lgsquad2lem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquad2lem1 27362

Description: Lemma for lgsquad2 27364. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
lgsquad2lem1.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem1.2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 11501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
7	4, 5, 6	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		npcan 11501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
12	10, 5, 11	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
13	7, 12	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵))
14		peano2zm 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
17	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		peano2zm 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20, 17	muladdd 11704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))))
22		1t1e1 12407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
24	23	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1))
25	16	mulridd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1))
26	20	mulridd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1))
27	25, 26	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) = ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))
28	24, 27	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
29	21, 28	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
30	13, 29	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
31	1, 30	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
32	31	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1))
33	16, 20	mulcld 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
34		addcl 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
35	33, 5, 34	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
36	16, 20	addcld 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
37	35, 36, 17	addsubd 11624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
38		pncan 11498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
39	33, 5, 38	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
40	39	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
41	32, 37, 40	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
42	41	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2))
43		2cnd 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
44		2ne0 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
46	33, 36, 43, 45	divdird 12061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)))
47	16, 20, 43, 45	divassd 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
48	16, 43, 45	divcan2d 12025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1))
49	48	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
51		dvdsmul1 16258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
52	3, 9, 51	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
53	52, 1	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑀)
54		2z 12627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
57		dvdstr 16274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
59	53, 58	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀))
60	50, 59	mtod 197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
61		1zzd 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
62		2prm 16666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
63		nprmdvds1 16680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
64	62, 63	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 1)
65		omoe 16344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1))
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1))
67		dvdsval2 16237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
68	54, 45, 15, 67	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
69	66, 68	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℂ)
71		dvdsmul2 16259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
72	3, 9, 71	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
73	72, 1	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝑀)
74		dvdstr 16274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
75	54, 9, 56, 74	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
76	73, 75	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀))
77	50, 76	mtod 197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
78		omoe 16344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1))
79	9, 77, 61, 64, 78	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1))
80		dvdsval2 16237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
81	54, 45, 19, 80	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
82	79, 81	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℂ)
84	43, 70, 83	mulassd 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
85	47, 49, 84	3eqtr2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
86	16, 20, 43, 45	divdird 12061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
87	85, 86	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
88	42, 46, 87	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
89	88	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)))
90	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
91	69, 82	zmulcld 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
92	90, 91	zmulcld 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
94	69, 82	zaddcld 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
96		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
97	96	nnzd 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
98		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
99		omoe 16344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
100	97, 98, 61, 64, 99	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
101		peano2zm 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
102	97, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
103		dvdsval2 16237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
104	54, 45, 102, 103	mp3an2i 1462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
105	100, 104	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
106	105	zcnd 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
107	93, 95, 106	adddird 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
108	91	zcnd 12700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
109	43, 108, 106	mulassd 11269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
110	109	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
111	89, 107, 110	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
112	111	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
113		neg1cn 12359	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
114	113	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
115		neg1ne0 12361	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ≠ 0)
117	91, 105	zmulcld 12705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
118	90, 117	zmulcld 12705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
119	94, 105	zmulcld 12705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
120		expaddz 14107	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
121	114, 116, 118, 119, 120	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
122		expmulz 14109	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
123	114, 116, 90, 117, 122	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
124		neg1sqe1 14195	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑2) = 1
125	124	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))
126		1exp 14092	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
127	117, 126	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
128	125, 127	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
129	123, 128	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = 1)
130	129	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
131	121, 130	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
132	114, 116, 119	expclzd 14151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
133	132	mullidd 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
134	70, 83, 106	adddird 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
135	134	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
136	133, 135	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
137	112, 131, 136	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
138		lgsquad2lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
139		lgsquad2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
140	138, 139	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
141	69, 105	zmulcld 12705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
142	82, 105	zmulcld 12705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
143		expaddz 14107	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
144	114, 116, 141, 142, 143	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
145	140, 144	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
146		lgscl 27289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
147	3, 97, 146	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
148	147	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /_L 𝑁) ∈ ℂ)
149		lgscl 27289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
150	9, 97, 149	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
151	150	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /_L 𝑁) ∈ ℂ)
152		lgscl 27289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /_L 𝐴) ∈ ℤ)
153	97, 3, 152	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐴) ∈ ℤ)
154	153	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐴) ∈ ℂ)
155		lgscl 27289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /_L 𝐵) ∈ ℤ)
156	97, 9, 155	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐵) ∈ ℤ)
157	156	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐵) ∈ ℂ)
158	148, 151, 154, 157	mul4d 11458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) · ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵))) = (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))))
159	2	nnne0d 12295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
160	8	nnne0d 12295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
161		lgsdir 27310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
162	3, 9, 97, 159, 160, 161	syl32anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
163	1	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = (𝑀 /_L 𝑁))
164	162, 163	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = (𝑀 /_L 𝑁))
165		lgsdi 27312	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /_L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵)))
166	97, 3, 9, 159, 160, 165	syl32anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵)))
167	1	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /_L 𝑀))
168	166, 167	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵)) = (𝑁 /_L 𝑀))
169	164, 168	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) · ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵))) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
170	158, 169	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
171	137, 145, 170	3eqtr2rd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2929 class class class wbr 5149 (class class class)co 7419 ℂcc 11138 0cc0 11140 1c1 11141 + caddc 11143 · cmul 11145 − cmin 11476 -cneg 11477 / cdiv 11903 ℕcn 12245 2c2 12300 ℤcz 12591 ↑cexp 14062 ∥ cdvds 16234 gcd cgcd 16472 ℙcprime 16645 /_L clgs 27272

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7741 ax-cnex 11196 ax-resscn 11197 ax-1cn 11198 ax-icn 11199 ax-addcl 11200 ax-addrcl 11201 ax-mulcl 11202 ax-mulrcl 11203 ax-mulcom 11204 ax-addass 11205 ax-mulass 11206 ax-distr 11207 ax-i2m1 11208 ax-1ne0 11209 ax-1rid 11210 ax-rnegex 11211 ax-rrecex 11212 ax-cnre 11213 ax-pre-lttri 11214 ax-pre-lttrn 11215 ax-pre-ltadd 11216 ax-pre-mulgt0 11217 ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2930 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3419 df-v 3463 df-sbc 3774 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3964 df-nul 4323 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4910 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6307 df-ord 6374 df-on 6375 df-lim 6376 df-suc 6377 df-iota 6501 df-fun 6551 df-fn 6552 df-f 6553 df-f1 6554 df-fo 6555 df-f1o 6556 df-fv 6557 df-riota 7375 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7872 df-1st 7994 df-2nd 7995 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-2o 8488 df-oadd 8491 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-sup 9467 df-inf 9468 df-dju 9926 df-card 9964 df-pnf 11282 df-mnf 11283 df-xr 11284 df-ltxr 11285 df-le 11286 df-sub 11478 df-neg 11479 df-div 11904 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12506 df-xnn0 12578 df-z 12592 df-uz 12856 df-q 12966 df-rp 13010 df-fz 13520 df-fzo 13663 df-fl 13793 df-mod 13871 df-seq 14003 df-exp 14063 df-hash 14326 df-cj 15082 df-re 15083 df-im 15084 df-sqrt 15218 df-abs 15219 df-dvds 16235 df-gcd 16473 df-prm 16646 df-phi 16738 df-pc 16809 df-lgs 27273

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 27363

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