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Theorem hgt750lemf 33330
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
hgt750lemf.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
hgt750lemf.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
hgt750lemf.3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑛   π‘š,𝐻   π‘š,𝐾   𝑃,π‘š,𝑛   𝑄,π‘š,𝑛   πœ‘,π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 26491 . . . . . . 7 Ξ›:β„•βŸΆβ„
32a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
53, 4ffvelcdmd 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 13382 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
98, 4ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
133, 12ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1615, 12ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sselid 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
203, 19ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sselid 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 11193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 11193 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 14039 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 11193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 11193 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
345recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
3531recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ β„‚)
3610recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
3717, 22remulcld 11193 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
3837recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ β„‚)
3934, 35, 36, 38mul4d 11375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
4034, 35mulcld 11183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
4136, 38mulcld 11183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
4240, 41mulcomd 11184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
4313recnd 11191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
4420recnd 11191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ β„‚)
4517recnd 11191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
4622recnd 11191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ β„‚)
4743, 44, 45, 46mul4d 11375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))
4847oveq2d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
5010, 37remulcld 11193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 26493 . . . . . . 7 ((π‘›β€˜0) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
53 vmage0 26493 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
55 vmage0 26493 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜2) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 11740 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 11740 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 11210 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 11217 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 13324 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
68 icogelb 13324 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
70 icogelb 13324 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 11740 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))
73 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜0) β†’ (π»β€˜π‘š) = (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
7473breq1d 5119 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘›β€˜0) β†’ ((π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄 ↔ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ≀ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7675ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7776adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ≀ 𝑄)
7926adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘›β€˜1) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
8180breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜1) β†’ ((πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃 ↔ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ≀ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8382ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8483adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ≀ 𝑃)
86 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘›β€˜2) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
8786breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜2) β†’ ((πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃 ↔ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 12105 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ≀ (𝑃 Β· 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 12105 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9127recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) ∈ β„‚)
9228recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
9391, 92mulcomd 11184 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃↑2)))
9426recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9594sqvald 14057 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) = (𝑃 Β· 𝑃))
9695oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 Β· (𝑃↑2)) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9897adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 5137 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((𝑃↑2) Β· 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 12102 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
10149, 100eqbrtrrd 5133 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 15692 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
10329recnd 11191 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ β„‚)
10432recnd 11191 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
1051, 103, 104fsummulc2 15677 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
106102, 105breqtrrd 5137 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  2c2 12216  [,)cico 13275  β†‘cexp 13976  Ξ£csu 15579  Ξ›cvma 26464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-vma 26470
This theorem is referenced by:  hgt750leme  33335
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