Theorem hgt750lemf 32203

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemf	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vmaf 25856	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4		hgt750lemf.0	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelrnd 6862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6		rge0ssre 12930	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		hgt750lemf.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8, 4	ffvelrnd 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
10	6, 9	sseldi 3875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 10749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12		hgt750lemf.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
13	3, 12	ffvelrnd 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14		hgt750lemf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
16	15, 12	ffvelrnd 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
17	6, 16	sseldi 3875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
18	13, 17	remulcld 10749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19		hgt750lemf.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
20	3, 19	ffvelrnd 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
21	15, 19	ffvelrnd 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
22	6, 21	sseldi 3875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 10749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
24	18, 23	remulcld 10749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
25	11, 24	remulcld 10749	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26		hgt750lemf.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
27	26	resqcld 13703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28		hgt750lemf.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 10749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
30	29	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
31	13, 20	remulcld 10749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 10749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 10749	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
34	5	recnd 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
35	31	recnd 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
36	10	recnd 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
37	17, 22	remulcld 10749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
39	34, 35, 36, 38	mul4d 10930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
40	34, 35	mulcld 10739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
41	36, 38	mulcld 10739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 10740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
43	13	recnd 10747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
44	20	recnd 10747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
45	17	recnd 10747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
46	22	recnd 10747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
47	43, 44, 45, 46	mul4d 10930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
48	47	oveq2d 7186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
49	39, 42, 48	3eqtr3d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
50	10, 37	remulcld 10749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51		vmage0 25858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
52	4, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53		vmage0 25858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
54	12, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55		vmage0 25858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
56	19, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
57	13, 20, 54, 56	mulge0d 11295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
58	5, 31, 52, 57	mulge0d 11295	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
60	26, 26	remulcld 10749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
61	60	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62		0xr 10766	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 10773	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66		icogelb 12872	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
67	63, 65, 9, 66	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68		icogelb 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
69	63, 65, 16, 68	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70		icogelb 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
71	63, 65, 21, 70	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
72	17, 22, 69, 71	mulge0d 11295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73		fveq2 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻‘𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
74	73	breq1d 5040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75		hgt750lemf.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
76	75	ralrimiva 3096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
77	76	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
78	74, 77, 4	rspcdva 3528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
79	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
81	80	breq1d 5040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82		hgt750lemf.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
83	82	ralrimiva 3096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
84	83	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
85	81, 84, 12	rspcdva 3528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
87	86	breq1d 5040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
88	87, 84, 19	rspcdva 3528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
89	17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88	lemul12ad 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
90	10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89	lemul12ad 11660	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
91	27	recnd 10747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
92	28	recnd 10747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
93	91, 92	mulcomd 10740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
94	26	recnd 10747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
95	94	sqvald 13599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
96	95	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
97	93, 96	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
98	97	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
99	90, 98	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
100	50, 30, 32, 58, 99	lemul1ad 11657	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
101	49, 100	eqbrtrrd 5054	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
102	1, 25, 33, 101	fsumle 15247	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
103	29	recnd 10747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
104	32	recnd 10747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
105	1, 103, 104	fsummulc2 15232	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106	102, 105	breqtrrd 5058	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053   class class class wbr 5030  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620  +∞cpnf 10750  ℝ^*cxr 10752   ≤ cle 10754  ℕcn 11716  2c2 11771  [,)cico 12823  ↑cexp 13521  Σcsu 15135  Λcvma 25829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113  df-pc 16274  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-vma 25835

This theorem is referenced by:  hgt750leme  32208