Theorem dchrvmasum2lem 27427

Description: Give an expression for log𝑥 remarkably similar to Σ𝑛 ≤ 𝑥(𝑋(𝑛)Λ(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 27426. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasum2lem	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   1 ,𝑚   𝑚,𝑑,𝐴   𝑚,𝑁   𝜑,𝑑,𝑚   𝑚,𝑍   𝐷,𝑚   𝐿,𝑑,𝑚   𝑋,𝑑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7359	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
4		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
5	4	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))
6	3, 5	oveq12d 7359	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))))
7	6	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
8		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12926	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		elrabi 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
11	10	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
12		mucl 27071	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
15		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
16		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
18		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
21		elfzelz 13416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	15, 16, 17, 18, 20, 22	dchrzrhcl 27176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
24		elfznn 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	25	nnne0d 12167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
28	23, 26, 27	divcld 11889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
29	24	nnrpd 12924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30		rpdivcl 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	8, 29, 30	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
32	31	relogcld 26552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	28, 33	mulcld 11124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
35	34	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
36	14, 35	mulcld 11124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
37	7, 9, 36	dvdsflsumcom 27118	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
38		2fveq3 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
39		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
40	38, 39	oveq12d 7359	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
41		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
42	41	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / 1)))
43	40, 42	oveq12d 7359	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
44		fzfid 13872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
45		fz1ssnn 13447	. . . . 5 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
47		dchrvmasum2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
48		flge1nn 13717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
49	9, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
50		nnuz 12767	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
52		eluzfz1 13423	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
54	43, 44, 46, 53, 34	musumsum 27122	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
55	15, 16, 17, 18, 19	dchrzrh1 27175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
56	55	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
57		1div1e1 11804	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
59	8	rpcnd 12928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
60	59	div1d 11881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
61	60	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 / 1)) = (log‘𝐴))
62	58, 61	oveq12d 7359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))) = (1 · (log‘𝐴)))
63	8	relogcld 26552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
64	63	recnd 11132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
65	64	mullidd 11122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
66	54, 62, 65	3eqtrrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))))
67		fzfid 13872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
68	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
69		elfzelz 13416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
70	69	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
71	15, 16, 17, 18, 68, 70	dchrzrhcl 27176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
72		fznnfl 13758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
73	9, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
74	73	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
75	74, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
76	75	zred 12569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
77	76, 74	nndivred 12171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
79	71, 78	mulcld 11124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
80	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
81		elfzelz 13416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
82	81	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
83	15, 16, 17, 18, 80, 82	dchrzrhcl 27176	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
84		elfznn 13445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
85	84	nnrpd 12924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
86		rpdivcl 12909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
87	8, 85, 86	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88		elfznn 13445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
90		rpdivcl 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
91	87, 89, 90	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
92	91	relogcld 26552	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℝ)
93	88	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94	92, 93	nndivred 12171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
96	83, 95	mulcld 11124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
97	67, 79, 96	fsummulc2 15683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
98	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
99	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
100	99	recnd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
101	74	nnrpd 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
103	102	rpcnne0d 12935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
104		div12 11790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
105	98, 100, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
106	92	recnd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ)
107	93	nnrpd 12924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
108	107	rpcnne0d 12935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
109		div12 11790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
110	83, 106, 108, 109	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
111	105, 110	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
112	102	rpcnd 12928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
113	102	rpne0d 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
114	98, 112, 113	divcld 11889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
115	93	nncnd 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
116	93	nnne0d 12167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
117	83, 115, 116	divcld 11889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
118	114, 117	mulcld 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
119	100, 106, 118	mulassd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
120	100, 114, 106, 117	mul4d 11317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
121	69	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
122	15, 16, 17, 18, 80, 121, 82	dchrzrhmul 27177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
123	122	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
124		divmuldiv 11813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
125	98, 83, 103, 108, 124	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
126	123, 125	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
127	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
128		divdiv1 11824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
129	127, 103, 108, 128	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
130	129	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)) = ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))
131	130	fveq2d 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))) = (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)))
132	126, 131	oveq12d 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))))
133	118, 106	mulcomd 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
134	132, 133	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
135	134	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
136	119, 120, 135	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
137	111, 136	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
138	137	sumeq2dv 15601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
139	97, 138	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
140	139	sumeq2dv 15601	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
141	37, 66, 140	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  {crab 3393   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003   ≤ cle 11139   / cdiv 11766  ℕcn 12117  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  ℝ⁺crp 12882  ...cfz 13399  ⌊cfl 13686  Σcsu 15585   ∥ cdvds 16155  Basecbs 17112  0_gc0g 17335  ℤRHomczrh 21429  ℤ/nℤczn 21432  logclog 26483  μcmu 27025  DChrcdchr 27163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14966  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-limsup 15370  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586  df-ef 15966  df-sin 15968  df-cos 15969  df-pi 15971  df-dvds 16156  df-gcd 16398  df-prm 16575  df-pc 16741  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-qus 17405  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-eqg 19030  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139  df-2idl 21180  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-perf 23045  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-cncf 24791  df-limc 25787  df-dv 25788  df-log 26485  df-mu 27031  df-dchr 27164

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27428