MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem1 27415
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the MΓΆbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛, 1   π‘š,𝑑,𝑛,𝐴   π‘š,𝑁,𝑛   πœ‘,𝑑,π‘š,𝑛   π‘š,𝑍,𝑛   𝐷,π‘š,𝑛   𝐿,𝑑,π‘š,𝑛   𝑋,𝑑,π‘š,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables π‘₯ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6896 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
2 oveq2 7422 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)))
3 fvoveq1 7437 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))
42, 3oveq12d 7432 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
51, 4oveq12d 7432 . . 3 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
6 dchrvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 13040 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
9 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
11 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
12 dchrisum.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
14 elfzelz 13525 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1514adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 27165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
1716adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
18 elrabi 3674 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1918ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
20 mucl 27060 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
2221zred 12688 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
23 elfznn 13554 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2423ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2522, 24nndivred 12288 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) ∈ ℝ)
2625recnd 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) ∈ β„‚)
2724nnrpd 13038 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2819nnrpd 13038 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 13057 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3029relogcld 26544 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
3130recnd 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
3226, 31mulcld 11256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
3317, 32mulcld 11256 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) ∈ β„‚)
345, 7, 33dvdsflsumcom 27107 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
35 vmaf 27038 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ›:β„•βŸΆβ„
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
37 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
38 fss 6733 . . . . . . . . . . . 12 ((Ξ›:β„•βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
3936, 37, 38sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„‚)
40 vmasum 27136 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜π‘š))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–) = (logβ€˜π‘š))
4241eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜π‘š) = Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–))
4342mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑖 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} (Ξ›β€˜π‘–)))
4439, 43muinv 27112 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ξ› = (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)))))
4544fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))β€˜π‘›))
46 sumex 15658 . . . . . . . . . 10 Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
47 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
4847fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
4923, 46, 48sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
5045, 49sylan9eq 2787 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))))
51 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑛 ↔ 𝑑 βˆ₯ 𝑛))
5251elrab 3680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 βˆ₯ 𝑛))
5352simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 βˆ₯ 𝑛)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑑 βˆ₯ 𝑛)
5523adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
56 nndivdvds 16231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (𝑑 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•))
5755, 18, 56syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑑 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•))
5854, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•)
59 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑛 / 𝑑) β†’ (logβ€˜π‘š) = (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))
60 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))
61 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))
6463oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
6564sumeq2dv 15673 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ (logβ€˜π‘š))β€˜(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
6650, 65eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
6766oveq1d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
68 fzfid 13962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
69 dvdsssfz1 16286 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
7055, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
7168, 70ssfid 9283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ∈ Fin)
7255nncnd 12250 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
7321zcnd 12689 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7473anassrs 467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7531anassrs 467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
7674, 75mulcld 11256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
7755nnne0d 12284 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 β‰  0)
7871, 72, 76, 77fsumdivc 15756 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
7918adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8079, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
8180zcnd 12689 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8272adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
8377adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑛 β‰  0)
8481, 75, 82, 83div23d 12049 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
8584sumeq2dv 15673 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
8667, 78, 853eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))))
8786oveq2d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
8832anassrs 467 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
8971, 16, 88fsummulc2 15754 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
9087, 89eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
9190sumeq2dv 15673 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)))))
92 fzfid 13962 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
9312adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
94 elfzelz 13525 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
9594adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
968, 9, 10, 11, 93, 95dchrzrhcl 27165 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
97 fznnfl 13851 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
987, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
9998simprbda 498 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
10099, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
101100zred 12688 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
102101, 99nndivred 12288 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
103102recnd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
10496, 103mulcld 11256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
10512ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
106 elfzelz 13525 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
107106adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
1088, 9, 10, 11, 105, 107dchrzrhcl 27165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
109 elfznn 13554 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
110109adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
111110nnrpd 13038 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
112111relogcld 26544 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
113112, 110nndivred 12288 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) ∈ ℝ)
114113recnd 11264 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) ∈ β„‚)
115108, 114mulcld 11256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) ∈ β„‚)
11692, 104, 115fsummulc2 15754 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
11796adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
118103adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
119117, 118, 108, 114mul4d 11448 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
12094ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
1218, 9, 10, 11, 105, 120, 107dchrzrhmul 27166 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
122101adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
123122recnd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
124112recnd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
12599nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
126125adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
127126, 111rpmulcld 13056 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 Β· π‘š) ∈ ℝ+)
128127rpcnne0d 13049 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 Β· π‘š) β‰  0))
129 div23 11913 . . . . . . . . 9 (((ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ ((𝑑 Β· π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 Β· π‘š) β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜π‘š)))
130123, 124, 128, 129syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜π‘š)))
131126rpcnne0d 13049 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
132111rpcnne0d 13049 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
133 divmuldiv 11936 . . . . . . . . 9 ((((ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘š) ∈ β„‚) ∧ ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)))
134123, 124, 131, 132, 133syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘š)) / (𝑑 Β· π‘š)))
135110nncnd 12250 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
136126rpcnd 13042 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
137126rpne0d 13045 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
138135, 136, 137divcan3d 12017 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑) = π‘š)
139138fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)) = (logβ€˜π‘š))
140139oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜π‘š)))
141130, 134, 1403eqtr4rd 2778 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
142121, 141oveq12d 7432 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
143119, 142eqtr4d 2770 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
144143sumeq2dv 15673 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
145116, 144eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
146145sumeq2dv 15673 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) Β· (((ΞΌβ€˜π‘‘) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))))
14734, 91, 1463eqtr4d 2777 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„€cz 12580  β„+crp 12998  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  Ξ£csu 15656   βˆ₯ cdvds 16222  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  logclog 26475  Ξ›cvma 27011  ΞΌcmu 27014  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-vma 27017  df-mu 27020  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27417
  Copyright terms: Public domain W3C validator