MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad2lem1 27362
Description: Lemma for lgsquad2 27364. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.m (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
lgsquad2lem1.1 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem1.2 (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem1 (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2lem1
StepHypRef Expression
1 lgsquad2lem1.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
2 lgsquad2lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
43zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
6 npcan 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
74, 5, 6sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8 lgsquad2lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
109zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 npcan 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
1210, 5, 11sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
137, 12oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵))
14 peano2zm 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
153, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1615zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 peano2zm 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
2019zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
2116, 17, 20, 17muladdd 11704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))))
22 1t1e1 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 1) = 1
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 1) = 1)
2423oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1))
2516mulridd 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1))
2620mulridd 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1))
2725, 26oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) = ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))
2824, 27oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
2921, 28eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
3013, 29eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
311, 30eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
3231oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1))
3316, 20mulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
34 addcl 11222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
3533, 5, 34sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
3616, 20addcld 11265 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
3735, 36, 17addsubd 11624 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
38 pncan 11498 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
3933, 5, 38sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
4039oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
4132, 37, 403eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
4241oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2))
43 2cnd 12323 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
44 2ne0 12349 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4633, 36, 43, 45divdird 12061 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)))
4716, 20, 43, 45divassd 12058 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
4816, 43, 45divcan2d 12025 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1))
4948oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
50 lgsquad2.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
51 dvdsmul1 16258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
523, 9, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
5352, 1breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝑀)
54 2z 12627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
55 lgsquad2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5655nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
57 dvdstr 16274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴𝐴𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
5854, 3, 56, 57mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴𝐴𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
5953, 58mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀))
6050, 59mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
61 1zzd 12626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
62 2prm 16666 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℙ
63 nprmdvds1 16680 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 1)
65 omoe 16344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1))
663, 60, 61, 64, 65syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1))
67 dvdsval2 16237 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6854, 45, 15, 67mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
7069zcnd 12700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℂ)
71 dvdsmul2 16259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
723, 9, 71syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
7372, 1breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝑀)
74 dvdstr 16274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵𝐵𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
7554, 9, 56, 74mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵𝐵𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
7673, 75mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀))
7750, 76mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
78 omoe 16344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1))
799, 77, 61, 64, 78syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1))
80 dvdsval2 16237 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8154, 45, 19, 80mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8279, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ)
8382zcnd 12700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℂ)
8443, 70, 83mulassd 11269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
8547, 49, 843eqtr2d 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
8616, 20, 43, 45divdird 12061 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
8785, 86oveq12d 7437 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
8842, 46, 873eqtrd 2769 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
8988oveq1d 7434 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)))
9054a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
9169, 82zmulcld 12705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
9290, 91zmulcld 12705 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
9392zcnd 12700 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
9469, 82zaddcld 12703 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
9594zcnd 12700 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
96 lgsquad2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9796nnzd 12618 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98 lgsquad2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
99 omoe 16344 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
10097, 98, 61, 64, 99syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
101 peano2zm 12638 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10297, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
103 dvdsval2 16237 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
10454, 45, 102, 103mp3an2i 1462 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
105100, 104mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
106105zcnd 12700 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
10793, 95, 106adddird 11271 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
10891zcnd 12700 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
10943, 108, 106mulassd 11269 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
110109oveq1d 7434 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
11189, 107, 1103eqtrd 2769 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
112111oveq2d 7435 . . 3 (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
113 neg1cn 12359 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
114113a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
115 neg1ne0 12361 . . . . . 6 -1 ≠ 0
116115a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → -1 ≠ 0)
11791, 105zmulcld 12705 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
11890, 117zmulcld 12705 . . . . 5 (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
11994, 105zmulcld 12705 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
120 expaddz 14107 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
121114, 116, 118, 119, 120syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
122 expmulz 14109 . . . . . . 7 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
123114, 116, 90, 117, 122syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
124 neg1sqe1 14195 . . . . . . . 8 (-1↑2) = 1
125124oveq1i 7429 . . . . . . 7 ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))
126 1exp 14092 . . . . . . . 8 (((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
127117, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
128125, 127eqtrid 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
129123, 128eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = 1)
130129oveq1d 7434 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
131121, 130eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
132114, 116, 119expclzd 14151 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
133132mullidd 11264 . . . 4 (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
13470, 83, 106adddird 11271 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
135134oveq2d 7435 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
136133, 135eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
137112, 131, 1363eqtrd 2769 . 2 (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
138 lgsquad2lem1.1 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
139 lgsquad2lem1.2 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
140138, 139oveq12d 7437 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
14169, 105zmulcld 12705 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
14282, 105zmulcld 12705 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
143 expaddz 14107 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
144114, 116, 141, 142, 143syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
145140, 144eqtr4d 2768 . 2 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
146 lgscl 27289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1473, 97, 146syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
148147zcnd 12700 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
149 lgscl 27289 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1509, 97, 149syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
151150zcnd 12700 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
152 lgscl 27289 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
15397, 3, 152syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
154153zcnd 12700 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℂ)
155 lgscl 27289 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
15697, 9, 155syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
157156zcnd 12700 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℂ)
158148, 151, 154, 157mul4d 11458 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))))
1592nnne0d 12295 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1608nnne0d 12295 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ≠ 0)
161 lgsdir 27310 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
1623, 9, 97, 159, 160, 161syl32anc 1375 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
1631oveq1d 7434 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
164162, 163eqtr3d 2767 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝑀 /L 𝑁))
165 lgsdi 27312 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
16697, 3, 9, 159, 160, 165syl32anc 1375 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
1671oveq2d 7435 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
168166, 167eqtr3d 2767 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
169164, 168oveq12d 7437 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
170158, 169eqtr3d 2767 . 2 (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
171137, 145, 1703eqtr2rd 2772 1 (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  cz 12591  cexp 14062  cdvds 16234   gcd cgcd 16472  cprime 16645   /L clgs 27272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-phi 16738  df-pc 16809  df-lgs 27273
This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  27363
  Copyright terms: Public domain W3C validator