Theorem odadd2 19767

Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odadd1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odadd1.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odadd1.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odadd2	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)))

Proof of Theorem odadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odadd1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odadd1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3	1, 2	odcl 19454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
6	1, 2	odcl 19454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐵) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ)
9	5, 8	zmulcld 12673	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ)
11		dvds0 16220	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∥ 0)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∥ 0)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0)
14	13	sq0id 14161	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2) = 0)
15	14	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 0))
16		ablgrp 19703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
17		odadd1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18	1, 17	grpcl 18869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
19	16, 18	syl3an1 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
20	1, 2	odcl 19454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12668	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
25	24	mul01d 11414	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 0) = 0)
26	15, 25	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) = 0)
27	12, 26	breqtrrd 5169	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) = 0) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)))
28	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
29	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ)
30	28, 29	gcdcld 16454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	31	sqvald 14111	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2) = (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
33	32	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) = ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))))
34		gcddvds 16449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐵)))
35	28, 29, 34	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐵)))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐴))
37	30	nn0zd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ)
38		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0)
39		dvdsval2 16205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ))
40	37, 38, 28, 39	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ))
41	36, 40	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12668	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℂ)
43	35	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐵))
44		dvdsval2 16205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐵) ↔ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ))
45	37, 38, 29, 44	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∥ (𝑂‘𝐵) ↔ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ))
46	43, 45	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12668	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℂ)
48	42, 31, 47, 31	mul4d 11427	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))))
49	28	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
50	49, 31, 38	divcan1d 11992	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) = (𝑂‘𝐴))
51	29	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐵) ∈ ℂ)
52	51, 31, 38	divcan1d 11992	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) = (𝑂‘𝐵))
53	50, 52	oveq12d 7422	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)))
54	33, 48, 53	3eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) = ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)))
55	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
56		dvdsmul2 16227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)))
57	55, 28, 56	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)))
58		simpl1 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Abel)
59	55, 29	zmulcld 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ)
60		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
61		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → 𝐵 ∈ 𝑋)
62		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
63	1, 62, 17	mulgdi 19744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐵)))
64	58, 59, 60, 61, 63	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐵)))
65		dvdsmul2 16227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))
66	55, 29, 65	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))
67	58, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Grp)
68		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
69	1, 2, 62, 68	oddvds 19465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐵) = (0g‘𝐺)))
70	67, 61, 59, 69	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐵) = (0g‘𝐺)))
71	66, 70	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐵) = (0g‘𝐺))
72	71	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (0g‘𝐺)))
73	64, 72	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (0g‘𝐺)))
74		dvdsmul1 16226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))
75	55, 29, 74	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))
76	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
77	1, 2, 62, 68	oddvds 19465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
78	67, 76, 59, 77	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
79	75, 78	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g‘𝐺))
80	1, 62	mulgcl 19016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
81	67, 59, 60, 80	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
82	1, 17, 68	grprid 18896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑋) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (0g‘𝐺)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴))
83	67, 81, 82	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) + (0g‘𝐺)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴))
84	73, 79, 83	3eqtr3rd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺))
85	1, 2, 62, 68	oddvds 19465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
86	67, 60, 59, 85	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
87	84, 86	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))
88	55, 28	zmulcld 12673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
89		dvdsgcd 16491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))) → (𝑂‘𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))))
90	28, 88, 59, 89	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))) → (𝑂‘𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))))
91	57, 87, 90	mp2and 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))))
92	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
93		mulgcd 16495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
94	92, 28, 29, 93	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
95	91, 94	breqtrd 5167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
96	50, 95	eqbrtrd 5163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
97		dvdsmulcr 16234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0)) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ↔ ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
98	41, 55, 37, 38, 97	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ↔ ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
99	96, 98	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
100	1, 62, 17	mulgdi 19744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)))
101	58, 88, 60, 61, 100	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)))
102	1, 2, 62, 68	oddvds 19465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
103	67, 60, 88, 102	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
104	57, 103	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺))
105	104	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐴) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)) = ((0g‘𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)))
106	101, 105	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = ((0g‘𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)))
107		dvdsmul1 16226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)))
108	55, 28, 107	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)))
109	1, 2, 62, 68	oddvds 19465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
110	67, 76, 88, 109	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
111	108, 110	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g‘𝐺))
112	1, 62	mulgcl 19016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑋)
113	67, 88, 61, 112	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑋)
114	1, 17, 68	grplid 18895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵))
115	67, 113, 114	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((0g‘𝐺) + (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵)) = (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵))
116	106, 111, 115	3eqtr3rd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵) = (0g‘𝐺))
117	1, 2, 62, 68	oddvds 19465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵) = (0g‘𝐺)))
118	67, 61, 88, 117	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ↔ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴))(.g‘𝐺)𝐵) = (0g‘𝐺)))
119	116, 118	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)))
120		dvdsgcd 16491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))) → (𝑂‘𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))))
121	29, 88, 59, 120	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))) → (𝑂‘𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵)))))
122	119, 66, 121	mp2and 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐵) ∥ (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐴)) gcd ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (𝑂‘𝐵))))
123	122, 94	breqtrd 5167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐵) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
124	52, 123	eqbrtrd 5163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
125		dvdsmulcr 16234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0)) → ((((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ↔ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
126	46, 55, 37, 38, 125	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ↔ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
127	124, 126	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
128	41, 46	gcdcld 16454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∈ ℕ0)
129	128	nn0cnd 12535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∈ ℂ)
130		1cnd 11210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
131	31	mullidd 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (1 · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) = ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))
132	50, 52	oveq12d 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))
133		mulgcdr 16497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
134	41, 46, 30, 133	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd (((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
135	131, 132, 134	3eqtr2rd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) = (1 · ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))))
136	129, 130, 31, 38, 135	mulcan2ad 11851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = 1)
137		coprmdvds2 16596	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) gcd ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) = 1) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
138	41, 46, 55, 136, 137	syl31anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵))))
139	99, 127, 138	mp2and 696	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
140	41, 46	zmulcld 12673	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∈ ℤ)
141		zsqcl 14097	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ∈ ℤ → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2) ∈ ℤ)
142	37, 141	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2) ∈ ℤ)
143		dvdsmulc 16232	. . . . 5 ⊢ (((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2) ∈ ℤ) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2))))
144	140, 55, 142, 143	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2))))
145	139, 144	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂‘𝐴) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))) · ((𝑂‘𝐵) / ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)))) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)))
146	54, 145	eqbrtrrd 5165	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)))
147	27, 146	pm2.61dane 3023	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · (𝑂‘𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂‘𝐴) gcd (𝑂‘𝐵))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11872  2c2 12268  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ↑cexp 14030   ∥ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  0_gc0g 17392  Grpcgrp 18861  ._gcmg 18993  odcod 19442  Abelcabl 19699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-od 19446  df-cmn 19700  df-abl 19701

This theorem is referenced by:  odadd  19768