MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem1 26843
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛, 1   𝑚,𝑑,𝑛,𝐴   𝑚,𝑁,𝑛   𝜑,𝑑,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝐷,𝑚,𝑛   𝐿,𝑑,𝑚,𝑛   𝑋,𝑑,𝑚,𝑛   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) = ((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)))
3 fvoveq1 7380 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))
42, 3oveq12d 7375 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))))
51, 4oveq12d 7375 . . 3 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
6 dchrvmasum.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 12957 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
11 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋𝐷)
14 elfzelz 13441 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 26593 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
1716adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
18 elrabi 3639 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
1918ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
20 mucl 26490 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2221zred 12607 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
23 elfznn 13470 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2423ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑛 ∈ ℕ)
2522, 24nndivred 12207 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℝ)
2625recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → ((μ‘𝑑) / 𝑛) ∈ ℂ)
2724nnrpd 12955 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2819nnrpd 12955 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 12974 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
3029relogcld 25978 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
3130recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
3226, 31mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
3317, 32mulcld 11175 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
345, 7, 33dvdsflsumcom 26537 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
35 vmaf 26468 . . . . . . . . . . . . 13 Λ:ℕ⟶ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
37 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
38 fss 6685 . . . . . . . . . . . 12 ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℂ)
40 vmasum 26564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖) = (log‘𝑚))
4241eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘𝑚) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖))
4342mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} (Λ‘𝑖)))
4439, 43muinv 26542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Λ = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))))
4544fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Λ‘𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛))
46 sumex 15572 . . . . . . . . . 10 Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
4847fvmpt2 6959 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
4923, 46, 48sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
5045, 49sylan9eq 2796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))))
51 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑑 → (𝑥𝑛𝑑𝑛))
5251elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑛))
5352simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} → 𝑑𝑛)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑑𝑛)
5523adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
56 nndivdvds 16145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
5755, 18, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (𝑑𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ))
5854, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ)
59 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
60 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))
61 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑)) = (log‘(𝑛 / 𝑑)))
6463oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
6564sumeq2dv 15588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (log‘𝑚))‘(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
6650, 65eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
6766oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
68 fzfid 13878 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
69 dvdsssfz1 16200 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ (1...𝑛))
7055, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ (1...𝑛))
7168, 70ssfid 9211 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ∈ Fin)
7255nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
7321zcnd 12608 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
7473anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
7531anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (log‘(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℂ)
7674, 75mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
7755nnne0d 12203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
7871, 72, 76, 77fsumdivc 15671 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛))
7918adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑑 ∈ ℕ)
8079, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
8180zcnd 12608 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
8272adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑛 ∈ ℂ)
8377adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑛 ≠ 0)
8481, 75, 82, 83div23d 11968 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
8584sumeq2dv 15588 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
8667, 78, 853eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))))
8786oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
8832anassrs 468 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℂ)
8971, 16, 88fsummulc2 15669 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
9087, 89eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
9190sumeq2dv 15588 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (((μ‘𝑑) / 𝑛) · (log‘(𝑛 / 𝑑)))))
92 fzfid 13878 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
9312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋𝐷)
94 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
9594adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
968, 9, 10, 11, 93, 95dchrzrhcl 26593 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
97 fznnfl 13767 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝐴)))
987, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝐴)))
9998simprbda 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
10099, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
101100zred 12607 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
102101, 99nndivred 12207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
103102recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
10496, 103mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
10512ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
106 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
107106adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1088, 9, 10, 11, 105, 107dchrzrhcl 26593 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
109 elfznn 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
110109adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
111110nnrpd 12955 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
112111relogcld 25978 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℝ)
113112, 110nndivred 12207 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
114113recnd 11183 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
115108, 114mulcld 11175 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
11692, 104, 115fsummulc2 15669 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
11796adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
118103adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
119117, 118, 108, 114mul4d 11367 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
12094ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
1218, 9, 10, 11, 105, 120, 107dchrzrhmul 26594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))))
122101adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
123122recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
124112recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘𝑚) ∈ ℂ)
12599nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
126125adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
127126, 111rpmulcld 12973 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 · 𝑚) ∈ ℝ+)
128127rpcnne0d 12966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0))
129 div23 11832 . . . . . . . . 9 (((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ((𝑑 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑑 · 𝑚) ≠ 0)) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
130123, 124, 128, 129syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
131126rpcnne0d 12966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
132111rpcnne0d 12966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
133 divmuldiv 11855 . . . . . . . . 9 ((((μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
134123, 124, 131, 132, 133syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (((μ‘𝑑) · (log‘𝑚)) / (𝑑 · 𝑚)))
135110nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
136126rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
137126rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
138135, 136, 137divcan3d 11936 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑑 · 𝑚) / 𝑑) = 𝑚)
139138fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)) = (log‘𝑚))
140139oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘𝑚)))
141130, 134, 1403eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑))) = (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
142121, 141oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) · (((μ‘𝑑) / 𝑑) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
143119, 142eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
144143sumeq2dv 15588 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
145116, 144eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
146145sumeq2dv 15588 . 2 (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) · (((μ‘𝑑) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘((𝑑 · 𝑚) / 𝑑)))))
14734, 91, 1463eqtr4d 2786 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) · ((log‘𝑚) / 𝑚))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695  Σcsu 15570  cdvds 16136  Basecbs 17083  0gc0g 17321  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  logclog 25910  Λcvma 26441  μcmu 26444  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-vma 26447  df-mu 26450  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  26845
  Copyright terms: Public domain W3C validator