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Theorem itgmulc2nc 34846
Description: Choice-free analogue of itgmulc2 24368. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2nc.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nc (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2nc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
21recld 14548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
32recnd 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 iblmbf 24302 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
97, 8mbfmptcl 24171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
109recld 14548 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1110recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
124, 11mulcld 10655 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
139iblcn 24333 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
145, 13mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1514simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
16 itgmulc2nc.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
17 ovexd 7185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ V)
1816, 17mbfdm2 24172 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
19 fconstmpt 5613 . . . . . . . . 9 (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21 eqidd 2827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
2218, 4, 10, 20, 21offval2 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
23 iblmbf 24302 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
2415, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
2511fmpttd 6877 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
2624, 2, 25mbfmulc2re 24183 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
2722, 26eqeltrrd 2919 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
283, 10, 15, 27iblmulc2nc 34843 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
2912, 28itgcl 24318 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
30 ax-icn 10590 . . . . 5 i ∈ ℂ
319imcld 14549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3231recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
334, 32mulcld 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
3414simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
35 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
3618, 4, 31, 20, 35offval2 7420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
37 iblmbf 24302 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
3932fmpttd 6877 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4038, 2, 39mbfmulc2re 24183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4136, 40eqeltrrd 2919 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
423, 31, 34, 41iblmulc2nc 34843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
4333, 42itgcl 24318 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
44 mulcl 10615 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
4530, 43, 44sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
461imcld 14549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4746recnd 10663 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
4847negcld 10978 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
5049, 32mulcld 10655 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
51 fconstmpt 5613 . . . . . . . . 9 (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
5251a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
5318, 49, 31, 52, 35offval2 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
5446renegcld 11061 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
5538, 54, 39mbfmulc2re 24183 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5653, 55eqeltrrd 2919 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5748, 31, 34, 56iblmulc2nc 34843 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
5850, 57itgcl 24318 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
5947adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
6059, 11mulcld 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
61 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . 10 (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
6318, 59, 10, 62, 21offval2 7420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
6424, 46, 25mbfmulc2re 24183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6563, 64eqeltrrd 2919 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6647, 10, 15, 65iblmulc2nc 34843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
6760, 66itgcl 24318 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
68 mulcl 10615 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
6930, 67, 68sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
7029, 45, 58, 69add4d 10862 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
7130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
7271, 47mulcld 10655 . . . . 5 (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
738, 5itgcl 24318 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
743, 72, 73adddird 10660 . . . 4 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)))
758, 5itgcnval 24334 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
7675oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
7710, 15itgcl 24318 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
7831, 34itgcl 24318 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
79 mulcl 10615 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
8030, 78, 79sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
813, 77, 80adddid 10659 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
823, 10, 15, 27, 2, 10itgmulc2nclem2 34845 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
833, 71, 78mul12d 10843 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
843, 31, 34, 41, 2, 31itgmulc2nclem2 34845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
8584oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
8683, 85eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
8782, 86oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
8876, 81, 873eqtrd 2865 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
8975oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
9072, 77, 80adddid 10659 . . . . . 6 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
9171, 47, 77mulassd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)))
9247, 10, 15, 65, 46, 10itgmulc2nclem2 34845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
9392oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
9491, 93eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
9571, 47, 71, 78mul4d 10846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
96 ixi 11263 . . . . . . . . . . 11 (i · i) = -1
9796oveq1i 7160 . . . . . . . . . 10 ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
9847, 78mulcld 10655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
9998mulm1d 11086 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
10097, 99syl5eq 2873 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
10147, 78mulneg1d 11087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
10248, 31, 34, 56, 54, 31itgmulc2nclem2 34845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
103101, 102eqtr3d 2863 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
10495, 100, 1033eqtrd 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
10594, 104oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
10669, 58addcomd 10836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
107105, 106eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
10889, 90, 1073eqtrd 2865 . . . . 5 (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
10988, 108oveq12d 7168 . . . 4 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
11074, 109eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
11159, 32mulcld 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
11218, 59, 31, 62, 35offval2 7420 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
11338, 46, 39mbfmulc2re 24183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
114112, 113eqeltrrd 2919 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
11547, 31, 34, 114iblmulc2nc 34843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
1161adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
117116, 9mulcld 10655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
118 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)))
119 ref 14466 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
120119a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
121120feqmptd 6732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℜ = (𝑘 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑘)))
122 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐶 · 𝐵) → (ℜ‘𝑘) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
123117, 118, 121, 122fmptco 6889 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
124116, 9remuld 14572 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
125124mpteq2dva 5158 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
126123, 125eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
127117fmpttd 6877 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ)
128 ismbfcn 24164 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
13016, 129mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn))
131130simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
132126, 131eqeltrrd 2919 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
13312, 28, 111, 115, 132itgsubnc 34840 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
134124itgeq2dv 24316 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥)
135111, 115itgneg 24338 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴-((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
13659, 32mulneg1d 11087 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
137136itgeq2dv 24316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴-((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
138135, 137eqtr4d 2864 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
139138oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
140111, 115itgcl 24318 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
14129, 140negsubd 10997 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
142139, 141eqtr3d 2863 . . . . 5 (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
143133, 134, 1423eqtr4d 2871 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
144116, 9immuld 14573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
145144itgeq2dv 24316 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥)
146 imf 14467 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ:ℂ⟶ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
148147feqmptd 6732 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℑ = (𝑘 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑘)))
149 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐶 · 𝐵) → (ℑ‘𝑘) = (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)))
150117, 118, 148, 149fmptco 6889 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
151144mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
152150, 151eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
153130simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
154152, 153eqeltrrd 2919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
15533, 42, 60, 66, 154itgaddnc 34838 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
156145, 155eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
157156oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
15871, 43, 67adddid 10659 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
159157, 158eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
160143, 159oveq12d 7168 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
16170, 110, 1603eqtr4d 2871 . 2 (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
1621replimd 14551 . . 3 (𝜑𝐶 = ((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))))
163162oveq1d 7165 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
1641, 8, 5, 16iblmulc2nc 34843 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
165117, 164itgcnval 24334 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
166161, 163, 1653eqtr4d 2871 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  {csn 4564  cmpt 5143   × cxp 5552  dom cdm 5554  ccom 5558  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  f cof 7401  cc 10529  cr 10530  1c1 10532  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  cmin 10864  -cneg 10865  cre 14451  cim 14452  volcvol 23998  MblFncmbf 24149  𝐿1cibl 24152  citg 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cmp 21930  df-ovol 23999  df-vol 24000  df-mbf 24154  df-itg1 24155  df-itg2 24156  df-ibl 24157  df-itg 24158  df-0p 24205
This theorem is referenced by:  itgabsnc  34847
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