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Theorem hgt750leme 31084
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750leme.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
hgt750leme.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750leme.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750leme.1 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
hgt750leme.2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
Assertion
Ref Expression
hgt750leme (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑂,𝑛,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐻(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑧,𝑛)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750leme
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt750leme.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11637 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 3nn0 11597 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5 ssidd 3832 . . . . 5 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
62, 4, 5reprfi2 31049 . . . 4 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
7 diffi 8441 . . . 4 ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
9 vmaf 25082 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → Λ:ℕ⟶ℝ)
11 ssidd 3832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ℕ ⊆ ℕ)
121nnzd 11767 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
143a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 3 ∈ ℕ0)
15 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
1615eldifad 3792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1711, 13, 14, 16reprf 31038 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
18 c0ex 10329 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1918tpid1 4505 . . . . . . . . 9 0 ∈ {0, 1, 2}
20 fzo0to3tp 12798 . . . . . . . . 9 (0..^3) = {0, 1, 2}
2119, 20eleqtrri 2895 . . . . . . . 8 0 ∈ (0..^3)
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 0 ∈ (0..^3))
2317, 22ffvelrnd 6592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2410, 23ffvelrnd 6592 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
25 rge0ssre 12520 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 hgt750leme.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
2726adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
2827, 23ffvelrnd 6592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
2925, 28sseldi 3807 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
3024, 29remulcld 10365 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
31 1ex 10331 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
3231tpid2 4506 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
3332, 20eleqtrri 2895 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0..^3)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 1 ∈ (0..^3))
3517, 34ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3610, 35ffvelrnd 6592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
37 hgt750leme.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
3837adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
3938, 35ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
4025, 39sseldi 3807 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
4136, 40remulcld 10365 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
42 2ex 11390 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4342tpid3 4508 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
4443, 20eleqtrri 2895 . . . . . . . . 9 2 ∈ (0..^3)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 2 ∈ (0..^3))
4617, 45ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
4710, 46ffvelrnd 6592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
4838, 46ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
4925, 48sseldi 3807 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
5047, 49remulcld 10365 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
5141, 50remulcld 10365 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
5230, 51remulcld 10365 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
538, 52fsumrecl 14708 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
54 3re 11393 . . . 4 3 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
56 1nn0 11595 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
57 0nn0 11594 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
58 7nn0 11601 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
59 9nn0 11603 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℕ0
60 5nn0 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
61 5nn 11401 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
62 nnrp 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℝ+)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ+
6460, 63rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . . 13 55 ∈ ℝ+
6559, 64rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . 12 955 ∈ ℝ+
6659, 65rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . 11 9955 ∈ ℝ+
6758, 66rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . 10 79955 ∈ ℝ+
6857, 67rpdp2cl 29938 . . . . . . . . 9 079955 ∈ ℝ+
6956, 68rpdpcl 29959 . . . . . . . 8 (1.079955) ∈ ℝ+
7069a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℝ+)
7170rpred 12106 . . . . . 6 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℝ)
7271resqcld 13278 . . . . 5 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℝ)
73 4nn0 11598 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
74 4nn 11397 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
75 nnrp 12076 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
7756, 76rpdp2cl 29938 . . . . . . . . 9 14 ∈ ℝ+
7873, 77rpdp2cl 29938 . . . . . . . 8 414 ∈ ℝ+
7956, 78rpdpcl 29959 . . . . . . 7 (1.414) ∈ ℝ+
8079a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1.414) ∈ ℝ+)
8180rpred 12106 . . . . 5 (𝜑 → (1.414) ∈ ℝ)
8272, 81remulcld 10365 . . . 4 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ)
83 fveq1 6417 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘0) = (𝑐‘0))
8483eleq1d 2881 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
8584notbid 309 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
8685cbvrabv 3400 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
8786ssrab3 3896 . . . . . 6 {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
88 ssfi 8429 . . . . . 6 (((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
896, 87, 88sylancl 576 . . . . 5 (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
909a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
91 ssidd 3832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
9212adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
933a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
9487a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
9594sselda 3809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
9691, 92, 93, 95reprf 31038 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
9721a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
9896, 97ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
9990, 98ffvelrnd 6592 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
10033a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
10196, 100ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
10290, 101ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
10344a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
10496, 103ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
10590, 104ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
106102, 105remulcld 10365 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
10799, 106remulcld 10365 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
10889, 107fsumrecl 14708 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
10982, 108remulcld 10365 . . 3 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
11055, 109remulcld 10365 . 2 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈ ℝ)
111 4re 11398 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
112 8re 11414 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ
113111, 112pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
114 dp2cl 29936 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 48 ∈ ℝ
11654, 115pm3.2i 458 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
117 dp2cl 29936 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
118116, 117ax-mp 5 . . . . . 6 348 ∈ ℝ
119 dpcl 29947 . . . . . 6 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
12058, 118, 119mp2an 675 . . . . 5 (7.348) ∈ ℝ
121120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (7.348) ∈ ℝ)
1221nnrpd 12104 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
123122relogcld 24606 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1241nnred 11332 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
125122rpge0d 12110 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
126124, 125resqrtcld 14399 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
127122rpsqrtcld 14393 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
128127rpne0d 12111 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
129123, 126, 128redivcld 11148 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
130121, 129remulcld 10365 . . 3 (𝜑 → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
131124resqcld 13278 . . 3 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
132130, 131remulcld 10365 . 2 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
133 0re 10337 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
134 7re 11410 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℝ
135 9re 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℝ
136 5re 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
137136, 136pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ)
138 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → 55 ∈ ℝ)
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 55 ∈ ℝ
140135, 139pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 ∈ ℝ ∧ 55 ∈ ℝ)
141 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ ∧ 55 ∈ ℝ) → 955 ∈ ℝ)
142140, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 955 ∈ ℝ
143135, 142pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℝ ∧ 955 ∈ ℝ)
144 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 ∈ ℝ ∧ 955 ∈ ℝ) → 9955 ∈ ℝ)
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 9955 ∈ ℝ
146134, 145pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (7 ∈ ℝ ∧ 9955 ∈ ℝ)
147 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . 12 ((7 ∈ ℝ ∧ 9955 ∈ ℝ) → 79955 ∈ ℝ)
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 79955 ∈ ℝ
149133, 148pm3.2i 458 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ ∧ 79955 ∈ ℝ)
150 dp2cl 29936 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 79955 ∈ ℝ) → 079955 ∈ ℝ)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . 9 079955 ∈ ℝ
152 dpcl 29947 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ0079955 ∈ ℝ) → (1.079955) ∈ ℝ)
15356, 151, 152mp2an 675 . . . . . . . 8 (1.079955) ∈ ℝ
154153a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℝ)
155154resqcld 13278 . . . . . 6 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℝ)
156 1re 10335 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
157156, 111pm3.2i 458 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
158 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → 14 ∈ ℝ)
159157, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℝ
160111, 159pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℝ)
161 dp2cl 29936 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℝ) → 414 ∈ ℝ)
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . 8 414 ∈ ℝ
163 dpcl 29947 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0414 ∈ ℝ) → (1.414) ∈ ℝ)
16456, 162, 163mp2an 675 . . . . . . 7 (1.414) ∈ ℝ
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1.414) ∈ ℝ)
166155, 165remulcld 10365 . . . . 5 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ)
16736, 47remulcld 10365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
16824, 167remulcld 10365 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
1698, 168fsumrecl 14708 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
170166, 169remulcld 10365 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
17155, 108remulcld 10365 . . . . 5 (𝜑 → (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
172166, 171remulcld 10365 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈ ℝ)
173 hgt750leme.1 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
174 hgt750leme.2 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
1758, 154, 165, 26, 37, 23, 35, 46, 173, 174hgt750lemf 31079 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
176 hgt750leme.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
177 2re 11387 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
179 10nn0 11797 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
180 2nn0 11596 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
181180, 58deccl 11794 . . . . . . . . . 10 27 ∈ ℕ0
182179, 181nn0expcli 13129 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℕ0
183182nn0rei 11590 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
184183a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
185179numexp1 16018 . . . . . . . . . 10 (10↑1) = 10
186179nn0rei 11590 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℝ
187185, 186eqeltri 2892 . . . . . . . . 9 (10↑1) ∈ ℝ
188187a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑1) ∈ ℝ)
189 1nn 11328 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
190 2lt9 11524 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
191177, 135, 190ltleii 10455 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
192189, 57, 180, 191declei 11815 . . . . . . . . . 10 2 ≤ 10
193192, 185breqtrri 4882 . . . . . . . . 9 2 ≤ (10↑1)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ (10↑1))
195 1z 11693 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
196181nn0zi 11688 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℤ
197186, 195, 1963pm3.2i 1431 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
198 1lt10 11918 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
199197, 198pm3.2i 458 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ 1 < 10)
200 2nn 11386 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
201 1lt9 11525 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
202156, 135, 201ltleii 10455 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
203200, 58, 56, 202declei 11815 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
204 leexp2 13158 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ 1 < 10) → (1 ≤ 27 ↔ (10↑1) ≤ (10↑27)))
205204biimpa 464 . . . . . . . . . 10 ((((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ 1 < 10) ∧ 1 ≤ 27) → (10↑1) ≤ (10↑27))
206199, 203, 205mp2an 675 . . . . . . . . 9 (10↑1) ≤ (10↑27)
207206a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑1) ≤ (10↑27))
208178, 188, 184, 194, 207letrd 10489 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≤ (10↑27))
209 hgt750leme.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
210178, 184, 124, 208, 209letrd 10489 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
211 eqid 2817 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})))) = (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
212176, 1, 210, 86, 211hgt750lema 31083 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
213 2z 11695 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
214213a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
21570, 214rpexpcld 13275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℝ+)
216215, 80rpmulcld 12122 . . . . . 6 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ+)
217169, 171, 216lemul2d 12150 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ↔ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))))
218212, 217mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
21953, 170, 172, 175, 218letrd 10489 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
220154recnd 10363 . . . . . 6 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℂ)
221220sqcld 13249 . . . . 5 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℂ)
222165recnd 10363 . . . . 5 (𝜑 → (1.414) ∈ ℂ)
223221, 222mulcld 10355 . . . 4 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℂ)
224 3cn 11394 . . . . 5 3 ∈ ℂ
225224a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
226108recnd 10363 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
227223, 225, 226mul12d 10540 . . 3 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) = (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
228219, 227breqtrd 4881 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
229 fzfi 13015 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ∈ Fin
230 diffi 8441 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin
232 snfi 8287 . . . . . . . . . 10 {2} ∈ Fin
233 unfi 8476 . . . . . . . . . 10 ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
234231, 232, 233mp2an 675 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
2369a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → Λ:ℕ⟶ℝ)
237 fz1ssnn 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
239238ssdifssd 3958 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
240200a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
241240snssd 4541 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {2} ⊆ ℕ)
242239, 241unssd 3999 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
243242sselda 3809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 𝑖 ∈ ℕ)
244236, 243ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
245235, 244fsumrecl 14708 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
246 chpvalz 31054 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
24712, 246syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
248 chpf 25086 . . . . . . . . . 10 ψ:ℝ⟶ℝ
249248a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ψ:ℝ⟶ℝ)
250249, 124ffvelrnd 6592 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
251247, 250eqeltrrd 2897 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
252245, 251remulcld 10365 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
253123, 252remulcld 10365 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ∈ ℝ)
25482, 253remulcld 10365 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ∈ ℝ)
25555, 254remulcld 10365 . . 3 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ∈ ℝ)
256176, 1, 210, 86hgt750lemb 31082 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
257108, 253, 216lemul2d 12150 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ↔ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))
258256, 257mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))
259 3rp 12072 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
260259a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
261109, 254, 260lemul2d 12150 . . . 4 (𝜑 → (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ↔ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))))
262258, 261mpbid 223 . . 3 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))
263 6re 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℝ
264263, 54pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
265 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → 63 ∈ ℝ)
266264, 265ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 63 ∈ ℝ
267177, 266pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 63 ∈ ℝ)
268 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 63 ∈ ℝ) → 263 ∈ ℝ)
269267, 268ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 263 ∈ ℝ
270111, 269pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ ∧ 263 ∈ ℝ)
271 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 263 ∈ ℝ) → 4263 ∈ ℝ)
272270, 271ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 4263 ∈ ℝ
273 dpcl 29947 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ04263 ∈ ℝ) → (1.4263) ∈ ℝ)
27456, 272, 273mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (1.4263) ∈ ℝ
275274a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1.4263) ∈ ℝ)
276275, 126remulcld 10365 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1.4263) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
277112, 54pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
278 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → 83 ∈ ℝ)
279277, 278ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 83 ∈ ℝ
280112, 279pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 ∈ ℝ ∧ 83 ∈ ℝ)
281 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((8 ∈ ℝ ∧ 83 ∈ ℝ) → 883 ∈ ℝ)
282280, 281ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 883 ∈ ℝ
28354, 282pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℝ ∧ 883 ∈ ℝ)
284 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 883 ∈ ℝ) → 3883 ∈ ℝ)
285283, 284ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 3883 ∈ ℝ
286133, 285pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ ∧ 3883 ∈ ℝ)
287 dp2cl 29936 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 3883 ∈ ℝ) → 03883 ∈ ℝ)
288286, 287ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 03883 ∈ ℝ
289 dpcl 29947 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ003883 ∈ ℝ) → (1.03883) ∈ ℝ)
29056, 288, 289mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (1.03883) ∈ ℝ
291290a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1.03883) ∈ ℝ)
292291, 124remulcld 10365 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1.03883) · 𝑁) ∈ ℝ)
293276, 292remulcld 10365 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)) ∈ ℝ)
294123, 293remulcld 10365 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) ∈ ℝ)
29582, 294remulcld 10365 . . . . 5 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) ∈ ℝ)
29655, 295remulcld 10365 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) ∈ ℝ)
297 vmage0 25084 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑖))
298243, 297syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 0 ≤ (Λ‘𝑖))
299235, 244, 298fsumge0 14769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖))
3001, 209hgt750lemd 31074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
301 fzfid 13016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
303238sselda 3809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
304302, 303ffvelrnd 6592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
305 vmage0 25084 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑗))
306303, 305syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (Λ‘𝑗))
307301, 304, 306fsumge0 14769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
3081hgt750lemc 31073 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1.03883) · 𝑁))
309245, 276, 251, 292, 299, 300, 307, 308ltmul12ad 11260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) < (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))
310252, 293, 309ltled 10480 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))
311156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
312 1lt2 11490 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
313312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
314311, 178, 124, 313, 210ltletrd 10492 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝑁)
315124, 314rplogcld 24612 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
316252, 293, 315lemul2d 12150 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)) ↔ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))))
317310, 316mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))
318253, 294, 216lemul2d 12150 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) ↔ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))))
319317, 318mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))))
320254, 295, 260lemul2d 12150 . . . . 5 (𝜑 → (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) ↔ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))))))
321319, 320mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))))
322153resqcli 13192 . . . . . . . . . 10 ((1.079955)↑2) ∈ ℝ
323322, 164remulcli 10351 . . . . . . . . 9 (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ
324274, 290remulcli 10351 . . . . . . . . 9 ((1.4263) · (1.03883)) ∈ ℝ
325323, 324remulcli 10351 . . . . . . . 8 ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) ∈ ℝ
32654, 325remulcli 10351 . . . . . . 7 (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ∈ ℝ
327 hgt750lem2 31078 . . . . . . 7 (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) < (7.348)
328326, 120, 327ltleii 10455 . . . . . 6 (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ≤ (7.348)
329326a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ∈ ℝ)
330315, 127rpdivcld 12123 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ+)
331122, 214rpexpcld 13275 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
332330, 331rpmulcld 12122 . . . . . . 7 (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ+)
333329, 121, 332lemul1d 12149 . . . . . 6 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ≤ (7.348) ↔ ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7.348) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))))
334328, 333mpbii 224 . . . . 5 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7.348) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
335275recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1.4263) ∈ ℂ)
336126recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
337291recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1.03883) ∈ ℂ)
338124recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
339335, 336, 337, 338mul4d 10543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)) = (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)))
340339oveq2d 6900 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) = ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁))))
341123recnd 10363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
342335, 337mulcld 10355 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1.4263) · (1.03883)) ∈ ℂ)
343336, 338mulcld 10355 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝑁) ∈ ℂ)
344342, 343mulcld 10355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) ∈ ℂ)
345341, 344mulcomd 10356 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁))) = ((((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)))
346340, 345eqtrd 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) = ((((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)))
347342, 343, 341mulassd 10358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
348346, 347eqtrd 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) = (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
349348oveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) = ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
35082recnd 10363 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℂ)
351343, 341mulcld 10355 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
352350, 342, 351mulassd 10358 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
353349, 352eqtr4d 2854 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) = (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
354353oveq2d 6900 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) = (3 · (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
35555recnd 10363 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
356350, 342mulcld 10355 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) ∈ ℂ)
357355, 356, 351mulassd 10358 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = (3 · (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
358354, 357eqtr4d 2854 . . . . . 6 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) = ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
359131recnd 10363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
360341, 336, 359, 128div32d 11119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) = ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))))
361359, 336, 128divcld 11096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ)
362341, 361mulcomd 10356 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))) = (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)))
363338sqvald 13248 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
364363oveq1d 6899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)))
365338, 338, 336, 128divassd 11131 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))))
366 divsqrtid 31020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁))
367122, 366syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁))
368367oveq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))) = (𝑁 · (√‘𝑁)))
369364, 365, 3683eqtrd 2855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (√‘𝑁)))
370338, 336mulcomd 10356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁))
371369, 370eqtrd 2851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁))
372371oveq1d 6899 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))
373360, 362, 3723eqtrrd 2856 . . . . . . 7 (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) = (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))
374373oveq2d 6900 . . . . . 6 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
375358, 374eqtrd 2851 . . . . 5 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) = ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
376121recnd 10363 . . . . . 6 (𝜑 → (7.348) ∈ ℂ)
377129recnd 10363 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ)
378376, 377, 359mulassd 10358 . . . . 5 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) = ((7.348) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
379334, 375, 3783brtr4d 4887 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
380255, 296, 132, 321, 379letrd 10489 . . 3 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
381110, 255, 132, 262, 380letrd 10489 . 2 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
38253, 110, 132, 228, 381letrd 10489 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  {crab 3111  cdif 3777  cun 3778  cin 3779  wss 3780  ifcif 4290  {csn 4381  {cpr 4383  {ctp 4385   class class class wbr 4855  cmpt 4934   I cid 5231  cres 5326  ccom 5328  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  Fincfn 8202  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   · cmul 10236  +∞cpnf 10366   < clt 10369  cle 10370   / cdiv 10979  cn 11315  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  0cn0 11579  cz 11663  cdc 11779  +crp 12066  [,)cico 12415  ...cfz 12569  ..^cfzo 12709  cexp 13103  csqrt 14216  Σcsu 14659  cdvds 15223  cprime 15623  pmTrspcpmtr 18082  logclog 24538  Λcvma 25055  ψcchp 25056  cdp2 29927  .cdp 29944  reprcrepr 31034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-reg 8746  ax-inf2 8795  ax-ac2 9580  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311  ax-ros335 31071  ax-ros336 31072
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-r1 8884  df-rank 8885  df-card 9058  df-ac 9232  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ioc 12418  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-fac 13301  df-bc 13330  df-hash 13358  df-shft 14050  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-limsup 14445  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-prod 14877  df-ef 15038  df-sin 15040  df-cos 15041  df-tan 15042  df-pi 15043  df-dvds 15224  df-gcd 15456  df-prm 15624  df-pc 15779  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-submnd 17561  df-mulg 17766  df-cntz 17971  df-pmtr 18083  df-cmn 18416  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-lp 21175  df-perf 21176  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-haus 21354  df-cmp 21425  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cncf 22915  df-limc 23867  df-dv 23868  df-ulm 24368  df-log 24540  df-atan 24831  df-cht 25060  df-vma 25061  df-chp 25062  df-dp2 29928  df-dp 29945  df-repr 31035
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