Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madjusmdetlem4 33340
Description: Lemma for madjusmdet 33341. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madjusmdet.a ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
madjusmdet.d ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
madjusmdet.k ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
madjusmdet.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
madjusmdet.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madjusmdet.e ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
madjusmdet.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
madjusmdet.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
madjusmdet.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
madjusmdetlem2.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem2.s ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem4.q ๐‘„ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐ฝ, if(๐‘— โ‰ค ๐ฝ, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
madjusmdetlem4.t ๐‘‡ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐‘, if(๐‘— โ‰ค ๐‘, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘„,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘†,๐‘–,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐พ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem madjusmdetlem4
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2 madjusmdet.a . . 3 ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
3 madjusmdet.d . . 3 ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
4 madjusmdet.k . . 3 ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
5 madjusmdet.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 madjusmdet.z . . 3 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
7 madjusmdet.e . . 3 ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
8 madjusmdet.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
9 madjusmdet.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
10 madjusmdet.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
11 madjusmdet.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
12 madjusmdet.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
13 eqid 2726 . . 3 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
14 eqid 2726 . . 3 (pmSgnโ€˜(1...๐‘)) = (pmSgnโ€˜(1...๐‘))
15 eqid 2726 . . 3 (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) = (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)
16 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–))
1716oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)) = (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)))
18 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™) = ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—))
1918oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™)) = (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—)))
2017, 19cbvmpov 7500 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘), ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘—)))
21 eqid 2726 . . . . . 6 (1...๐‘) = (1...๐‘)
22 madjusmdetlem2.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
23 eqid 2726 . . . . . 6 (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) = (SymGrpโ€˜(1...๐‘))
2421, 22, 23, 13fzto1st 32768 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
2510, 24syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
26 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
278, 26eleqtrdi 2837 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
28 eluzfz2 13515 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
30 madjusmdetlem2.s . . . . . . . 8 ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
3121, 30, 23, 13fzto1st 32768 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
33 eqid 2726 . . . . . . 7 (invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
3423, 13, 33symginv 19322 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) = โ—ก๐‘†)
3532, 34syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) = โ—ก๐‘†)
36 fzfid 13944 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3723symggrp 19320 . . . . . . 7 ((1...๐‘) โˆˆ Fin โ†’ (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp)
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp)
3913, 33grpinvcl 18917 . . . . . 6 (((SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4038, 32, 39syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4135, 40eqeltrrd 2828 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
42 eqid 2726 . . . . . 6 (+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
4323, 13, 42symgov 19303 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘†) = (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†))
4423, 13, 42symgcl 19304 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4543, 44eqeltrrd 2828 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4625, 41, 45syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
47 madjusmdetlem4.q . . . . . 6 ๐‘„ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐ฝ, if(๐‘— โ‰ค ๐ฝ, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
4821, 47, 23, 13fzto1st 32768 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
4911, 48syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
50 madjusmdetlem4.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘— = 1, ๐‘, if(๐‘— โ‰ค ๐‘, (๐‘— โˆ’ 1), ๐‘—)))
5121, 50, 23, 13fzto1st 32768 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5229, 51syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5323, 13, 33symginv 19322 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
5452, 53syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) = โ—ก๐‘‡)
5513, 33grpinvcl 18917 . . . . . 6 (((SymGrpโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ Grp โˆง ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5638, 52, 55syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5754, 56eqeltrrd 2828 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
5823, 13, 42symgov 19303 . . . . 5 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘‡) = (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))
5923, 13, 42symgcl 19304 . . . . 5 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„(+gโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6058, 59eqeltrrd 2828 . . . 4 ((๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6149, 57, 60syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
6223, 13symgbasf1o 19294 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
6332, 62syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
64 f1of1 6826 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘))
65 df-f1 6542 . . . . . . 7 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†” (๐‘†:(1...๐‘)โŸถ(1...๐‘) โˆง Fun โ—ก๐‘†))
6665simprbi 496 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
6763, 64, 663syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
68 f1ocnv 6839 . . . . . . 7 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
69 f1odm 6831 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
7063, 68, 693syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
7129, 70eleqtrrd 2830 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘†)
72 fvco 6983 . . . . 5 ((Fun โ—ก๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘†) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)))
7367, 71, 72syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)))
7421, 30, 23, 13fzto1stinvn 32769 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘) = 1)
7529, 74syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘) = 1)
7675fveq2d 6889 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘)) = (๐‘ƒโ€˜1))
7721, 22fzto1stfv1 32766 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜1) = ๐ผ)
7810, 77syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜1) = ๐ผ)
7973, 76, 783eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘) = ๐ผ)
8023, 13symgbasf1o 19294 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
8152, 80syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
82 f1of1 6826 . . . . . 6 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ ๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘))
83 df-f1 6542 . . . . . . 7 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†” (๐‘‡:(1...๐‘)โŸถ(1...๐‘) โˆง Fun โ—ก๐‘‡))
8483simprbi 496 . . . . . 6 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘‡)
8581, 82, 843syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘‡)
86 f1ocnv 6839 . . . . . . 7 (๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
87 f1odm 6831 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘‡:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘‡ = (1...๐‘))
8881, 86, 873syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘‡ = (1...๐‘))
8929, 88eleqtrrd 2830 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘‡)
90 fvco 6983 . . . . 5 ((Fun โ—ก๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ dom โ—ก๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)))
9185, 89, 90syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)))
9221, 50, 23, 13fzto1stinvn 32769 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘) = 1)
9329, 92syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘) = 1)
9493fveq2d 6889 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘)) = (๐‘„โ€˜1))
9521, 47fzto1stfv1 32766 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜1) = ๐ฝ)
9611, 95syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜1) = ๐ฝ)
9791, 94, 963eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
98 crngring 20150 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
999, 98syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1002, 1minmar1cl 22508 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
10199, 12, 10, 11, 100syl22anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 30, 47, 50, 20, 101madjusmdetlem3 33339 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ))๐ฝ) = (๐‘(subMat1โ€˜(๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘), ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘˜)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)((๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)โ€˜๐‘™))))๐‘))
1031, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 46, 61, 79, 97, 102madjusmdetlem1 33337 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
10423, 14, 13psgnco 21476 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)))
10536, 25, 41, 104syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)))
10621, 22, 23, 13, 14psgnfzto1st 32770 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
10710, 106syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
10823, 14, 13psgninv 21475 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†))
10936, 32, 108syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†))
11021, 30, 23, 13, 14psgnfzto1st 32770 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
11129, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
112109, 111eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
113107, 112oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘†)) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
114105, 113eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
11523, 14, 13psgnco 21476 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โˆง โ—ก๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)))
11636, 49, 57, 115syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)))
11721, 47, 23, 13, 14psgnfzto1st 32770 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) = (-1โ†‘(๐ฝ + 1)))
11811, 117syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) = (-1โ†‘(๐ฝ + 1)))
11923, 14, 13psgninv 21475 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡))
12036, 52, 119syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡))
12121, 50, 23, 13, 14psgnfzto1st 32770 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
12229, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
123120, 122eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡) = (-1โ†‘(๐‘ + 1)))
124118, 123oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜๐‘„) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜โ—ก๐‘‡)) = ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
125116, 124eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)) = ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))))
126114, 125oveq12d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))) = (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))))
127 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
128127negcld 11562 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
129 fz1ssnn 13538 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) โІ โ„•
130129, 10sselid 3975 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
131130nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•0)
132 1nn0 12492 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•0
133132a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
134131, 133nn0addcld 12540 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โˆˆ โ„•0)
135128, 134expcld 14116 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ผ + 1)) โˆˆ โ„‚)
1368nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
137136, 133nn0addcld 12540 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
138128, 137expcld 14116 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
139129, 11sselid 3975 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•)
140139nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
141140, 133nn0addcld 12540 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•0)
142128, 141expcld 14116 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ฝ + 1)) โˆˆ โ„‚)
143135, 138, 142, 138mul4d 11430 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))))
144128, 141, 134expaddd 14118 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))))
145130nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
146139nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
147145, 127, 146, 127add4d 11446 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + (1 + 1)))
148 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
149148oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ + ๐ฝ) + (1 + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + 2)
150147, 149eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1)) = ((๐ผ + ๐ฝ) + 2))
151150oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)))
152 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
153152a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
154131, 140nn0addcld 12540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + ๐ฝ) โˆˆ โ„•0)
155128, 153, 154expaddd 14118 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท (-1โ†‘2)))
156 neg1sqe1 14165 . . . . . . . . . . 11 (-1โ†‘2) = 1
157156oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท (-1โ†‘2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1)
158155, 157eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + ๐ฝ) + 2)) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1))
159128, 154expcld 14116 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) โˆˆ โ„‚)
160159mulridd 11235 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
161151, 158, 1603eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘((๐ผ + 1) + (๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
162144, 161eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
163137nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
164 m1expcl2 14056 . . . . . . . 8 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ {-1, 1})
165 1neg1t1neg1 32469 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) = 1)
166163, 164, 1653syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) = 1)
167162, 166oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐ฝ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐‘ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = ((-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)) ยท 1))
168143, 167, 1603eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐ผ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1))) ยท ((-1โ†‘(๐ฝ + 1)) ยท (-1โ†‘(๐‘ + 1)))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
169126, 168eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡))) = (-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ)))
170169fveq2d 6889 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) = (๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))))
171170oveq1d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)) ยท ((pmSgnโ€˜(1...๐‘))โ€˜(๐‘„ โˆ˜ โ—ก๐‘‡)))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
172103, 171eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜(-1โ†‘(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4523  {cpr 4625   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668  dom cdm 5669   โˆ˜ ccom 5673  Fun wfun 6531  โŸถwf 6533  โ€“1-1โ†’wf1 6534  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  Fincfn 8941  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  โ„คRHomczrh 21386   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441   maAdju cmadu 22489   minMatR1 cminmar1 22490  subMat1csmat 33303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263  df-marrep 22415  df-subma 22434  df-mdet 22442  df-madu 22491  df-minmar1 22492  df-smat 33304
This theorem is referenced by:  madjusmdet  33341
  Copyright terms: Public domain W3C validator