rmxyadd - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rmxyadd		Structured version Visualization version GIF version

Theorem rmxyadd 42126

Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 42132 and rmyadd 42136 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmxyadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))

**Proof of Theorem rmxyadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		zaddcl 12609	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		rmxyval 42120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
5	1, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6		eluzelz 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		zq 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10		qsqcl 14102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12		zssq 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
13		1z 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	12, 13	sselii 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℚ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16		qsubcl 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
17	11, 15, 16	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18		qcn 12954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	sqrtcld 15391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
21	8, 20	addcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22		rmbaserp 42124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ⁺)
23	22	rpne0d 13028	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		expaddz 14079	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
28	21, 24, 25, 26, 27	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29		frmx 42118	. . . . . . . . 9 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀)
31	30, 1, 25	fovcdmd 7583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℕ₀)
32	31	nn0cnd 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℂ)
33		frmy 42119	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
35	34, 1, 25	fovcdmd 7583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
37	20, 36	mulcld 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
38	30, 1, 26	fovcdmd 7583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
39	38	nn0cnd 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
40	34, 1, 26	fovcdmd 7583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
43	32, 37, 39, 42	muladdd 11679	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) + (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))))
44		rmxyval 42120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
45	1, 25, 44	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46		rmxyval 42120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
47	1, 26, 46	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
48	45, 47	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
49	43, 48	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) + (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
50	20, 41, 20, 36	mul4d 11433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))
51	19	msqsqrtd 15394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
52	41, 36	mulcomd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
53	51, 52	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
54	50, 53	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
55	54	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
56	32, 20, 41	mul12d 11430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
57	39, 20, 36	mul12d 11430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))
58	56, 57	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
59	32, 41	mulcld 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
60	39, 36	mulcld 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
61	20, 59, 60	adddid 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
62	59, 60	addcomd 11423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
63	39, 36	mulcomd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)))
64	63	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
65	62, 64	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀))) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	65	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
67	58, 61, 66	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
68	55, 67	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀)))) + (((𝐴 X_rm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) + ((𝐴 X_rm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑀))))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
69	28, 49, 68	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
70	5, 69	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
71		rmspecsqrtnq 42110	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72	71	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73		nn0ssq 12948	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℚ
74	30, 1, 3	fovcdmd 7583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
76	34, 1, 3	fovcdmd 7583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
77	12, 76	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
78	73, 31	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℚ)
79	73, 38	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ)
80		qmulcl 12958	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
81	78, 79, 80	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
82	12, 35	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℚ)
83	12, 40	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
84		qmulcl 12958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
85	82, 83, 84	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
86		qmulcl 12958	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
87	17, 85, 86	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
88		qaddcl 12956	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℚ)
89	81, 87, 88	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90		qmulcl 12958	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
91	82, 79, 90	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
92		qmulcl 12958	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
93	78, 83, 92	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ)
94		qaddcl 12956	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
95	91, 93, 94	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)
96		qirropth 42112	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
97	72, 75, 77, 89, 95, 96	syl122anc 1378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
98	70, 97	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Y_rm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Y_rm 𝑀) · (𝐴 X_rm 𝑁)) + ((𝐴 X_rm 𝑀) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2939 ∖ cdif 3945 × cxp 5674 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7412 ℂcc 11114 0cc0 11116 1c1 11117 + caddc 11119 · cmul 11121 − cmin 11451 2c2 12274 ℕ₀cn0 12479 ℤcz 12565 ℤ_≥cuz 12829 ℚcq 12939 ↑cexp 14034 √csqrt 15187 X_rm crmx 42104 Y_rm crmy 42105

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-inf2 9642 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 ax-pre-sup 11194 ax-addf 11195

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7674 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-supp 8152 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-1o 8472 df-2o 8473 df-oadd 8476 df-omul 8477 df-er 8709 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9368 df-fi 9412 df-sup 9443 df-inf 9444 df-oi 9511 df-card 9940 df-acn 9943 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 df-nn 12220 df-2 12282 df-3 12283 df-4 12284 df-5 12285 df-6 12286 df-7 12287 df-8 12288 df-9 12289 df-n0 12480 df-xnn0 12552 df-z 12566 df-dec 12685 df-uz 12830 df-q 12940 df-rp 12982 df-xneg 13099 df-xadd 13100 df-xmul 13101 df-ioo 13335 df-ioc 13336 df-ico 13337 df-icc 13338 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-fl 13764 df-mod 13842 df-seq 13974 df-exp 14035 df-fac 14241 df-bc 14270 df-hash 14298 df-shft 15021 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-sqrt 15189 df-abs 15190 df-limsup 15422 df-clim 15439 df-rlim 15440 df-sum 15640 df-ef 16018 df-sin 16020 df-cos 16021 df-pi 16023 df-dvds 16205 df-gcd 16443 df-numer 16678 df-denom 16679 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-starv 17219 df-sca 17220 df-vsca 17221 df-ip 17222 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-unif 17227 df-hom 17228 df-cco 17229 df-rest 17375 df-topn 17376 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-topgen 17396 df-pt 17397 df-prds 17400 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-submnd 18712 df-mulg 18994 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-psmet 21226 df-xmet 21227 df-met 21228 df-bl 21229 df-mopn 21230 df-fbas 21231 df-fg 21232 df-cnfld 21235 df-top 22717 df-topon 22734 df-topsp 22756 df-bases 22770 df-cld 22844 df-ntr 22845 df-cls 22846 df-nei 22923 df-lp 22961 df-perf 22962 df-cn 23052 df-cnp 23053 df-haus 23140 df-tx 23387 df-hmeo 23580 df-fil 23671 df-fm 23763 df-flim 23764 df-flf 23765 df-xms 24147 df-ms 24148 df-tms 24149 df-cncf 24719 df-limc 25716 df-dv 25717 df-log 26406 df-squarenn 42045 df-pell1qr 42046 df-pell14qr 42047 df-pell1234qr 42048 df-pellfund 42049 df-rmx 42106 df-rmy 42107

This theorem is referenced by: rmxadd 42132 rmyadd 42136

W3C validator