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Theorem hgt750lemf 34194
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
hgt750lemf.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
hgt750lemf.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
hgt750lemf.3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑛   π‘š,𝐻   π‘š,𝐾   𝑃,π‘š,𝑛   𝑄,π‘š,𝑛   πœ‘,π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 27002 . . . . . . 7 Ξ›:β„•βŸΆβ„
32a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
53, 4ffvelcdmd 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 13436 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
98, 4ffvelcdmd 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11245 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
133, 12ffvelcdmd 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1615, 12ffvelcdmd 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sselid 3975 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 11245 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
203, 19ffvelcdmd 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelcdmd 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sselid 3975 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 11245 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 11245 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 11245 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 14093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11245 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 11245 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 11245 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 11245 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
345recnd 11243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
3531recnd 11243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ β„‚)
3610recnd 11243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
3717, 22remulcld 11245 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
3837recnd 11243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ β„‚)
3934, 35, 36, 38mul4d 11427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
4034, 35mulcld 11235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
4136, 38mulcld 11235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
4240, 41mulcomd 11236 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
4313recnd 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
4420recnd 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ β„‚)
4517recnd 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
4622recnd 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ β„‚)
4743, 44, 45, 46mul4d 11427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))
4847oveq2d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
5010, 37remulcld 11245 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 27004 . . . . . . 7 ((π‘›β€˜0) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
53 vmage0 27004 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
55 vmage0 27004 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜2) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 11792 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 11792 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 11245 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 11262 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 11269 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 13378 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
68 icogelb 13378 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
70 icogelb 13378 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 11792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))
73 fveq2 6884 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜0) β†’ (π»β€˜π‘š) = (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
7473breq1d 5151 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘›β€˜0) β†’ ((π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄 ↔ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ≀ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7675ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7776adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3607 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ≀ 𝑄)
7926adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘›β€˜1) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
8180breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜1) β†’ ((πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃 ↔ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ≀ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8382ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3607 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ≀ 𝑃)
86 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘›β€˜2) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
8786breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜2) β†’ ((πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃 ↔ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3607 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 12157 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ≀ (𝑃 Β· 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 12157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9127recnd 11243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) ∈ β„‚)
9228recnd 11243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
9391, 92mulcomd 11236 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃↑2)))
9426recnd 11243 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9594sqvald 14111 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) = (𝑃 Β· 𝑃))
9695oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 Β· (𝑃↑2)) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9897adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((𝑃↑2) Β· 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 12154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
10149, 100eqbrtrrd 5165 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 15749 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
10329recnd 11243 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ β„‚)
10432recnd 11243 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
1051, 103, 104fsummulc2 15734 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
106102, 105breqtrrd 5169 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  2c2 12268  [,)cico 13329  β†‘cexp 14030  Ξ£csu 15636  Ξ›cvma 26975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-vma 26981
This theorem is referenced by:  hgt750leme  34199
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