Theorem remullem 15071

Description: Lemma for remul 15072, immul 15079, and cjmul 15085. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remullem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))

Proof of Theorem remullem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15059	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2		replim 15059	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
3	1, 2	oveqan12d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
4		recl 15053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ax-icn 11165	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
8		imcl 15054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		mulcl 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 12	addcld 11229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14		recl 15053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
17		imcl 15054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 11190	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	7, 19, 20	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
22	13, 16, 21	adddid 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
23	6, 12, 16	adddird 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))
24	6, 12, 21	adddird 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
25	23, 24	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
26	5, 15	remulcld 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
28	12, 21	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
29	12, 16	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	6, 21	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
31	27, 28, 29, 30	add42d 11439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
32	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
33	32, 10, 32, 19	mul4d 11422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
34		ixi 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
35	34	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
36	9, 18	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
38	37	mulm1d 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
39	35, 38	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
40	33, 39	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
41	40	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
42	27, 37	negsubd 11573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
43	41, 42	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
44	9, 15	remulcld 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
46		mulcl 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℂ)
47	7, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℂ)
48	5, 18	remulcld 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
50		mulcl 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
51	7, 49, 50	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
52	47, 51	addcomd 11412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
53	32, 10, 16	mulassd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) = (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
54	6, 32, 19	mul12d 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) = (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
55	53, 54	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))))
56	32, 49, 45	adddid 11234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
58	43, 57	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
60	3, 22, 59	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
61	60	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))))
62	26, 36	resubcld 11638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
63	48, 44	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ)
64		crre 15057	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
65	62, 63, 64	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
66	61, 65	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
67	60	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))))
68		crim 15058	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
69	62, 63, 68	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
70	67, 69	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
71		mulcl 11190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
72		remim 15060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
73	71, 72	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
74		remim 15060	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
75		remim 15060	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
76	74, 75	oveqan12d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
77	16, 21	subcld 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
78	6, 12, 77	subdird 11667	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))))
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 11615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))))
80	6, 16, 21	subdid 11666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
81	12, 16, 21	subdid 11666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
82	80, 81	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
84	70	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
85	54, 53	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))
87	83, 86	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))))
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
89	76, 78, 88	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
90	73, 89	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
91	66, 70, 90	3jca 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440  -cneg 11441  ∗ccj 15039  ℜcre 15040  ℑcim 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044

This theorem is referenced by:  remul  15072  immul  15079  cjmul  15085