lgsquad2lem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquad2lem1 27418

Description: Lemma for lgsquad2 27420. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
lgsquad2lem1.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem1.2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 11429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
7	4, 5, 6	sylancl 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		npcan 11429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
12	10, 5, 11	sylancl 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
13	7, 12	oveq12d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵))
14		peano2zm 12604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
17	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		peano2zm 12604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
19	9, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20, 17	muladdd 11635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))))
22		1t1e1 12369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
24	23	oveq2d 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1))
25	16	mulridd 11189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1))
26	20	mulridd 11189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1))
27	25, 26	oveq12d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) = ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))
28	24, 27	oveq12d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
29	21, 28	eqtrd 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
30	13, 29	eqtr3d 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
31	1, 30	eqtr3d 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
32	31	oveq1d 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1))
33	16, 20	mulcld 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
34		addcl 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
35	33, 5, 34	sylancl 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
36	16, 20	addcld 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
37	35, 36, 17	addsubd 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
38		pncan 11426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
39	33, 5, 38	sylancl 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
40	39	oveq1d 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
41	32, 37, 40	3eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
42	41	oveq1d 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2))
43		2cnd 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
44		2ne0 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
46	33, 36, 43, 45	divdird 11995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)))
47	16, 20, 43, 45	divassd 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
48	16, 43, 45	divcan2d 11959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1))
49	48	oveq1d 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
51		dvdsmul1 16287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
52	3, 9, 51	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
53	52, 1	breqtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑀)
54		2z 12593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
57		dvdstr 16304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
59	53, 58	mpan2d 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀))
60	50, 59	mtod 200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
61		1zzd 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
62		2prm 16702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
63		nprmdvds1 16717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
64	62, 63	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 1)
65		omoe 16374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1))
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1))
67		dvdsval2 16265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
68	54, 45, 15, 67	mp3an2i 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
69	66, 68	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℂ)
71		dvdsmul2 16288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
72	3, 9, 71	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
73	72, 1	breqtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝑀)
74		dvdstr 16304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
75	54, 9, 56, 74	mp3an2i 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
76	73, 75	mpan2d 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀))
77	50, 76	mtod 200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
78		omoe 16374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1))
79	9, 77, 61, 64, 78	syl22anc 847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1))
80		dvdsval2 16265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
81	54, 45, 19, 80	mp3an2i 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
82	79, 81	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℂ)
84	43, 70, 83	mulassd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
85	47, 49, 84	3eqtr2d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
86	16, 20, 43, 45	divdird 11995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
87	85, 86	oveq12d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
88	42, 46, 87	3eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
89	88	oveq1d 7400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)))
90	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
91	69, 82	zmulcld 12673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
92	90, 91	zmulcld 12673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
94	69, 82	zaddcld 12671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
96		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
97	96	nnzd 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
98		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
99		omoe 16374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
100	97, 98, 61, 64, 99	syl22anc 847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
101		peano2zm 12604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
102	97, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
103		dvdsval2 16265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
104	54, 45, 102, 103	mp3an2i 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
105	100, 104	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
106	105	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
107	93, 95, 106	adddird 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
108	91	zcnd 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
109	43, 108, 106	mulassd 11195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
110	109	oveq1d 7400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
111	89, 107, 110	3eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
112	111	oveq2d 7401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
113		neg1cn 12170	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
114	113	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
115		neg1ne0 12172	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ≠ 0)
117	91, 105	zmulcld 12673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
118	90, 117	zmulcld 12673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
119	94, 105	zmulcld 12673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
120		expaddz 14109	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
121	114, 116, 118, 119, 120	syl22anc 847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
122		expmulz 14111	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
123	114, 116, 90, 117, 122	syl22anc 847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
124		neg1sqe1 14199	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑2) = 1
125	124	oveq1i 7395	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))
126		1exp 14094	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
127	117, 126	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
128	125, 127	eqtrid 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
129	123, 128	eqtrd 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = 1)
130	129	oveq1d 7400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
131	121, 130	eqtrd 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
132	114, 116, 119	expclzd 14154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
133	132	mullidd 11190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
134	70, 83, 106	adddird 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
135	134	oveq2d 7401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
136	133, 135	eqtrd 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
137	112, 131, 136	3eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
138		lgsquad2lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
139		lgsquad2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
140	138, 139	oveq12d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
141	69, 105	zmulcld 12673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
142	82, 105	zmulcld 12673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
143		expaddz 14109	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
144	114, 116, 141, 142, 143	syl22anc 847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
145	140, 144	eqtr4d 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
146		lgscl 27345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
147	3, 97, 146	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
148	147	zcnd 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /_L 𝑁) ∈ ℂ)
149		lgscl 27345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
150	9, 97, 149	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /_L 𝑁) ∈ ℤ)
151	150	zcnd 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /_L 𝑁) ∈ ℂ)
152		lgscl 27345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /_L 𝐴) ∈ ℤ)
153	97, 3, 152	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐴) ∈ ℤ)
154	153	zcnd 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐴) ∈ ℂ)
155		lgscl 27345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /_L 𝐵) ∈ ℤ)
156	97, 9, 155	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐵) ∈ ℤ)
157	156	zcnd 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 𝐵) ∈ ℂ)
158	148, 151, 154, 157	mul4d 11385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) · ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵))) = (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))))
159	2	nnne0d 12253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
160	8	nnne0d 12253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
161		lgsdir 27366	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
162	3, 9, 97, 159, 160, 161	syl32anc 1393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
163	1	oveq1d 7400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = (𝑀 /_L 𝑁))
164	162, 163	eqtr3d 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = (𝑀 /_L 𝑁))
165		lgsdi 27368	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /_L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵)))
166	97, 3, 9, 159, 160, 165	syl32anc 1393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵)))
167	1	oveq2d 7401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /_L 𝑀))
168	166, 167	eqtr3d 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵)) = (𝑁 /_L 𝑀))
169	164, 168	oveq12d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) · ((𝑁 /_L 𝐴) · (𝑁 /_L 𝐵))) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
170	158, 169	eqtr3d 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐴)) · ((𝐵 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝐵))) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
171	137, 145, 170	3eqtr2rd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1554 ∈ wcel 2136 ≠ wne 2951 class class class wbr 5094 (class class class)co 7385 ℂcc 11061 0cc0 11063 1c1 11064 + caddc 11066 · cmul 11068 − cmin 11404 -cneg 11405 / cdiv 11834 ℕcn 12200 2c2 12262 ℤcz 12558 ↑cexp 14064 ∥ cdvds 16262 gcd cgcd 16504 ℙcprime 16681 /_L clgs 27328

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1809 ax-4 1823 ax-5 1924 ax-6 1981 ax-7 2022 ax-8 2138 ax-9 2146 ax-10 2169 ax-11 2185 ax-12 2206 ax-ext 2728 ax-rep 5221 ax-sep 5240 ax-nul 5250 ax-pow 5316 ax-pr 5384 ax-un 7707 ax-cnex 11119 ax-resscn 11120 ax-1cn 11121 ax-icn 11122 ax-addcl 11123 ax-addrcl 11124 ax-mulcl 11125 ax-mulrcl 11126 ax-mulcom 11127 ax-addass 11128 ax-mulass 11129 ax-distr 11130 ax-i2m1 11131 ax-1ne0 11132 ax-1rid 11133 ax-rnegex 11134 ax-rrecex 11135 ax-cnre 11136 ax-pre-lttri 11137 ax-pre-lttrn 11138 ax-pre-ltadd 11139 ax-pre-mulgt0 11140 ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 857 df-3or 1096 df-3an 1097 df-tru 1557 df-fal 1567 df-ex 1794 df-nf 1798 df-sb 2085 df-mo 2560 df-eu 2590 df-clab 2735 df-cleq 2748 df-clel 2831 df-nfc 2905 df-ne 2952 df-nel 3056 df-ral 3071 df-rex 3081 df-rmo 3361 df-reu 3362 df-rab 3409 df-v 3450 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4281 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4577 df-pr 4579 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4900 df-iun 4945 df-br 5095 df-opab 5157 df-mpt 5176 df-tr 5202 df-id 5535 df-eprel 5540 df-po 5548 df-so 5549 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5646 df-rel 5647 df-cnv 5648 df-co 5649 df-dm 5650 df-rn 5651 df-res 5652 df-ima 5653 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6466 df-fun 6512 df-fn 6513 df-f 6514 df-f1 6515 df-fo 6516 df-f1o 6517 df-fv 6518 df-riota 7342 df-ov 7388 df-oprab 7389 df-mpo 7390 df-om 7836 df-1st 7959 df-2nd 7960 df-frecs 8250 df-wrecs 8281 df-recs 8330 df-rdg 8369 df-1o 8425 df-2o 8426 df-oadd 8429 df-er 8666 df-en 8917 df-dom 8918 df-sdom 8919 df-fin 8920 df-sup 9378 df-inf 9379 df-dju 9849 df-card 9887 df-pnf 11208 df-mnf 11209 df-xr 11210 df-ltxr 11211 df-le 11212 df-sub 11406 df-neg 11407 df-div 11835 df-nn 12201 df-2 12270 df-3 12271 df-4 12272 df-5 12273 df-6 12274 df-7 12275 df-8 12276 df-9 12277 df-n0 12472 df-xnn0 12545 df-z 12559 df-uz 12830 df-q 12940 df-rp 12984 df-fz 13503 df-fzo 13650 df-fl 13792 df-mod 13870 df-seq 14005 df-exp 14065 df-hash 14334 df-cj 15102 df-re 15103 df-im 15104 df-sqrt 15238 df-abs 15239 df-dvds 16263 df-gcd 16505 df-prm 16682 df-phi 16777 df-pc 16849 df-lgs 27329

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 27419

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