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Theorem hgt750lemf 34285
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
hgt750lemf.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
hgt750lemf.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
hgt750lemf.3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑛   π‘š,𝐻   π‘š,𝐾   𝑃,π‘š,𝑛   𝑄,π‘š,𝑛   πœ‘,π‘š,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 27064 . . . . . . 7 Ξ›:β„•βŸΆβ„
32a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
53, 4ffvelcdmd 7095 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 13466 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
98, 4ffvelcdmd 7095 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sselid 3978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11275 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
133, 12ffvelcdmd 7095 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1615, 12ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sselid 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 11275 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
203, 19ffvelcdmd 7095 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sselid 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 11275 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 11275 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 11275 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 14122 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11275 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 11275 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 11275 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 11275 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) ∈ ℝ)
345recnd 11273 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
3531recnd 11273 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ β„‚)
3610recnd 11273 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
3717, 22remulcld 11275 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
3837recnd 11273 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ∈ β„‚)
3934, 35, 36, 38mul4d 11457 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
4034, 35mulcld 11265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
4136, 38mulcld 11265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
4240, 41mulcomd 11266 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
4313recnd 11273 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
4420recnd 11273 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ β„‚)
4517recnd 11273 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
4622recnd 11273 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ β„‚)
4743, 44, 45, 46mul4d 11457 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))
4847oveq2d 7436 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
5010, 37remulcld 11275 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 27066 . . . . . . 7 ((π‘›β€˜0) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
53 vmage0 27066 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
55 vmage0 27066 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜2) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 11822 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 11822 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))))
5928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 11275 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 Β· 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 11292 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 11299 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 13408 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
68 icogelb 13408 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
70 icogelb 13408 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 11822 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))
73 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜0) β†’ (π»β€˜π‘š) = (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
7473breq1d 5158 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘›β€˜0) β†’ ((π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄 ↔ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ≀ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7675ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7776adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π»β€˜π‘š) ≀ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3610 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) ≀ 𝑄)
7926adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘›β€˜1) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
8180breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜1) β†’ ((πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃 ↔ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ≀ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8382ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3610 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) ≀ 𝑃)
86 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘›β€˜2) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
8786breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘›β€˜2) β†’ ((πΎβ€˜π‘š) ≀ 𝑃 ↔ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3610 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 12187 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))) ≀ (𝑃 Β· 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 12187 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9127recnd 11273 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) ∈ β„‚)
9228recnd 11273 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
9391, 92mulcomd 11266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃↑2)))
9426recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9594sqvald 14140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃↑2) = (𝑃 Β· 𝑃))
9695oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 Β· (𝑃↑2)) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9897adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) = (𝑄 Β· (𝑃 Β· 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 5176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((𝑃↑2) Β· 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 12184 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((π»β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
10149, 100eqbrtrrd 5172 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 15778 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
10329recnd 11273 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑2) Β· 𝑄) ∈ β„‚)
10432recnd 11273 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ β„‚)
1051, 103, 104fsummulc2 15763 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
106102, 105breqtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) ≀ (((𝑃↑2) Β· 𝑄) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   Β· cmul 11144  +∞cpnf 11276  β„*cxr 11278   ≀ cle 11280  β„•cn 12243  2c2 12298  [,)cico 13359  β†‘cexp 14059  Ξ£csu 15665  Ξ›cvma 27037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-pc 16806  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-vma 27043
This theorem is referenced by:  hgt750leme  34290
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