Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hgt750lemf.a |
. . 3
β’ (π β π΄ β Fin) |
2 | | vmaf 26491 |
. . . . . . 7
β’
Ξ:ββΆβ |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β
Ξ:ββΆβ) |
4 | | hgt750lemf.0 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (πβ0) β β) |
5 | 3, 4 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β (Ξβ(πβ0)) β β) |
6 | | rge0ssre 13382 |
. . . . . 6
β’
(0[,)+β) β β |
7 | | hgt750lemf.h |
. . . . . . . 8
β’ (π β π»:ββΆ(0[,)+β)) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β π»:ββΆ(0[,)+β)) |
9 | 8, 4 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (π»β(πβ0)) β
(0[,)+β)) |
10 | 6, 9 | sselid 3946 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β (π»β(πβ0)) β β) |
11 | 5, 10 | remulcld 11193 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) β β) |
12 | | hgt750lemf.1 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (πβ1) β β) |
13 | 3, 12 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (Ξβ(πβ1)) β β) |
14 | | hgt750lemf.k |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΎ:ββΆ(0[,)+β)) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β πΎ:ββΆ(0[,)+β)) |
16 | 15, 12 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ1)) β
(0[,)+β)) |
17 | 6, 16 | sselid 3946 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ1)) β β) |
18 | 13, 17 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) β β) |
19 | | hgt750lemf.2 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (πβ2) β β) |
20 | 3, 19 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (Ξβ(πβ2)) β β) |
21 | 15, 19 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ2)) β
(0[,)+β)) |
22 | 6, 21 | sselid 3946 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ2)) β β) |
23 | 20, 22 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2))) β β) |
24 | 18, 23 | remulcld 11193 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2)))) β β) |
25 | 11, 24 | remulcld 11193 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2))))) β
β) |
26 | | hgt750lemf.p |
. . . . . . 7
β’ (π β π β β) |
27 | 26 | resqcld 14039 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβ2) β β) |
28 | | hgt750lemf.q |
. . . . . 6
β’ (π β π β β) |
29 | 27, 28 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ (π β ((πβ2) Β· π) β β) |
30 | 29 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β ((πβ2) Β· π) β β) |
31 | 13, 20 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2))) β β) |
32 | 5, 31 | remulcld 11193 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))) β
β) |
33 | 30, 32 | remulcld 11193 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π΄) β (((πβ2) Β· π) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2))))) β
β) |
34 | 5 | recnd 11191 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (Ξβ(πβ0)) β β) |
35 | 31 | recnd 11191 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2))) β β) |
36 | 10 | recnd 11191 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (π»β(πβ0)) β β) |
37 | 17, 22 | remulcld 11193 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2))) β β) |
38 | 37 | recnd 11191 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2))) β β) |
39 | 34, 35, 36, 38 | mul4d 11375 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))) Β· ((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2))))) = (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2))) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))))) |
40 | 34, 35 | mulcld 11183 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))) β
β) |
41 | 36, 38 | mulcld 11183 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β ((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) β β) |
42 | 40, 41 | mulcomd 11184 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))) Β· ((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2))))) = (((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))))) |
43 | 13 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (Ξβ(πβ1)) β β) |
44 | 20 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (Ξβ(πβ2)) β β) |
45 | 17 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ1)) β β) |
46 | 22 | recnd 11191 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ2)) β β) |
47 | 43, 44, 45, 46 | mul4d 11375 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2))) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) = (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2))))) |
48 | 47 | oveq2d 7377 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2))) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2))))) = (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2)))))) |
49 | 39, 42, 48 | 3eqtr3d 2781 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β (((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2))))) =
(((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2)))))) |
50 | 10, 37 | remulcld 11193 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β ((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) β β) |
51 | | vmage0 26493 |
. . . . . . 7
β’ ((πβ0) β β β
0 β€ (Ξβ(πβ0))) |
52 | 4, 51 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ (Ξβ(πβ0))) |
53 | | vmage0 26493 |
. . . . . . . 8
β’ ((πβ1) β β β
0 β€ (Ξβ(πβ1))) |
54 | 12, 53 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ (Ξβ(πβ1))) |
55 | | vmage0 26493 |
. . . . . . . 8
β’ ((πβ2) β β β
0 β€ (Ξβ(πβ2))) |
56 | 19, 55 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ (Ξβ(πβ2))) |
57 | 13, 20, 54, 56 | mulge0d 11740 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ ((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2)))) |
58 | 5, 31, 52, 57 | mulge0d 11740 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2))))) |
59 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β π β β) |
60 | 26, 26 | remulcld 11193 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· π) β β) |
61 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (π Β· π) β β) |
62 | | 0xr 11210 |
. . . . . . . . 9
β’ 0 β
β* |
63 | 62 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β
β*) |
64 | | pnfxr 11217 |
. . . . . . . . 9
β’ +β
β β* |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β +β β
β*) |
66 | | icogelb 13324 |
. . . . . . . 8
β’ ((0
β β* β§ +β β β* β§
(π»β(πβ0)) β
(0[,)+β)) β 0 β€ (π»β(πβ0))) |
67 | 63, 65, 9, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ (π»β(πβ0))) |
68 | | icogelb 13324 |
. . . . . . . . 9
β’ ((0
β β* β§ +β β β* β§
(πΎβ(πβ1)) β
(0[,)+β)) β 0 β€ (πΎβ(πβ1))) |
69 | 63, 65, 16, 68 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ (πΎβ(πβ1))) |
70 | | icogelb 13324 |
. . . . . . . . 9
β’ ((0
β β* β§ +β β β* β§
(πΎβ(πβ2)) β
(0[,)+β)) β 0 β€ (πΎβ(πβ2))) |
71 | 63, 65, 21, 70 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ (πΎβ(πβ2))) |
72 | 17, 22, 69, 71 | mulge0d 11740 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β 0 β€ ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) |
73 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (πβ0) β (π»βπ) = (π»β(πβ0))) |
74 | 73 | breq1d 5119 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (πβ0) β ((π»βπ) β€ π β (π»β(πβ0)) β€ π)) |
75 | | hgt750lemf.4 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (π»βπ) β€ π) |
76 | 75 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β βπ β β (π»βπ) β€ π) |
77 | 76 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β βπ β β (π»βπ) β€ π) |
78 | 74, 77, 4 | rspcdva 3584 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β (π»β(πβ0)) β€ π) |
79 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β π β β) |
80 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (πβ1) β (πΎβπ) = (πΎβ(πβ1))) |
81 | 80 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (πβ1) β ((πΎβπ) β€ π β (πΎβ(πβ1)) β€ π)) |
82 | | hgt750lemf.3 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β (πΎβπ) β€ π) |
83 | 82 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β βπ β β (πΎβπ) β€ π) |
84 | 83 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π΄) β βπ β β (πΎβπ) β€ π) |
85 | 81, 84, 12 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ1)) β€ π) |
86 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (πβ2) β (πΎβπ) = (πΎβ(πβ2))) |
87 | 86 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (πβ2) β ((πΎβπ) β€ π β (πΎβ(πβ2)) β€ π)) |
88 | 87, 84, 19 | rspcdva 3584 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β (πΎβ(πβ2)) β€ π) |
89 | 17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88 | lemul12ad 12105 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΄) β ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2))) β€ (π Β· π)) |
90 | 10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89 | lemul12ad 12105 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β ((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) β€ (π Β· (π Β· π))) |
91 | 27 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πβ2) β β) |
92 | 28 | recnd 11191 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β β) |
93 | 91, 92 | mulcomd 11184 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((πβ2) Β· π) = (π Β· (πβ2))) |
94 | 26 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β) |
95 | 94 | sqvald 14057 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πβ2) = (π Β· π)) |
96 | 95 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· (πβ2)) = (π Β· (π Β· π))) |
97 | 93, 96 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((πβ2) Β· π) = (π Β· (π Β· π))) |
98 | 97 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΄) β ((πβ2) Β· π) = (π Β· (π Β· π))) |
99 | 90, 98 | breqtrrd 5137 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π΄) β ((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) β€ ((πβ2) Β· π)) |
100 | 50, 30, 32, 58, 99 | lemul1ad 12102 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β (((π»β(πβ0)) Β· ((πΎβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ2)))) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2))))) β€ (((πβ2) Β· π) Β·
((Ξβ(πβ0)) Β· ((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2)))))) |
101 | 49, 100 | eqbrtrrd 5133 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π΄) β (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2))))) β€ (((πβ2) Β· π) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))))) |
102 | 1, 25, 33, 101 | fsumle 15692 |
. 2
β’ (π β Ξ£π β π΄ (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2))))) β€ Ξ£π β π΄ (((πβ2) Β· π) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))))) |
103 | 29 | recnd 11191 |
. . 3
β’ (π β ((πβ2) Β· π) β β) |
104 | 32 | recnd 11191 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π΄) β ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))) β
β) |
105 | 1, 103, 104 | fsummulc2 15677 |
. 2
β’ (π β (((πβ2) Β· π) Β· Ξ£π β π΄ ((Ξβ(πβ0)) Β· ((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2))))) = Ξ£π β π΄ (((πβ2) Β· π) Β· ((Ξβ(πβ0)) Β·
((Ξβ(πβ1)) Β· (Ξβ(πβ2)))))) |
106 | 102, 105 | breqtrrd 5137 |
1
β’ (π β Ξ£π β π΄ (((Ξβ(πβ0)) Β· (π»β(πβ0))) Β· (((Ξβ(πβ1)) Β· (πΎβ(πβ1))) Β· ((Ξβ(πβ2)) Β· (πΎβ(πβ2))))) β€ (((πβ2) Β· π) Β· Ξ£π β π΄ ((Ξβ(πβ0)) Β· ((Ξβ(πβ1)) Β·
(Ξβ(πβ2)))))) |