Theorem dchrvmasumlem1 27539

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛, 1   𝑚,𝑑,𝑛,𝐴   𝑚,𝑁,𝑛   𝜑,𝑑,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝐷,𝑚,𝑛   𝐿,𝑑,𝑚,𝑛   𝑋,𝑑,𝑚,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6911	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) = ((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)))
3		fvoveq1 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))
4	2, 3	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))))
5	1, 4	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
6		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13077	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
11		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
14		elfzelz 13564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 27289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
18		elrabi 3687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
20		mucl 27184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
22	21	zred 12722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
23		elfznn 13593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24	23	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	22, 24	nndivred 12320	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℂ)
27	24	nnrpd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	19	nnrpd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℝ+)
29	27, 28	rpdivcld 13094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
30	29	relogcld 26665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
32	26, 31	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
33	17, 32	mulcld 11281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
34	5, 7, 33	dvdsflsumcom 27231	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
35		vmaf 27162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
37		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
38		fss 6752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℂ)
40		vmasum 27260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
42	41	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘𝑚) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖))
43	42	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} (Λ‘𝑖)))
44	39, 43	muinv 27236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Λ = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))))
45	44	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Λ‘𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛))
46		sumex 15724	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
48	47	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
49	23, 46, 48	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
50	45, 49	sylan9eq 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
51		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑑 ∥ 𝑛))
52	51	elrab 3692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∥ 𝑛))
53	52	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∥ 𝑛)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑑 ∥ 𝑛)
55	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
56		nndivdvds 16299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
57	55, 18, 56	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (𝑑 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
58	54, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ)
59		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
60		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))
61		fvex 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
64	63	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
65	64	sumeq2dv 15738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
66	50, 65	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
67	66	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
68		fzfid 14014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
69		dvdsssfz1 16355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
70	55, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
71	68, 70	ssfid 9301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
72	55	nncnd 12282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
73	21	zcnd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
74	73	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
75	31	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
76	74, 75	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
77	55	nnne0d 12316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
78	71, 72, 76, 77	fsumdivc 15822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
79	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑑 ∈ ℕ)
80	79, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
82	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑛 ∈ ℂ)
83	77	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑛 ≠ 0)
84	81, 75, 82, 83	div23d 12080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
85	84	sumeq2dv 15738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
86	67, 78, 85	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
87	86	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
88	32	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
89	71, 16, 88	fsummulc2 15820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
90	87, 89	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
91	90	sumeq2dv 15738	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
92		fzfid 14014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
93	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
94		elfzelz 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
95	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
96	8, 9, 10, 11, 93, 95	dchrzrhcl 27289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
97		fznnfl 13902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
98	7, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
99	98	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
100	99, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
101	100	zred 12722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
102	101, 99	nndivred 12320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
103	102	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
104	96, 103	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
105	12	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
106		elfzelz 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
107	106	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
108	8, 9, 10, 11, 105, 107	dchrzrhcl 27289	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
109		elfznn 13593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
111	110	nnrpd 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
112	111	relogcld 26665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℝ)
113	112, 110	nndivred 12320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
115	108, 114	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
116	92, 104, 115	fsummulc2 15820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
117	96	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
118	103	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
119	117, 118, 108, 114	mul4d 11473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
120	94	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
121	8, 9, 10, 11, 105, 120, 107	dchrzrhmul 27290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
122	101	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
124	112	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℂ)
125	99	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
127	126, 111	rpmulcld 13093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 · 𝑚) ∈ ℝ+)
128	127	rpcnne0d 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0))
129		div23 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0)) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
130	123, 124, 128, 129	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
131	126	rpcnne0d 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
132	111	rpcnne0d 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
133		divmuldiv 11967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
134	123, 124, 131, 132, 133	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
135	110	nncnd 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
136	126	rpcnd 13079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
137	126	rpne0d 13082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
138	135, 136, 137	divcan3d 12048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) / 𝑑) = 𝑚)
139	138	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)) = (log‘𝑚))
140	139	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
141	130, 134, 140	3eqtr4rd 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
142	121, 141	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
143	119, 142	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
144	143	sumeq2dv 15738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
145	116, 144	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
146	145	sumeq2dv 15738	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
147	34, 91, 146	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13547  ⌊cfl 13830  Σcsu 15722   ∥ cdvds 16290  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nℤczn 21513  logclog 26596  Λcvma 27135  μcmu 27138  DChrcdchr 27276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-vma 27141  df-mu 27144  df-dchr 27277

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27541