Theorem dchrvmasum2lem 27440

Description: Give an expression for log𝑥 remarkably similar to Σ𝑛 ≤ 𝑥(𝑋(𝑛)Λ(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 27439. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasum2lem	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   1 ,𝑚   𝑚,𝑑,𝐴   𝑚,𝑁   𝜑,𝑑,𝑚   𝑚,𝑍   𝐷,𝑚   𝐿,𝑑,𝑚   𝑋,𝑑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
4		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
5	4	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))
6	3, 5	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))))
7	6	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
8		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		elrabi 3638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
11	10	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
12		mucl 27084	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
15		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
16		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
18		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
21		elfzelz 13430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	15, 16, 17, 18, 20, 22	dchrzrhcl 27189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
24		elfznn 13459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	25	nnne0d 12181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
28	23, 26, 27	divcld 11903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
29	24	nnrpd 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30		rpdivcl 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	8, 29, 30	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
32	31	relogcld 26565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	28, 33	mulcld 11138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
35	34	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
36	14, 35	mulcld 11138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
37	7, 9, 36	dvdsflsumcom 27131	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
38		2fveq3 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
39		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
40	38, 39	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
41		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
42	41	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / 1)))
43	40, 42	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
44		fzfid 13886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
45		fz1ssnn 13461	. . . . 5 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
47		dchrvmasum2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
48		flge1nn 13731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
49	9, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
50		nnuz 12781	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
52		eluzfz1 13437	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
54	43, 44, 46, 53, 34	musumsum 27135	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
55	15, 16, 17, 18, 19	dchrzrh1 27188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
56	55	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
57		1div1e1 11818	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
59	8	rpcnd 12942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
60	59	div1d 11895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
61	60	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 / 1)) = (log‘𝐴))
62	58, 61	oveq12d 7370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))) = (1 · (log‘𝐴)))
63	8	relogcld 26565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
64	63	recnd 11146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
65	64	mullidd 11136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
66	54, 62, 65	3eqtrrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))))
67		fzfid 13886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
68	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
69		elfzelz 13430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
70	69	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
71	15, 16, 17, 18, 68, 70	dchrzrhcl 27189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
72		fznnfl 13772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
73	9, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
74	73	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
75	74, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
76	75	zred 12583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
77	76, 74	nndivred 12185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
79	71, 78	mulcld 11138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
80	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
81		elfzelz 13430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
82	81	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
83	15, 16, 17, 18, 80, 82	dchrzrhcl 27189	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
84		elfznn 13459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
85	84	nnrpd 12938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
86		rpdivcl 12923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
87	8, 85, 86	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88		elfznn 13459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
90		rpdivcl 12923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
91	87, 89, 90	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
92	91	relogcld 26565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℝ)
93	88	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94	92, 93	nndivred 12185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
96	83, 95	mulcld 11138	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
97	67, 79, 96	fsummulc2 15697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
98	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
99	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
100	99	recnd 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
101	74	nnrpd 12938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
103	102	rpcnne0d 12949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
104		div12 11804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
105	98, 100, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
106	92	recnd 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ)
107	93	nnrpd 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
108	107	rpcnne0d 12949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
109		div12 11804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
110	83, 106, 108, 109	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
111	105, 110	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
112	102	rpcnd 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
113	102	rpne0d 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
114	98, 112, 113	divcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
115	93	nncnd 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
116	93	nnne0d 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
117	83, 115, 116	divcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
118	114, 117	mulcld 11138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
119	100, 106, 118	mulassd 11141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
120	100, 114, 106, 117	mul4d 11331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
121	69	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
122	15, 16, 17, 18, 80, 121, 82	dchrzrhmul 27190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
123	122	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
124		divmuldiv 11827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
125	98, 83, 103, 108, 124	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
126	123, 125	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
127	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
128		divdiv1 11838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
129	127, 103, 108, 128	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
130	129	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)) = ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))
131	130	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))) = (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)))
132	126, 131	oveq12d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))))
133	118, 106	mulcomd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
134	132, 133	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
135	134	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
136	119, 120, 135	3eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
137	111, 136	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
138	137	sumeq2dv 15615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
139	97, 138	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
140	139	sumeq2dv 15615	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
141	37, 66, 140	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   · cmul 11017   ≤ cle 11153   / cdiv 11780  ℕcn 12131  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12896  ...cfz 13413  ⌊cfl 13700  Σcsu 15599   ∥ cdvds 16169  Basecbs 17126  0_gc0g 17349  ℤRHomczrh 21442  ℤ/nℤczn 21445  logclog 26496  μcmu 27038  DChrcdchr 27176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13255  df-ioc 13256  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-bc 14216  df-hash 14244  df-shft 14980  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-limsup 15384  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600  df-ef 15980  df-sin 15982  df-cos 15983  df-pi 15985  df-dvds 16170  df-gcd 16412  df-prm 16589  df-pc 16755  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-qus 17419  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-nsg 19043  df-eqg 19044  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-rhm 20396  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151  df-rsp 21152  df-2idl 21193  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zn 21449  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-mu 27044  df-dchr 27177

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27441