MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd2 18459
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odadd1.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
odadd1.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odadd2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 18162 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
433ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
54nn0zd 11682 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
61, 2odcl 18162 . . . . . . . 8 (𝐵𝑋 → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
763ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
87nn0zd 11682 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐵) ∈ ℤ)
95, 8zmulcld 11690 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
109adantr 466 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
11 dvds0 15206 . . . 4 (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ 0)
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ 0)
13 simpr 471 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0)
1413sq0id 13164 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = 0)
1514oveq2d 6809 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 0))
16 ablgrp 18405 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
17 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
181, 17grpcl 17638 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
1916, 18syl3an1 1166 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
201, 2odcl 18162 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11682 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
2322adantr 466 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
2423zcnd 11685 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2524mul01d 10437 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 0) = 0)
2615, 25eqtrd 2805 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = 0)
2712, 26breqtrrd 4814 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
285adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
298adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∈ ℤ)
3028, 29gcdcld 15438 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11555 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℂ)
3231sqvald 13212 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
3332oveq2d 6809 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
34 gcddvds 15433 . . . . . . . . 9 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵)))
3528, 29, 34syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵)))
3635simpld 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴))
3730nn0zd 11682 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
38 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)
39 dvdsval2 15192 . . . . . . . 8 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4037, 38, 28, 39syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4136, 40mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
4241zcnd 11685 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℂ)
4335simprd 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵))
44 dvdsval2 15192 . . . . . . . 8 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4537, 38, 29, 44syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4643, 45mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
4746zcnd 11685 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℂ)
4842, 31, 47, 31mul4d 10450 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
4928zcnd 11685 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
5049, 31, 38divcan1d 11004 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (𝑂𝐴))
5129zcnd 11685 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∈ ℂ)
5251, 31, 38divcan1d 11004 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (𝑂𝐵))
5350, 52oveq12d 6811 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
5433, 48, 533eqtr2d 2811 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
5522adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
56 dvdsmul2 15213 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
5755, 28, 56syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
58 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Abel)
5955, 29zmulcld 11690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
60 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐴𝑋)
61 simpl3 1231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐵𝑋)
62 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g𝐺) = (.g𝐺)
631, 62, 17mulgdi 18439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵)))
6458, 59, 60, 61, 63syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵)))
65 dvdsmul2 15213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
6655, 29, 65syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
6758, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Grp)
68 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
691, 2, 62, 68oddvds 18173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
7067, 61, 59, 69syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
7166, 70mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺))
7271oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)))
7364, 72eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)))
74 dvdsmul1 15212 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
7555, 29, 74syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
7619adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
771, 2, 62, 68oddvds 18173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
7867, 76, 59, 77syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
7975, 78mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺))
801, 62mulgcl 17767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
8167, 59, 60, 80syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
821, 17, 68grprid 17661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴))
8367, 81, 82syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) + (0g𝐺)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴))
8473, 79, 833eqtr3rd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺))
851, 2, 62, 68oddvds 18173 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
8667, 60, 59, 85syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
8784, 86mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))
8855, 28zmulcld 11690 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
89 dvdsgcd 15469 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
9028, 88, 59, 89syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
9157, 87, 90mp2and 679 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))))
9221adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
93 mulgcd 15473 . . . . . . . . 9 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9492, 28, 29, 93syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9591, 94breqtrd 4812 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9650, 95eqbrtrd 4808 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
97 dvdsmulcr 15220 . . . . . . 7 ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
9841, 55, 37, 38, 97syl112anc 1480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
9996, 98mpbid 222 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
1001, 62, 17mulgdi 18439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
10158, 88, 60, 61, 100syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
1021, 2, 62, 68oddvds 18173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
10367, 60, 88, 102syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
10457, 103mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺))
105104oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)) = ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
106101, 105eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)))
107 dvdsmul1 15212 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
10855, 28, 107syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
1091, 2, 62, 68oddvds 18173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
11067, 76, 88, 109syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
111108, 110mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺))
1121, 62mulgcl 17767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑋) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) ∈ 𝑋)
11367, 88, 61, 112syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) ∈ 𝑋)
1141, 17, 68grplid 17660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵))
11567, 113, 114syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((0g𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵))
116106, 111, 1153eqtr3rd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺))
1171, 2, 62, 68oddvds 18173 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
11867, 61, 88, 117syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
119116, 118mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)))
120 dvdsgcd 15469 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
12129, 88, 59, 120syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) ∧ (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵)))))
122119, 66, 121mp2and 679 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂𝐵))))
123122, 94breqtrd 4812 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
12452, 123eqbrtrd 4808 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
125 dvdsmulcr 15220 . . . . . . 7 ((((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)) → ((((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
12646, 55, 37, 38, 125syl112anc 1480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
127124, 126mpbid 222 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
12841, 46gcdcld 15438 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℕ0)
129128nn0cnd 11555 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℂ)
130 1cnd 10258 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
13131mulid2d 10260 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (1 · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))
13250, 52oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))
133 mulgcdr 15475 . . . . . . . . 9 ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
13441, 46, 30, 133syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd (((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
135131, 132, 1343eqtr2rd 2812 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (1 · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
136129, 130, 31, 38, 135mulcan2ad 10865 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = 1)
137 coprmdvds2 15575 . . . . . 6 (((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) gcd ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) = 1) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
13841, 46, 55, 136, 137syl31anc 1479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
13999, 127, 138mp2and 679 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
14041, 46zmulcld 11690 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℤ)
141 zsqcl 13141 . . . . . 6 (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) ∈ ℤ)
14237, 141syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) ∈ ℤ)
143 dvdsmulc 15218 . . . . 5 (((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) ∈ ℤ) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2))))
144140, 55, 142, 143syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2))))
145139, 144mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
14654, 145eqbrtrrd 4810 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
14727, 146pm2.61dane 3030 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   / cdiv 10886  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cexp 13067  cdvds 15189   gcd cgcd 15424  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  .gcmg 17748  odcod 18151  Abelcabl 18401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-od 18155  df-cmn 18402  df-abl 18403
This theorem is referenced by:  odadd  18460
  Copyright terms: Public domain W3C validator