Theorem rmxyadd 42917

Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 42923 and rmyadd 42927 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxyadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem rmxyadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		zaddcl 12580	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		rmxyval 42911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6		eluzelz 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		zq 12920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10		qsqcl 14102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12		zssq 12922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
13		1z 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	12, 13	sselii 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℚ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16		qsubcl 12934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18		qcn 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	sqrtcld 15413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
21	8, 20	addcld 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22		rmbaserp 42915	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
23	22	rpne0d 13007	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		expaddz 14078	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
28	21, 24, 25, 26, 27	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29		frmx 42909	. . . . . . . . 9 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
31	30, 1, 25	fovcdmd 7564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
33		frmy 42910	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
35	34, 1, 25	fovcdmd 7564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
37	20, 36	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
38	30, 1, 26	fovcdmd 7564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0cnd 12512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
40	34, 1, 26	fovcdmd 7564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
43	32, 37, 39, 42	muladdd 11643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))))
44		rmxyval 42911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
45	1, 25, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46		rmxyval 42911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
47	1, 26, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
48	45, 47	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
49	43, 48	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
50	20, 41, 20, 36	mul4d 11393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
51	19	msqsqrtd 15416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
52	41, 36	mulcomd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
53	51, 52	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
54	50, 53	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
55	54	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
56	32, 20, 41	mul12d 11390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
57	39, 20, 36	mul12d 11390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
58	56, 57	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
59	32, 41	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
60	39, 36	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
61	20, 59, 60	adddid 11205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
62	59, 60	addcomd 11383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
63	39, 36	mulcomd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
64	63	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
65	62, 64	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	65	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
67	58, 61, 66	3eqtr2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
68	55, 67	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
69	28, 49, 68	3eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
70	5, 69	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
71		rmspecsqrtnq 42901	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72	71	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73		nn0ssq 12923	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
74	30, 1, 3	fovcdmd 7564	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ0)
75	73, 74	sselid 3947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
76	34, 1, 3	fovcdmd 7564	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
77	12, 76	sselid 3947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
78	73, 31	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ)
79	73, 38	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ)
80		qmulcl 12933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
81	78, 79, 80	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
82	12, 35	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ)
83	12, 40	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
84		qmulcl 12933	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
85	82, 83, 84	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
86		qmulcl 12933	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
87	17, 85, 86	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
88		qaddcl 12931	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
89	81, 87, 88	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90		qmulcl 12933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
91	82, 79, 90	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
92		qmulcl 12933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
93	78, 83, 92	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
94		qaddcl 12931	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
95	91, 93, 94	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
96		qirropth 42903	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
97	72, 75, 77, 89, 95, 96	syl122anc 1381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
98	70, 97	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℚcq 12914  ↑cexp 14033  √csqrt 15206   X_rm crmx 42895   Y_rm crmy 42896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-numer 16712  df-denom 16713  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-squarenn 42836  df-pell1qr 42837  df-pell14qr 42838  df-pell1234qr 42839  df-pellfund 42840  df-rmx 42897  df-rmy 42898

This theorem is referenced by:  rmxadd  42923  rmyadd  42927