Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madjusmdetlem4 32451
Description: Lemma for madjusmdet 32452. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madjusmdet.a ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
madjusmdet.d ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
madjusmdet.k ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
madjusmdet.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
madjusmdet.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madjusmdet.e ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
madjusmdet.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
madjusmdet.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
madjusmdet.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
madjusmdetlem2.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem2.s ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem4.q ๐‘„ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐ฝ, if(๐‘— โ‰ค ๐ฝ, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
madjusmdetlem4.t ๐‘‡ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐‘, if(๐‘— โ‰ค ๐‘, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘„,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘†,๐‘–,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐พ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem madjusmdetlem4
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2 madjusmdet.a . . 3 ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
3 madjusmdet.d . . 3 ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
4 madjusmdet.k . . 3 ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
5 madjusmdet.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 madjusmdet.z . . 3 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
7 madjusmdet.e . . 3 ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
8 madjusmdet.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
9 madjusmdet.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
10 madjusmdet.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
11 madjusmdet.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
12 madjusmdet.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
13 eqid 2737 . . 3 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
14 eqid 2737 . . 3 (pmSgnโ€˜(1...๐‘)) = (pmSgnโ€˜(1...๐‘))
15 eqid 2737 . . 3 (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) = (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)
16 fveq2 6847 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–))
1716oveq1d 7377 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)) = (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)))
18 fveq2 6847 . . . . 5 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™) = ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—))
1918oveq2d 7378 . . . 4 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)) = (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—)))
2017, 19cbvmpov 7457 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘), ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—)))
21 eqid 2737 . . . . . 6 (1...๐‘) = (1...๐‘)
22 madjusmdetlem2.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
23 eqid 2737 . . . . . 6 (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) = (SymGrpโ€˜(1...๐‘))
2421, 22, 23, 13fzto1st 31994 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
2510, 24syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
26 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
278, 26eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
28 eluzfz2 13456 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
30 madjusmdetlem2.s . . . . . . . 8 ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
3121, 30, 23, 13fzto1st 31994 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
33 eqid 2737 . . . . . . 7 (invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
3423, 13, 33symginv 19191 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) = โ—ก๐‘†)
3532, 34syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) = โ—ก๐‘†)
36 fzfid 13885 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3723symggrp 19189 . . . . . . 7 ((1...๐‘) โˆˆ Fin โ†’ (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp)
3913, 33grpinvcl 18805 . . . . . 6 (((SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4038, 32, 39syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4135, 40eqeltrrd 2839 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
42 eqid 2737 . . . . . 6 (+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
4323, 13, 42symgov 19172 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘†) = (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†))
4423, 13, 42symgcl 19173 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4543, 44eqeltrrd 2839 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4625, 41, 45syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
47 madjusmdetlem4.q . . . . . 6 ๐‘„ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐ฝ, if(๐‘— โ‰ค ๐ฝ, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
4821, 47, 23, 13fzto1st 31994 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4911, 48syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
50 madjusmdetlem4.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐‘, if(๐‘— โ‰ค ๐‘, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
5121, 50, 23, 13fzto1st 31994 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5229, 51syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5323, 13, 33symginv 19191 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
5452, 53syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
5513, 33grpinvcl 18805 . . . . . 6 (((SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp โˆง ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5638, 52, 55syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5754, 56eqeltrrd 2839 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5823, 13, 42symgov 19172 . . . . 5 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘‡) = (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))
5923, 13, 42symgcl 19173 . . . . 5 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6058, 59eqeltrrd 2839 . . . 4 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6149, 57, 60syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6223, 13symgbasf1o 19163 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
6332, 62syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
64 f1of1 6788 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘))
65 df-f1 6506 . . . . . . 7 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†” (๐‘†:(1...๐‘)โŸถ(1...๐‘) โˆง Fun โ—ก๐‘†))
6665simprbi 498 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
6763, 64, 663syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
68 f1ocnv 6801 . . . . . . 7 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
69 f1odm 6793 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
7063, 68, 693syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
7129, 70eleqtrrd 2841 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘†)
72 fvco 6944 . . . . 5 ((Fun โ—ก๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘†) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)))
7367, 71, 72syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)))
7421, 30, 23, 13fzto1stinvn 31995 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘) = 1)
7529, 74syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘) = 1)
7675fveq2d 6851 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)) = (๐‘ƒโ€˜1))
7721, 22fzto1stfv1 31992 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜1) = ๐ผ)
7810, 77syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜1) = ๐ผ)
7973, 76, 783eqtrd 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = ๐ผ)
8023, 13symgbasf1o 19163 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
8152, 80syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
82 f1of1 6788 . . . . . 6 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘))
83 df-f1 6506 . . . . . . 7 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†” (๐‘‡:(1...๐‘)โŸถ(1...๐‘) โˆง Fun โ—ก๐‘‡))
8483simprbi 498 . . . . . 6 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘‡)
8581, 82, 843syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘‡)
86 f1ocnv 6801 . . . . . . 7 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
87 f1odm 6793 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘‡ = (1...๐‘))
8881, 86, 873syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘‡ = (1...๐‘))
8929, 88eleqtrrd 2841 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘‡)
90 fvco 6944 . . . . 5 ((Fun โ—ก๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)))
9185, 89, 90syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)))
9221, 50, 23, 13fzto1stinvn 31995 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘) = 1)
9329, 92syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘) = 1)
9493fveq2d 6851 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)) = (๐‘„โ€˜1))
9521, 47fzto1stfv1 31992 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜1) = ๐ฝ)
9611, 95syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜1) = ๐ฝ)
9791, 94, 963eqtrd 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
98 crngring 19983 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
999, 98syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1002, 1minmar1cl 22016 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
10199, 12, 10, 11, 100syl22anc 838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 30, 47, 50, 20, 101madjusmdetlem3 32450 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ))๐ฝ) = (๐‘(subMat1โ€˜(๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘), ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™))))๐‘))
1031, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 46, 61, 79, 97, 102madjusmdetlem1 32448 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
10423, 14, 13psgnco 21003 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)))
10536, 25, 41, 104syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)))
10621, 22, 23, 13, 14psgnfzto1st 31996 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
10710, 106syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
10823, 14, 13psgninv 21002 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†))
10936, 32, 108syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†))
11021, 30, 23, 13, 14psgnfzto1st 31996 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
11129, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
112109, 111eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
113107, 112oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
114105, 113eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
11523, 14, 13psgnco 21003 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)))
11636, 49, 57, 115syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)))
11721, 47, 23, 13, 14psgnfzto1st 31996 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) = (-1โ†‘(๐ฝ + 1)))
11811, 117syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) = (-1โ†‘(๐ฝ + 1)))
11923, 14, 13psgninv 21002 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡))
12036, 52, 119syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡))
12121, 50, 23, 13, 14psgnfzto1st 31996 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
12229, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
123120, 122eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
124118, 123oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)) = ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
125116, 124eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
126114, 125oveq12d 7380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))) = (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))))
127 1cnd 11157 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
128127negcld 11506 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
129 fz1ssnn 13479 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) โŠ† โ„•
130129, 10sselid 3947 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
131130nnnn0d 12480 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•0)
132 1nn0 12436 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•0
133132a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
134131, 133nn0addcld 12484 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โˆˆ โ„•0)
135128, 134expcld 14058 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ผ + 1)) โˆˆ โ„‚)
1368nnnn0d 12480 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
137136, 133nn0addcld 12484 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
138128, 137expcld 14058 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
139129, 11sselid 3947 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•)
140139nnnn0d 12480 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
141140, 133nn0addcld 12484 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•0)
142128, 141expcld 14058 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ฝ + 1)) โˆˆ โ„‚)
143135, 138, 142, 138mul4d 11374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))))
144128, 141, 134expaddd 14060 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))))
145130nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
146139nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
147145, 127, 146, 127add4d 11390 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + (1 + 1)))
148 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
149148oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ + ๐ฝ) + (1 + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + 2)
150147, 149eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + 2))
151150oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)))
152 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
153152a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
154131, 140nn0addcld 12484 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
155128, 153, 154expaddd 14060 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท (-1โ†‘2)))
156 neg1sqe1 14107 . . . . . . . . . . 11 (-1โ†‘2) = 1
157156oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท (-1โ†‘2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1)
158155, 157eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1))
159128, 154expcld 14058 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) โˆˆ โ„‚)
160159mulid1d 11179 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
161151, 158, 1603eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
162144, 161eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
163137nn0zd 12532 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
164 m1expcl2 13998 . . . . . . . 8 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ {-1, 1})
165 1neg1t1neg1 31696 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) = 1)
166163, 164, 1653syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) = 1)
167162, 166oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1))
168143, 167, 1603eqtrd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
169126, 168eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
170169fveq2d 6851 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) = (๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))))
171170oveq1d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
172103, 171eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ—กccnv 5637  dom cdm 5638   โˆ˜ ccom 5642  Fun wfun 6495  โŸถwf 6497  โ€“1-1โ†’wf1 6498  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364  Fincfn 8890  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  SymGrpcsymg 19155  pmSgncpsgn 19278  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  โ„คRHomczrh 20916   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949   maAdju cmadu 21997   minMatR1 cminmar1 21998  subMat1csmat 32414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-efmnd 18686  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-symg 19156  df-pmtr 19231  df-psgn 19280  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771  df-marrep 21923  df-subma 21942  df-mdet 21950  df-madu 21999  df-minmar1 22000  df-smat 32415
This theorem is referenced by:  madjusmdet  32452
  Copyright terms: Public domain W3C validator