wallispi2lem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispi2lem2 43613

Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
wallispi2lem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))

Proof of Theorem wallispi2lem2 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1))
2		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (4 · 𝑥) = (4 · 1))
3	2	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 1)))
4		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (!‘𝑥) = (!‘1))
5	4	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘1)↑4))
6	3, 5	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)))
7		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
8	7	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 1)))
9	8	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 1))↑2))
10	6, 9	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2)))
11	1, 10	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))))
12		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦))
13		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (4 · 𝑥) = (4 · 𝑦))
14	13	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 𝑦)))
15		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
16	15	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘𝑦)↑4))
17	14, 16	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)))
18		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
19	18	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 𝑦)))
20	19	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 𝑦))↑2))
21	17, 20	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)))
22	12, 21	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))))
23		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)))
24		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (4 · 𝑥) = (4 · (𝑦 + 1)))
25	24	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
26		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
27	26	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘(𝑦 + 1))↑4))
28	25, 27	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)))
29		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
30	29	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · (𝑦 + 1))))
31	30	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))
32	28, 31	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
33	23, 32	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))))
34		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁))
35		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (4 · 𝑥) = (4 · 𝑁))
36	35	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑(4 · 𝑥)) = (2↑(4 · 𝑁)))
37		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
38	37	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥)↑4) = ((!‘𝑁)↑4))
39	36, 38	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)))
40		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
41	40	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘(2 · 𝑥)) = (!‘(2 · 𝑁)))
42	41	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(2 · 𝑥))↑2) = ((!‘(2 · 𝑁))↑2))
43	39, 42	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))
44	34, 43	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑥) = (((2↑(4 · 𝑥)) · ((!‘𝑥)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑥))↑2)) ↔ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2))))
45		1z 12350	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
46		seq1 13734	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1))
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1)
48		1nn 11984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
49		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
50	49	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 1)↑4))
51	49	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 1) − 1))
52	49, 51	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)))
53	52	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2))
54	50, 53	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)))
55		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))
56		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)))
58	48, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘1) = (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2))
59		2t1e2 12136	. . . . . 6 ⊢ (2 · 1) = 2
60	59	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1)↑4) = (2↑4)
61		2exp4 16786	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
62		1nn0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
63		6nn0 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
64		0nn0 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
65		1t1e1 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
66	65	oveq1i 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 1) + 0) = (1 + 0)
67		1p0e1 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 0) = 1
68	66, 67	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) + 0) = 1
69		6cn 12064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10979	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 1) = 6
71	63	dec0h 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = ;06
72	70, 71	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (6 · 1) = ;06
73	62, 62, 63, 61, 63, 64, 68, 72	decmul1c 12502	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑4) · 1) = ;16
74	61, 73	eqtr4i 2769	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) = ((2↑4) · 1)
75		2nn0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
76		2t2e4 12137	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
77		sq1 13912	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
78	62, 75, 76, 77, 65	numexp2x 16780	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑4) = 1
79	78	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1↑4)
80	79	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) · 1) = ((2↑4) · (1↑4))
81		4cn 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
82	81	mulid1i 10979	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 1) = 4
83	82	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (4 · 1)
84	83	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = (2↑(4 · 1))
85		fac1 13991	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘1) = 1
86	85	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (!‘1)
87	86	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ (1↑4) = ((!‘1)↑4)
88	84, 87	oveq12i 7287	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) · (1↑4)) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
89	74, 80, 88	3eqtri 2770	. . . . 5 ⊢ (2↑4) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
90	60, 89	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((2 · 1)↑4) = ((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4))
91	59	oveq1i 7285	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
92		2m1e1 12099	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
93	91, 92	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
94	93	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 1) · 1)
95	59	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) · 1) = (2 · 1)
96	95, 59	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) · 1) = 2
97	59	fveq2i 6777	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘(2 · 1)) = (!‘2)
98		fac2 13993	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘2) = 2
99	97, 98	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(2 · 1)) = 2
100	99	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ 2 = (!‘(2 · 1))
101	94, 96, 100	3eqtri 2770	. . . . 5 ⊢ ((2 · 1) · ((2 · 1) − 1)) = (!‘(2 · 1))
102	101	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2) = ((!‘(2 · 1))↑2)
103	90, 102	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ (((2 · 1)↑4) / (((2 · 1) · ((2 · 1) − 1))↑2)) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))
104	47, 58, 103	3eqtri 2770	. 2 ⊢ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘1) = (((2↑(4 · 1)) · ((!‘1)↑4)) / ((!‘(2 · 1))↑2))
105		elnnuz 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1))
106	105	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1))
107	106	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1))
108		seqp1 13736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
109	107, 108	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
110		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)))
111	110	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))))
112		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
113		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑦 + 1)))
114	113	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · (𝑦 + 1))↑4))
115	113	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))
116	113, 115	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))
117	116	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))
118	114, 117	oveq12d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
119	118	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑦 + 1)) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
120		peano2nn 11985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
121		2cnd 12051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
122		nncn 11981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
123		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
124	122, 123	addcld 10994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
125	121, 124	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
126		4nn0 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ₀)
128	125, 127	expcld 13864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1))↑4) ∈ ℂ)
129	125, 123	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
130	125, 129	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
131	130	sqcld 13862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2) ∈ ℂ)
132		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 2)
134	133	gt0ne0d 11539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
135	120	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ≠ 0)
136	121, 124, 134, 135	mulne0d 11627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 0)
137		1red 10976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
138		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
140		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
141	140, 137	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
142		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
144		nnrp 12741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
145	137, 144	ltaddrp2d 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (𝑦 + 1))
146	139, 141, 143, 145	mulgt1d 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · (𝑦 + 1)))
147	137, 146	gtned 11110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 1)
148	125, 123, 147	subne0d 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ≠ 0)
149	125, 129, 136, 148	mulne0d 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ≠ 0)
150		2z 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
152	130, 149, 151	expne0d 13870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2) ≠ 0)
153	128, 131, 152	divcld 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
154	112, 119, 120, 153	fvmptd 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1)) = (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
155	154	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))))
156		nnnn0 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ₀)
157	127, 156	nn0mulcld 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (4 · 𝑦) ∈ ℕ₀)
158	121, 157	expcld 13864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑦)) ∈ ℂ)
159		faccl 13997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
160		nncn 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘𝑦) ∈ ℕ → (!‘𝑦) ∈ ℂ)
161	156, 159, 160	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘𝑦) ∈ ℂ)
162	161, 127	expcld 13864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘𝑦)↑4) ∈ ℂ)
163	158, 162	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) ∈ ℂ)
164	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
165	164, 156	nn0mulcld 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ₀)
166		faccl 13997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
167		nncn 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
168	165, 166, 167	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
169	168	sqcld 13862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
170	165, 166	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
171	170	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑦)) ≠ 0)
172	168, 171, 151	expne0d 13870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦))↑2) ≠ 0)
173	163, 169, 128, 131, 172, 152	divmuldivd 11792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) / (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))))
174	121, 124, 127	mulexpd 13879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1))↑4) = ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)))
175	174	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))))
176	121, 127	expcld 13864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2↑4) ∈ ℂ)
177	124, 127	expcld 13864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1)↑4) ∈ ℂ)
178	158, 162, 176, 177	mul4d 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))))
179	161, 124, 127	mulexpd 13879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4) = (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)))
180	179	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4)) = (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4))
181	180	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦)↑4) · ((𝑦 + 1)↑4))) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)))
182	175, 178, 181	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) = (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)))
183	121, 122	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
184	183, 123	addcld 10994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℂ)
185	125, 184	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1))))
186	185	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1)))))
187	121, 122, 123	adddid 10999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
188	187	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑦) + (2 · 1)) − 1))
189	59, 121	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
190	183, 189, 123	addsubassd 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + ((2 · 1) − 1)))
191	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
192	191	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = (2 − 1))
193	192, 92	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
194	193	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑦) + 1))
195	188, 190, 194	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
196	195	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
197	196	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · 𝑦) + 1))))
198	168, 184, 125	mulassd 10998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) = ((!‘(2 · 𝑦)) · (((2 · 𝑦) + 1) · (2 · (𝑦 + 1)))))
199	186, 197, 198	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))) = (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))
200	199	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))↑2))
201	168, 130, 164	mulexpd 13879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))↑2) = (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)))
202		df-2 12036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
204	203	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
205	183, 123, 123	addassd 10997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
206	204, 205	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
207	206	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 2)) = (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
208	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
209	165, 208	nn0addcld 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℕ₀)
210		facp1 13992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
211	209, 210	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
212		facp1 13992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ₀ → (!‘((2 · 𝑦) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
213	165, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)))
214	203	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
215	214	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
216	214, 202, 59	3eqtr4g 2803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 = (2 · 1))
217	216	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
218	217, 187	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 2) = (2 · (𝑦 + 1)))
219	205, 215, 218	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
220	213, 219	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑦) + 1)) · (((2 · 𝑦) + 1) + 1)) = (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))
221	207, 211, 220	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) = (!‘((2 · 𝑦) + 2)))
222	221	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑦)) · ((2 · 𝑦) + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))↑2) = ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2))
223	200, 201, 222	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2)) = ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2))
224	182, 223	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) · ((2 · (𝑦 + 1))↑4)) / (((!‘(2 · 𝑦))↑2) · (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)))
225	173, 224	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · (((2 · (𝑦 + 1))↑4) / (((2 · (𝑦 + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))↑2))) = ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)))
226	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 4 = (4 · 1))
227	226	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((4 · 𝑦) + 4) = ((4 · 𝑦) + (4 · 1)))
228	227	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + 4)) = (2↑((4 · 𝑦) + (4 · 1))))
229	121, 127, 157	expaddd 13866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + 4)) = ((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)))
230	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
231	230, 122, 123	adddid 10999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (4 · (𝑦 + 1)) = ((4 · 𝑦) + (4 · 1)))
232	231	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((4 · 𝑦) + (4 · 1)) = (4 · (𝑦 + 1)))
233	232	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((4 · 𝑦) + (4 · 1))) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
234	228, 229, 233	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) = (2↑(4 · (𝑦 + 1))))
235		facp1 13992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
236	156, 235	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
237	236	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)) = (!‘(𝑦 + 1)))
238	237	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4) = ((!‘(𝑦 + 1))↑4))
239	234, 238	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) = ((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)))
240	218	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑦) + 2)) = (!‘(2 · (𝑦 + 1))))
241	240	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2) = ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))
242	239, 241	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · (2↑4)) · (((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘((2 · 𝑦) + 2))↑2)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
243	155, 225, 242	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
244	243	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → ((((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘(𝑦 + 1))) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
245	109, 111, 244	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2))) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2)))
246	245	ex 413	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑦) = (((2↑(4 · 𝑦)) · ((!‘𝑦)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑦))↑2)) → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘(𝑦 + 1)) = (((2↑(4 · (𝑦 + 1))) · ((!‘(𝑦 + 1))↑4)) / ((!‘(2 · (𝑦 + 1)))↑2))))
247	11, 22, 33, 44, 104, 246	nnind 11991	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑁) = (((2↑(4 · 𝑁)) · ((!‘𝑁)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑁))↑2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 4c4 12030 6c6 12032 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 cdc 12437 ℤ_≥cuz 12582 seqcseq 13721 ↑cexp 13782 !cfa 13987

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-rp 12731 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fac 13988

This theorem is referenced by: wallispi2 43614

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