rmxyadd - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmxyadd 41645

Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 41651 and rmyadd 41655 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmxyadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))

**Proof of Theorem rmxyadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		zaddcl 12598	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		rmxyval 41639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6		eluzelz 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		zq 12934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10		qsqcl 14091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12		zssq 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
13		1z 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	12, 13	sselii 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℚ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16		qsubcl 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18		qcn 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	sqrtcld 15380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
21	8, 20	addcld 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22		rmbaserp 41643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ⁺)
23	22	rpne0d 13017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		expaddz 14068	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
28	21, 24, 25, 26, 27	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29		frmx 41637	. . . . . . . . 9 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀)
31	30, 1, 25	fovcdmd 7575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℕ₀)
32	31	nn0cnd 12530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℂ)
33		frmy 41638	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
35	34, 1, 25	fovcdmd 7575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
37	20, 36	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
38	30, 1, 26	fovcdmd 7575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
39	38	nn0cnd 12530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
40	34, 1, 26	fovcdmd 7575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
43	32, 37, 39, 42	muladdd 11668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) + (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))))
44		rmxyval 41639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
45	1, 25, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46		rmxyval 41639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
47	1, 26, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
48	45, 47	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
49	43, 48	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) + (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
50	20, 41, 20, 36	mul4d 11422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))
51	19	msqsqrtd 15383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
52	41, 36	mulcomd 11231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
53	51, 52	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
54	50, 53	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
55	54	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
56	32, 20, 41	mul12d 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
57	39, 20, 36	mul12d 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))
58	56, 57	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
59	32, 41	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
60	39, 36	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
61	20, 59, 60	adddid 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
62	59, 60	addcomd 11412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
63	39, 36	mulcomd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
64	63	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
65	62, 64	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	65	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
67	58, 61, 66	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
68	55, 67	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) + (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
69	28, 49, 68	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
70	5, 69	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
71		rmspecsqrtnq 41629	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72	71	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73		nn0ssq 12937	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℚ
74	30, 1, 3	fovcdmd 7575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	sselid 3979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
76	34, 1, 3	fovcdmd 7575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
77	12, 76	sselid 3979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
78	73, 31	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℚ)
79	73, 38	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ)
80		qmulcl 12947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
81	78, 79, 80	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
82	12, 35	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℚ)
83	12, 40	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
84		qmulcl 12947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
85	82, 83, 84	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
86		qmulcl 12947	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
87	17, 85, 86	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
88		qaddcl 12945	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℚ)
89	81, 87, 88	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90		qmulcl 12947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
91	82, 79, 90	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
92		qmulcl 12947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
93	78, 83, 92	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
94		qaddcl 12945	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
95	91, 93, 94	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
96		qirropth 41631	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
97	72, 75, 77, 89, 95, 96	syl122anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
98	70, 97	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∖ cdif 3944 × cxp 5673 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 − cmin 11440 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ℚcq 12928 ↑cexp 14023 √csqrt 15176 X_rm crmx 41623 Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15411 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-sum 15629 df-ef 16007 df-sin 16009 df-cos 16010 df-pi 16012 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-numer 16667 df-denom 16668 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-psmet 20928 df-xmet 20929 df-met 20930 df-bl 20931 df-mopn 20932 df-fbas 20933 df-fg 20934 df-cnfld 20937 df-top 22387 df-topon 22404 df-topsp 22426 df-bases 22440 df-cld 22514 df-ntr 22515 df-cls 22516 df-nei 22593 df-lp 22631 df-perf 22632 df-cn 22722 df-cnp 22723 df-haus 22810 df-tx 23057 df-hmeo 23250 df-fil 23341 df-fm 23433 df-flim 23434 df-flf 23435 df-xms 23817 df-ms 23818 df-tms 23819 df-cncf 24385 df-limc 25374 df-dv 25375 df-log 26056 df-squarenn 41564 df-pell1qr 41565 df-pell14qr 41566 df-pell1234qr 41567 df-pellfund 41568 df-rmx 41625 df-rmy 41626

This theorem is referenced by: rmxadd 41651 rmyadd 41655

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