MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remullem 15071
Description: Lemma for remul 15072, immul 15079, and cjmul 15085. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 15059 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2 replim 15059 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ต = ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
31, 2oveqan12d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
4 recl 15053 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
65recnd 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 ax-icn 11165 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
8 imcl 15054 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
109recnd 11238 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
11 mulcl 11190 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
127, 10, 11sylancr 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
136, 12addcld 11229 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
14 recl 15053 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1615recnd 11238 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 imcl 15054 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1918recnd 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
20 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
217, 19, 20sylancr 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2213, 16, 21adddid 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
236, 12, 16adddird 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
246, 12, 21adddird 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
2523, 24oveq12d 7423 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
265, 15remulcld 11240 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
2726recnd 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2812, 21mulcld 11230 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2912, 16mulcld 11230 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
306, 21mulcld 11230 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3127, 28, 29, 30add42d 11439 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) + (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
327a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
3332, 10, 32, 19mul4d 11422 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
34 ixi 11839 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
3534oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
369, 18remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
3736recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3837mulm1d 11662 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
3935, 38eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4033, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
4140oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
4227, 37negsubd 11573 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
4341, 42eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
449, 15remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
46 mulcl 11190 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
477, 45, 46sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
485, 18remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
4948recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
50 mulcl 11190 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
517, 49, 50sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
5247, 51addcomd 11412 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5332, 10, 16mulassd 11233 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
546, 32, 19mul12d 11419 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
5553, 54oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
5632, 49, 45adddid 11234 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5752, 55, 563eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
5843, 57oveq12d 7423 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) + (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
5925, 31, 583eqtr2d 2778 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
603, 22, 593eqtrd 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))))
6160fveq2d 6892 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))))
6226, 36resubcld 11638 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
6348, 44readdcld 11239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
64 crre 15057 . . . 4 (((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6562, 63, 64syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6661, 65eqtrd 2772 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
6760fveq2d 6892 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))))
68 crim 15058 . . . 4 (((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ โˆง (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
6962, 63, 68syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
7067, 69eqtrd 2772 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
71 mulcl 11190 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
72 remim 15060 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
7371, 72syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
74 remim 15060 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
75 remim 15060 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
7674, 75oveqan12d 7424 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
7716, 21subcld 11567 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
786, 12, 77subdird 11667 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
7927, 30, 29, 28subadd4d 11615 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
806, 16, 21subdid 11666 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8112, 16, 21subdid 11666 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8280, 81oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))))
8365, 61, 433eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
8470oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = (i ยท (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8554, 53oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) = ((i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8656, 84, 853eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
8783, 86oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))))
8879, 82, 873eqtr4d 2782 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) ยท ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
8976, 78, 883eqtrd 2776 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)))))
9073, 89eqtr4d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
9166, 70, 903jca 1128 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆง (โ„‘โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆง (โˆ—โ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  โˆ—ccj 15039  โ„œcre 15040  โ„‘cim 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044
This theorem is referenced by:  remul  15072  immul  15079  cjmul  15085
  Copyright terms: Public domain W3C validator