Theorem hgt750lemf 32533

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemf	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vmaf 26173	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4		hgt750lemf.0	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6		rge0ssre 13117	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		hgt750lemf.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8, 4	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
10	6, 9	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 10936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12		hgt750lemf.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
13	3, 12	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14		hgt750lemf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
16	15, 12	ffvelrnd 6944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
17	6, 16	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
18	13, 17	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19		hgt750lemf.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
20	3, 19	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
21	15, 19	ffvelrnd 6944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
22	6, 21	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
24	18, 23	remulcld 10936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
25	11, 24	remulcld 10936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26		hgt750lemf.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
27	26	resqcld 13893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28		hgt750lemf.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
31	13, 20	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 10936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 10936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
34	5	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
35	31	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
36	10	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
37	17, 22	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
39	34, 35, 36, 38	mul4d 11117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
40	34, 35	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
41	36, 38	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
43	13	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
44	20	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
45	17	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
46	22	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
47	43, 44, 45, 46	mul4d 11117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
48	47	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
49	39, 42, 48	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
50	10, 37	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51		vmage0 26175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
52	4, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53		vmage0 26175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
54	12, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55		vmage0 26175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
56	19, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
57	13, 20, 54, 56	mulge0d 11482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
58	5, 31, 52, 57	mulge0d 11482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
60	26, 26	remulcld 10936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62		0xr 10953	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66		icogelb 13059	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
67	63, 65, 9, 66	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68		icogelb 13059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
69	63, 65, 16, 68	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70		icogelb 13059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
71	63, 65, 21, 70	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
72	17, 22, 69, 71	mulge0d 11482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻‘𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
74	73	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75		hgt750lemf.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
76	75	ralrimiva 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
77	76	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
78	74, 77, 4	rspcdva 3554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
79	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
81	80	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82		hgt750lemf.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
83	82	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
85	81, 84, 12	rspcdva 3554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
87	86	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
88	87, 84, 19	rspcdva 3554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
89	17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88	lemul12ad 11847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
90	10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89	lemul12ad 11847	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
91	27	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
92	28	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
93	91, 92	mulcomd 10927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
94	26	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
95	94	sqvald 13789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
96	95	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
97	93, 96	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
98	97	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
99	90, 98	breqtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
100	50, 30, 32, 58, 99	lemul1ad 11844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
101	49, 100	eqbrtrrd 5094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
102	1, 25, 33, 101	fsumle 15439	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
103	29	recnd 10934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
104	32	recnd 10934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
105	1, 103, 104	fsummulc2 15424	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106	102, 105	breqtrrd 5098	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  [,)cico 13010  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  Λcvma 26146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-vma 26152

This theorem is referenced by:  hgt750leme  32538