Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madjusmdetlem4 33487
Description: Lemma for madjusmdet 33488. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madjusmdet.a ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
madjusmdet.d ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
madjusmdet.k ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
madjusmdet.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
madjusmdet.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madjusmdet.e ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
madjusmdet.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
madjusmdet.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
madjusmdet.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
madjusmdetlem2.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem2.s ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem4.q ๐‘„ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐ฝ, if(๐‘— โ‰ค ๐ฝ, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
madjusmdetlem4.t ๐‘‡ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐‘, if(๐‘— โ‰ค ๐‘, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘„,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘†,๐‘–,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐พ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem madjusmdetlem4
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2 madjusmdet.a . . 3 ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
3 madjusmdet.d . . 3 ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
4 madjusmdet.k . . 3 ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
5 madjusmdet.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 madjusmdet.z . . 3 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
7 madjusmdet.e . . 3 ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
8 madjusmdet.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
9 madjusmdet.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
10 madjusmdet.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
11 madjusmdet.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
12 madjusmdet.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
13 eqid 2725 . . 3 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
14 eqid 2725 . . 3 (pmSgnโ€˜(1...๐‘)) = (pmSgnโ€˜(1...๐‘))
15 eqid 2725 . . 3 (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) = (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)
16 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–))
1716oveq1d 7430 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)) = (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)))
18 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™) = ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—))
1918oveq2d 7431 . . . 4 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)) = (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—)))
2017, 19cbvmpov 7511 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘), ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—)))
21 eqid 2725 . . . . . 6 (1...๐‘) = (1...๐‘)
22 madjusmdetlem2.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
23 eqid 2725 . . . . . 6 (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) = (SymGrpโ€˜(1...๐‘))
2421, 22, 23, 13fzto1st 32867 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
2510, 24syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
26 nnuz 12893 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
278, 26eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
28 eluzfz2 13539 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
30 madjusmdetlem2.s . . . . . . . 8 ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
3121, 30, 23, 13fzto1st 32867 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
33 eqid 2725 . . . . . . 7 (invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
3423, 13, 33symginv 19359 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) = โ—ก๐‘†)
3532, 34syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) = โ—ก๐‘†)
36 fzfid 13968 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3723symggrp 19357 . . . . . . 7 ((1...๐‘) โˆˆ Fin โ†’ (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp)
3913, 33grpinvcl 18946 . . . . . 6 (((SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4038, 32, 39syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4135, 40eqeltrrd 2826 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
42 eqid 2725 . . . . . 6 (+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
4323, 13, 42symgov 19340 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘†) = (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†))
4423, 13, 42symgcl 19341 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4543, 44eqeltrrd 2826 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4625, 41, 45syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
47 madjusmdetlem4.q . . . . . 6 ๐‘„ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐ฝ, if(๐‘— โ‰ค ๐ฝ, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
4821, 47, 23, 13fzto1st 32867 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4911, 48syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
50 madjusmdetlem4.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐‘, if(๐‘— โ‰ค ๐‘, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
5121, 50, 23, 13fzto1st 32867 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5229, 51syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5323, 13, 33symginv 19359 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
5452, 53syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
5513, 33grpinvcl 18946 . . . . . 6 (((SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp โˆง ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5638, 52, 55syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5754, 56eqeltrrd 2826 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5823, 13, 42symgov 19340 . . . . 5 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘‡) = (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))
5923, 13, 42symgcl 19341 . . . . 5 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6058, 59eqeltrrd 2826 . . . 4 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6149, 57, 60syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6223, 13symgbasf1o 19331 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
6332, 62syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
64 f1of1 6832 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘))
65 df-f1 6547 . . . . . . 7 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†” (๐‘†:(1...๐‘)โŸถ(1...๐‘) โˆง Fun โ—ก๐‘†))
6665simprbi 495 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
6763, 64, 663syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
68 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
69 f1odm 6837 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
7063, 68, 693syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
7129, 70eleqtrrd 2828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘†)
72 fvco 6990 . . . . 5 ((Fun โ—ก๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘†) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)))
7367, 71, 72syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)))
7421, 30, 23, 13fzto1stinvn 32868 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘) = 1)
7529, 74syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘) = 1)
7675fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)) = (๐‘ƒโ€˜1))
7721, 22fzto1stfv1 32865 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜1) = ๐ผ)
7810, 77syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜1) = ๐ผ)
7973, 76, 783eqtrd 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = ๐ผ)
8023, 13symgbasf1o 19331 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
8152, 80syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
82 f1of1 6832 . . . . . 6 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘))
83 df-f1 6547 . . . . . . 7 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†” (๐‘‡:(1...๐‘)โŸถ(1...๐‘) โˆง Fun โ—ก๐‘‡))
8483simprbi 495 . . . . . 6 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘‡)
8581, 82, 843syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘‡)
86 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
87 f1odm 6837 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘‡ = (1...๐‘))
8881, 86, 873syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘‡ = (1...๐‘))
8929, 88eleqtrrd 2828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘‡)
90 fvco 6990 . . . . 5 ((Fun โ—ก๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)))
9185, 89, 90syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)))
9221, 50, 23, 13fzto1stinvn 32868 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘) = 1)
9329, 92syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘) = 1)
9493fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)) = (๐‘„โ€˜1))
9521, 47fzto1stfv1 32865 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜1) = ๐ฝ)
9611, 95syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜1) = ๐ฝ)
9791, 94, 963eqtrd 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
98 crngring 20187 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
999, 98syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1002, 1minmar1cl 22569 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
10199, 12, 10, 11, 100syl22anc 837 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 30, 47, 50, 20, 101madjusmdetlem3 33486 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ))๐ฝ) = (๐‘(subMat1โ€˜(๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘), ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™))))๐‘))
1031, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 46, 61, 79, 97, 102madjusmdetlem1 33484 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
10423, 14, 13psgnco 21517 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)))
10536, 25, 41, 104syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)))
10621, 22, 23, 13, 14psgnfzto1st 32869 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
10710, 106syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
10823, 14, 13psgninv 21516 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†))
10936, 32, 108syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†))
11021, 30, 23, 13, 14psgnfzto1st 32869 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
11129, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
112109, 111eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
113107, 112oveq12d 7433 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
114105, 113eqtrd 2765 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
11523, 14, 13psgnco 21517 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)))
11636, 49, 57, 115syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)))
11721, 47, 23, 13, 14psgnfzto1st 32869 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) = (-1โ†‘(๐ฝ + 1)))
11811, 117syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) = (-1โ†‘(๐ฝ + 1)))
11923, 14, 13psgninv 21516 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡))
12036, 52, 119syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡))
12121, 50, 23, 13, 14psgnfzto1st 32869 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
12229, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
123120, 122eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
124118, 123oveq12d 7433 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)) = ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
125116, 124eqtrd 2765 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
126114, 125oveq12d 7433 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))) = (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))))
127 1cnd 11237 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
128127negcld 11586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
129 fz1ssnn 13562 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) โІ โ„•
130129, 10sselid 3970 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
131130nnnn0d 12560 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•0)
132 1nn0 12516 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•0
133132a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
134131, 133nn0addcld 12564 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โˆˆ โ„•0)
135128, 134expcld 14140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ผ + 1)) โˆˆ โ„‚)
1368nnnn0d 12560 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
137136, 133nn0addcld 12564 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
138128, 137expcld 14140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
139129, 11sselid 3970 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•)
140139nnnn0d 12560 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
141140, 133nn0addcld 12564 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•0)
142128, 141expcld 14140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ฝ + 1)) โˆˆ โ„‚)
143135, 138, 142, 138mul4d 11454 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))))
144128, 141, 134expaddd 14142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))))
145130nncnd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
146139nncnd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
147145, 127, 146, 127add4d 11470 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + (1 + 1)))
148 1p1e2 12365 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
149148oveq2i 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ + ๐ฝ) + (1 + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + 2)
150147, 149eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + 2))
151150oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)))
152 2nn0 12517 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
153152a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
154131, 140nn0addcld 12564 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
155128, 153, 154expaddd 14142 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท (-1โ†‘2)))
156 neg1sqe1 14189 . . . . . . . . . . 11 (-1โ†‘2) = 1
157156oveq2i 7426 . . . . . . . . . 10 ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท (-1โ†‘2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1)
158155, 157eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1))
159128, 154expcld 14140 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) โˆˆ โ„‚)
160159mulridd 11259 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
161151, 158, 1603eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
162144, 161eqtr3d 2767 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
163137nn0zd 12612 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
164 m1expcl2 14080 . . . . . . . 8 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ {-1, 1})
165 1neg1t1neg1 32562 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) = 1)
166163, 164, 1653syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) = 1)
167162, 166oveq12d 7433 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1))
168143, 167, 1603eqtrd 2769 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
169126, 168eqtrd 2765 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
170169fveq2d 6895 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) = (๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))))
171170oveq1d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
172103, 171eqtrd 2765 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ—กccnv 5671  dom cdm 5672   โˆ˜ ccom 5676  Fun wfun 6536  โŸถwf 6538  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆˆ cmpo 7417  Fincfn 8960  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โ‰ค cle 11277   โˆ’ cmin 11472  -cneg 11473  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  ...cfz 13514  โ†‘cexp 14056  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  SymGrpcsymg 19323  pmSgncpsgn 19446  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  โ„คRHomczrh 21427   Mat cmat 22323   maDet cmdat 22502   maAdju cmadu 22550   minMatR1 cminmar1 22551  subMat1csmat 33450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-reverse 14739  df-s2 14829  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-efmnd 18823  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-symg 19324  df-pmtr 19399  df-psgn 19448  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mat 22324  df-marrep 22476  df-subma 22495  df-mdet 22503  df-madu 22552  df-minmar1 22553  df-smat 33451
This theorem is referenced by:  madjusmdet  33488
  Copyright terms: Public domain W3C validator