MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad2lem1 25400
Description: Lemma for lgsquad2 25402. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.m (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
lgsquad2lem1.1 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem1.2 (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem1 (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2lem1
StepHypRef Expression
1 lgsquad2lem1.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
2 lgsquad2lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
43zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
6 npcan 10544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
74, 5, 6sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8 lgsquad2lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
109zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 npcan 10544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
1210, 5, 11sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
137, 12oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵))
14 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
153, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1615zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
2019zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
2116, 17, 20, 17muladdd 10743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))))
22 1t1e1 11440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 1) = 1
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 1) = 1)
2423oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1))
2516mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1))
2620mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1))
2725, 26oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) = ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))
2824, 27oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
2921, 28eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
3013, 29eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
311, 30eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
3231oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1))
3316, 20mulcld 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
34 addcl 10271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
3533, 5, 34sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
3616, 20addcld 10313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
3735, 36, 17addsubd 10667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
38 pncan 10541 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
3933, 5, 38sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
4039oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
4132, 37, 403eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
4241oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2))
43 2cnd 11350 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
44 2ne0 11383 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4633, 36, 43, 45divdird 11093 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)))
4716, 20, 43, 45divassd 11090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
4816, 43, 45divcan2d 11057 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1))
4948oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
50 lgsquad2.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
51 dvdsmul1 15290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
523, 9, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
5352, 1breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝑀)
54 2z 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
56 lgsquad2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5756nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
58 dvdstr 15305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴𝐴𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
5955, 3, 57, 58syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴𝐴𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
6053, 59mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀))
6150, 60mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
62 1zzd 11655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63 2prm 15687 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℙ
64 nprmdvds1 15699 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
6563, 64mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 1)
66 omoe 15372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1))
673, 61, 62, 65, 66syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1))
68 dvdsval2 15270 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6955, 45, 15, 68syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
7067, 69mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
7170zcnd 11730 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℂ)
72 dvdsmul2 15291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
733, 9, 72syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
7473, 1breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝑀)
75 dvdstr 15305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵𝐵𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
7655, 9, 57, 75syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵𝐵𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
7774, 76mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀))
7850, 77mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
79 omoe 15372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1))
809, 78, 62, 65, 79syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1))
81 dvdsval2 15270 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8255, 45, 19, 81syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8380, 82mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ)
8483zcnd 11730 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℂ)
8543, 71, 84mulassd 10317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
8647, 49, 853eqtr2d 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
8716, 20, 43, 45divdird 11093 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
8886, 87oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
8942, 46, 883eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
9089oveq1d 6857 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)))
9170, 83zmulcld 11735 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
9255, 91zmulcld 11735 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
9392zcnd 11730 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
9470, 83zaddcld 11733 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
9594zcnd 11730 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
96 lgsquad2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9796nnzd 11728 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98 lgsquad2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
99 omoe 15372 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
10097, 98, 62, 65, 99syl22anc 867 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
101 peano2zm 11667 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10297, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
103 dvdsval2 15270 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
10455, 45, 102, 103syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
105100, 104mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
106105zcnd 11730 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
10793, 95, 106adddird 10319 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
10891zcnd 11730 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
10943, 108, 106mulassd 10317 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
110109oveq1d 6857 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
11190, 107, 1103eqtrd 2803 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
112111oveq2d 6858 . . 3 (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
113 neg1cn 11393 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
114113a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
115 neg1ne0 11395 . . . . . 6 -1 ≠ 0
116115a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → -1 ≠ 0)
11791, 105zmulcld 11735 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
11855, 117zmulcld 11735 . . . . 5 (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
11994, 105zmulcld 11735 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
120 expaddz 13111 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
121114, 116, 118, 119, 120syl22anc 867 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
122 expmulz 13113 . . . . . . 7 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
123114, 116, 55, 117, 122syl22anc 867 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
124 neg1sqe1 13166 . . . . . . . 8 (-1↑2) = 1
125124oveq1i 6852 . . . . . . 7 ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))
126 1exp 13096 . . . . . . . 8 (((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
127117, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
128125, 127syl5eq 2811 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
129123, 128eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = 1)
130129oveq1d 6857 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
131121, 130eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
132114, 116, 119expclzd 13220 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
133132mulid2d 10312 . . . 4 (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
13471, 84, 106adddird 10319 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
135134oveq2d 6858 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
136133, 135eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
137112, 131, 1363eqtrd 2803 . 2 (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
138 lgsquad2lem1.1 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
139 lgsquad2lem1.2 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
140138, 139oveq12d 6860 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
14170, 105zmulcld 11735 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
14283, 105zmulcld 11735 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
143 expaddz 13111 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
144114, 116, 141, 142, 143syl22anc 867 . . 3 (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
145140, 144eqtr4d 2802 . 2 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
146 lgscl 25327 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1473, 97, 146syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
148147zcnd 11730 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
149 lgscl 25327 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1509, 97, 149syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
151150zcnd 11730 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
152 lgscl 25327 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
15397, 3, 152syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
154153zcnd 11730 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℂ)
155 lgscl 25327 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
15697, 9, 155syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
157156zcnd 11730 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℂ)
158148, 151, 154, 157mul4d 10502 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))))
1592nnne0d 11322 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1608nnne0d 11322 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ≠ 0)
161 lgsdir 25348 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
1623, 9, 97, 159, 160, 161syl32anc 1497 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
1631oveq1d 6857 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
164162, 163eqtr3d 2801 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝑀 /L 𝑁))
165 lgsdi 25350 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
16697, 3, 9, 159, 160, 165syl32anc 1497 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
1671oveq2d 6858 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
168166, 167eqtr3d 2801 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
169164, 168oveq12d 6860 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
170158, 169eqtr3d 2801 . 2 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
171137, 145, 1703eqtr2rd 2806 1 (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cexp 13067  cdvds 15267   gcd cgcd 15499  cprime 15667   /L clgs 25310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-phi 15752  df-pc 15823  df-lgs 25311
This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  25401
  Copyright terms: Public domain W3C validator