Theorem rmxyadd 44188

Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 44194 and rmyadd 44198 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxyadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem rmxyadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		zaddcl 12774	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		rmxyval 44182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6		eluzelz 13013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		zq 13119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10		qsqcl 14311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
11	7, 9, 10	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12		zssq 13121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
13		1z 12764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	12, 13	sselii 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℚ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16		qsubcl 13134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
17	11, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18		qcn 13128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	sqrtcld 15648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
21	8, 20	addcld 11365	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22		rmbaserp 44186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
23	22	rpne0d 13207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		expaddz 14287	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
28	21, 24, 25, 26, 27	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29		frmx 44180	. . . . . . . . 9 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
31	30, 1, 25	fovcdmd 7623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
33		frmy 44181	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
35	34, 1, 25	fovcdmd 7623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
37	20, 36	mulcld 11366	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
38	30, 1, 26	fovcdmd 7623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0cnd 12707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
40	34, 1, 26	fovcdmd 7623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 11366	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
43	32, 37, 39, 42	muladdd 11811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))))
44		rmxyval 44182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
45	1, 25, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46		rmxyval 44182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
47	1, 26, 46	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
48	45, 47	oveq12d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
49	43, 48	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
50	20, 41, 20, 36	mul4d 11559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
51	19	msqsqrtd 15651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
52	41, 36	mulcomd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
53	51, 52	oveq12d 7467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
54	50, 53	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
55	54	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
56	32, 20, 41	mul12d 11556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
57	39, 20, 36	mul12d 11556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
58	56, 57	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
59	32, 41	mulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
60	39, 36	mulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
61	20, 59, 60	adddid 11370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
62	59, 60	addcomd 11549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
63	39, 36	mulcomd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
64	63	oveq1d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
65	62, 64	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	65	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
67	58, 61, 66	3eqtr2d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
68	55, 67	oveq12d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
69	28, 49, 68	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
70	5, 69	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
71		rmspecsqrtnq 44173	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72	71	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73		nn0ssq 13122	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
74	30, 1, 3	fovcdmd 7623	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ0)
75	73, 74	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
76	34, 1, 3	fovcdmd 7623	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
77	12, 76	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
78	73, 31	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ)
79	73, 38	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ)
80		qmulcl 13133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
81	78, 79, 80	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
82	12, 35	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ)
83	12, 40	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
84		qmulcl 13133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
85	82, 83, 84	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
86		qmulcl 13133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
87	17, 85, 86	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
88		qaddcl 13131	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
89	81, 87, 88	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90		qmulcl 13133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
91	82, 79, 90	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
92		qmulcl 13133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
93	78, 83, 92	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
94		qaddcl 13131	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
95	91, 93, 94	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
96		qirropth 44175	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
97	72, 75, 77, 89, 95, 96	syl122anc 1407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
98	70, 97	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048   × cxp 5654  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242   − cmin 11578  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003  ℚcq 13113  ↑cexp 14242  √csqrt 15441   X_rm crmx 44167   Y_rm crmy 44168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-oadd 8516  df-omul 8517  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-acn 10058  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-xnn0 12718  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-numer 16952  df-denom 16953  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-log 26930  df-squarenn 44108  df-pell1qr 44109  df-pell14qr 44110  df-pell1234qr 44111  df-pellfund 44112  df-rmx 44169  df-rmy 44170

This theorem is used by:  rmxadd  44194  rmyadd  44198