Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemf 31052
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 25055 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
53, 4ffvelrnd 6578 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 12496 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
87adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
98, 4ffvelrnd 6578 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sseldi 3796 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 10351 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
133, 12ffvelrnd 6578 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1514adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1615, 12ffvelrnd 6578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sseldi 3796 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 10351 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
203, 19ffvelrnd 6578 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelrnd 6578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sseldi 3796 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10351 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 10351 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 10351 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 13254 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 10351 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 10351 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 10351 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 10351 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
345recnd 10349 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3531recnd 10349 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3610recnd 10349 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3717, 22remulcld 10351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
3837recnd 10349 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3934, 35, 36, 38mul4d 10529 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4034, 35mulcld 10341 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4136, 38mulcld 10341 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10342 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
4313recnd 10349 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4420recnd 10349 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4517recnd 10349 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4622recnd 10349 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4743, 44, 45, 46mul4d 10529 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
4847oveq2d 6886 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2848 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
5010, 37remulcld 10351 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 25057 . . . . . . 7 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53 vmage0 25057 . . . . . . . 8 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55 vmage0 25057 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 10885 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 10885 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5928adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 10351 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 10367 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 10373 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 12439 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68 icogelb 12439 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70 icogelb 12439 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 10885 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73 fveq2 6404 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
7473breq1d 4854 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7675ralrimiva 3154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7776adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
7926adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6404 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8180breq1d 4854 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8382ralrimiva 3154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8483adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86 fveq2 6404 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
8786breq1d 4854 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 11247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 11247 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9127recnd 10349 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
9228recnd 10349 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
9391, 92mulcomd 10342 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
9426recnd 10349 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9594sqvald 13224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
9695oveq2d 6886 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9897adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 4872 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 11244 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10149, 100eqbrtrrd 4868 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 14749 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10329recnd 10349 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
10432recnd 10349 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
1051, 103, 104fsummulc2 14734 . 2 (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106102, 105breqtrrd 4872 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096   class class class wbr 4844  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  Fincfn 8188  cr 10216  0cc0 10217  1c1 10218   · cmul 10222  +∞cpnf 10352  *cxr 10354  cle 10356  cn 11301  2c2 11352  [,)cico 12391  cexp 13079  Σcsu 14635  Λcvma 25028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-pi 15019  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-prm 15600  df-pc 15755  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841  df-log 24513  df-vma 25034
This theorem is referenced by:  hgt750leme  31057
  Copyright terms: Public domain W3C validator