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Theorem hgt750lemf 31919
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 25690 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
53, 4ffvelrnd 6847 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 12838 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
87adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
98, 4ffvelrnd 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sseldi 3965 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 10665 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
133, 12ffvelrnd 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1514adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1615, 12ffvelrnd 6847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sseldi 3965 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 10665 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
203, 19ffvelrnd 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelrnd 6847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sseldi 3965 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10665 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 10665 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 10665 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 13605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 10665 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 10665 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 10665 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 10665 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
345recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3531recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3610recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3717, 22remulcld 10665 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
3837recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3934, 35, 36, 38mul4d 10846 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4034, 35mulcld 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4136, 38mulcld 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10656 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
4313recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4420recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4517recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4622recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4743, 44, 45, 46mul4d 10846 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
4847oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2864 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
5010, 37remulcld 10665 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 25692 . . . . . . 7 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53 vmage0 25692 . . . . . . . 8 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55 vmage0 25692 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 11211 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 11211 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5928adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 10665 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 10682 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 10689 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 12782 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68 icogelb 12782 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70 icogelb 12782 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 11211 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73 fveq2 6665 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
7473breq1d 5069 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7675ralrimiva 3182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7776adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
7926adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8180breq1d 5069 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8382ralrimiva 3182 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8483adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3625 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86 fveq2 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
8786breq1d 5069 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3625 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 11576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 11576 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9127recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
9228recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
9391, 92mulcomd 10656 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
9426recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9594sqvald 13501 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
9695oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2856 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9897adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 5087 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 11573 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10149, 100eqbrtrrd 5083 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 15148 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10329recnd 10663 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
10432recnd 10663 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
1051, 103, 104fsummulc2 15133 . 2 (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106102, 105breqtrrd 5087 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138   class class class wbr 5059  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  *cxr 10668  cle 10670  cn 11632  2c2 11686  [,)cico 12734  cexp 13423  Σcsu 15036  Λcvma 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-vma 25669
This theorem is referenced by:  hgt750leme  31924
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