MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd2 18521
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odadd1.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
odadd1.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odadd2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 18222 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
433ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
54nn0zd 11730 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
61, 2odcl 18222 . . . . . . . 8 (𝐵𝑋 → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
763ad2ant3 1165 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
87nn0zd 11730 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐵) ∈ ℤ)
95, 8zmulcld 11738 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
109adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
11 dvds0 15285 . . . 4 (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ 0)
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ 0)
13 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0)
1413sq0id 13167 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = 0)
1514oveq2d 6860 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 0))
16 ablgrp 18467 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
17 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
181, 17grpcl 17700 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
1916, 18syl3an1 1202 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
201, 2odcl 18222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11730 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
2322adantr 472 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
2423zcnd 11733 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2524mul01d 10491 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 0) = 0)
2615, 25eqtrd 2799 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = 0)
2712, 26breqtrrd 4839 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
285adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
298adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∈ ℤ)
3028, 29gcdcld 15514 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11602 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℂ)
3231sqvald 13215 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
3332oveq2d 6860 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
34 gcddvds 15509 . . . . . . . . 9 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵)))
3528, 29, 34syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵)))
3635simpld 488 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴))
3730nn0zd 11730 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
38 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)
39 dvdsval2 15271 . . . . . . . 8 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4037, 38, 28, 39syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4136, 40mpbid 223 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
4241zcnd 11733 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℂ)
4335simprd 489 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵))
44 dvdsval2 15271 . . . . . . . 8 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4537, 38, 29, 44syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4643, 45mpbid 223 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
4746zcnd 11733 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℂ)
4842, 31, 47, 31mul4d 10504 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
4928zcnd 11733 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
5049, 31, 38divcan1d 11058 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (𝑂𝐴))
5129zcnd 11733 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∈ ℂ)
5251, 31, 38divcan1d 11058 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (𝑂𝐵))
5350, 52oveq12d 6862 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
5433, 48, 533eqtr2d 2805 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
5522adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
56 dvdsmul2 15292 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
5755, 28, 56syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
58 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Abel)
5955, 29zmulcld 11738 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
60 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐴𝑋)
61 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐵𝑋)
62 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g𝐺) = (.g𝐺)
631, 62, 17mulgdi 18501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵)))
6458, 59, 60, 61, 63syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵)))
65 dvdsmul2 15292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
6655, 29, 65syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
6758, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Grp)
68 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
691, 2, 62, 68oddvds 18233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
7067, 61, 59, 69syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
7166, 70mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺))
7271oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)))
7364, 72eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)))
74 dvdsmul1 15291 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
7555, 29, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
7619adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
771, 2, 62, 68oddvds 18233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
7867, 76, 59, 77syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
7975, 78mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺))
801, 62mulgcl 17828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
8167, 59, 60, 80syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
821, 17, 68grprid 17723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴))
8367, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴))
8473, 79, 833eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺))
851, 2, 62, 68oddvds 18233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
8667, 60, 59, 85syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
8784, 86mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
8855, 28zmulcld 11738 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
89 dvdsgcd 15545 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
9028, 88, 59, 89syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
9157, 87, 90mp2and 690 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))))
9221adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
93 mulgcd 15549 . . . . . . . . 9 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9492, 28, 29, 93syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9591, 94breqtrd 4837 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9650, 95eqbrtrd 4833 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
97 dvdsmulcr 15299 . . . . . . 7 ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
9841, 55, 37, 38, 97syl112anc 1493 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
9996, 98mpbid 223 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
1001, 62, 17mulgdi 18501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
10158, 88, 60, 61, 100syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
1021, 2, 62, 68oddvds 18233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
10367, 60, 88, 102syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
10457, 103mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺))
105104oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)) = ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
106101, 105eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
107 dvdsmul1 15291 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
10855, 28, 107syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
1091, 2, 62, 68oddvds 18233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
11067, 76, 88, 109syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
111108, 110mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺))
1121, 62mulgcl 17828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑋) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) ∈ 𝑋)
11367, 88, 61, 112syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) ∈ 𝑋)
1141, 17, 68grplid 17722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵))
11567, 113, 114syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵))
116106, 111, 1153eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺))
1171, 2, 62, 68oddvds 18233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
11867, 61, 88, 117syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
119116, 118mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
120 dvdsgcd 15545 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
12129, 88, 59, 120syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
122119, 66, 121mp2and 690 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))))
123122, 94breqtrd 4837 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
12452, 123eqbrtrd 4833 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
125 dvdsmulcr 15299 . . . . . . 7 ((((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)) → ((((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
12646, 55, 37, 38, 125syl112anc 1493 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
127124, 126mpbid 223 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
12841, 46gcdcld 15514 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℕ0)
129128nn0cnd 11602 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℂ)
130 1cnd 10290 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
13131mulid2d 10314 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (1 · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))
13250, 52oveq12d 6862 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))
133 mulgcdr 15551 . . . . . . . . 9 ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
13441, 46, 30, 133syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
135131, 132, 1343eqtr2rd 2806 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (1 · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
136129, 130, 31, 38, 135mulcan2ad 10919 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = 1)
137 coprmdvds2 15651 . . . . . 6 (((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = 1) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
13841, 46, 55, 136, 137syl31anc 1492 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
13999, 127, 138mp2and 690 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
14041, 46zmulcld 11738 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℤ)
141 zsqcl 13144 . . . . . 6 (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) ∈ ℤ)
14237, 141syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) ∈ ℤ)
143 dvdsmulc 15297 . . . . 5 (((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) ∈ ℤ) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2))))
144140, 55, 142, 143syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2))))
145139, 144mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
14654, 145eqbrtrrd 4835 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
14727, 146pm2.61dane 3024 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  0cc0 10191  1c1 10192   · cmul 10196   / cdiv 10940  2c2 11329  0cn0 11540  cz 11626  cexp 13070  cdvds 15268   gcd cgcd 15500  Basecbs 16133  +gcplusg 16217  0gc0g 16369  Grpcgrp 17692  .gcmg 17810  odcod 18211  Abelcabl 18463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-dvds 15269  df-gcd 15501  df-0g 16371  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-mulg 17811  df-od 18215  df-cmn 18464  df-abl 18465
This theorem is referenced by:  odadd  18522
  Copyright terms: Public domain W3C validator