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Theorem hgt750lemf 34221
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 27038 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
53, 4ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 13457 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
98, 4ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sselid 3976 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11266 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
133, 12ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1615, 12ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sselid 3976 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
203, 19ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sselid 3976 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 11266 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 11266 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 14113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 11266 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 11266 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 11266 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
345recnd 11264 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3531recnd 11264 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3610recnd 11264 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3717, 22remulcld 11266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
3837recnd 11264 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3934, 35, 36, 38mul4d 11448 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4034, 35mulcld 11256 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4136, 38mulcld 11256 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 11257 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
4313recnd 11264 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4420recnd 11264 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4517recnd 11264 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4622recnd 11264 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4743, 44, 45, 46mul4d 11448 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
4847oveq2d 7430 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2775 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
5010, 37remulcld 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 27040 . . . . . . 7 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53 vmage0 27040 . . . . . . . 8 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55 vmage0 27040 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 11813 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 11813 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 11266 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 11283 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 11290 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 13399 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68 icogelb 13399 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70 icogelb 13399 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 11813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
7473breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7675ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7776adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
7926adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8180breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8382ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
8786breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 12178 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 12178 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9127recnd 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
9228recnd 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
9391, 92mulcomd 11257 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
9426recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9594sqvald 14131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
9695oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2767 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9897adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 5170 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 12175 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10149, 100eqbrtrrd 5166 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 15769 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10329recnd 11264 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
10432recnd 11264 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
1051, 103, 104fsummulc2 15754 . 2 (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106102, 105breqtrrd 5170 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056   class class class wbr 5142  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   · cmul 11135  +∞cpnf 11267  *cxr 11269  cle 11271  cn 12234  2c2 12289  [,)cico 13350  cexp 14050  Σcsu 15656  Λcvma 27011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-vma 27017
This theorem is referenced by:  hgt750leme  34226
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