Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxyadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxyadd 40780
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 40786 and rmyadd 40790 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 zaddcl 12402 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€)
323adant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€)
4 rmxyval 40774 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
51, 3, 4syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6 eluzelz 12634 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
763ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
87zcnd 12469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9 zq 12736 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„š)
10 qsqcl 13891 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„š β†’ (𝐴↑2) ∈ β„š)
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴↑2) ∈ β„š)
12 zssq 12738 . . . . . . . . . . 11 β„€ βŠ† β„š
13 1z 12392 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„€
1412, 13sselii 3923 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„š
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„š)
16 qsubcl 12750 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑2) ∈ β„š ∧ 1 ∈ β„š) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„š)
1711, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„š)
18 qcn 12745 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„š β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2019sqrtcld 15190 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
218, 20addcld 11036 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
22 rmbaserp 40778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ ℝ+)
2322rpne0d 12819 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) β‰  0)
24233ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) β‰  0)
25 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
26 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
27 expaddz 13869 . . . . 5 ((((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) β‰  0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€)) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑀) Β· ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁)))
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 837 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑀) Β· ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁)))
29 frmx 40772 . . . . . . . . 9 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0)
3130, 1, 25fovcdmd 7472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„•0)
3231nn0cnd 12337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„‚)
33 frmy 40773 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€)
3534, 1, 25fovcdmd 7472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
3635zcnd 12469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
3720, 36mulcld 11037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
3830, 1, 26fovcdmd 7472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
3938nn0cnd 12337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
4034, 1, 26fovcdmd 7472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
4140zcnd 12469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
4220, 41mulcld 11037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
4332, 37, 39, 42muladdd 11475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))))
44 rmxyval 40774 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑀))
451, 25, 44syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑀))
46 rmxyval 40774 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁))
471, 26, 46syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁))
4845, 47oveq12d 7321 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑀) Β· ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁)))
4943, 48eqtr3d 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))) = (((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑀) Β· ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁)))
5020, 41, 20, 36mul4d 11229 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))
5119msqsqrtd 15193 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) = ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
5241, 36mulcomd 11038 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
5351, 52oveq12d 7321 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
5450, 53eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
5554oveq2d 7319 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
5632, 20, 41mul12d 11226 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
5739, 20, 36mul12d 11226 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))
5856, 57oveq12d 7321 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))))
5932, 41mulcld 11037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
6039, 36mulcld 11037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
6120, 59, 60adddid 11041 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))))
6259, 60addcomd 11219 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
6339, 36mulcomd 11038 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
6463oveq1d 7318 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
6562, 64eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
6665oveq2d 7319 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
6758, 61, 663eqtr2d 2782 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
6855, 67oveq12d 7321 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
6928, 49, 683eqtr2d 2782 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
705, 69eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
71 rmspecsqrtnq 40764 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
72713ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
73 nn0ssq 12739 . . . 4 β„•0 βŠ† β„š
7430, 1, 3fovcdmd 7472 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ β„•0)
7573, 74sselid 3924 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ β„š)
7634, 1, 3fovcdmd 7472 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ β„€)
7712, 76sselid 3924 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ β„š)
7873, 31sselid 3924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„š)
7973, 38sselid 3924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„š)
80 qmulcl 12749 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„š ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„š) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„š)
8178, 79, 80syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„š)
8212, 35sselid 3924 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„š)
8312, 40sselid 3924 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š)
84 qmulcl 12749 . . . . . 6 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„š ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„š)
8582, 83, 84syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„š)
86 qmulcl 12749 . . . . 5 ((((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„š ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„š) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„š)
8717, 85, 86syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„š)
88 qaddcl 12747 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„š ∧ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„š) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„š)
8981, 87, 88syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„š)
90 qmulcl 12749 . . . . 5 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„š ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„š) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„š)
9182, 79, 90syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„š)
92 qmulcl 12749 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„š ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„š)
9378, 83, 92syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„š)
94 qaddcl 12747 . . . 4 ((((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„š ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„š) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„š)
9591, 93, 94syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„š)
96 qirropth 40766 . . 3 (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ β„š ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ β„š) ∧ ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„š ∧ (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„š)) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1379 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9870, 97mpbid 232 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3889   Γ— cxp 5594  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  β„‚cc 10911  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916   Β· cmul 10918   βˆ’ cmin 11247  2c2 12070  β„•0cn0 12275  β„€cz 12361  β„€β‰₯cuz 12624  β„šcq 12730  β†‘cexp 13824  βˆšcsqrt 14985   Xrm crmx 40758   Yrm crmy 40759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991  ax-addf 10992  ax-mulf 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-oadd 8328  df-omul 8329  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-card 9737  df-acn 9740  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-xnn0 12348  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ioo 13125  df-ioc 13126  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-mod 13632  df-seq 13764  df-exp 13825  df-fac 14030  df-bc 14059  df-hash 14087  df-shft 14819  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-limsup 15221  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-ef 15818  df-sin 15820  df-cos 15821  df-pi 15823  df-dvds 16005  df-gcd 16243  df-numer 16480  df-denom 16481  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-rest 17174  df-topn 17175  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-topgen 17195  df-pt 17196  df-prds 17199  df-xrs 17254  df-qtop 17259  df-imas 17260  df-xps 17262  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-mulg 18742  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-fbas 20635  df-fg 20636  df-cnfld 20639  df-top 22084  df-topon 22101  df-topsp 22123  df-bases 22137  df-cld 22211  df-ntr 22212  df-cls 22213  df-nei 22290  df-lp 22328  df-perf 22329  df-cn 22419  df-cnp 22420  df-haus 22507  df-tx 22754  df-hmeo 22947  df-fil 23038  df-fm 23130  df-flim 23131  df-flf 23132  df-xms 23514  df-ms 23515  df-tms 23516  df-cncf 24082  df-limc 25071  df-dv 25072  df-log 25753  df-squarenn 40699  df-pell1qr 40700  df-pell14qr 40701  df-pell1234qr 40702  df-pellfund 40703  df-rmx 40760  df-rmy 40761
This theorem is referenced by:  rmxadd  40786  rmyadd  40790
  Copyright terms: Public domain W3C validator