MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem1 26859
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the MΓΆbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛, 1   π‘š,𝑑,𝑛,𝐴   π‘š,𝑁,𝑛   πœ‘,𝑑,π‘š,𝑛   π‘š,𝑍,𝑛   𝐷,π‘š,𝑛   𝐿,𝑑,π‘š,𝑛   𝑋,𝑑,π‘š,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables π‘₯ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6852 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
2 oveq2 7370 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)))
3 fvoveq1 7385 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))
42, 3oveq12d 7380 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
51, 4oveq12d 7380 . . 3 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
6 dchrvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 12964 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
9 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
11 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
12 dchrisum.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
14 elfzelz 13448 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1514adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 26609 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
1716adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
18 elrabi 3644 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1918ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
20 mucl 26506 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
2221zred 12614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
23 elfznn 13477 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2423ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2522, 24nndivred 12214 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) ∈ ℝ)
2625recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) ∈ β„‚)
2724nnrpd 12962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2819nnrpd 12962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 12981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3029relogcld 25994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
3130recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
3226, 31mulcld 11182 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
3317, 32mulcld 11182 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) ∈ β„‚)
345, 7, 33dvdsflsumcom 26553 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
35 vmaf 26484 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ›:β„•βŸΆβ„
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
37 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
38 fss 6690 . . . . . . . . . . . 12 ((Ξ›:β„•βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
3936, 37, 38sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
40 vmasum 26580 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜π‘š))
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜π‘š))
4241eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘š) = Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–))
4342mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–)))
4439, 43muinv 26558 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ξ› = (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)))))
4544fveq1d 6849 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))β€˜π‘›))
46 sumex 15579 . . . . . . . . . 10 Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
4847fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
4923, 46, 48sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
5045, 49sylan9eq 2797 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
51 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑛 ↔ 𝑑 βˆ₯ 𝑛))
5251elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 βˆ₯ 𝑛))
5352simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 βˆ₯ 𝑛)
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑑 βˆ₯ 𝑛)
5523adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
56 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•))
5755, 18, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑑 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•))
5854, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•)
59 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑛 / 𝑑) β†’ (logβ€˜π‘š) = (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))
60 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))
61 fvex 6860 . . . . . . . . . . . 12 (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))
6463oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
6564sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
6650, 65eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
6766oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
68 fzfid 13885 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
69 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
7055, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
7168, 70ssfid 9218 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ∈ Fin)
7255nncnd 12176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
7321zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7473anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7531anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
7674, 75mulcld 11182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
7755nnne0d 12210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 β‰  0)
7871, 72, 76, 77fsumdivc 15678 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
7918adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8079, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
8180zcnd 12615 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8272adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
8377adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑛 β‰  0)
8481, 75, 82, 83div23d 11975 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
8584sumeq2dv 15595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
8667, 78, 853eqtrd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
8786oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
8832anassrs 469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
8971, 16, 88fsummulc2 15676 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
9087, 89eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
9190sumeq2dv 15595 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
92 fzfid 13885 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
9312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
94 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
9594adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
968, 9, 10, 11, 93, 95dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
97 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
987, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
9998simprbda 500 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
10099, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
101100zred 12614 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
102101, 99nndivred 12214 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
103102recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
10496, 103mulcld 11182 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
10512ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
106 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
107106adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
1088, 9, 10, 11, 105, 107dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
109 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
110109adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
111110nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
112111relogcld 25994 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
113112, 110nndivred 12214 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) ∈ ℝ)
114113recnd 11190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) ∈ β„‚)
115108, 114mulcld 11182 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) ∈ β„‚)
11692, 104, 115fsummulc2 15676 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
11796adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
118103adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
119117, 118, 108, 114mul4d 11374 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
12094ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
1218, 9, 10, 11, 105, 120, 107dchrzrhmul 26610 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
122101adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
123122recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
124112recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
12599nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
126125adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
127126, 111rpmulcld 12980 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 Β· π‘š) ∈ ℝ+)
128127rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 Β· π‘š) β‰  0))
129 div23 11839 . . . . . . . . 9 (((ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ ((𝑑 Β· π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 Β· π‘š) β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜π‘š)))
130123, 124, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜π‘š)))
131126rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
132111rpcnne0d 12973 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
133 divmuldiv 11862 . . . . . . . . 9 ((((ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚) ∧ ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)))
134123, 124, 131, 132, 133syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)))
135110nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
136126rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
137126rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
138135, 136, 137divcan3d 11943 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑) = π‘š)
139138fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)) = (logβ€˜π‘š))
140139oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜π‘š)))
141130, 134, 1403eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
142121, 141oveq12d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
143119, 142eqtr4d 2780 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
144143sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
145116, 144eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
146145sumeq2dv 15595 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
14734, 91, 1463eqtr4d 2787 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926  Ξ›cvma 26457  ΞΌcmu 26460  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-vma 26463  df-mu 26466  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  26861
  Copyright terms: Public domain W3C validator