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Theorem itgmulc2nc 37050
Description: Choice-free analogue of itgmulc2 25687. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2nc.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nc (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2nc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
21recld 15139 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
32recnd 11240 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 25621 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
97, 8mbfmptcl 25489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
109recld 15139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1110recnd 11240 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
124, 11mulcld 11232 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
139iblcn 25652 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
145, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1514simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
16 itgmulc2nc.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
17 ovexd 7437 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ V)
1816, 17mbfdm2 25490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
19 fconstmpt 5729 . . . . . . . . 9 (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21 eqidd 2725 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
2218, 4, 10, 20, 21offval2 7684 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
23 iblmbf 25621 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
2415, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
2511fmpttd 7107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
2624, 2, 25mbfmulc2re 25501 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
2722, 26eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
283, 10, 15, 27iblmulc2nc 37047 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
2912, 28itgcl 25637 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
30 ax-icn 11166 . . . . 5 i ∈ ℂ
319imcld 15140 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3231recnd 11240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
334, 32mulcld 11232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
3414simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
35 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
3618, 4, 31, 20, 35offval2 7684 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
37 iblmbf 25621 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
3932fmpttd 7107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4038, 2, 39mbfmulc2re 25501 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4136, 40eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
423, 31, 34, 41iblmulc2nc 37047 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
4333, 42itgcl 25637 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
44 mulcl 11191 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
4530, 43, 44sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
461imcld 15140 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4746recnd 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
4847negcld 11556 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
5049, 32mulcld 11232 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
51 fconstmpt 5729 . . . . . . . . 9 (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
5251a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
5318, 49, 31, 52, 35offval2 7684 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
5446renegcld 11639 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
5538, 54, 39mbfmulc2re 25501 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5653, 55eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5748, 31, 34, 56iblmulc2nc 37047 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
5850, 57itgcl 25637 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
5947adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
6059, 11mulcld 11232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
61 fconstmpt 5729 . . . . . . . . . 10 (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
6318, 59, 10, 62, 21offval2 7684 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
6424, 46, 25mbfmulc2re 25501 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6563, 64eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6647, 10, 15, 65iblmulc2nc 37047 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
6760, 66itgcl 25637 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
68 mulcl 11191 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
6930, 67, 68sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
7029, 45, 58, 69add4d 11440 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
7130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
7271, 47mulcld 11232 . . . . 5 (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
738, 5itgcl 25637 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
743, 72, 73adddird 11237 . . . 4 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)))
758, 5itgcnval 25653 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
7675oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
7710, 15itgcl 25637 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
7831, 34itgcl 25637 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
79 mulcl 11191 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
8030, 78, 79sylancr 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
813, 77, 80adddid 11236 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
823, 10, 15, 27, 2, 10itgmulc2nclem2 37049 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
833, 71, 78mul12d 11421 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
843, 31, 34, 41, 2, 31itgmulc2nclem2 37049 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
8584oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
8683, 85eqtrd 2764 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
8782, 86oveq12d 7420 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
8876, 81, 873eqtrd 2768 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
8975oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
9072, 77, 80adddid 11236 . . . . . 6 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
9171, 47, 77mulassd 11235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)))
9247, 10, 15, 65, 46, 10itgmulc2nclem2 37049 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
9392oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
9491, 93eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
9571, 47, 71, 78mul4d 11424 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
96 ixi 11841 . . . . . . . . . . 11 (i · i) = -1
9796oveq1i 7412 . . . . . . . . . 10 ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
9847, 78mulcld 11232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
9998mulm1d 11664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
10097, 99eqtrid 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
10147, 78mulneg1d 11665 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
10248, 31, 34, 56, 54, 31itgmulc2nclem2 37049 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
103101, 102eqtr3d 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
10495, 100, 1033eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
10594, 104oveq12d 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
10669, 58addcomd 11414 . . . . . . 7 (𝜑 → ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
107105, 106eqtrd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
10889, 90, 1073eqtrd 2768 . . . . 5 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
10988, 108oveq12d 7420 . . . 4 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
11074, 109eqtrd 2764 . . 3 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
11159, 32mulcld 11232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
11218, 59, 31, 62, 35offval2 7684 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
11338, 46, 39mbfmulc2re 25501 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
114112, 113eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
11547, 31, 34, 114iblmulc2nc 37047 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
1161adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
117116, 9mulcld 11232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
118 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)))
119 ref 15057 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
120119a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
121120feqmptd 6951 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℜ = (𝑘 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑘)))
122 fveq2 6882 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐶 · 𝐵) → (ℜ‘𝑘) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
123117, 118, 121, 122fmptco 7120 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
124116, 9remuld 15163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
125124mpteq2dva 5239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
126123, 125eqtrd 2764 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
127117fmpttd 7107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ)
128 ismbfcn 25482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
13016, 129mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn))
131130simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
132126, 131eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
13312, 28, 111, 115, 132itgsubnc 37044 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
134124itgeq2dv 25635 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥)
135111, 115itgneg 25657 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴-((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
13659, 32mulneg1d 11665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
137136itgeq2dv 25635 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴-((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
138135, 137eqtr4d 2767 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
139138oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
140111, 115itgcl 25637 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
14129, 140negsubd 11575 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
142139, 141eqtr3d 2766 . . . . 5 (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
143133, 134, 1423eqtr4d 2774 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
144116, 9immuld 15164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
145144itgeq2dv 25635 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥)
146 imf 15058 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ:ℂ⟶ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
148147feqmptd 6951 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℑ = (𝑘 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑘)))
149 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐶 · 𝐵) → (ℑ‘𝑘) = (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)))
150117, 118, 148, 149fmptco 7120 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
151144mpteq2dva 5239 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
152150, 151eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
153130simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
154152, 153eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
15533, 42, 60, 66, 154itgaddnc 37042 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
156145, 155eqtrd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
157156oveq2d 7418 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
15871, 43, 67adddid 11236 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
159157, 158eqtrd 2764 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
160143, 159oveq12d 7420 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
16170, 110, 1603eqtr4d 2774 . 2 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
1621replimd 15142 . . 3 (𝜑𝐶 = ((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))))
163162oveq1d 7417 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
1641, 8, 5, 16iblmulc2nc 37047 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
165117, 164itgcnval 25653 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
166161, 163, 1653eqtr4d 2774 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621  cmpt 5222   × cxp 5665  dom cdm 5667  ccom 5671  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  f cof 7662  cc 11105  cr 11106  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112  cmin 11442  -cneg 11443  cre 15042  cim 15043  volcvol 25316  MblFncmbf 25467  𝐿1cibl 25470  citg 25471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-sum 15631  df-rest 17369  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cmp 23215  df-ovol 25317  df-vol 25318  df-mbf 25472  df-itg1 25473  df-itg2 25474  df-ibl 25475  df-itg 25476  df-0p 25523
This theorem is referenced by:  itgabsnc  37051
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