MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remullem 15020
Description: Lemma for remul 15021, immul 15028, and cjmul 15034. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 15008 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2 replim 15008 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
31, 2oveqan12d 7381 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
4 recl 15002 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
65recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 ax-icn 11117 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
8 imcl 15003 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
109recnd 11190 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
11 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
127, 10, 11sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
136, 12addcld 11181 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
14 recl 15002 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1514adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1615recnd 11190 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 imcl 15003 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1918recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
20 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
217, 19, 20sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2213, 16, 21adddid 11186 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
236, 12, 16adddird 11187 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
246, 12, 21adddird 11187 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
2523, 24oveq12d 7380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
265, 15remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
2726recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2812, 21mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2912, 16mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
306, 21mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3127, 28, 29, 30add42d 11391 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) + (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
327a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
3332, 10, 32, 19mul4d 11374 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
34 ixi 11791 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
3534oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
369, 18remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
3736recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3837mulm1d 11614 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
3935, 38eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4033, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4140oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
4227, 37negsubd 11525 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
4341, 42eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
449, 15remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
46 mulcl 11142 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
477, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
485, 18remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4948recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
50 mulcl 11142 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
517, 49, 50sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
5247, 51addcomd 11364 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5332, 10, 16mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
546, 32, 19mul12d 11371 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
5553, 54oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
5632, 49, 45adddid 11186 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5752, 55, 563eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5843, 57oveq12d 7380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) + (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
5925, 31, 583eqtr2d 2783 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
603, 22, 593eqtrd 2781 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
6160fveq2d 6851 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))))
6226, 36resubcld 11590 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
6348, 44readdcld 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
64 crre 15006 . . . 4 (((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6562, 63, 64syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6661, 65eqtrd 2777 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6760fveq2d 6851 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))))
68 crim 15007 . . . 4 (((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
6962, 63, 68syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
7067, 69eqtrd 2777 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
71 mulcl 11142 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
72 remim 15009 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
7371, 72syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
74 remim 15009 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
75 remim 15009 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
7674, 75oveqan12d 7381 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
7716, 21subcld 11519 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
786, 12, 77subdird 11619 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
7927, 30, 29, 28subadd4d 11567 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
806, 16, 21subdid 11618 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8112, 16, 21subdid 11618 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8280, 81oveq12d 7380 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
8365, 61, 433eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8470oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8554, 53oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8656, 84, 853eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
8783, 86oveq12d 7380 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8879, 82, 873eqtr4d 2787 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
8976, 78, 883eqtrd 2781 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
9073, 89eqtr4d 2780 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
9166, 70, 903jca 1129 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  remul  15021  immul  15028  cjmul  15034
  Copyright terms: Public domain W3C validator