itgmulc2nc - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem itgmulc2nc 37217

Description: Choice-free analogue of itgmulc2 25779. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgmulc2nc.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgmulc2nc.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿¹)
itgmulc2nc.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

**Assertion**
Ref	Expression
itgmulc2nc	⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥 𝑥,𝑉 Allowed substitution hint: 𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2nc Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2nc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	recld 15171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
5		itgmulc2nc.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿¹)
6		iblmbf 25713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿¹ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
8		itgmulc2nc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	7, 8	mbfmptcl 25581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	recld 15171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	9	iblcn 25744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿¹ ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹)))
14	5, 13	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹))
15	14	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹)
16		itgmulc2nc.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
17		ovexd 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ V)
18	16, 17	mbfdm2 25582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
19		fconstmpt 5734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
21		eqidd 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
22	18, 4, 10, 20, 21	offval2 7701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
23		iblmbf 25713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
24	15, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
25	11	fmpttd 7119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
26	24, 2, 25	mbfmulc2re 25593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
27	22, 26	eqeltrrd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
28	3, 10, 15, 27	iblmulc2nc 37214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿¹)
29	12, 28	itgcl 25729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
30		ax-icn 11195	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
31	9	imcld 15172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
33	4, 32	mulcld 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
34	14	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹)
35		eqidd 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
36	18, 4, 31, 20, 35	offval2 7701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
37		iblmbf 25713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿¹ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
39	32	fmpttd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
40	38, 2, 39	mbfmulc2re 25593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
41	36, 40	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
42	3, 31, 34, 41	iblmulc2nc 37214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿¹)
43	33, 42	itgcl 25729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
44		mulcl 11220	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
45	30, 43, 44	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
46	1	imcld 15172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
48	47	negcld 11586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
49	48	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
50	49, 32	mulcld 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
51		fconstmpt 5734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
53	18, 49, 31, 52, 35	offval2 7701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
54	46	renegcld 11669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
55	38, 54, 39	mbfmulc2re 25593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
56	53, 55	eqeltrrd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
57	48, 31, 34, 56	iblmulc2nc 37214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿¹)
58	50, 57	itgcl 25729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
59	47	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
60	59, 11	mulcld 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
61		fconstmpt 5734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
63	18, 59, 10, 62, 21	offval2 7701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
64	24, 46, 25	mbfmulc2re 25593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
65	63, 64	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
66	47, 10, 15, 65	iblmulc2nc 37214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿¹)
67	60, 66	itgcl 25729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
68		mulcl 11220	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
69	30, 67, 68	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
70	29, 45, 58, 69	add4d 11470	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
71	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
72	71, 47	mulcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
73	8, 5	itgcl 25729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
74	3, 72, 73	adddird 11267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)))
75	8, 5	itgcnval 25745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
76	75	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
77	10, 15	itgcl 25729	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
78	31, 34	itgcl 25729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
79		mulcl 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
80	30, 78, 79	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
81	3, 77, 80	adddid 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
82	3, 10, 15, 27, 2, 10	itgmulc2nclem2 37216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
83	3, 71, 78	mul12d 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
84	3, 31, 34, 41, 2, 31	itgmulc2nclem2 37216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
85	84	oveq2d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
86	83, 85	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
87	82, 86	oveq12d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
88	76, 81, 87	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
89	75	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
90	72, 77, 80	adddid 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
91	71, 47, 77	mulassd 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)))
92	47, 10, 15, 65, 46, 10	itgmulc2nclem2 37216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
93	92	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
94	91, 93	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
95	71, 47, 71, 78	mul4d 11454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
96		ixi 11871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
97	96	oveq1i 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
98	47, 78	mulcld 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
99	98	mulm1d 11694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
100	97, 99	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
101	47, 78	mulneg1d 11695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
102	48, 31, 34, 56, 54, 31	itgmulc2nclem2 37216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
103	101, 102	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
104	95, 100, 103	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
105	94, 104	oveq12d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
106	69, 58	addcomd 11444	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
107	105, 106	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
108	89, 90, 107	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
109	88, 108	oveq12d 7433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
110	74, 109	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
111	59, 32	mulcld 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
112	18, 59, 31, 62, 35	offval2 7701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
113	38, 46, 39	mbfmulc2re 25593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘_f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
114	112, 113	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
115	47, 31, 34, 114	iblmulc2nc 37214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿¹)
116	1	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
117	116, 9	mulcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
118		eqidd 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)))
119		ref 15089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
121	120	feqmptd 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℜ = (𝑘 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑘)))
122		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐶 · 𝐵) → (ℜ‘𝑘) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
123	117, 118, 121, 122	fmptco 7133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
124	116, 9	remuld 15195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
125	124	mpteq2dva 5243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
126	123, 125	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
127	117	fmpttd 7119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ)
128		ismbfcn 25574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
130	16, 129	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn))
131	130	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
132	126, 131	eqeltrrd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
133	12, 28, 111, 115, 132	itgsubnc 37211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
134	124	itgeq2dv 25727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥)
135	111, 115	itgneg 25749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴-((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
136	59, 32	mulneg1d 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
137	136	itgeq2dv 25727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴-((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
138	135, 137	eqtr4d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
139	138	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
140	111, 115	itgcl 25729	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
141	29, 140	negsubd 11605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + -∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
142	139, 141	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 − ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
143	133, 134, 142	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
144	116, 9	immuld 15196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
145	144	itgeq2dv 25727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥)
146		imf 15090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
148	147	feqmptd 6961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℑ = (𝑘 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑘)))
149		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝐶 · 𝐵) → (ℑ‘𝑘) = (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)))
150	117, 118, 148, 149	fmptco 7133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
151	144	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
152	150, 151	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
153	130	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
154	152, 153	eqeltrrd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
155	33, 42, 60, 66, 154	itgaddnc 37209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
156	145, 155	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
157	156	oveq2d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
158	71, 43, 67	adddid 11266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
159	157, 158	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
160	143, 159	oveq12d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
161	70, 110, 160	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
162	1	replimd 15174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))))
163	162	oveq1d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
164	1, 8, 5, 16	iblmulc2nc 37214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿¹)
165	117, 164	itgcnval 25745	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
166	161, 163, 165	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 Vcvv 3463 {csn 4624 ↦ cmpt 5226 × cxp 5670 dom cdm 5672 ∘ ccom 5676 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7415 ∘_f cof 7679 ℂcc 11134 ℝcr 11135 1c1 11137 ici 11138 + caddc 11139 · cmul 11141 − cmin 11472 -cneg 11473 ℜcre 15074 ℑcim 15075 volcvol 25408 MblFncmbf 25559 𝐿¹cibl 25562 ∫citg 25563

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-inf2 9662 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 ax-pre-sup 11214 ax-addf 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-disj 5109 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7681 df-ofr 7682 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-1o 8483 df-2o 8484 df-er 8721 df-map 8843 df-pm 8844 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-fin 8964 df-fi 9432 df-sup 9463 df-inf 9464 df-oi 9531 df-dju 9922 df-card 9960 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-n0 12501 df-z 12587 df-uz 12851 df-q 12961 df-rp 13005 df-xneg 13122 df-xadd 13123 df-xmul 13124 df-ioo 13358 df-ico 13360 df-icc 13361 df-fz 13515 df-fzo 13658 df-fl 13787 df-mod 13865 df-seq 13997 df-exp 14057 df-hash 14320 df-cj 15076 df-re 15077 df-im 15078 df-sqrt 15212 df-abs 15213 df-clim 15462 df-sum 15663 df-rest 17401 df-topgen 17422 df-psmet 21273 df-xmet 21274 df-met 21275 df-bl 21276 df-mopn 21277 df-top 22812 df-topon 22829 df-bases 22865 df-cmp 23307 df-ovol 25409 df-vol 25410 df-mbf 25564 df-itg1 25565 df-itg2 25566 df-ibl 25567 df-itg 25568 df-0p 25615

This theorem is referenced by: itgabsnc 37218

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