MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomrisefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomrisefac 16075
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 11564 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
213adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
32oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁))
4 negcl 11506 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5 negcl 11506 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
7 binomfallfac 16074 . . . . . 6 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
84, 5, 6, 7syl3an 1159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
93, 8eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
109oveq2d 7447 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
11 fzfid 14011 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
12 neg1cn 12378 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
13 expcl 14117 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 690 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
15143ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
16 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 13561 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
18 bccl 14358 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 12587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
21 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2221negcld 11605 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
2316nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 zsubcl 12657 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
2523, 17, 24syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
26 elfzle2 13565 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
2726adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
28 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2928nn0red 12586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3231nn0red 12586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3329, 32subge0d 11851 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝑘) ↔ 𝑘𝑁))
3427, 33mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝑘))
35 elnn0z 12624 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑘) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑘)))
3625, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
37 fallfaccl 16049 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
3822, 36, 37syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
39 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4039negcld 11605 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐵 ∈ ℂ)
41 fallfaccl 16049 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
4240, 30, 41syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
4338, 42mulcld 11279 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
4420, 43mulcld 11279 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
4511, 15, 44fsummulc2 15817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
4610, 45eqtrd 2775 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
47 addcl 11235 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
48 risefallfac 16057 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)))
4947, 48stoic3 1773 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)))
50 risefallfac 16057 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))))
5121, 36, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))))
52 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
53 risefallfac 16057 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 RiseFac 𝑘) = ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))
5452, 31, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 RiseFac 𝑘) = ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))
5551, 54oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘)) = (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))) · ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
56 expcl 14117 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
5712, 36, 56sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
58 expcl 14117 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
5912, 30, 58sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6157, 38, 60, 42mul4d 11471 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))) · ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) = (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
6212a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
6362, 31, 36expaddd 14185 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑((𝑁𝑘) + 𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)))
6416nn0cnd 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
6530nn0cnd 12587 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
66 npcan 11515 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) + 𝑘) = 𝑁)
6764, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 𝑘) = 𝑁)
6867oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑((𝑁𝑘) + 𝑘)) = (-1↑𝑁))
6963, 68eqtr3d 2777 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑁))
7069oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) = ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
7155, 61, 703eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘)) = ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
7271oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7315adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
7420, 73, 43mul12d 11468 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))) = ((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7572, 74eqtrd 2775 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = ((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7675sumeq2dv 15735 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7746, 49, 763eqtr4d 2785 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  Ccbc 14338  Σcsu 15719   FallFac cfallfac 16037   RiseFac crisefac 16038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-prod 15937  df-risefac 16039  df-fallfac 16040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator