Theorem hgt750lemf 34690

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemf	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vmaf 27086	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4		hgt750lemf.0	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6		rge0ssre 13478	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		hgt750lemf.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8, 4	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
10	6, 9	sselid 3961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12		hgt750lemf.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
13	3, 12	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14		hgt750lemf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
16	15, 12	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
17	6, 16	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
18	13, 17	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19		hgt750lemf.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
20	3, 19	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
21	15, 19	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
22	6, 21	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
24	18, 23	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
25	11, 24	remulcld 11270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26		hgt750lemf.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28		hgt750lemf.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
31	13, 20	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
34	5	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
35	31	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
36	10	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
37	17, 22	remulcld 11270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
39	34, 35, 36, 38	mul4d 11452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
40	34, 35	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
41	36, 38	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
43	13	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
44	20	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
45	17	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
46	22	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
47	43, 44, 45, 46	mul4d 11452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
48	47	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
49	39, 42, 48	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
50	10, 37	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51		vmage0 27088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
52	4, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53		vmage0 27088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
54	12, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55		vmage0 27088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
56	19, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
57	13, 20, 54, 56	mulge0d 11819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
58	5, 31, 52, 57	mulge0d 11819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
60	26, 26	remulcld 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62		0xr 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66		icogelb 13418	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
67	63, 65, 9, 66	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68		icogelb 13418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
69	63, 65, 16, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70		icogelb 13418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
71	63, 65, 21, 70	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
72	17, 22, 69, 71	mulge0d 11819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻‘𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
74	73	breq1d 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75		hgt750lemf.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
76	75	ralrimiva 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
77	76	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
78	74, 77, 4	rspcdva 3607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
79	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
81	80	breq1d 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82		hgt750lemf.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
83	82	ralrimiva 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
85	81, 84, 12	rspcdva 3607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
87	86	breq1d 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
88	87, 84, 19	rspcdva 3607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
89	17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88	lemul12ad 12189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
90	10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89	lemul12ad 12189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
91	27	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
92	28	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
93	91, 92	mulcomd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
94	26	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
95	94	sqvald 14166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
96	95	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
97	93, 96	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
98	97	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
99	90, 98	breqtrrd 5152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
100	50, 30, 32, 58, 99	lemul1ad 12186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
101	49, 100	eqbrtrrd 5148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
102	1, 25, 33, 101	fsumle 15820	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
103	29	recnd 11268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
104	32	recnd 11268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
105	1, 103, 104	fsummulc2 15805	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106	102, 105	breqtrrd 5152	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  ℕcn 12245  2c2 12300  [,)cico 13369  ↑cexp 14084  Σcsu 15707  Λcvma 27059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16862  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-vma 27065

This theorem is referenced by:  hgt750leme  34695