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Theorem hgt750lemf 31064
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hgt750lemf.p (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
hgt750lemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
hgt750lemf.h (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.k (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
hgt750lemf.0 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
hgt750lemf.1 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
hgt750lemf.2 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
hgt750lemf.3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
hgt750lemf.4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemf (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐻   𝑚,𝐾   𝑃,𝑚,𝑛   𝑄,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem hgt750lemf
StepHypRef Expression
1 hgt750lemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 vmaf 25059 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
4 hgt750lemf.0 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
53, 4ffvelrnd 6501 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
6 rge0ssre 12480 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7 hgt750lemf.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
87adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐻:ℕ⟶(0[,)+∞))
98, 4ffvelrnd 6501 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞))
106, 9sseldi 3750 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
115, 10remulcld 10270 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) ∈ ℝ)
12 hgt750lemf.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
133, 12ffvelrnd 6501 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
14 hgt750lemf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1514adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾:ℕ⟶(0[,)+∞))
1615, 12ffvelrnd 6501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞))
176, 16sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
1813, 17remulcld 10270 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
19 hgt750lemf.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
203, 19ffvelrnd 6501 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2115, 19ffvelrnd 6501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞))
226, 21sseldi 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10270 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
2418, 23remulcld 10270 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
2511, 24remulcld 10270 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
26 hgt750lemf.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2726resqcld 13235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
28 hgt750lemf.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 10270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3029adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℝ)
3113, 20remulcld 10270 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
325, 31remulcld 10270 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 10270 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ∈ ℝ)
345recnd 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3531recnd 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3610recnd 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
3717, 22remulcld 10270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
3837recnd 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ∈ ℂ)
3934, 35, 36, 38mul4d 10448 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4034, 35mulcld 10260 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4136, 38mulcld 10260 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10261 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) · ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
4313recnd 10268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4420recnd 10268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4517recnd 10268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
4622recnd 10268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ ℂ)
4743, 44, 45, 46mul4d 10448 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
4847oveq2d 6807 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
4939, 42, 483eqtr3d 2813 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
5010, 37remulcld 10270 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
51 vmage0 25061 . . . . . . 7 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
524, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
53 vmage0 25061 . . . . . . . 8 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
5412, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
55 vmage0 25061 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5619, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘2)))
5713, 20, 54, 56mulge0d 10804 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))
585, 31, 52, 57mulge0d 10804 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5928adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
6026, 26remulcld 10270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
6160adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
62 0xr 10286 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
64 pnfxr 10292 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6564a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
66 icogelb 12423 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑛‘0)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
6763, 65, 9, 66syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐻‘(𝑛‘0)))
68 icogelb 12423 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘1)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
6963, 65, 16, 68syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘1)))
70 icogelb 12423 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐾‘(𝑛‘2)) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7163, 65, 21, 70syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝐾‘(𝑛‘2)))
7217, 22, 69, 71mulge0d 10804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
73 fveq2 6330 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘0) → (𝐻𝑚) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
7473breq1d 4796 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛‘0) → ((𝐻𝑚) ≤ 𝑄 ↔ (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄))
75 hgt750lemf.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7675ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7776adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐻𝑚) ≤ 𝑄)
7874, 77, 4rspcdva 3466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐻‘(𝑛‘0)) ≤ 𝑄)
7926adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80 fveq2 6330 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘1) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8180breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘1) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃))
82 hgt750lemf.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8382ralrimiva 3115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8483adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐾𝑚) ≤ 𝑃)
8581, 84, 12rspcdva 3466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘1)) ≤ 𝑃)
86 fveq2 6330 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛‘2) → (𝐾𝑚) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
8786breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛‘2) → ((𝐾𝑚) ≤ 𝑃 ↔ (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃))
8887, 84, 19rspcdva 3466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝑛‘2)) ≤ 𝑃)
8917, 79, 22, 79, 69, 71, 85, 88lemul12ad 11166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2))) ≤ (𝑃 · 𝑃))
9010, 59, 37, 61, 67, 72, 78, 89lemul12ad 11166 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9127recnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
9228recnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
9391, 92mulcomd 10261 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃↑2)))
9426recnd 10268 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9594sqvald 13205 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
9695oveq2d 6807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · (𝑃↑2)) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9793, 96eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9897adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑃↑2) · 𝑄) = (𝑄 · (𝑃 · 𝑃)))
9990, 98breqtrrd 4814 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) ≤ ((𝑃↑2) · 𝑄))
10050, 30, 32, 58, 99lemul1ad 11163 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (((𝐻‘(𝑛‘0)) · ((𝐾‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10149, 100eqbrtrrd 4810 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
1021, 25, 33, 101fsumle 14731 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
10329recnd 10268 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
10432recnd 10268 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℂ)
1051, 103, 104fsummulc2 14716 . 2 (𝜑 → (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))) = Σ𝑛𝐴 (((𝑃↑2) · 𝑄) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
106102, 105breqtrrd 4814 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) ≤ (((𝑃↑2) · 𝑄) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4786  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   · cmul 10141  +∞cpnf 10271  *cxr 10273  cle 10275  cn 11220  2c2 11270  [,)cico 12375  cexp 13060  Σcsu 14617  Λcvma 25032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844  df-log 24517  df-vma 25038
This theorem is referenced by:  hgt750leme  31069
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