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Theorem rmxyadd 41231
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 41237 and rmyadd 41241 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 zaddcl 12543 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
323adant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4 rmxyval 41225 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
51, 3, 4syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6 eluzelz 12773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
763ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 12608 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 zq 12879 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10 qsqcl 14035 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12 zssq 12881 . . . . . . . . . . 11 ℤ ⊆ ℚ
13 1z 12533 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
1412, 13sselii 3941 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℚ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16 qsubcl 12893 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
1711, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18 qcn 12888 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
2019sqrtcld 15322 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
218, 20addcld 11174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22 rmbaserp 41229 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
2322rpne0d 12962 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24233ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 expaddz 14012 . . . . 5 ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 837 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29 frmx 41223 . . . . . . . . 9 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
3130, 1, 25fovcdmd 7526 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
33 frmy 41224 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ)
3534, 1, 25fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
3635zcnd 12608 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
3720, 36mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
3830, 1, 26fovcdmd 7526 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
4034, 1, 26fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
4140zcnd 12608 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
4220, 41mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
4332, 37, 39, 42muladdd 11613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))))
44 rmxyval 41225 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
451, 25, 44syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46 rmxyval 41225 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
471, 26, 46syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
4845, 47oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
4943, 48eqtr3d 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
5020, 41, 20, 36mul4d 11367 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
5119msqsqrtd 15325 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
5241, 36mulcomd 11176 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
5351, 52oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5450, 53eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5554oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
5632, 20, 41mul12d 11364 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
5739, 20, 36mul12d 11364 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
5856, 57oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
5932, 41mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
6039, 36mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
6120, 59, 60adddid 11179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
6259, 60addcomd 11357 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
6339, 36mulcomd 11176 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
6463oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
6562, 64eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
6665oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
6758, 61, 663eqtr2d 2782 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
6855, 67oveq12d 7375 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
6928, 49, 683eqtr2d 2782 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
705, 69eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
71 rmspecsqrtnq 41215 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72713ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73 nn0ssq 12882 . . . 4 0 ⊆ ℚ
7430, 1, 3fovcdmd 7526 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ0)
7573, 74sselid 3942 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
7634, 1, 3fovcdmd 7526 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
7712, 76sselid 3942 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
7873, 31sselid 3942 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ)
7973, 38sselid 3942 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ)
80 qmulcl 12892 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
8178, 79, 80syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
8212, 35sselid 3942 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ)
8312, 40sselid 3942 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
84 qmulcl 12892 . . . . . 6 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
8582, 83, 84syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
86 qmulcl 12892 . . . . 5 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
8717, 85, 86syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
88 qaddcl 12890 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
8981, 87, 88syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90 qmulcl 12892 . . . . 5 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
9182, 79, 90syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
92 qmulcl 12892 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
9378, 83, 92syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
94 qaddcl 12890 . . . 4 ((((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
9591, 93, 94syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
96 qirropth 41217 . . 3 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1379 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9870, 97mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cq 12873  cexp 13967  csqrt 15118   Xrm crmx 41209   Yrm crmy 41210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212
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