Proof of Theorem hgt750lemf
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hgt750lemf.a |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) |
2 | | vmaf 25856 |
. . . . . . 7
⊢
Λ:ℕ⟶ℝ |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
4 | | hgt750lemf.0 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ) |
5 | 3, 4 | ffvelrnd 6862 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) |
6 | | rge0ssre 12930 |
. . . . . 6
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
7 | | hgt750lemf.h |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
8 | 7 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
9 | 8, 4 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈
(0[,)+∞)) |
10 | 6, 9 | sseldi 3875 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ) |
11 | 5, 10 | remulcld 10749 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ) |
12 | | hgt750lemf.1 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ) |
13 | 3, 12 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) |
14 | | hgt750lemf.k |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
15 | 14 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞)) |
16 | 15, 12 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈
(0[,)+∞)) |
17 | 6, 16 | sseldi 3875 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ) |
18 | 13, 17 | remulcld 10749 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ) |
19 | | hgt750lemf.2 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ) |
20 | 3, 19 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) |
21 | 15, 19 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈
(0[,)+∞)) |
22 | 6, 21 | sseldi 3875 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ) |
23 | 20, 22 | remulcld 10749 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) |
24 | 18, 23 | remulcld 10749 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
25 | 11, 24 | remulcld 10749 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
26 | | hgt750lemf.p |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ) |
27 | 26 | resqcld 13703 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ) |
28 | | hgt750lemf.q |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ) |
29 | 27, 28 | remulcld 10749 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ) |
30 | 29 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ) |
31 | 13, 20 | remulcld 10749 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) |
32 | 5, 31 | remulcld 10749 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℝ) |
33 | 30, 32 | remulcld 10749 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈
ℝ) |
34 | 5 | recnd 10747 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ) |
35 | 31 | recnd 10747 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ) |
36 | 10 | recnd 10747 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ) |
37 | 17, 22 | remulcld 10749 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ) |
38 | 37 | recnd 10747 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ) |
39 | 34, 35, 36, 38 | mul4d 10930 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
40 | 34, 35 | mulcld 10739 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℂ) |
41 | 36, 38 | mulcld 10739 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ) |
42 | 40, 41 | mulcomd 10740 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) |
43 | 13 | recnd 10747 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ) |
44 | 20 | recnd 10747 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ) |
45 | 17 | recnd 10747 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ) |
46 | 22 | recnd 10747 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ) |
47 | 43, 44, 45, 46 | mul4d 10930 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) |
48 | 47 | oveq2d 7186 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
49 | 39, 42, 48 | 3eqtr3d 2781 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) =
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
50 | 10, 37 | remulcld 10749 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ) |
51 | | vmage0 25858 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑛‘0) ∈ ℕ →
0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0))) |
52 | 4, 51 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0))) |
53 | | vmage0 25858 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑛‘1) ∈ ℕ →
0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1))) |
54 | 12, 53 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1))) |
55 | | vmage0 25858 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑛‘2) ∈ ℕ →
0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2))) |
56 | 19, 55 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2))) |
57 | 13, 20, 54, 56 | mulge0d 11295 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))) |
58 | 5, 31, 52, 57 | mulge0d 11295 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) |
59 | 28 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ) |
60 | 26, 26 | remulcld 10749 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ) |
61 | 60 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ) |
62 | | 0xr 10766 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ* |
63 | 62 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ∈
ℝ*) |
64 | | pnfxr 10773 |
. . . . . . . . 9
⊢ +∞
∈ ℝ* |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → +∞ ∈
ℝ*) |
66 | | icogelb 12872 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝐻‘(𝑛‘0)) ∈
(0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0))) |
67 | 63, 65, 9, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0))) |
68 | | icogelb 12872 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝐾‘(𝑛‘1)) ∈
(0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1))) |
69 | 63, 65, 16, 68 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1))) |
70 | | icogelb 12872 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝐾‘(𝑛‘2)) ∈
(0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2))) |
71 | 63, 65, 21, 70 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2))) |
72 | 17, 22, 69, 71 | mulge0d 11295 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) |
73 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻‘𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0))) |
74 | 73 | breq1d 5040 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)) |
75 | | hgt750lemf.4 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄) |
76 | 75 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄) |
77 | 76 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻‘𝑚) ≤ 𝑄) |
78 | 74, 77, 4 | rspcdva 3528 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄) |
79 | 26 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ) |
80 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1))) |
81 | 80 | breq1d 5040 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)) |
82 | | hgt750lemf.3 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃) |
83 | 82 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃) |
84 | 83 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃) |
85 | 81, 84, 12 | rspcdva 3528 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃) |
86 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾‘𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2))) |
87 | 86 | breq1d 5040 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾‘𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)) |
88 | 87, 84, 19 | rspcdva 3528 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃) |
89 | 17, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88 | lemul12ad 11660 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃)) |
90 | 10, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89 | lemul12ad 11660 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) |
91 | 27 | recnd 10747 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ) |
92 | 28 | recnd 10747 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ) |
93 | 91, 92 | mulcomd 10740 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2))) |
94 | 26 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ) |
95 | 94 | sqvald 13599 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃)) |
96 | 95 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) |
97 | 93, 96 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) |
98 | 97 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃))) |
99 | 90, 98 | breqtrrd 5058 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄)) |
100 | 50, 30, 32, 58, 99 | lemul1ad 11657 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) ·
((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) |
101 | 49, 100 | eqbrtrrd 5054 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) |
102 | 1, 25, 33, 101 | fsumle 15247 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) |
103 | 29 | recnd 10747 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ) |
104 | 32 | recnd 10747 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈
ℂ) |
105 | 1, 103, 104 | fsummulc2 15232 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) ·
((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))) |
106 | 102, 105 | breqtrrd 5058 |
1
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) ·
(Λ‘(𝑛‘2)))))) |