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Theorem hgt750leme 34635
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750leme.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
hgt750leme.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750leme.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750leme.1 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
hgt750leme.2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
Assertion
Ref Expression
hgt750leme (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑂,𝑛,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐻(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑧,𝑛)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750leme
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt750leme.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12613 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 3nn0 12571 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5 ssidd 4032 . . . . 5 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
62, 4, 5reprfi2 34600 . . . 4 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
7 diffi 9242 . . . 4 ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
9 vmaf 27180 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → Λ:ℕ⟶ℝ)
11 ssidd 4032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ℕ ⊆ ℕ)
121nnzd 12666 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
143a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 3 ∈ ℕ0)
15 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
1615eldifad 3988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1711, 13, 14, 16reprf 34589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
18 c0ex 11284 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1918tpid1 4793 . . . . . . . . 9 0 ∈ {0, 1, 2}
20 fzo0to3tp 13802 . . . . . . . . 9 (0..^3) = {0, 1, 2}
2119, 20eleqtrri 2843 . . . . . . . 8 0 ∈ (0..^3)
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 0 ∈ (0..^3))
2317, 22ffvelcdmd 7119 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2410, 23ffvelcdmd 7119 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
25 rge0ssre 13516 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 hgt750leme.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
2827, 23ffvelcdmd 7119 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
2925, 28sselid 4006 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
3024, 29remulcld 11320 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
31 1ex 11286 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
3231tpid2 4795 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
3332, 20eleqtrri 2843 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0..^3)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 1 ∈ (0..^3))
3517, 34ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3610, 35ffvelcdmd 7119 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
37 hgt750leme.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
3938, 35ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
4025, 39sselid 4006 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
4136, 40remulcld 11320 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
42 2ex 12370 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
4342tpid3 4798 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
4443, 20eleqtrri 2843 . . . . . . . . 9 2 ∈ (0..^3)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 2 ∈ (0..^3))
4617, 45ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
4710, 46ffvelcdmd 7119 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
4838, 46ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
4925, 48sselid 4006 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
5047, 49remulcld 11320 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
5141, 50remulcld 11320 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
5230, 51remulcld 11320 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
538, 52fsumrecl 15782 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
54 3re 12373 . . . 4 3 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
56 1nn0 12569 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
57 0nn0 12568 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
58 7nn0 12575 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
59 9nn0 12577 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℕ0
60 5nn0 12573 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
61 5nn 12379 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
62 nnrp 13068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℝ+)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ+
6460, 63rpdp2cl 32846 . . . . . . . . . . . . 13 55 ∈ ℝ+
6559, 64rpdp2cl 32846 . . . . . . . . . . . 12 955 ∈ ℝ+
6659, 65rpdp2cl 32846 . . . . . . . . . . 11 9955 ∈ ℝ+
6758, 66rpdp2cl 32846 . . . . . . . . . 10 79955 ∈ ℝ+
6857, 67rpdp2cl 32846 . . . . . . . . 9 079955 ∈ ℝ+
6956, 68rpdpcl 32867 . . . . . . . 8 (1.079955) ∈ ℝ+
7069a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℝ+)
7170rpred 13099 . . . . . 6 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℝ)
7271resqcld 14175 . . . . 5 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℝ)
73 4nn0 12572 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
74 4nn 12376 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
75 nnrp 13068 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
7756, 76rpdp2cl 32846 . . . . . . . . 9 14 ∈ ℝ+
7873, 77rpdp2cl 32846 . . . . . . . 8 414 ∈ ℝ+
7956, 78rpdpcl 32867 . . . . . . 7 (1.414) ∈ ℝ+
8079a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1.414) ∈ ℝ+)
8180rpred 13099 . . . . 5 (𝜑 → (1.414) ∈ ℝ)
8272, 81remulcld 11320 . . . 4 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ)
83 fveq1 6919 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘0) = (𝑐‘0))
8483eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
8584notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
8685cbvrabv 3454 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
8786ssrab3 4105 . . . . . 6 {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
88 ssfi 9240 . . . . . 6 (((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
896, 87, 88sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
909a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
91 ssidd 4032 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
9212adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
933a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ0)
9487a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
9594sselda 4008 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
9691, 92, 93, 95reprf 34589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
9721a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
9896, 97ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
9990, 98ffvelcdmd 7119 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
10033a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
10196, 100ffvelcdmd 7119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
10290, 101ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
10344a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
10496, 103ffvelcdmd 7119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
10590, 104ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
106102, 105remulcld 11320 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
10799, 106remulcld 11320 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
10889, 107fsumrecl 15782 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
10982, 108remulcld 11320 . . 3 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
11055, 109remulcld 11320 . 2 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈ ℝ)
111 4re 12377 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
112 8re 12389 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ
113111, 112pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
114 dp2cl 32844 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 48 ∈ ℝ
11654, 115pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
117 dp2cl 32844 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
118116, 117ax-mp 5 . . . . . 6 348 ∈ ℝ
119 dpcl 32855 . . . . . 6 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
12058, 118, 119mp2an 691 . . . . 5 (7.348) ∈ ℝ
121120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (7.348) ∈ ℝ)
1221nnrpd 13097 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
123122relogcld 26683 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1241nnred 12308 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
125122rpge0d 13103 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
126124, 125resqrtcld 15466 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
127122rpsqrtcld 15460 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
128127rpne0d 13104 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
129123, 126, 128redivcld 12122 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
130121, 129remulcld 11320 . . 3 (𝜑 → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
131124resqcld 14175 . . 3 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
132130, 131remulcld 11320 . 2 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
133 0re 11292 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
134 7re 12386 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℝ
135 9re 12392 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℝ
136 5re 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
137136, 136pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ)
138 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → 55 ∈ ℝ)
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 55 ∈ ℝ
140135, 139pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 ∈ ℝ ∧ 55 ∈ ℝ)
141 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ ∧ 55 ∈ ℝ) → 955 ∈ ℝ)
142140, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 955 ∈ ℝ
143135, 142pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℝ ∧ 955 ∈ ℝ)
144 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 ∈ ℝ ∧ 955 ∈ ℝ) → 9955 ∈ ℝ)
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 9955 ∈ ℝ
146134, 145pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (7 ∈ ℝ ∧ 9955 ∈ ℝ)
147 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . 12 ((7 ∈ ℝ ∧ 9955 ∈ ℝ) → 79955 ∈ ℝ)
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 79955 ∈ ℝ
149133, 148pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ ∧ 79955 ∈ ℝ)
150 dp2cl 32844 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 79955 ∈ ℝ) → 079955 ∈ ℝ)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . 9 079955 ∈ ℝ
152 dpcl 32855 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ0079955 ∈ ℝ) → (1.079955) ∈ ℝ)
15356, 151, 152mp2an 691 . . . . . . . 8 (1.079955) ∈ ℝ
154153a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℝ)
155154resqcld 14175 . . . . . 6 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℝ)
156 1re 11290 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
157156, 111pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
158 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → 14 ∈ ℝ)
159157, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℝ
160111, 159pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℝ)
161 dp2cl 32844 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℝ) → 414 ∈ ℝ)
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . 8 414 ∈ ℝ
163 dpcl 32855 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0414 ∈ ℝ) → (1.414) ∈ ℝ)
16456, 162, 163mp2an 691 . . . . . . 7 (1.414) ∈ ℝ
165164a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1.414) ∈ ℝ)
166155, 165remulcld 11320 . . . . 5 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ)
16736, 47remulcld 11320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
16824, 167remulcld 11320 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
1698, 168fsumrecl 15782 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
170166, 169remulcld 11320 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
17155, 108remulcld 11320 . . . . 5 (𝜑 → (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
172166, 171remulcld 11320 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈ ℝ)
173 hgt750leme.1 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ (1.079955))
174 hgt750leme.2 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ (1.414))
1758, 154, 165, 26, 37, 23, 35, 46, 173, 174hgt750lemf 34630 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
176 hgt750leme.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
177 2re 12367 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
179 10nn0 12776 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
180 2nn0 12570 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
181180, 58deccl 12773 . . . . . . . . . 10 27 ∈ ℕ0
182179, 181nn0expcli 14139 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℕ0
183182nn0rei 12564 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
184183a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
185179numexp1 17124 . . . . . . . . . 10 (10↑1) = 10
186179nn0rei 12564 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℝ
187185, 186eqeltri 2840 . . . . . . . . 9 (10↑1) ∈ ℝ
188187a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑1) ∈ ℝ)
189 1nn 12304 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
190 2lt9 12498 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
191177, 135, 190ltleii 11413 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
192189, 57, 180, 191declei 12794 . . . . . . . . . 10 2 ≤ 10
193192, 185breqtrri 5193 . . . . . . . . 9 2 ≤ (10↑1)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ (10↑1))
195 1z 12673 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
196181nn0zi 12668 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℤ
197186, 195, 1963pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
198 1lt10 12897 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
199197, 198pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ 1 < 10)
200 2nn 12366 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
201 1lt9 12499 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
202156, 135, 201ltleii 11413 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
203200, 58, 56, 202declei 12794 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
204 leexp2 14221 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ 1 < 10) → (1 ≤ 27 ↔ (10↑1) ≤ (10↑27)))
205204biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ 1 < 10) ∧ 1 ≤ 27) → (10↑1) ≤ (10↑27))
206199, 203, 205mp2an 691 . . . . . . . . 9 (10↑1) ≤ (10↑27)
207206a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑1) ≤ (10↑27))
208178, 188, 184, 194, 207letrd 11447 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≤ (10↑27))
209 hgt750leme.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
210178, 184, 124, 208, 209letrd 11447 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
211 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})))) = (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
212176, 1, 210, 86, 211hgt750lema 34634 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
213 2z 12675 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
214213a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
21570, 214rpexpcld 14296 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℝ+)
216215, 80rpmulcld 13115 . . . . . 6 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ+)
217169, 171, 216lemul2d 13143 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ↔ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))))
218212, 217mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
21953, 170, 172, 175, 218letrd 11447 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
220154recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑 → (1.079955) ∈ ℂ)
221220sqcld 14194 . . . . 5 (𝜑 → ((1.079955)↑2) ∈ ℂ)
222165recnd 11318 . . . . 5 (𝜑 → (1.414) ∈ ℂ)
223221, 222mulcld 11310 . . . 4 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℂ)
224 3cn 12374 . . . . 5 3 ∈ ℂ
225224a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
226108recnd 11318 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
227223, 225, 226mul12d 11499 . . 3 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) = (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
228219, 227breqtrd 5192 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
229 fzfi 14023 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ∈ Fin
230 diffi 9242 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin
232 snfi 9109 . . . . . . . . . 10 {2} ∈ Fin
233 unfi 9238 . . . . . . . . . 10 ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
234231, 232, 233mp2an 691 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin
235234a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
2369a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → Λ:ℕ⟶ℝ)
237 fz1ssnn 13615 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
239238ssdifssd 4170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
240200a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
241240snssd 4834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {2} ⊆ ℕ)
242239, 241unssd 4215 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
243242sselda 4008 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 𝑖 ∈ ℕ)
244236, 243ffvelcdmd 7119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
245235, 244fsumrecl 15782 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
246 chpvalz 34605 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
24712, 246syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
248 chpf 27184 . . . . . . . . . 10 ψ:ℝ⟶ℝ
249248a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ψ:ℝ⟶ℝ)
250249, 124ffvelcdmd 7119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
251247, 250eqeltrrd 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
252245, 251remulcld 11320 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
253123, 252remulcld 11320 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ∈ ℝ)
25482, 253remulcld 11320 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ∈ ℝ)
25555, 254remulcld 11320 . . 3 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ∈ ℝ)
256176, 1, 210, 86hgt750lemb 34633 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
257108, 253, 216lemul2d 13143 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ↔ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))
258256, 257mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))
259 3rp 13063 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
260259a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ+)
261109, 254, 260lemul2d 13143 . . . 4 (𝜑 → (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ↔ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))))
262258, 261mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))
263 6re 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℝ
264263, 54pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
265 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → 63 ∈ ℝ)
266264, 265ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 63 ∈ ℝ
267177, 266pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 63 ∈ ℝ)
268 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 63 ∈ ℝ) → 263 ∈ ℝ)
269267, 268ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 263 ∈ ℝ
270111, 269pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ ∧ 263 ∈ ℝ)
271 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 263 ∈ ℝ) → 4263 ∈ ℝ)
272270, 271ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 4263 ∈ ℝ
273 dpcl 32855 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ04263 ∈ ℝ) → (1.4263) ∈ ℝ)
27456, 272, 273mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (1.4263) ∈ ℝ
275274a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1.4263) ∈ ℝ)
276275, 126remulcld 11320 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1.4263) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
277112, 54pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
278 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → 83 ∈ ℝ)
279277, 278ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 83 ∈ ℝ
280112, 279pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 ∈ ℝ ∧ 83 ∈ ℝ)
281 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((8 ∈ ℝ ∧ 83 ∈ ℝ) → 883 ∈ ℝ)
282280, 281ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 883 ∈ ℝ
28354, 282pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℝ ∧ 883 ∈ ℝ)
284 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 883 ∈ ℝ) → 3883 ∈ ℝ)
285283, 284ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 3883 ∈ ℝ
286133, 285pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ ∧ 3883 ∈ ℝ)
287 dp2cl 32844 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 3883 ∈ ℝ) → 03883 ∈ ℝ)
288286, 287ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 03883 ∈ ℝ
289 dpcl 32855 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ003883 ∈ ℝ) → (1.03883) ∈ ℝ)
29056, 288, 289mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (1.03883) ∈ ℝ
291290a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1.03883) ∈ ℝ)
292291, 124remulcld 11320 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1.03883) · 𝑁) ∈ ℝ)
293276, 292remulcld 11320 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)) ∈ ℝ)
294123, 293remulcld 11320 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) ∈ ℝ)
29582, 294remulcld 11320 . . . . 5 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) ∈ ℝ)
29655, 295remulcld 11320 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) ∈ ℝ)
297 vmage0 27182 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑖))
298243, 297syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 0 ≤ (Λ‘𝑖))
299235, 244, 298fsumge0 15843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖))
3001, 209hgt750lemd 34625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
301 fzfid 14024 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
303238sselda 4008 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
304302, 303ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
305 vmage0 27182 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑗))
306303, 305syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (Λ‘𝑗))
307301, 304, 306fsumge0 15843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
3081hgt750lemc 34624 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1.03883) · 𝑁))
309245, 276, 251, 292, 299, 300, 307, 308ltmul12ad 12236 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) < (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))
310252, 293, 309ltled 11438 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))
311156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
312 1lt2 12464 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
313312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
314311, 178, 124, 313, 210ltletrd 11450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝑁)
315124, 314rplogcld 26689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
316252, 293, 315lemul2d 13143 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)) ↔ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))))
317310, 316mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))
318253, 294, 216lemul2d 13143 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) ↔ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))))
319317, 318mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))))
320254, 295, 260lemul2d 13143 . . . . 5 (𝜑 → (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) ↔ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))))))
321319, 320mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))))
322153resqcli 14235 . . . . . . . . . 10 ((1.079955)↑2) ∈ ℝ
323322, 164remulcli 11306 . . . . . . . . 9 (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℝ
324274, 290remulcli 11306 . . . . . . . . 9 ((1.4263) · (1.03883)) ∈ ℝ
325323, 324remulcli 11306 . . . . . . . 8 ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) ∈ ℝ
32654, 325remulcli 11306 . . . . . . 7 (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ∈ ℝ
327 hgt750lem2 34629 . . . . . . 7 (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) < (7.348)
328326, 120, 327ltleii 11413 . . . . . 6 (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ≤ (7.348)
329326a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ∈ ℝ)
330315, 127rpdivcld 13116 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ+)
331122, 214rpexpcld 14296 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
332330, 331rpmulcld 13115 . . . . . . 7 (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ+)
333329, 121, 332lemul1d 13142 . . . . . 6 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) ≤ (7.348) ↔ ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7.348) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))))
334328, 333mpbii 233 . . . . 5 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7.348) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
335275recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1.4263) ∈ ℂ)
336126recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
337291recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1.03883) ∈ ℂ)
338124recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
339335, 336, 337, 338mul4d 11502 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)) = (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)))
340339oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) = ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁))))
341123recnd 11318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
342335, 337mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1.4263) · (1.03883)) ∈ ℂ)
343336, 338mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝑁) ∈ ℂ)
344342, 343mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) ∈ ℂ)
345341, 344mulcomd 11311 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁))) = ((((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)))
346340, 345eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) = ((((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)))
347342, 343, 341mulassd 11313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((1.4263) · (1.03883)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
348346, 347eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))) = (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
349348oveq2d 7464 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) = ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
35082recnd 11318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1.079955)↑2) · (1.414)) ∈ ℂ)
351343, 341mulcld 11310 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
352350, 342, 351mulassd 11313 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · (((1.4263) · (1.03883)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
353349, 352eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁)))) = (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
354353oveq2d 7464 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) = (3 · (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
35555recnd 11318 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
356350, 342mulcld 11310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) ∈ ℂ)
357355, 356, 351mulassd 11313 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = (3 · (((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
358354, 357eqtr4d 2783 . . . . . 6 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) = ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
359131recnd 11318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
360341, 336, 359, 128div32d 12093 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) = ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))))
361359, 336, 128divcld 12070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ)
362341, 361mulcomd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))) = (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)))
363338sqvald 14193 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
364363oveq1d 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)))
365338, 338, 336, 128divassd 12105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))))
366 divsqrtid 34571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁))
367122, 366syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁))
368367oveq2d 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))) = (𝑁 · (√‘𝑁)))
369364, 365, 3683eqtrd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (√‘𝑁)))
370338, 336mulcomd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁))
371369, 370eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁))
372371oveq1d 7463 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))
373360, 362, 3723eqtrrd 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) = (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))
374373oveq2d 7464 . . . . . 6 (𝜑 → ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
375358, 374eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) = ((3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((1.4263) · (1.03883)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
376121recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑 → (7.348) ∈ ℂ)
377129recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ)
378376, 377, 359mulassd 11313 . . . . 5 (𝜑 → (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) = ((7.348) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
379334, 375, 3783brtr4d 5198 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (((1.4263) · (√‘𝑁)) · ((1.03883) · 𝑁))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
380255, 296, 132, 321, 379letrd 11447 . . 3 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
381110, 255, 132, 262, 380letrd 11447 . 2 (𝜑 → (3 · ((((1.079955)↑2) · (1.414)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
38253, 110, 132, 228, 381letrd 11447 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652   class class class wbr 5166  cmpt 5249   I cid 5592  cres 5702  ccom 5704  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  +∞cpnf 11321   < clt 11324  cle 11325   / cdiv 11947  cn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  0cn0 12553  cz 12639  cdc 12758  +crp 13057  [,)cico 13409  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  cexp 14112  csqrt 15282  Σcsu 15734  cdvds 16302  cprime 16718  pmTrspcpmtr 19483  logclog 26614  Λcvma 27153  ψcchp 27154  cdp2 32835  .cdp 32852  reprcrepr 34585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-ros335 34622  ax-ros336 34623
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-r1 9833  df-rank 9834  df-dju 9970  df-card 10008  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-pmtr 19484  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ulm 26438  df-log 26616  df-atan 26928  df-cht 27158  df-vma 27159  df-chp 27160  df-dp2 32836  df-dp 32853  df-repr 34586
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34637
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