hgt750leme - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem hgt750leme 32350

Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hgt750leme.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750leme.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
hgt750leme.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750leme.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750leme.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
hgt750leme.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ (1._4_14))

**Assertion**
Ref	Expression
hgt750leme	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))

Distinct variable groups: 𝑧,𝑂 𝑚,𝐻 𝑚,𝐾 𝑚,𝑁,𝑛 𝑚,𝑂,𝑛,𝑧 𝜑,𝑚,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝐻(𝑧,𝑛) 𝐾(𝑧,𝑛) 𝑁(𝑧)

Proof of Theorem hgt750leme Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750leme.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
3		3nn0 12108	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
5		ssidd 3924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
6	2, 4, 5	reprfi2 32315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
7		diffi 8906	. . . 4 ⊢ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)) ∈ Fin)
9		vmaf 26001	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → Λ:ℕ⟶ℝ)
11		ssidd 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ℕ ⊆ ℕ)
12	1	nnzd 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 3 ∈ ℕ₀)
15		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
16	15	eldifad 3878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
17	11, 13, 14, 16	reprf 32304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
18		c0ex 10827	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
19	18	tpid1 4684	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
20		fzo0to3tp 13328	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
21	19, 20	eleqtrri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 0 ∈ (0..^3))
23	17, 22	ffvelrnd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
24	10, 23	ffvelrnd 6905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
25		rge0ssre 13044	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26		hgt750leme.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
27	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
28	27, 23	ffvelrnd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
29	25, 28	sseldi 3899	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
30	24, 29	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
31		1ex 10829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
32	31	tpid2 4686	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
33	32, 20	eleqtrri 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 1 ∈ (0..^3))
35	17, 34	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
36	10, 35	ffvelrnd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
37		hgt750leme.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
38	37	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
39	38, 35	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
40	25, 39	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
41	36, 40	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
42		2ex 11907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
43	42	tpid3 4689	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
44	43, 20	eleqtrri 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → 2 ∈ (0..^3))
46	17, 45	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
47	10, 46	ffvelrnd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
48	38, 46	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
49	25, 48	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
50	47, 49	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
51	41, 50	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
52	30, 51	remulcld 10863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
53	8, 52	fsumrecl 15298	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
54		3re 11910	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
56		1nn0 12106	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
57		0nn0 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
58		7nn0 12112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
59		9nn0 12114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
60		5nn0 12110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
61		5nn 11916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
62		nnrp 12597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℝ⁺)
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ⁺
64	60, 63	rpdp2cl 30876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ _55 ∈ ℝ⁺
65	59, 64	rpdp2cl 30876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ _9_55 ∈ ℝ⁺
66	59, 65	rpdp2cl 30876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ _9_9_55 ∈ ℝ⁺
67	58, 66	rpdp2cl 30876	. . . . . . . . . 10 ⊢ _7_9_9_55 ∈ ℝ⁺
68	57, 67	rpdp2cl 30876	. . . . . . . . 9 ⊢ _0_7_9_9_55 ∈ ℝ⁺
69	56, 68	rpdpcl 30897	. . . . . . . 8 ⊢ (1._0_7_9_9_55) ∈ ℝ⁺
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55) ∈ ℝ⁺)
71	70	rpred 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55) ∈ ℝ)
72	71	resqcld 13817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ)
73		4nn0 12109	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
74		4nn 11913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
75		nnrp 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
77	56, 76	rpdp2cl 30876	. . . . . . . . 9 ⊢ _14 ∈ ℝ⁺
78	73, 77	rpdp2cl 30876	. . . . . . . 8 ⊢ _4_14 ∈ ℝ⁺
79	56, 78	rpdpcl 30897	. . . . . . 7 ⊢ (1._4_14) ∈ ℝ⁺
80	79	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1._4_14) ∈ ℝ⁺)
81	80	rpred 12628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1._4_14) ∈ ℝ)
82	72, 81	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) ∈ ℝ)
83		fveq1 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘0) = (𝑐‘0))
84	83	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
85	84	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ) ↔ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
86	85	cbvrabv 3402	. . . . . . 7 ⊢ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
87	86	ssrab3 3995	. . . . . 6 ⊢ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
88		ssfi 8851	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
89	6, 87, 88	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ∈ Fin)
90	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → Λ:ℕ⟶ℝ)
91		ssidd 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ℕ ⊆ ℕ)
92	12	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑁 ∈ ℤ)
93	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 3 ∈ ℕ₀)
94	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁))
95	94	sselda 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
96	91, 92, 93, 95	reprf 32304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
97	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 0 ∈ (0..^3))
98	96, 97	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
99	90, 98	ffvelrnd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
100	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 1 ∈ (0..^3))
101	96, 100	ffvelrnd 6905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
102	90, 101	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
103	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → 2 ∈ (0..^3))
104	96, 103	ffvelrnd 6905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
105	90, 104	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
106	102, 105	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
107	99, 106	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
108	89, 107	fsumrecl 15298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
109	82, 108	remulcld 10863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
110	55, 109	remulcld 10863	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈ ℝ)
111		4re 11914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
112		8re 11926	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ
113	111, 112	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
114		dp2cl 30874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → _48 ∈ ℝ)
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _48 ∈ ℝ
116	54, 115	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ _48 ∈ ℝ)
117		dp2cl 30874	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ _48 ∈ ℝ) → _3_48 ∈ ℝ)
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _3_48 ∈ ℝ
119		dpcl 30885	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℕ₀ ∧ _3_48 ∈ ℝ) → (7._3_48) ∈ ℝ)
120	58, 118, 119	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (7._3_48) ∈ ℝ
121	120	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7._3_48) ∈ ℝ)
122	1	nnrpd 12626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
123	122	relogcld 25511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
124	1	nnred 11845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
125	122	rpge0d 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
126	124, 125	resqrtcld 14981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
127	122	rpsqrtcld 14975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
128	127	rpne0d 12633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
129	123, 126, 128	redivcld 11660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
130	121, 129	remulcld 10863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
131	124	resqcld 13817	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ)
132	130, 131	remulcld 10863	. 2 ⊢ (𝜑 → (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
133		0re 10835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		7re 11923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℝ
135		9re 11929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℝ
136		5re 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 5 ∈ ℝ
137	136, 136	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ)
138		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → _55 ∈ ℝ)
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ _55 ∈ ℝ
140	135, 139	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ _55 ∈ ℝ)
141		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((9 ∈ ℝ ∧ _55 ∈ ℝ) → _9_55 ∈ ℝ)
142	140, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ _9_55 ∈ ℝ
143	135, 142	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ _9_55 ∈ ℝ)
144		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((9 ∈ ℝ ∧ _9_55 ∈ ℝ) → _9_9_55 ∈ ℝ)
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ _9_9_55 ∈ ℝ
146	134, 145	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ _9_9_55 ∈ ℝ)
147		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ _9_9_55 ∈ ℝ) → _7_9_9_55 ∈ ℝ)
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ _7_9_9_55 ∈ ℝ
149	133, 148	pm3.2i 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _7_9_9_55 ∈ ℝ)
150		dp2cl 30874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _7_9_9_55 ∈ ℝ) → _0_7_9_9_55 ∈ ℝ)
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ _0_7_9_9_55 ∈ ℝ
152		dpcl 30885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ _0_7_9_9_55 ∈ ℝ) → (1._0_7_9_9_55) ∈ ℝ)
153	56, 151, 152	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (1._0_7_9_9_55) ∈ ℝ
154	153	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55) ∈ ℝ)
155	154	resqcld 13817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ)
156		1re 10833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
157	156, 111	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
158		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → _14 ∈ ℝ)
159	157, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _14 ∈ ℝ
160	111, 159	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _14 ∈ ℝ)
161		dp2cl 30874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _14 ∈ ℝ) → _4_14 ∈ ℝ)
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _4_14 ∈ ℝ
163		dpcl 30885	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ _4_14 ∈ ℝ) → (1._4_14) ∈ ℝ)
164	56, 162, 163	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1._4_14) ∈ ℝ
165	164	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1._4_14) ∈ ℝ)
166	155, 165	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) ∈ ℝ)
167	36, 47	remulcld 10863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
168	24, 167	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
169	8, 168	fsumrecl 15298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
170	166, 169	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
171	55, 108	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
172	166, 171	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ∈ ℝ)
173		hgt750leme.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
174		hgt750leme.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ (1._4_14))
175	8, 154, 165, 26, 37, 23, 35, 46, 173, 174	hgt750lemf 32345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
176		hgt750leme.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
177		2re 11904	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
178	177	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
179		10nn0 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 ∈ ℕ₀
180		2nn0 12107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
181	180, 58	deccl 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℕ₀
182	179, 181	nn0expcli 13661	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ₀
183	182	nn0rei 12101	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
184	183	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
185	179	numexp1 16630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑1) = ;10
186	179	nn0rei 12101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 ∈ ℝ
187	185, 186	eqeltri 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑1) ∈ ℝ
188	187	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑1) ∈ ℝ)
189		1nn 11841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
190		2lt9 12035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
191	177, 135, 190	ltleii 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
192	189, 57, 180, 191	declei 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ ;10
193	192, 185	breqtrri 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ (;10↑1)
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (;10↑1))
195		1z 12207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
196	181	nn0zi 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
197	186, 195, 196	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
198		1lt10 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
199	197, 198	pm3.2i 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ 1 < ;10)
200		2nn 11903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
201		1lt9 12036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 9
202	156, 135, 201	ltleii 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 9
203	200, 58, 56, 202	declei 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ ;27
204		leexp2 13741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ 1 < ;10) → (1 ≤ ;27 ↔ (;10↑1) ≤ (;10↑;27)))
205	204	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((;10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ 1 < ;10) ∧ 1 ≤ ;27) → (;10↑1) ≤ (;10↑;27))
206	199, 203, 205	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑1) ≤ (;10↑;27)
207	206	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑1) ≤ (;10↑;27))
208	178, 188, 184, 194, 207	letrd 10989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (;10↑;27))
209		hgt750leme.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
210	178, 184, 124, 208, 209	letrd 10989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
211		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0})))) = (𝑒 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘𝑎) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ↦ (𝑒 ∘ if(𝑎 = 0, ( I ↾ (0..^3)), ((pmTrsp‘(0..^3))‘{𝑎, 0}))))
212	176, 1, 210, 86, 211	hgt750lema 32349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
213		2z 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
214	213	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
215	70, 214	rpexpcld 13814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ⁺)
216	215, 80	rpmulcld 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) ∈ ℝ⁺)
217	169, 171, 216	lemul2d 12672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ↔ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))))
218	212, 217	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
219	53, 170, 172, 175, 218	letrd 10989	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
220	154	recnd 10861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1._0_7_9_9_55) ∈ ℂ)
221	220	sqcld 13714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℂ)
222	165	recnd 10861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1._4_14) ∈ ℂ)
223	221, 222	mulcld 10853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) ∈ ℂ)
224		3cn 11911	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
225	224	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
226	108	recnd 10861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
227	223, 225, 226	mul12d 11041	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (3 · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) = (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
228	219, 227	breqtrd 5079	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))))
229		fzfi 13545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
230		diffi 8906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
231	229, 230	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin
232		snfi 8721	. . . . . . . . . 10 ⊢ {2} ∈ Fin
233		unfi 8850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
234	231, 232, 233	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin
235	234	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
236	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → Λ:ℕ⟶ℝ)
237		fz1ssnn 13143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
239	238	ssdifssd 4057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
240	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
241	240	snssd 4722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {2} ⊆ ℕ)
242	239, 241	unssd 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
243	242	sselda 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 𝑖 ∈ ℕ)
244	236, 243	ffvelrnd 6905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
245	235, 244	fsumrecl 15298	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
246		chpvalz 32320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
247	12, 246	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
248		chpf 26005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ψ:ℝ⟶ℝ
249	248	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ψ:ℝ⟶ℝ)
250	249, 124	ffvelrnd 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
251	247, 250	eqeltrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
252	245, 251	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
253	123, 252	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ∈ ℝ)
254	82, 253	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ∈ ℝ)
255	55, 254	remulcld 10863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ∈ ℝ)
256	176, 1, 210, 86	hgt750lemb 32348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
257	108, 253, 216	lemul2d 12672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ↔ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))
258	256, 257	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))
259		3rp 12592	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
260	259	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ⁺)
261	109, 254, 260	lemul2d 12672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ↔ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))))))
262	258, 261	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))))
263		6re 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℝ
264	263, 54	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
265		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → _63 ∈ ℝ)
266	264, 265	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ _63 ∈ ℝ
267	177, 266	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _63 ∈ ℝ)
268		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _63 ∈ ℝ) → _2_63 ∈ ℝ)
269	267, 268	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ _2_63 ∈ ℝ
270	111, 269	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_63 ∈ ℝ)
271		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_63 ∈ ℝ) → _4_2_63 ∈ ℝ)
272	270, 271	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ _4_2_63 ∈ ℝ
273		dpcl 30885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ _4_2_63 ∈ ℝ) → (1._4_2_63) ∈ ℝ)
274	56, 272, 273	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1._4_2_63) ∈ ℝ
275	274	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_63) ∈ ℝ)
276	275, 126	remulcld 10863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
277	112, 54	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
278		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → _83 ∈ ℝ)
279	277, 278	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ _83 ∈ ℝ
280	112, 279	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 ∈ ℝ ∧ _83 ∈ ℝ)
281		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((8 ∈ ℝ ∧ _83 ∈ ℝ) → _8_83 ∈ ℝ)
282	280, 281	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ _8_83 ∈ ℝ
283	54, 282	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ _8_83 ∈ ℝ)
284		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ _8_83 ∈ ℝ) → _3_8_83 ∈ ℝ)
285	283, 284	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ _3_8_83 ∈ ℝ
286	133, 285	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _3_8_83 ∈ ℝ)
287		dp2cl 30874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _3_8_83 ∈ ℝ) → _0_3_8_83 ∈ ℝ)
288	286, 287	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ _0_3_8_83 ∈ ℝ
289		dpcl 30885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ _0_3_8_83 ∈ ℝ) → (1._0_3_8_83) ∈ ℝ)
290	56, 288, 289	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1._0_3_8_83) ∈ ℝ
291	290	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1._0_3_8_83) ∈ ℝ)
292	291, 124	remulcld 10863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1._0_3_8_83) · 𝑁) ∈ ℝ)
293	276, 292	remulcld 10863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)) ∈ ℝ)
294	123, 293	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))) ∈ ℝ)
295	82, 294	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))) ∈ ℝ)
296	55, 295	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))) ∈ ℝ)
297		vmage0 26003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑖))
298	243, 297	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 0 ≤ (Λ‘𝑖))
299	235, 244, 298	fsumge0 15359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖))
300	1, 209	hgt750lemd 32340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))
301		fzfid 13546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
302	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
303	238	sselda 3901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
304	302, 303	ffvelrnd 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
305		vmage0 26003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑗))
306	303, 305	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (Λ‘𝑗))
307	301, 304, 306	fsumge0 15359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
308	1	hgt750lemc 32339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
309	245, 276, 251, 292, 299, 300, 307, 308	ltmul12ad 11773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) < (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))
310	252, 293, 309	ltled 10980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))
311	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
312		1lt2 12001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
313	312	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
314	311, 178, 124, 313, 210	ltletrd 10992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
315	124, 314	rplogcld 25517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
316	252, 293, 315	lemul2d 12672	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ≤ (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)) ↔ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))))
317	310, 316	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))
318	253, 294, 216	lemul2d 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ≤ ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))) ↔ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))))
319	317, 318	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))))
320	254, 295, 260	lemul2d 12672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))) ≤ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))) ↔ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))))))
321	319, 320	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))))
322	153	resqcli 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1._0_7_9_9_55)↑2) ∈ ℝ
323	322, 164	remulcli 10849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) ∈ ℝ
324	274, 290	remulcli 10849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) ∈ ℝ
325	323, 324	remulcli 10849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83))) ∈ ℝ
326	54, 325	remulcli 10849	. . . . . . 7 ⊢ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) ∈ ℝ
327		hgt750lem2 32344	. . . . . . 7 ⊢ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) < (7._3_48)
328	326, 120, 327	ltleii 10955	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) ≤ (7._3_48)
329	326	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) ∈ ℝ)
330	315, 127	rpdivcld 12645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ⁺)
331	122, 214	rpexpcld 13814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ⁺)
332	330, 331	rpmulcld 12644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) ∈ ℝ⁺)
333	329, 121, 332	lemul1d 12671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) ≤ (7._3_48) ↔ ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7._3_48) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))))
334	328, 333	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))) ≤ ((7._3_48) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
335	275	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_63) ∈ ℂ)
336	126	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
337	291	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1._0_3_8_83) ∈ ℂ)
338	124	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
339	335, 336, 337, 338	mul4d 11044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)) = (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)))
340	339	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))) = ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁))))
341	123	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
342	335, 337	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) ∈ ℂ)
343	336, 338	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝑁) ∈ ℂ)
344	342, 343	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) ∈ ℂ)
345	341, 344	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁))) = ((((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)))
346	340, 345	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))) = ((((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)))
347	342, 343, 341	mulassd 10856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · ((√‘𝑁) · 𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
348	346, 347	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))) = (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
349	348	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))) = ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
350	82	recnd 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) ∈ ℂ)
351	343, 341	mulcld 10853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
352	350, 342, 351	mulassd 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · (((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
353	349, 352	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))) = (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
354	353	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))) = (3 · (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
355	55	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
356	350, 342	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83))) ∈ ℂ)
357	355, 356, 351	mulassd 10856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = (3 · (((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))))
358	354, 357	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))) = ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))))
359	131	recnd 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
360	341, 336, 359, 128	div32d 11631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)) = ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))))
361	359, 336, 128	divcld 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ)
362	341, 361	mulcomd 10854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((𝑁↑2) / (√‘𝑁))) = (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)))
363	338	sqvald 13713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
364	363	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)))
365	338, 338, 336, 128	divassd 11643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))))
366		divsqrtid 32286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ⁺ → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁))
367	122, 366	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (√‘𝑁)) = (√‘𝑁))
368	367	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑁 / (√‘𝑁))) = (𝑁 · (√‘𝑁)))
369	364, 365, 368	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = (𝑁 · (√‘𝑁)))
370	338, 336	mulcomd 10854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁))
371	369, 370	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) = ((√‘𝑁) · 𝑁))
372	371	oveq1d 7228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) / (√‘𝑁)) · (log‘𝑁)) = (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)))
373	360, 362, 372	3eqtrrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁)) = (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2)))
374	373	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((√‘𝑁) · 𝑁) · (log‘𝑁))) = ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
375	358, 374	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))) = ((3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((1._4_2_63) · (1._0_3_8_83)))) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
376	121	recnd 10861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7._3_48) ∈ ℂ)
377	129	recnd 10861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℂ)
378	376, 377, 359	mulassd 10856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)) = ((7._3_48) · (((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) · (𝑁↑2))))
379	334, 375, 378	3brtr4d 5085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) · ((1._0_3_8_83) · 𝑁))))) ≤ (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
380	255, 296, 132, 321, 379	letrd 10989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))) ≤ (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
381	110, 255, 132, 262, 380	letrd 10989	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((1._0_7_9_9_55)↑2) · (1._4_14)) · Σ𝑛 ∈ {𝑑 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑑‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)} ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) ≤ (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))
382	53, 110, 132, 228, 381	letrd 10989	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((ℕ(repr‘3)𝑁) ∖ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁))(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((7._3_48) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) · (𝑁↑2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1089 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 {crab 3065 ∖ cdif 3863 ∪ cun 3864 ∩ cin 3865 ⊆ wss 3866 ifcif 4439 {csn 4541 {cpr 4543 {ctp 4545 class class class wbr 5053 ↦ cmpt 5135 I cid 5454 ↾ cres 5553 ∘ ccom 5555 ⟶wf 6376 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 Fincfn 8626 ℂcc 10727 ℝcr 10728 0cc0 10729 1c1 10730 · cmul 10734 +∞cpnf 10864 < clt 10867 ≤ cle 10868 / cdiv 11489 ℕcn 11830 2c2 11885 3c3 11886 4c4 11887 5c5 11888 6c6 11889 7c7 11890 8c8 11891 9c9 11892 ℕ₀cn0 12090 ℤcz 12176 cdc 12293 ℝ⁺crp 12586 [,)cico 12937 ...cfz 13095 ..^cfzo 13238 ↑cexp 13635 √csqrt 14796 Σcsu 15249 ∥ cdvds 15815 ℙcprime 16228 pmTrspcpmtr 18833 logclog 25443 Λcvma 25974 ψcchp 25975 cdp2 30865 .cdp 30882 reprcrepr 32300

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-rep 5179 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-reg 9208 ax-inf2 9256 ax-ac2 10077 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806 ax-pre-sup 10807 ax-addf 10808 ax-mulf 10809 ax-ros335 32337 ax-ros336 32338

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-int 4860 df-iun 4906 df-iin 4907 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-se 5510 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-isom 6389 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-of 7469 df-om 7645 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-supp 7904 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-1o 8202 df-2o 8203 df-oadd 8206 df-er 8391 df-map 8510 df-pm 8511 df-ixp 8579 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-fin 8630 df-fsupp 8986 df-fi 9027 df-sup 9058 df-inf 9059 df-oi 9126 df-r1 9380 df-rank 9381 df-dju 9517 df-card 9555 df-ac 9730 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-div 11490 df-nn 11831 df-2 11893 df-3 11894 df-4 11895 df-5 11896 df-6 11897 df-7 11898 df-8 11899 df-9 11900 df-n0 12091 df-xnn0 12163 df-z 12177 df-dec 12294 df-uz 12439 df-q 12545 df-rp 12587 df-xneg 12704 df-xadd 12705 df-xmul 12706 df-ioo 12939 df-ioc 12940 df-ico 12941 df-icc 12942 df-fz 13096 df-fzo 13239 df-fl 13367 df-mod 13443 df-seq 13575 df-exp 13636 df-fac 13840 df-bc 13869 df-hash 13897 df-shft 14630 df-cj 14662 df-re 14663 df-im 14664 df-sqrt 14798 df-abs 14799 df-limsup 15032 df-clim 15049 df-rlim 15050 df-sum 15250 df-prod 15468 df-ef 15629 df-sin 15631 df-cos 15632 df-tan 15633 df-pi 15634 df-dvds 15816 df-gcd 16054 df-prm 16229 df-pc 16390 df-struct 16700 df-sets 16717 df-slot 16735 df-ndx 16745 df-base 16761 df-ress 16785 df-plusg 16815 df-mulr 16816 df-starv 16817 df-sca 16818 df-vsca 16819 df-ip 16820 df-tset 16821 df-ple 16822 df-ds 16824 df-unif 16825 df-hom 16826 df-cco 16827 df-rest 16927 df-topn 16928 df-0g 16946 df-gsum 16947 df-topgen 16948 df-pt 16949 df-prds 16952 df-xrs 17007 df-qtop 17012 df-imas 17013 df-xps 17015 df-mre 17089 df-mrc 17090 df-acs 17092 df-mgm 18114 df-sgrp 18163 df-mnd 18174 df-submnd 18219 df-mulg 18489 df-cntz 18711 df-pmtr 18834 df-cmn 19172 df-psmet 20355 df-xmet 20356 df-met 20357 df-bl 20358 df-mopn 20359 df-fbas 20360 df-fg 20361 df-cnfld 20364 df-top 21791 df-topon 21808 df-topsp 21830 df-bases 21843 df-cld 21916 df-ntr 21917 df-cls 21918 df-nei 21995 df-lp 22033 df-perf 22034 df-cn 22124 df-cnp 22125 df-haus 22212 df-cmp 22284 df-tx 22459 df-hmeo 22652 df-fil 22743 df-fm 22835 df-flim 22836 df-flf 22837 df-xms 23218 df-ms 23219 df-tms 23220 df-cncf 23775 df-limc 24763 df-dv 24764 df-ulm 25269 df-log 25445 df-atan 25750 df-cht 25979 df-vma 25980 df-chp 25981 df-dp2 30866 df-dp 30883 df-repr 32301

This theorem is referenced by: tgoldbachgtde 32352

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