MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasum2lem 27236
Description: Give an expression for logπ‘₯ remarkably similar to Σ𝑛 ≀ π‘₯(𝑋(𝑛)Ξ›(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 27235. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Distinct variable groups:   1 ,π‘š   π‘š,𝑑,𝐴   π‘š,𝑁   πœ‘,𝑑,π‘š   π‘š,𝑍   𝐷,π‘š   𝐿,𝑑,π‘š   𝑋,𝑑,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6896 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ 𝑛 = (𝑑 Β· π‘š))
31, 2oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
4 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
54fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))
63, 5oveq12d 7430 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))))
76oveq2d 7428 . . 3 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
8 dchrvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
98rpred 13021 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 elrabi 3677 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1110ad2antll 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
12 mucl 26882 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1413zcnd 12672 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
15 rpvmasum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
16 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
17 rpvmasum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
18 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
19 dchrisum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
21 elfzelz 13506 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2315, 16, 17, 18, 20, 22dchrzrhcl 26985 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
24 elfznn 13535 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2524adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625nncnd 12233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2725nnne0d 12267 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 β‰  0)
2823, 26, 27divcld 11995 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) ∈ β„‚)
2924nnrpd 13019 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
30 rpdivcl 13004 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
318, 29, 30syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231relogcld 26368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ β„‚)
3428, 33mulcld 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3534adantrr 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3614, 35mulcld 11239 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) ∈ β„‚)
377, 9, 36dvdsflsumcom 26929 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
38 2fveq3 6896 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)))
39 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
41 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
4241fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / 1)))
4340, 42oveq12d 7430 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
44 fzfid 13943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
45 fz1ssnn 13537 . . . . 5 (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•
4645a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•)
47 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
48 flge1nn 13791 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
499, 47, 48syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
50 nnuz 12870 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5149, 50eleqtrdi 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
52 eluzfz1 13513 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5443, 44, 46, 53, 34musumsum 26933 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
5515, 16, 17, 18, 19dchrzrh1 26984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = 1)
5655oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = (1 / 1))
57 1div1e1 11909 . . . . 5 (1 / 1) = 1
5856, 57eqtrdi 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = 1)
598rpcnd 13023 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6059div1d 11987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 1) = 𝐴)
6160fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝐴 / 1)) = (logβ€˜π΄))
6258, 61oveq12d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))) = (1 Β· (logβ€˜π΄)))
638relogcld 26368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6463recnd 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6564mullidd 11237 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· (logβ€˜π΄)) = (logβ€˜π΄))
6654, 62, 653eqtrrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))))
67 fzfid 13943 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
6819adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
69 elfzelz 13506 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7069adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7115, 16, 17, 18, 68, 70dchrzrhcl 26985 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
72 fznnfl 13832 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
739, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
7473simprbda 498 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7574, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
7675zred 12671 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
7776, 74nndivred 12271 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
7877recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
7971, 78mulcld 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
8019ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
81 elfzelz 13506 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8281adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8315, 16, 17, 18, 80, 82dchrzrhcl 26985 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
84 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8584nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
86 rpdivcl 13004 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
878, 85, 86syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88 elfznn 13535 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
8988nnrpd 13019 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
90 rpdivcl 13004 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9187, 89, 90syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9291relogcld 26368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ ℝ)
9388adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
9492, 93nndivred 12271 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
9594recnd 11247 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9683, 95mulcld 11239 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
9767, 79, 96fsummulc2 15735 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
9871adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
9976adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
10099recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
10174nnrpd 13019 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
102101adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
103102rpcnne0d 13030 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
104 div12 11899 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10598, 100, 103, 104syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10692recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚)
10793nnrpd 13019 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
108107rpcnne0d 13030 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
109 div12 11899 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
11083, 106, 108, 109syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
111105, 110oveq12d 7430 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
112102rpcnd 13023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
113102rpne0d 13026 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
11498, 112, 113divcld 11995 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ∈ β„‚)
11593nncnd 12233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
11693nnne0d 12267 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š β‰  0)
11783, 115, 116divcld 11995 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
118114, 117mulcld 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
119100, 106, 118mulassd 11242 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
120100, 114, 106, 117mul4d 11431 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
12169ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
12215, 16, 17, 18, 80, 121, 82dchrzrhmul 26986 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
123122oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
124 divmuldiv 11919 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚) ∧ ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
12598, 83, 103, 108, 124syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
126123, 125eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
12759ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128 divdiv1 11930 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
129127, 103, 108, 128syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
130129eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)) = ((𝐴 / 𝑑) / π‘š))
131130fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))) = (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)))
132126, 131oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))))
133118, 106mulcomd 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
134132, 133eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
135134oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
136119, 120, 1353eqtr4d 2781 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
137111, 136eqtrd 2771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
138137sumeq2dv 15654 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
13997, 138eqtrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
140139sumeq2dv 15654 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
14137, 66, 1403eqtr4d 2781 1 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {crab 3431   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  Ξ£csu 15637   βˆ₯ cdvds 16202  Basecbs 17149  0gc0g 17390  β„€RHomczrh 21269  β„€/nβ„€czn 21272  logclog 26300  ΞΌcmu 26836  DChrcdchr 26972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zn 21276  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-mu 26842  df-dchr 26973
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27237
  Copyright terms: Public domain W3C validator