Theorem dchrvmasumlem1 27474

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛, 1   𝑚,𝑑,𝑛,𝐴   𝑚,𝑁,𝑛   𝜑,𝑑,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝐷,𝑚,𝑛   𝐿,𝑑,𝑚,𝑛   𝑋,𝑑,𝑚,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6847	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) = ((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)))
3		fvoveq1 7391	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))
4	2, 3	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))))
5	1, 4	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
6		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
11		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
14		elfzelz 13452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 27224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
18		elrabi 3644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
20		mucl 27119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
22	21	zred 12608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
23		elfznn 13481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	22, 24	nndivred 12211	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℂ)
27	24	nnrpd 12959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	19	nnrpd 12959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℝ+)
29	27, 28	rpdivcld 12978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
30	29	relogcld 26600	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
32	26, 31	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
33	17, 32	mulcld 11164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
34	5, 7, 33	dvdsflsumcom 27166	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
35		vmaf 27097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
37		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
38		fss 6686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
39	36, 37, 38	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℂ)
40		vmasum 27195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
42	41	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘𝑚) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖))
43	42	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖)))
44	39, 43	muinv 27171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Λ = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))))
45	44	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Λ‘𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛))
46		sumex 15623	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
48	47	fvmpt2 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
49	23, 46, 48	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
50	45, 49	sylan9eq 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
51		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑑 ∥ 𝑛))
52	51	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∥ 𝑛))
53	52	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∥ 𝑛)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑑 ∥ 𝑛)
55	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
56		nndivdvds 16200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
57	55, 18, 56	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (𝑑 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
58	54, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ)
59		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
60		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))
61		fvex 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
64	63	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
65	64	sumeq2dv 15637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
66	50, 65	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
67	66	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
68		fzfid 13908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
69		dvdsssfz1 16257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
70	55, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
71	68, 70	ssfid 9181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
72	55	nncnd 12173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
73	21	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
74	73	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
75	31	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
76	74, 75	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
77	55	nnne0d 12207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
78	71, 72, 76, 77	fsumdivc 15721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
79	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑑 ∈ ℕ)
80	79, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
82	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑛 ∈ ℂ)
83	77	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑛 ≠ 0)
84	81, 75, 82, 83	div23d 11966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
85	84	sumeq2dv 15637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
86	67, 78, 85	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
87	86	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
88	32	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
89	71, 16, 88	fsummulc2 15719	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
90	87, 89	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
91	90	sumeq2dv 15637	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
92		fzfid 13908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
93	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
94		elfzelz 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
95	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
96	8, 9, 10, 11, 93, 95	dchrzrhcl 27224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
97		fznnfl 13794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
98	7, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
99	98	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
100	99, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
101	100	zred 12608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
102	101, 99	nndivred 12211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
103	102	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
104	96, 103	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
105	12	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
106		elfzelz 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
107	106	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
108	8, 9, 10, 11, 105, 107	dchrzrhcl 27224	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
109		elfznn 13481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
111	110	nnrpd 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
112	111	relogcld 26600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℝ)
113	112, 110	nndivred 12211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
115	108, 114	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
116	92, 104, 115	fsummulc2 15719	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
117	96	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
118	103	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
119	117, 118, 108, 114	mul4d 11357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
120	94	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
121	8, 9, 10, 11, 105, 120, 107	dchrzrhmul 27225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
122	101	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
124	112	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℂ)
125	99	nnrpd 12959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
127	126, 111	rpmulcld 12977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 · 𝑚) ∈ ℝ+)
128	127	rpcnne0d 12970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0))
129		div23 11827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0)) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
130	123, 124, 128, 129	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
131	126	rpcnne0d 12970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
132	111	rpcnne0d 12970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
133		divmuldiv 11853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
134	123, 124, 131, 132, 133	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
135	110	nncnd 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
136	126	rpcnd 12963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
137	126	rpne0d 12966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
138	135, 136, 137	divcan3d 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) / 𝑑) = 𝑚)
139	138	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)) = (log‘𝑚))
140	139	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
141	130, 134, 140	3eqtr4rd 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
142	121, 141	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
143	119, 142	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
144	143	sumeq2dv 15637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
145	116, 144	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
146	145	sumeq2dv 15637	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
147	34, 91, 146	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722  Σcsu 15621   ∥ cdvds 16191  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  ℤRHomczrh 21466  ℤ/nℤczn 21469  logclog 26531  Λcvma 27070  μcmu 27073  DChrcdchr 27211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-qus 17442  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-2idl 21217  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-zn 21473  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-vma 27076  df-mu 27079  df-dchr 27212

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27476