| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | hgt750leme.n |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 2 | 1 | nnnn0d 12587 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 3 | | 3nn0 12544 |
. . . . . 6
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℕ0) |
| 5 | | ssidd 4007 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ℕ ⊆
ℕ) |
| 6 | 2, 4, 5 | reprfi2 34638 |
. . . 4
⊢ (𝜑 →
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∈ Fin) |
| 7 | | diffi 9215 |
. . . 4
⊢
((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin →
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))
∈ Fin) |
| 8 | 6, 7 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))
∈ Fin) |
| 9 | | vmaf 27162 |
. . . . . . 7
⊢
Λ:ℕ⟶ℝ |
| 10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
| 11 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ℕ ⊆
ℕ) |
| 12 | 1 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 14 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 3 ∈
ℕ0) |
| 15 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) |
| 16 | 15 | eldifad 3963 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 17 | 11, 13, 14, 16 | reprf 34627 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ) |
| 18 | | c0ex 11255 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
V |
| 19 | 18 | tpid1 4768 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
{0, 1, 2} |
| 20 | | fzo0to3tp 13791 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0..^3) =
{0, 1, 2} |
| 21 | 19, 20 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
(0..^3) |
| 22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 0 ∈
(0..^3)) |
| 23 | 17, 22 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘0) ∈ ℕ) |
| 24 | 10, 23 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
(Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) |
| 25 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . 6
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 26 | | hgt750leme.h |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
| 27 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
| 28 | 27, 23 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈
(0[,)+∞)) |
| 29 | 25, 28 | sselid 3981 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) |
| 30 | 24, 29 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ) |
| 31 | | 1ex 11257 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
V |
| 32 | 31 | tpid2 4770 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
{0, 1, 2} |
| 33 | 32, 20 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
(0..^3) |
| 34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 1 ∈
(0..^3)) |
| 35 | 17, 34 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘1) ∈ ℕ) |
| 36 | 10, 35 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
(Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) |
| 37 | | hgt750leme.k |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
| 38 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
| 39 | 38, 35 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈
(0[,)+∞)) |
| 40 | 25, 39 | sselid 3981 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) |
| 41 | 36, 40 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ) |
| 42 | | 2ex 12343 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
V |
| 43 | 42 | tpid3 4773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
{0, 1, 2} |
| 44 | 43, 20 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
(0..^3) |
| 45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 2 ∈
(0..^3)) |
| 46 | 17, 45 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘2) ∈ ℕ) |
| 47 | 10, 46 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
(Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) |
| 48 | 38, 46 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈
(0[,)+∞)) |
| 49 | 25, 48 | sselid 3981 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) |
| 50 | 47, 49 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) |
| 51 | 41, 50 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
(((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
| 52 | 30, 51 | remulcld 11291 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 53 | 8, 52 | fsumrecl 15770 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 54 | | 3re 12346 |
. . . 4
⊢ 3 ∈
ℝ |
| 55 | 54 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
| 56 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 57 | | 0nn0 12541 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
| 58 | | 7nn0 12548 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 7 ∈
ℕ0 |
| 59 | | 9nn0 12550 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 9 ∈
ℕ0 |
| 60 | | 5nn0 12546 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 5 ∈
ℕ0 |
| 61 | | 5nn 12352 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 5 ∈
ℕ |
| 62 | | nnrp 13046 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (5 ∈
ℕ → 5 ∈ ℝ+) |
| 63 | 61, 62 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 5 ∈
ℝ+ |
| 64 | 60, 63 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ _55 ∈
ℝ+ |
| 65 | 59, 64 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ _9_55 ∈ ℝ+ |
| 66 | 59, 65 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ _9_9_55
∈ ℝ+ |
| 67 | 58, 66 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . . . 10
⊢ _7_9_9_55
∈ ℝ+ |
| 68 | 57, 67 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . . 9
⊢ _0_7_9_9_55
∈ ℝ+ |
| 69 | 56, 68 | rpdpcl 32885 |
. . . . . . . 8
⊢ (1._0_7_9_9_55)
∈ ℝ+ |
| 70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55)
∈ ℝ+) |
| 71 | 70 | rpred 13077 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55)
∈ ℝ) |
| 72 | 71 | resqcld 14165 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ) |
| 73 | | 4nn0 12545 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
| 74 | | 4nn 12349 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℕ |
| 75 | | nnrp 13046 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (4 ∈
ℕ → 4 ∈ ℝ+) |
| 76 | 74, 75 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℝ+ |
| 77 | 56, 76 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . . 9
⊢ _14 ∈
ℝ+ |
| 78 | 73, 77 | rpdp2cl 32864 |
. . . . . . . 8
⊢ _4_14 ∈ ℝ+ |
| 79 | 56, 78 | rpdpcl 32885 |
. . . . . . 7
⊢ (1._4_14) ∈ ℝ+ |
| 80 | 79 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1._4_14)
∈ ℝ+) |
| 81 | 80 | rpred 13077 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1._4_14)
∈ ℝ) |
| 82 | 72, 81 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
∈ ℝ) |
| 83 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘0) = (𝑐‘0)) |
| 84 | 83 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))) |
| 85 | 84 | notbid 318 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑑 = 𝑐 → (¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩
ℙ))) |
| 86 | 85 | cbvrabv 3447 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)} =
{𝑐 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑐‘0)
∈ (𝑂 ∩
ℙ)} |
| 87 | 86 | ssrab3 4082 |
. . . . . 6
⊢ {𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁) |
| 88 | | ssfi 9213 |
. . . . . 6
⊢
(((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆
(ℕ(repr‘3)𝑁))
→ {𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
∈ Fin) |
| 89 | 6, 87, 88 | sylancl 586 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈
Fin) |
| 90 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
| 91 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ
⊆ ℕ) |
| 92 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 93 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3
∈ ℕ0) |
| 94 | 87 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆
(ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 95 | 94 | sselda 3983 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 96 | 91, 92, 93, 95 | reprf 34627 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ) |
| 97 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0
∈ (0..^3)) |
| 98 | 96, 97 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈
ℕ) |
| 99 | 90, 98 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) →
(Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) |
| 100 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1
∈ (0..^3)) |
| 101 | 96, 100 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈
ℕ) |
| 102 | 90, 101 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) →
(Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) |
| 103 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2
∈ (0..^3)) |
| 104 | 96, 103 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈
ℕ) |
| 105 | 90, 104 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) →
(Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) |
| 106 | 102, 105 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) →
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈
ℝ) |
| 107 | 99, 106 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) →
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
| 108 | 89, 107 | fsumrecl 15770 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
| 109 | 82, 108 | remulcld 11291 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 110 | 55, 109 | remulcld 11291 |
. 2
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈
ℝ) |
| 111 | | 4re 12350 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 112 | | 8re 12362 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 8 ∈
ℝ |
| 113 | 111, 112 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) |
| 114 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((4
∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → _48 ∈ ℝ) |
| 115 | 113, 114 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢ _48 ∈ ℝ |
| 116 | 54, 115 | pm3.2i 470 |
. . . . . . 7
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ _48 ∈
ℝ) |
| 117 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . 7
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ _48 ∈
ℝ) → _3_48 ∈ ℝ) |
| 118 | 116, 117 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
⊢ _3_48 ∈ ℝ |
| 119 | | dpcl 32873 |
. . . . . 6
⊢ ((7
∈ ℕ0 ∧ _3_48
∈ ℝ) → (7._3_48) ∈ ℝ) |
| 120 | 58, 118, 119 | mp2an 692 |
. . . . 5
⊢ (7._3_48) ∈ ℝ |
| 121 | 120 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (7._3_48)
∈ ℝ) |
| 122 | 1 | nnrpd 13075 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 123 | 122 | relogcld 26665 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈
ℝ) |
| 124 | 1 | nnred 12281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 125 | 122 | rpge0d 13081 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 126 | 124, 125 | resqrtcld 15456 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈
ℝ) |
| 127 | 122 | rpsqrtcld 15450 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈
ℝ+) |
| 128 | 127 | rpne0d 13082 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0) |
| 129 | 123, 126,
128 | redivcld 12095 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈
ℝ) |
| 130 | 121, 129 | remulcld 11291 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁))) ∈
ℝ) |
| 131 | 124 | resqcld 14165 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ) |
| 132 | 130, 131 | remulcld 11291 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2)) ∈
ℝ) |
| 133 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 134 | | 7re 12359 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 7 ∈
ℝ |
| 135 | | 9re 12365 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 9 ∈
ℝ |
| 136 | | 5re 12353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 5 ∈
ℝ |
| 137 | 136, 136 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (5 ∈
ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) |
| 138 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((5
∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → _55 ∈ ℝ) |
| 139 | 137, 138 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ _55 ∈ ℝ |
| 140 | 135, 139 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (9 ∈
ℝ ∧ _55 ∈
ℝ) |
| 141 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((9
∈ ℝ ∧ _55 ∈
ℝ) → _9_55 ∈ ℝ) |
| 142 | 140, 141 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ _9_55 ∈ ℝ |
| 143 | 135, 142 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (9 ∈
ℝ ∧ _9_55 ∈ ℝ) |
| 144 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((9
∈ ℝ ∧ _9_55 ∈ ℝ) → _9_9_55
∈ ℝ) |
| 145 | 143, 144 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ _9_9_55
∈ ℝ |
| 146 | 134, 145 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (7 ∈
ℝ ∧ _9_9_55
∈ ℝ) |
| 147 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((7
∈ ℝ ∧ _9_9_55 ∈ ℝ) → _7_9_9_55
∈ ℝ) |
| 148 | 146, 147 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ _7_9_9_55
∈ ℝ |
| 149 | 133, 148 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (0 ∈
ℝ ∧ _7_9_9_55
∈ ℝ) |
| 150 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ _7_9_9_55
∈ ℝ) → _0_7_9_9_55
∈ ℝ) |
| 151 | 149, 150 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢ _0_7_9_9_55
∈ ℝ |
| 152 | | dpcl 32873 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((1
∈ ℕ0 ∧ _0_7_9_9_55
∈ ℝ) → (1._0_7_9_9_55)
∈ ℝ) |
| 153 | 56, 151, 152 | mp2an 692 |
. . . . . . . 8
⊢ (1._0_7_9_9_55)
∈ ℝ |
| 154 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55)
∈ ℝ) |
| 155 | 154 | resqcld 14165 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ) |
| 156 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 157 | 156, 111 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1 ∈
ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) |
| 158 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → _14 ∈ ℝ) |
| 159 | 157, 158 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢ _14 ∈ ℝ |
| 160 | 111, 159 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℝ ∧ _14 ∈
ℝ) |
| 161 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((4
∈ ℝ ∧ _14 ∈
ℝ) → _4_14 ∈ ℝ) |
| 162 | 160, 161 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢ _4_14 ∈ ℝ |
| 163 | | dpcl 32873 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1
∈ ℕ0 ∧ _4_14
∈ ℝ) → (1._4_14) ∈ ℝ) |
| 164 | 56, 162, 163 | mp2an 692 |
. . . . . . 7
⊢ (1._4_14) ∈ ℝ |
| 165 | 164 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1._4_14)
∈ ℝ) |
| 166 | 155, 165 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
∈ ℝ) |
| 167 | 36, 47 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈
ℝ) |
| 168 | 24, 167 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) →
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
| 169 | 8, 168 | fsumrecl 15770 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℝ) |
| 170 | 166, 169 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 171 | 55, 108 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
| 172 | 166, 171 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈
ℝ) |
| 173 | | hgt750leme.1 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55)) |
| 174 | | hgt750leme.2 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ (1._4_14)) |
| 175 | 8, 154, 165, 26, 37, 23, 35, 46, 173, 174 | hgt750lemf 34668 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) |
| 176 | | hgt750leme.o |
. . . . . 6
⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} |
| 177 | | 2re 12340 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 178 | 177 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
| 179 | | 10nn0 12751 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ;10 ∈
ℕ0 |
| 180 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 181 | 180, 58 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ;27 ∈
ℕ0 |
| 182 | 179, 181 | nn0expcli 14129 |
. . . . . . . . 9
⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0 |
| 183 | 182 | nn0rei 12537 |
. . . . . . . 8
⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ |
| 184 | 183 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ) |
| 185 | 179 | numexp1 17114 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (;10↑1) = ;10 |
| 186 | 179 | nn0rei 12537 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ;10 ∈ ℝ |
| 187 | 185, 186 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . 9
⊢ (;10↑1) ∈
ℝ |
| 188 | 187 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (;10↑1) ∈ ℝ) |
| 189 | | 1nn 12277 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℕ |
| 190 | | 2lt9 12471 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 <
9 |
| 191 | 177, 135,
190 | ltleii 11384 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ≤
9 |
| 192 | 189, 57, 180, 191 | declei 12769 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ≤
;10 |
| 193 | 192, 185 | breqtrri 5170 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ≤
(;10↑1) |
| 194 | 193 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (;10↑1)) |
| 195 | | 1z 12647 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
ℤ |
| 196 | 181 | nn0zi 12642 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ;27 ∈ ℤ |
| 197 | 186, 195,
196 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℤ ∧ ;27 ∈
ℤ) |
| 198 | | 1lt10 12872 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 <
;10 |
| 199 | 197, 198 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
∧ 1 < ;10) |
| 200 | | 2nn 12339 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 201 | | 1lt9 12472 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 <
9 |
| 202 | 156, 135,
201 | ltleii 11384 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ≤
9 |
| 203 | 200, 58, 56, 202 | declei 12769 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ≤
;27 |
| 204 | | leexp2 14211 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
∧ 1 < ;10) → (1 ≤
;27 ↔ (;10↑1) ≤ (;10↑;27))) |
| 205 | 204 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
∧ 1 < ;10) ∧ 1 ≤
;27) → (;10↑1) ≤ (;10↑;27)) |
| 206 | 199, 203,
205 | mp2an 692 |
. . . . . . . . 9
⊢ (;10↑1) ≤ (;10↑;27) |
| 207 | 206 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (;10↑1) ≤ (;10↑;27)) |
| 208 | 178, 188,
184, 194, 207 | letrd 11418 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (;10↑;27)) |
| 209 | | hgt750leme.0 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁) |
| 210 | 178, 184,
124, 208, 209 | letrd 11418 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁) |
| 211 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)),
((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})))) = (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)),
((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})))) |
| 212 | 176, 1, 210, 86, 211 | hgt750lema 34672 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 ·
Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) |
| 213 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 214 | 213 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
| 215 | 70, 214 | rpexpcld 14286 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈
ℝ+) |
| 216 | 215, 80 | rpmulcld 13093 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
∈ ℝ+) |
| 217 | 169, 171,
216 | lemul2d 13121 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 ·
Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ↔ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))))) |
| 218 | 212, 217 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
((ℕ(repr‘3)𝑁)
∖ ((𝑂 ∩
ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))))) |
| 219 | 53, 170, 172, 175, 218 | letrd 11418 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))))) |
| 220 | 154 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55)
∈ ℂ) |
| 221 | 220 | sqcld 14184 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℂ) |
| 222 | 165 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1._4_14)
∈ ℂ) |
| 223 | 221, 222 | mulcld 11281 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
∈ ℂ) |
| 224 | | 3cn 12347 |
. . . . 5
⊢ 3 ∈
ℂ |
| 225 | 224 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℂ) |
| 226 | 108 | recnd 11289 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ) |
| 227 | 223, 225,
226 | mul12d 11470 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) = (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))))) |
| 228 | 219, 227 | breqtrd 5169 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))))) |
| 229 | | fzfi 14013 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1...𝑁) ∈
Fin |
| 230 | | diffi 9215 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((1...𝑁) ∈ Fin
→ ((1...𝑁) ∖
ℙ) ∈ Fin) |
| 231 | 229, 230 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((1...𝑁) ∖
ℙ) ∈ Fin |
| 232 | | snfi 9083 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {2}
∈ Fin |
| 233 | | unfi 9211 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((1...𝑁) ∖
ℙ) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈
Fin) |
| 234 | 231, 232,
233 | mp2an 692 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((1...𝑁) ∖
ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin |
| 235 | 234 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈
Fin) |
| 236 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
| 237 | | fz1ssnn 13595 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...𝑁) ⊆
ℕ |
| 238 | 237 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ) |
| 239 | 238 | ssdifssd 4147 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆
ℕ) |
| 240 | 200 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℕ) |
| 241 | 240 | snssd 4809 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → {2} ⊆
ℕ) |
| 242 | 239, 241 | unssd 4192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆
ℕ) |
| 243 | 242 | sselda 3983 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 𝑖 ∈
ℕ) |
| 244 | 236, 243 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) →
(Λ‘𝑖) ∈
ℝ) |
| 245 | 235, 244 | fsumrecl 15770 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
∈ ℝ) |
| 246 | | chpvalz 34643 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(ψ‘𝑁) =
Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) |
| 247 | 12, 246 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) |
| 248 | | chpf 27166 |
. . . . . . . . . 10
⊢
ψ:ℝ⟶ℝ |
| 249 | 248 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
ψ:ℝ⟶ℝ) |
| 250 | 249, 124 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈
ℝ) |
| 251 | 247, 250 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℝ) |
| 252 | 245, 251 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ∈ ℝ) |
| 253 | 123, 252 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ∈ ℝ) |
| 254 | 82, 253 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ∈ ℝ) |
| 255 | 55, 254 | remulcld 11291 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ∈ ℝ) |
| 256 | 176, 1, 210, 86 | hgt750lemb 34671 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) |
| 257 | 108, 253,
216 | lemul2d 13121 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ↔ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))) |
| 258 | 256, 257 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) |
| 259 | | 3rp 13040 |
. . . . . 6
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
| 260 | 259 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ+) |
| 261 | 109, 254,
260 | lemul2d 13121 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ↔ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))) |
| 262 | 258, 261 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))) |
| 263 | | 6re 12356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 6 ∈
ℝ |
| 264 | 263, 54 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (6 ∈
ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) |
| 265 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((6
∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → _63 ∈ ℝ) |
| 266 | 264, 265 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ _63 ∈ ℝ |
| 267 | 177, 266 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2 ∈
ℝ ∧ _63 ∈
ℝ) |
| 268 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ _63 ∈
ℝ) → _2_63 ∈ ℝ) |
| 269 | 267, 268 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ _2_63 ∈ ℝ |
| 270 | 111, 269 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (4 ∈
ℝ ∧ _2_63 ∈ ℝ) |
| 271 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
∈ ℝ ∧ _2_63 ∈ ℝ) → _4_2_63
∈ ℝ) |
| 272 | 270, 271 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ _4_2_63
∈ ℝ |
| 273 | | dpcl 32873 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℕ0 ∧ _4_2_63
∈ ℝ) → (1._4_2_63) ∈ ℝ) |
| 274 | 56, 272, 273 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (1._4_2_63)
∈ ℝ |
| 275 | 274 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (1._4_2_63)
∈ ℝ) |
| 276 | 275, 126 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
∈ ℝ) |
| 277 | 112, 54 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (8 ∈
ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) |
| 278 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((8
∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → _83 ∈ ℝ) |
| 279 | 277, 278 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ _83 ∈ ℝ |
| 280 | 112, 279 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (8 ∈
ℝ ∧ _83 ∈
ℝ) |
| 281 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((8
∈ ℝ ∧ _83 ∈
ℝ) → _8_83 ∈ ℝ) |
| 282 | 280, 281 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ _8_83 ∈ ℝ |
| 283 | 54, 282 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ _8_83 ∈ ℝ) |
| 284 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ _8_83 ∈ ℝ) → _3_8_83
∈ ℝ) |
| 285 | 283, 284 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ _3_8_83
∈ ℝ |
| 286 | 133, 285 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (0 ∈
ℝ ∧ _3_8_83
∈ ℝ) |
| 287 | | dp2cl 32862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ _3_8_83 ∈ ℝ) → _0_3_8_83
∈ ℝ) |
| 288 | 286, 287 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ _0_3_8_83
∈ ℝ |
| 289 | | dpcl 32873 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℕ0 ∧ _0_3_8_83
∈ ℝ) → (1._0_3_8_83)
∈ ℝ) |
| 290 | 56, 288, 289 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (1._0_3_8_83)
∈ ℝ |
| 291 | 290 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (1._0_3_8_83)
∈ ℝ) |
| 292 | 291, 124 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((1._0_3_8_83)
· 𝑁) ∈
ℝ) |
| 293 | 276, 292 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)) ∈
ℝ) |
| 294 | 123, 293 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) ∈
ℝ) |
| 295 | 82, 294 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))) ∈
ℝ) |
| 296 | 55, 295 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) ∈
ℝ) |
| 297 | | vmage0 27164 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤
(Λ‘𝑖)) |
| 298 | 243, 297 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 0 ≤
(Λ‘𝑖)) |
| 299 | 235, 244,
298 | fsumge0 15831 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)) |
| 300 | 1, 209 | hgt750lemd 34663 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖) <
((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))) |
| 301 | | fzfid 14014 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin) |
| 302 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
| 303 | 238 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ) |
| 304 | 302, 303 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ) |
| 305 | | vmage0 27164 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤
(Λ‘𝑗)) |
| 306 | 303, 305 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (Λ‘𝑗)) |
| 307 | 301, 304,
306 | fsumge0 15831 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) |
| 308 | 1 | hgt750lemc 34662 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)) |
| 309 | 245, 276,
251, 292, 299, 300, 307, 308 | ltmul12ad 12209 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗)) < (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) |
| 310 | 252, 293,
309 | ltled 11409 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) |
| 311 | 156 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 312 | | 1lt2 12437 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 <
2 |
| 313 | 312 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 < 2) |
| 314 | 311, 178,
124, 313, 210 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁) |
| 315 | 124, 314 | rplogcld 26671 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈
ℝ+) |
| 316 | 252, 293,
315 | lemul2d 13121 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)) ↔
((log‘𝑁) ·
(Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) |
| 317 | 310, 316 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))) |
| 318 | 253, 294,
216 | lemul2d 13121 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪
{2})(Λ‘𝑖)
· Σ𝑗 ∈
(1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) ↔
((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))))) |
| 319 | 317, 318 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) |
| 320 | 254, 295,
260 | lemul2d 13121 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))) ↔ (3
· ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))))) |
| 321 | 319, 320 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))))) |
| 322 | 153 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ |
| 323 | 322, 164 | remulcli 11277 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
∈ ℝ |
| 324 | 274, 290 | remulcli 11277 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
∈ ℝ |
| 325 | 323, 324 | remulcli 11277 |
. . . . . . . 8
⊢
((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))
∈ ℝ |
| 326 | 54, 325 | remulcli 11277 |
. . . . . . 7
⊢ (3
· ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) ∈ ℝ |
| 327 | | hgt750lem2 34667 |
. . . . . . 7
⊢ (3
· ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) < (7._3_48) |
| 328 | 326, 120,
327 | ltleii 11384 |
. . . . . 6
⊢ (3
· ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) ≤ (7._3_48) |
| 329 | 326 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) ∈ ℝ) |
| 330 | 315, 127 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈
ℝ+) |
| 331 | 122, 214 | rpexpcld 14286 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈
ℝ+) |
| 332 | 330, 331 | rpmulcld 13093 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) ∈
ℝ+) |
| 333 | 329, 121,
332 | lemul1d 13120 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) ≤ (7._3_48)
↔ ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7._3_48)
· (((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)) ·
(𝑁↑2))))) |
| 334 | 328, 333 | mpbii 233 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7._3_48)
· (((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)) ·
(𝑁↑2)))) |
| 335 | 275 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1._4_2_63)
∈ ℂ) |
| 336 | 126 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈
ℂ) |
| 337 | 291 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1._0_3_8_83)
∈ ℂ) |
| 338 | 124 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 339 | 335, 336,
337, 338 | mul4d 11473 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)) = (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁))) |
| 340 | 339 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) =
((log‘𝑁) ·
(((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁)))) |
| 341 | 123 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈
ℂ) |
| 342 | 335, 337 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
∈ ℂ) |
| 343 | 336, 338 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 344 | 342, 343 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 345 | 341, 344 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁))) = ((((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁)) ·
(log‘𝑁))) |
| 346 | 340, 345 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) = ((((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁)) ·
(log‘𝑁))) |
| 347 | 342, 343,
341 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· ((√‘𝑁)
· 𝑁)) ·
(log‘𝑁)) = (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))) |
| 348 | 346, 347 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))) = (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))) |
| 349 | 348 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))) =
((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))) |
| 350 | 82 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
∈ ℂ) |
| 351 | 343, 341 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) |
| 352 | 350, 342,
351 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· (((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))) |
| 353 | 349, 352 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁)))) =
(((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))) |
| 354 | 353 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) = (3
· (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))) |
| 355 | 55 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℂ) |
| 356 | 350, 342 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))
∈ ℂ) |
| 357 | 355, 356,
351 | mulassd 11284 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = (3 · (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))
· (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))) |
| 358 | 354, 357 | eqtr4d 2780 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) = ((3
· ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))) |
| 359 | 131 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ) |
| 360 | 341, 336,
359, 128 | div32d 12066 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) = ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)))) |
| 361 | 359, 336,
128 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ) |
| 362 | 341, 361 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))) = (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁))) |
| 363 | 338 | sqvald 14183 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁)) |
| 364 | 363 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁))) |
| 365 | 338, 338,
336, 128 | divassd 12078 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁)))) |
| 366 | | divsqrtid 34609 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℝ+
→ (𝑁 /
(√‘𝑁)) =
(√‘𝑁)) |
| 367 | 122, 366 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁)) |
| 368 | 367 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))) = (𝑁 · (√‘𝑁))) |
| 369 | 364, 365,
368 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (√‘𝑁))) |
| 370 | 338, 336 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑁 · (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁)) |
| 371 | 369, 370 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁)) |
| 372 | 371 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) |
| 373 | 360, 362,
372 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) = (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) |
| 374 | 373 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))) |
| 375 | 358, 374 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) = ((3
· ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((1._4_2_63)
· (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))) |
| 376 | 121 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (7._3_48)
∈ ℂ) |
| 377 | 129 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈
ℂ) |
| 378 | 376, 377,
359 | mulassd 11284 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2)) =
((7._3_48) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))) |
| 379 | 334, 375,
378 | 3brtr4d 5175 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (((1._4_2_63)
· (√‘𝑁))
· ((1._0_3_8_83)
· 𝑁))))) ≤
(((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2))) |
| 380 | 255, 296,
132, 321, 379 | letrd 11418 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· ((log‘𝑁)
· (Σ𝑖 ∈
(((1...𝑁) ∖ ℙ)
∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2))) |
| 381 | 110, 255,
132, 262, 380 | letrd 11418 |
. 2
⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14))
· Σ𝑛 ∈
{𝑑 ∈
(ℕ(repr‘3)𝑁)
∣ ¬ (𝑑‘0)
∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2))) |
| 382 | 53, 110, 132, 228, 381 | letrd 11418 |
1
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7._3_48)
· ((log‘𝑁) /
(√‘𝑁)))
· (𝑁↑2))) |