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Theorem hgt750lemf 32633
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 26268 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
53, 4ffvelrnd 6962 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 13188 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
98, 4ffvelrnd 6962 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sselid 3919 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11005 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
133, 12ffvelrnd 6962 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1615, 12ffvelrnd 6962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sselid 3919 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 11005 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
203, 19ffvelrnd 6962 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelrnd 6962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sselid 3919 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 11005 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 11005 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 11005 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 13965 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11005 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 11005 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 11005 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 11005 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
345recnd 11003 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3531recnd 11003 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3610recnd 11003 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3717, 22remulcld 11005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
3837recnd 11003 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3934, 35, 36, 38mul4d 11187 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4034, 35mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4136, 38mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10996 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
4313recnd 11003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4420recnd 11003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4517recnd 11003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4622recnd 11003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4743, 44, 45, 46mul4d 11187 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
4847oveq2d 7291 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2786 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
5010, 37remulcld 11005 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 26270 . . . . . . 7 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53 vmage0 26270 . . . . . . . 8 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55 vmage0 26270 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 11552 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 11552 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 11005 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 11022 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 11029 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 13130 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68 icogelb 13130 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70 icogelb 13130 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 11552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73 fveq2 6774 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
7473breq1d 5084 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7675ralrimiva 3103 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7776adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3562 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
7926adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6774 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8180breq1d 5084 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8382ralrimiva 3103 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3562 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86 fveq2 6774 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
8786breq1d 5084 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3562 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 11917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 11917 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9127recnd 11003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
9228recnd 11003 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
9391, 92mulcomd 10996 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
9426recnd 11003 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9594sqvald 13861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
9695oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9897adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 5102 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 11914 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10149, 100eqbrtrrd 5098 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 15511 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10329recnd 11003 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
10432recnd 11003 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
1051, 103, 104fsummulc2 15496 . 2 (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106102, 105breqtrrd 5102 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5074  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  *cxr 11008  cle 11010  cn 11973  2c2 12028  [,)cico 13081  cexp 13782  Σcsu 15397  Λcvma 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-vma 26247
This theorem is referenced by:  hgt750leme  32638
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