Theorem hgt750lemf 35282

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemf	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vmaf 27446	. . . . . . 7 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4		hgt750lemf.0	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6		rge0ssre 13587	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7		hgt750lemf.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8, 4	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
10	6, 9	sselid 3906	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12		hgt750lemf.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
13	3, 12	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14		hgt750lemf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
16	15, 12	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
17	6, 16	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
18	13, 17	remulcld 11339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19		hgt750lemf.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
20	3, 19	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
21	15, 19	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
22	6, 21	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
24	18, 23	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
25	11, 24	remulcld 11339	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26		hgt750lemf.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28		hgt750lemf.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
29	27, 28	remulcld 11339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
31	13, 20	remulcld 11339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
32	5, 31	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11339	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
34	5	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
35	31	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
36	10	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
37	17, 22	remulcld 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
39	34, 35, 36, 38	mul4d 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
40	34, 35	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
41	36, 38	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11330	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
43	13	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
44	20	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
45	17	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
46	22	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
47	43, 44, 45, 46	mul4d 11522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
48	47	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
49	39, 42, 48	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
50	10, 37	remulcld 11339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51		vmage0 27448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
52	4, 51	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53		vmage0 27448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
54	12, 53	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55		vmage0 27448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
56	19, 55	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
57	13, 20, 54, 56	mulge0d 11893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
58	5, 31, 52, 57	mulge0d 11893	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
59	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
60	26, 26	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
61	60	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62		0xr 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64		pnfxr 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66		icogelb 13527	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
67	63, 65, 9, 66	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68		icogelb 13527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
69	63, 65, 16, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70		icogelb 13527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
71	63, 65, 21, 70	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
72	17, 22, 69, 71	mulge0d 11893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻‘𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
74	73	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75		hgt750lemf.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
76	75	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
77	76	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄)
78	74, 77, 4	rspcdva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
79	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
81	80	breq1d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82		hgt750lemf.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
83	82	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
84	83	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃)
85	81, 84, 12	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
87	86	breq1d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
88	87, 84, 19	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
89	17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88	lemul12ad 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
90	10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89	lemul12ad 12259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
91	27	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
92	28	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
93	91, 92	mulcomd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
94	26	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
95	94	sqvald 14286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
96	95	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
97	93, 96	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
98	97	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
99	90, 98	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
100	50, 30, 32, 58, 99	lemul1ad 12256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
101	49, 100	eqbrtrrd 5128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
102	1, 25, 33, 101	fsumle 15966	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
103	29	recnd 11337	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
104	32	recnd 11337	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
105	1, 103, 104	fsummulc2 15950	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106	102, 105	breqtrrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  2c2 12397  [,)cico 13478  ↑cexp 14204  Σcsu 15853  Λcvma 27419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-vma 27425

This theorem is used by:  hgt750leme  35287