MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remullem 15081
Description: Lemma for remul 15082, immul 15089, and cjmul 15095. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 15069 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2 replim 15069 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
31, 2oveqan12d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
4 recl 15063 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
65recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
8 imcl 15064 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
109recnd 11246 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
11 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
127, 10, 11sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
136, 12addcld 11237 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
14 recl 15063 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1615recnd 11246 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 imcl 15064 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1918recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
20 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
217, 19, 20sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2213, 16, 21adddid 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
236, 12, 16adddird 11243 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
246, 12, 21adddird 11243 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
2523, 24oveq12d 7423 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
265, 15remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
2726recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2812, 21mulcld 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2912, 16mulcld 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
306, 21mulcld 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3127, 28, 29, 30add42d 11447 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) + (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
327a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
3332, 10, 32, 19mul4d 11430 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
34 ixi 11847 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
3534oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
369, 18remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
3736recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3837mulm1d 11670 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
3935, 38eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4033, 39eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4140oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
4227, 37negsubd 11581 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
4341, 42eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
449, 15remulcld 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
46 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
477, 45, 46sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
485, 18remulcld 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4948recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
50 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
517, 49, 50sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
5247, 51addcomd 11420 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5332, 10, 16mulassd 11241 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
546, 32, 19mul12d 11427 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
5553, 54oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
5632, 49, 45adddid 11242 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5752, 55, 563eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5843, 57oveq12d 7423 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) + (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
5925, 31, 583eqtr2d 2772 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
603, 22, 593eqtrd 2770 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
6160fveq2d 6889 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))))
6226, 36resubcld 11646 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
6348, 44readdcld 11247 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
64 crre 15067 . . . 4 (((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6562, 63, 64syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6661, 65eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6760fveq2d 6889 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))))
68 crim 15068 . . . 4 (((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
6962, 63, 68syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
7067, 69eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
71 mulcl 11196 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
72 remim 15070 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
7371, 72syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
74 remim 15070 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
75 remim 15070 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
7674, 75oveqan12d 7424 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
7716, 21subcld 11575 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
786, 12, 77subdird 11675 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
7927, 30, 29, 28subadd4d 11623 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
806, 16, 21subdid 11674 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8112, 16, 21subdid 11674 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8280, 81oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
8365, 61, 433eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8470oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8554, 53oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8656, 84, 853eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
8783, 86oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8879, 82, 873eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
8976, 78, 883eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
9073, 89eqtr4d 2769 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
9166, 70, 903jca 1125 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โˆ—ccj 15049  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  remul  15082  immul  15089  cjmul  15095
  Copyright terms: Public domain W3C validator