, 51eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) Β· (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = (((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) Β· ((π‘‹β€˜π‘¦) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))))
5311ffnd 6674 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
5453adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
5512ffnd 6674 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
5655adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
57 fvexd 6862 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ V)
5821nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
592zncrng 20967 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
60 crngring 19983 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6210, 27ringcl 19988 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘))
63623expb 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘))
6461, 63sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘))
65 fnfvof 7639 . . . . . . . 8 (((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) ∧ ((Baseβ€˜π‘) ∈ V ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) Β· (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))))
6654, 56, 57, 64, 65syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) Β· (π‘Œβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))))
6753adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘))
6855adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘))
69 fvexd 6862 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ V)
70 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))
71 fnfvof 7639 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) ∧ ((Baseβ€˜π‘) ∈ V ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
7267, 68, 69, 70, 71syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
7372adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
74 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))
75 fnfvof 7639 . . . . . . . . 9 (((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) ∧ ((Baseβ€˜π‘) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦) = ((π‘‹β€˜π‘¦) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))
7654, 56, 57, 74, 75syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦) = ((π‘‹β€˜π‘¦) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))
7773, 76oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦)) = (((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) Β· ((π‘‹β€˜π‘¦) Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))))
7852, 66, 773eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦)))
7919, 78sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦)))
8079ralrimivva 3198 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦)))
81 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
8210, 81ringidcl 19996 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))
8361, 82syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))
84 fnfvof 7639 . . . . . 6 (((𝑋 Fn (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Œ Fn (Baseβ€˜π‘)) ∧ ((Baseβ€˜π‘) ∈ V ∧ (1rβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = ((π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) Β· (π‘Œβ€˜(1rβ€˜π‘))))
8553, 55, 13, 83, 84syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = ((π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) Β· (π‘Œβ€˜(1rβ€˜π‘))))
8625, 81ringidval 19922 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
87 cnfld1 20838 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
8829, 87ringidval 19922 . . . . . . . . 9 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
8986, 88mhm0 18617 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9024, 89syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9186, 88mhm0 18617 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘Œβ€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9237, 91syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9390, 92oveq12d 7380 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) Β· (π‘Œβ€˜(1rβ€˜π‘))) = (1 Β· 1))
94 1t1e1 12322 . . . . . 6 (1 Β· 1) = 1
9593, 94eqtrdi 2793 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) Β· (π‘Œβ€˜(1rβ€˜π‘))) = 1)
9685, 95eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9772neeq1d 3004 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) β‰  0))
9842, 47mulne0bd 11813 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) β‰  0))
9997, 98bitr4d 282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0)))
10023simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
101100r19.21bi 3237 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
102101adantrd 493 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10399, 102sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
104103ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10580, 96, 1043jca 1129 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦)) ∧ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
1061, 2, 10, 16, 21, 3dchrelbas3 26602 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ):(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘¦)) ∧ ((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(((𝑋 ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))))
10715, 105, 106mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f Β· π‘Œ) ∈ 𝐷)
1087, 107eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141   MndHom cmhm 18606  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  Unitcui 20075  β„‚fldccnfld 20812  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrabl  26618  dchrinv  26625
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