Theorem remullem 15088

Description: Lemma for remul 15089, immul 15096, and cjmul 15102. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remullem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))

Proof of Theorem remullem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15076	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2		replim 15076	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
3	1, 2	oveqan12d 7382	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
4		recl 15070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ax-icn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
8		imcl 15071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		mulcl 11120	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 12	addcld 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14		recl 15070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
17		imcl 15071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 11120	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	7, 19, 20	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
22	13, 16, 21	adddid 11167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
23	6, 12, 16	adddird 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))
24	6, 12, 21	adddird 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
25	23, 24	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
26	5, 15	remulcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
28	12, 21	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
29	12, 16	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	6, 21	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
31	27, 28, 29, 30	add42d 11374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
32	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
33	32, 10, 32, 19	mul4d 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
34		ixi 11777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
35	34	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
36	9, 18	remulcld 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
38	37	mulm1d 11600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
39	35, 38	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
40	33, 39	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
41	40	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
42	27, 37	negsubd 11509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
43	41, 42	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
44	9, 15	remulcld 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
46		mulcl 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℂ)
47	7, 45, 46	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℂ)
48	5, 18	remulcld 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
50		mulcl 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
51	7, 49, 50	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
52	47, 51	addcomd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
53	32, 10, 16	mulassd 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) = (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
54	6, 32, 19	mul12d 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) = (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
55	53, 54	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))))
56	32, 49, 45	adddid 11167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
58	43, 57	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
60	3, 22, 59	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
61	60	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))))
62	26, 36	resubcld 11576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
63	48, 44	readdcld 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ)
64		crre 15074	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
65	62, 63, 64	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
66	61, 65	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
67	60	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))))
68		crim 15075	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
69	62, 63, 68	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
70	67, 69	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
71		mulcl 11120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
72		remim 15077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
73	71, 72	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
74		remim 15077	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
75		remim 15077	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
76	74, 75	oveqan12d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
77	16, 21	subcld 11503	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
78	6, 12, 77	subdird 11605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))))
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 11551	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))))
80	6, 16, 21	subdid 11604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
81	12, 16, 21	subdid 11604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
82	80, 81	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
84	70	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
85	54, 53	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))
87	83, 86	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))))
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
89	76, 78, 88	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
90	73, 89	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
91	66, 70, 90	3jca 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  1c1 11037  ici 11038   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  -cneg 11376  ∗ccj 15056  ℜcre 15057  ℑcim 15058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061

This theorem is referenced by:  remul  15089  immul  15096  cjmul  15102