Theorem dchrvmasumlem1 27670

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛, 1   𝑚,𝑑,𝑛,𝐴   𝑚,𝑁,𝑛   𝜑,𝑑,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝐷,𝑚,𝑛   𝐿,𝑑,𝑚,𝑛   𝑋,𝑑,𝑚,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚, 𝑛, 𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6886	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) = ((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)))
3		fvoveq1 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))
4	2, 3	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))))
5	1, 4	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
6		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13066	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
11		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
14		elfzelz 13558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 27420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
18		elrabi 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
20		mucl 27316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
22	21	zred 12706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
23		elfznn 13588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	22, 24	nndivred 12296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℂ)
27	24	nnrpd 13064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	19	nnrpd 13064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℝ+)
29	27, 28	rpdivcld 13083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
30	29	relogcld 26799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
32	26, 31	mulcld 11235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
33	17, 32	mulcld 11235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
34	5, 7, 33	dvdsflsumcom 27363	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
35		vmaf 27294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
37		ax-resscn 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
38		fss 6722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
39	36, 37, 38	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℂ)
40		vmasum 27391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
41	40	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
42	41	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘𝑚) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖))
43	42	mpteq2dva 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖)))
44	39, 43	muinv 27368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Λ = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))))
45	44	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Λ‘𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛))
46		sumex 15746	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
47		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
48	47	fvmpt2 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
49	23, 46, 48	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
50	45, 49	sylan9eq 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
51		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑑 ∥ 𝑛))
52	51	elrab 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∥ 𝑛))
53	52	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∥ 𝑛)
54	53	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑑 ∥ 𝑛)
55	23	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
56		nndivdvds 16325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
57	55, 18, 56	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (𝑑 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
58	54, 57	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ)
59		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
60		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))
61		fvex 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
63	58, 62	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
64	63	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
65	64	sumeq2dv 15760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
66	50, 65	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
67	66	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
68		fzfid 14016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
69		dvdsssfz1 16382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
70	55, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
71	68, 70	ssfid 9227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
72	55	nncnd 12255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
73	21	zcnd 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
74	73	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
75	31	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
76	74, 75	mulcld 11235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
77	55	nnne0d 12292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
78	71, 72, 76, 77	fsumdivc 15844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
79	18	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑑 ∈ ℕ)
80	79, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
82	72	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑛 ∈ ℂ)
83	77	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑛 ≠ 0)
84	81, 75, 82, 83	div23d 12034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
85	84	sumeq2dv 15760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
86	67, 78, 85	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
87	86	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
88	32	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
89	71, 16, 88	fsummulc2 15842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
90	87, 89	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
91	90	sumeq2dv 15760	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
92		fzfid 14016	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
93	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
94		elfzelz 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
95	94	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
96	8, 9, 10, 11, 93, 95	dchrzrhcl 27420	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
97		fznnfl 13902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
98	7, 97	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
99	98	simprbda 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
100	99, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
101	100	zred 12706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
102	101, 99	nndivred 12296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
103	102	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
104	96, 103	mulcld 11235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
105	12	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
106		elfzelz 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
107	106	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
108	8, 9, 10, 11, 105, 107	dchrzrhcl 27420	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
109		elfznn 13588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
110	109	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
111	110	nnrpd 13064	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
112	111	relogcld 26799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℝ)
113	112, 110	nndivred 12296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
115	108, 114	mulcld 11235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
116	92, 104, 115	fsummulc2 15842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
117	96	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
118	103	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
119	117, 118, 108, 114	mul4d 11428	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
120	94	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
121	8, 9, 10, 11, 105, 120, 107	dchrzrhmul 27421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
122	101	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
124	112	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℂ)
125	99	nnrpd 13064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
126	125	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
127	126, 111	rpmulcld 13082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 · 𝑚) ∈ ℝ+)
128	127	rpcnne0d 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0))
129		div23 11897	. . . . . . . . 9 ⊢ (((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0)) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
130	123, 124, 128, 129	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
131	126	rpcnne0d 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
132	111	rpcnne0d 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
133		divmuldiv 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
134	123, 124, 131, 132, 133	syl22anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
135	110	nncnd 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
136	126	rpcnd 13068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
137	126	rpne0d 13071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
138	135, 136, 137	divcan3d 12002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) / 𝑑) = 𝑚)
139	138	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)) = (log‘𝑚))
140	139	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
141	130, 134, 140	3eqtr4rd 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
142	121, 141	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
143	119, 142	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
144	143	sumeq2dv 15760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
145	116, 144	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
146	145	sumeq2dv 15760	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
147	34, 91, 146	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℕcn 12239  ℤcz 12597  ℝ⁺crp 13022  ...cfz 13541  ⌊cfl 13830  Σcsu 15744   ∥ cdvds 16316  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  ℤRHomczrh 21660  ℤ/nℤczn 21663  logclog 26730  Λcvma 27267  μcmu 27270  DChrcdchr 27407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-prm 16736  df-pc 16903  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664  df-zn 21667  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-vma 27273  df-mu 27276  df-dchr 27408

This theorem is used by:  dchrvmasum2if  27672