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Theorem wallispi2lem2 42225
Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
wallispi2lem2 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))

Proof of Theorem wallispi2lem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6666 . . 3 (𝑥 = 1 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1))
2 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (4 · 𝑥) = (4 · 1))
32oveq2d 7167 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 1)))
4 fveq2 6666 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (!‘𝑥) = (!‘1))
54oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘1)↑4))
63, 5oveq12d 7169 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)))
7 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
87fveq2d 6670 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 1)))
98oveq1d 7166 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 1))↑2))
106, 9oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 1 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2)))
111, 10eqeq12d 2841 . 2 (𝑥 = 1 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))))
12 fveq2 6666 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦))
13 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (4 · 𝑥) = (4 · 𝑦))
1413oveq2d 7167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 𝑦)))
15 fveq2 6666 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
1615oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘𝑦)↑4))
1714, 16oveq12d 7169 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)))
18 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
1918fveq2d 6670 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 𝑦)))
2019oveq1d 7166 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 𝑦))↑2))
2117, 20oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)))
2212, 21eqeq12d 2841 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))))
23 fveq2 6666 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)))
24 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (4 · 𝑥) = (4 · (𝑦 + 1)))
2524oveq2d 7167 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
26 fveq2 6666 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
2726oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘(𝑦 + 1))↑4))
2825, 27oveq12d 7169 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)))
29 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
3029fveq2d 6670 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · (𝑦 + 1))))
3130oveq1d 7166 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))
3228, 31oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
3323, 32eqeq12d 2841 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))))
34 fveq2 6666 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁))
35 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (4 · 𝑥) = (4 · 𝑁))
3635oveq2d 7167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 𝑁)))
37 fveq2 6666 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
3837oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘𝑁)↑4))
3936, 38oveq12d 7169 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)))
40 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
4140fveq2d 6670 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 𝑁)))
4241oveq1d 7166 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 𝑁))↑2))
4339, 42oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))
4434, 43eqeq12d 2841 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2))))
45 1z 12004 . . . 4 1 ∈ ℤ
46 seq1 13375 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1))
4745, 46ax-mp 5 . . 3 (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1)
48 1nn 11641 . . . 4 1 ∈ ℕ
49 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
5049oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 1)↑4))
5149oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 1) − 1))
5249, 51oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)))
5352oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2))
5450, 53oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)))
55 eqid 2825 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))
56 ovex 7184 . . . . 5 (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6764 . . . 4 (1 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)))
5848, 57ax-mp 5 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2))
59 2t1e2 11792 . . . . . 6 (2 · 1) = 2
6059oveq1i 7161 . . . . 5 ((2 · 1)↑4) = (2↑4)
61 2exp4 16413 . . . . . . 7 (2↑4) = 16
62 1nn0 11905 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
63 6nn0 11910 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
64 0nn0 11904 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
65 1t1e1 11791 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
6665oveq1i 7161 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 0) = (1 + 0)
67 1p0e1 11753 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
6866, 67eqtri 2848 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 0) = 1
69 6cn 11720 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7069mulid1i 10637 . . . . . . . . 9 (6 · 1) = 6
7163dec0h 12112 . . . . . . . . 9 6 = 06
7270, 71eqtri 2848 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 06
7362, 62, 63, 61, 63, 64, 68, 72decmul1c 12155 . . . . . . 7 ((2↑4) · 1) = 16
7461, 73eqtr4i 2851 . . . . . 6 (2↑4) = ((2↑4) · 1)
75 2nn0 11906 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
76 2t2e4 11793 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
77 sq1 13551 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
7862, 75, 76, 77, 65numexp2x 16407 . . . . . . . 8 (1↑4) = 1
7978eqcomi 2834 . . . . . . 7 1 = (1↑4)
8079oveq2i 7162 . . . . . 6 ((2↑4) · 1) = ((2↑4) · (1↑4))
81 4cn 11714 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
8281mulid1i 10637 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
8382eqcomi 2834 . . . . . . . 8 4 = (4 · 1)
8483oveq2i 7162 . . . . . . 7 (2↑4) = (2↑(4 · 1))
85 fac1 13630 . . . . . . . . 9 (!‘1) = 1
8685eqcomi 2834 . . . . . . . 8 1 = (!‘1)
8786oveq1i 7161 . . . . . . 7 (1↑4) = ((!‘1)↑4)
8884, 87oveq12i 7163 . . . . . 6 ((2↑4) · (1↑4)) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
8974, 80, 883eqtri 2852 . . . . 5 (2↑4) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
9060, 89eqtri 2848 . . . 4 ((2 · 1)↑4) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
9159oveq1i 7161 . . . . . . . 8 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
92 2m1e1 11755 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
9391, 92eqtri 2848 . . . . . . 7 ((2 · 1) − 1) = 1
9493oveq2i 7162 . . . . . 6 ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 1) · 1)
9559oveq1i 7161 . . . . . . 7 ((2 · 1) · 1) = (2 · 1)
9695, 59eqtri 2848 . . . . . 6 ((2 · 1) · 1) = 2
9759fveq2i 6669 . . . . . . . 8 (!‘(2 · 1)) = (!‘2)
98 fac2 13632 . . . . . . . 8 (!‘2) = 2
9997, 98eqtri 2848 . . . . . . 7 (!‘(2 · 1)) = 2
10099eqcomi 2834 . . . . . 6 2 = (!‘(2 · 1))
10194, 96, 1003eqtri 2852 . . . . 5 ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)) = (!‘(2 · 1))
102101oveq1i 7161 . . . 4 (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2) = ((!‘(2 · 1))↑2)
10390, 102oveq12i 7163 . . 3 (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))
10447, 58, 1033eqtri 2852 . 2 (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))
105 elnnuz 12274 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
106105biimpi 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
107106adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
108 seqp1 13377 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
110 simpr 485 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)))
111110oveq1d 7166 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
112 eqidd 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
113 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑦 + 1)))
114113oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · (𝑦 + 1))↑4))
115113oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))
116113, 115oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))
117116oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))
118114, 117oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
119118adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑦 + 1)) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
120 peano2nn 11642 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
121 2cnd 11707 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
122 nncn 11638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
123 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
124122, 123addcld 10652 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
125121, 124mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
126 4nn0 11908 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
128125, 127expcld 13503 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1))↑4) ∈ ℂ)
129125, 123subcld 10989 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
130125, 129mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
131130sqcld 13501 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2) ∈ ℂ)
132 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 2)
134133gt0ne0d 11196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
135120nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ≠ 0)
136121, 124, 134, 135mulne0d 11284 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 0)
137 1red 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
138 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
140 nnre 11637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
141140, 137readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
142 1lt2 11800 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
144 nnrp 12393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
145137, 144ltaddrp2d 12458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (𝑦 + 1))
146139, 141, 143, 145mulgt1d 11568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · (𝑦 + 1)))
147137, 146gtned 10767 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 1)
148125, 123, 147subne0d 10998 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ≠ 0)
149125, 129, 136, 148mulne0d 11284 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ≠ 0)
150 2z 12006 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
151150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
152130, 149, 151expne0d 13509 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2) ≠ 0)
153128, 131, 152divcld 11408 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
154112, 119, 120, 153fvmptd 6770 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
155154oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))))
156 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
157127, 156nn0mulcld 11952 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (4 · 𝑦) ∈ ℕ0)
158121, 157expcld 13503 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑦)) ∈ ℂ)
159 faccl 13636 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
160 nncn 11638 . . . . . . . . . . 11 ((!‘𝑦) ∈ ℕ → (!‘𝑦) ∈ ℂ)
161156, 159, 1603syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘𝑦) ∈ ℂ)
162161, 127expcld 13503 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘𝑦)↑4) ∈ ℂ)
163158, 162mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) ∈ ℂ)
16475a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
165164, 156nn0mulcld 11952 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
166 faccl 13636 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
167 nncn 11638 . . . . . . . . . 10 ((!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
168165, 166, 1673syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
169168sqcld 13501 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
170165, 166syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
171170nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ≠ 0)
172168, 171, 151expne0d 13509 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦))↑2) ≠ 0)
173163, 169, 128, 131, 172, 152divmuldivd 11449 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) / (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))))
174121, 124, 127mulexpd 13518 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1))↑4) = ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)))
175174oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))))
176121, 127expcld 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑4) ∈ ℂ)
177124, 127expcld 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1)↑4) ∈ ℂ)
178158, 162, 176, 177mul4d 10844 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))))
179161, 124, 127mulexpd 13518 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4) = (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)))
180179eqcomd 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)) = (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4))
181180oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)))
182175, 178, 1813eqtrd 2864 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)))
183121, 122mulcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
184183, 123addcld 10652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℂ)
185125, 184mulcomd 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1))))
186185oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1)))))
187121, 122, 123adddid 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
188187oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑦) + (2 · 1)) − 1))
18959, 121eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
190183, 189, 123addsubassd 11009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + ((2 · 1) − 1)))
19159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
192191oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = (2 − 1))
193192, 92syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
194193oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑦) + 1))
195188, 190, 1943eqtrd 2864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
196195oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
197196oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1))))
198168, 184, 125mulassd 10656 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1)))))
199186, 197, 1983eqtr4d 2870 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))) = (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))
200199oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))↑2))
201168, 130, 164mulexpd 13518 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))↑2) = (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
202 df-2 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
204203oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
205183, 123, 123addassd 10655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
206204, 205eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
207206fveq2d 6670 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 2)) = (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
20862a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
209165, 208nn0addcld 11951 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
210 facp1 13631 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
211209, 210syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
212 facp1 13631 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑦) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
213165, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
214203eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
215214oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
216214, 202, 593eqtr4g 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
217216oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
218217, 187eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = (2 · (𝑦 + 1)))
219205, 215, 2183eqtrd 2864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
220213, 219oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))
221207, 211, 2203eqtrrd 2865 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) = (!‘((2 · 𝑦) + 2)))
222221oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))↑2) = ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2))
223200, 201, 2223eqtr3d 2868 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2))
224182, 223oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) / (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)))
225173, 224eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)))
22683a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 4 = (4 · 1))
227226oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((4 · 𝑦) + 4) = ((4 · 𝑦) + (4 · 1)))
228227oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + 4)) = (2↑((4 · 𝑦) + (4 · 1))))
229121, 127, 157expaddd 13505 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + 4)) = ((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)))
23081a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
231230, 122, 123adddid 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (4 · (𝑦 + 1)) = ((4 · 𝑦) + (4 · 1)))
232231eqcomd 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((4 · 𝑦) + (4 · 1)) = (4 · (𝑦 + 1)))
233232oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + (4 · 1))) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
234228, 229, 2333eqtr3d 2868 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
235 facp1 13631 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
236156, 235syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
237236eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)) = (!‘(𝑦 + 1)))
238237oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4) = ((!‘(𝑦 + 1))↑4))
239234, 238oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) = ((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)))
240218fveq2d 6670 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 2)) = (!‘(2 · (𝑦 + 1))))
241240oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2) = ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))
242239, 241oveq12d 7169 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
243155, 225, 2423eqtrd 2864 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
244243adantr 481 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
245109, 111, 2443eqtrd 2864 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
246245ex 413 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))))
24711, 22, 33, 44, 104, 246nnind 11648 1 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  4c4 11686  6c6 11688  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  cuz 12235  seqcseq 13362  cexp 13422  !cfa 13626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627
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