Proof of Theorem hgt750lemf
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | hgt750lemf.a | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) | 
| 2 |  | vmaf 27162 | . . . . . . 7
⊢
Λ:ℕ⟶ℝ | 
| 3 | 2 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) →
Λ:ℕ⟶ℝ) | 
| 4 |  | hgt750lemf.0 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ) | 
| 5 | 3, 4 | ffvelcdmd 7105 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) | 
| 6 |  | rge0ssre 13496 | . . . . . 6
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ | 
| 7 |  | hgt750lemf.h | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) | 
| 9 | 8, 4 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈
(0[,)+∞)) | 
| 10 | 6, 9 | sselid 3981 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) | 
| 11 | 5, 10 | remulcld 11291 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ) | 
| 12 |  | hgt750lemf.1 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ) | 
| 13 | 3, 12 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) | 
| 14 |  | hgt750lemf.k | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) | 
| 16 | 15, 12 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈
(0[,)+∞)) | 
| 17 | 6, 16 | sselid 3981 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) | 
| 18 | 13, 17 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ) | 
| 19 |  | hgt750lemf.2 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ) | 
| 20 | 3, 19 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) | 
| 21 | 15, 19 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈
(0[,)+∞)) | 
| 22 | 6, 21 | sselid 3981 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) | 
| 23 | 20, 22 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) | 
| 24 | 18, 23 | remulcld 11291 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) | 
| 25 | 11, 24 | remulcld 11291 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) | 
| 26 |  | hgt750lemf.p | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ) | 
| 27 | 26 | resqcld 14165 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ) | 
| 28 |  | hgt750lemf.q | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ) | 
| 29 | 27, 28 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ) | 
| 30 | 29 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ) | 
| 31 | 13, 20 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) | 
| 32 | 5, 31 | remulcld 11291 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℝ) | 
| 33 | 30, 32 | remulcld 11291 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) | 
| 34 | 5 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ) | 
| 35 | 31 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ) | 
| 36 | 10 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ) | 
| 37 | 17, 22 | remulcld 11291 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) | 
| 38 | 37 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ) | 
| 39 | 34, 35, 36, 38 | mul4d 11473 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) | 
| 40 | 34, 35 | mulcld 11281 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℂ) | 
| 41 | 36, 38 | mulcld 11281 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ) | 
| 42 | 40, 41 | mulcomd 11282 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) | 
| 43 | 13 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ) | 
| 44 | 20 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ) | 
| 45 | 17 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ) | 
| 46 | 22 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ) | 
| 47 | 43, 44, 45, 46 | mul4d 11473 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) | 
| 48 | 47 | oveq2d 7447 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) | 
| 49 | 39, 42, 48 | 3eqtr3d 2785 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) =
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) | 
| 50 | 10, 37 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) | 
| 51 |  | vmage0 27164 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑛‘0) ∈ ℕ →
0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0))) | 
| 52 | 4, 51 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0))) | 
| 53 |  | vmage0 27164 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑛‘1) ∈ ℕ →
0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1))) | 
| 54 | 12, 53 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1))) | 
| 55 |  | vmage0 27164 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑛‘2) ∈ ℕ →
0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2))) | 
| 56 | 19, 55 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2))) | 
| 57 | 13, 20, 54, 56 | mulge0d 11840 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) | 
| 58 | 5, 31, 52, 57 | mulge0d 11840 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) | 
| 59 | 28 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ) | 
| 60 | 26, 26 | remulcld 11291 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ) | 
| 61 | 60 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ) | 
| 62 |  | 0xr 11308 | . . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ* | 
| 63 | 62 | a1i 11 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ∈
ℝ*) | 
| 64 |  | pnfxr 11315 | . . . . . . . . 9
⊢ +∞
∈ ℝ* | 
| 65 | 64 | a1i 11 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 66 |  | icogelb 13438 | . . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝐻‘(𝑛‘0)) ∈
(0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0))) | 
| 67 | 63, 65, 9, 66 | syl3anc 1373 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0))) | 
| 68 |  | icogelb 13438 | . . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝐾‘(𝑛‘1)) ∈
(0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1))) | 
| 69 | 63, 65, 16, 68 | syl3anc 1373 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1))) | 
| 70 |  | icogelb 13438 | . . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝐾‘(𝑛‘2)) ∈
(0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2))) | 
| 71 | 63, 65, 21, 70 | syl3anc 1373 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2))) | 
| 72 | 17, 22, 69, 71 | mulge0d 11840 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) | 
| 73 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻‘𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0))) | 
| 74 | 73 | breq1d 5153 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)) | 
| 75 |  | hgt750lemf.4 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄) | 
| 76 | 75 | ralrimiva 3146 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄) | 
| 77 | 76 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄) | 
| 78 | 74, 77, 4 | rspcdva 3623 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄) | 
| 79 | 26 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ) | 
| 80 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1))) | 
| 81 | 80 | breq1d 5153 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)) | 
| 82 |  | hgt750lemf.3 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃) | 
| 83 | 82 | ralrimiva 3146 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃) | 
| 84 | 83 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃) | 
| 85 | 81, 84, 12 | rspcdva 3623 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃) | 
| 86 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2))) | 
| 87 | 86 | breq1d 5153 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)) | 
| 88 | 87, 84, 19 | rspcdva 3623 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃) | 
| 89 | 17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88 | lemul12ad 12210 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃)) | 
| 90 | 10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89 | lemul12ad 12210 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) | 
| 91 | 27 | recnd 11289 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ) | 
| 92 | 28 | recnd 11289 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ) | 
| 93 | 91, 92 | mulcomd 11282 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2))) | 
| 94 | 26 | recnd 11289 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ) | 
| 95 | 94 | sqvald 14183 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃)) | 
| 96 | 95 | oveq2d 7447 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) | 
| 97 | 93, 96 | eqtrd 2777 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) | 
| 98 | 97 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) | 
| 99 | 90, 98 | breqtrrd 5171 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄)) | 
| 100 | 50, 30, 32, 58, 99 | lemul1ad 12207 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) ·
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) | 
| 101 | 49, 100 | eqbrtrrd 5167 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) | 
| 102 | 1, 25, 33, 101 | fsumle 15835 | . 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) | 
| 103 | 29 | recnd 11289 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ) | 
| 104 | 32 | recnd 11289 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℂ) | 
| 105 | 1, 103, 104 | fsummulc2 15820 | . 2
⊢ (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) | 
| 106 | 102, 105 | breqtrrd 5171 | 1
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) |