Theorem dchrvmasum2lem 26192

Description: Give an expression for log𝑥 remarkably similar to Σ𝑛 ≤ 𝑥(𝑋(𝑛)Λ(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 26191. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasum2lem	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   1 ,𝑚   𝑚,𝑑,𝐴   𝑚,𝑁   𝜑,𝑑,𝑚   𝑚,𝑍   𝐷,𝑚   𝐿,𝑑,𝑚   𝑋,𝑑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
4		oveq2 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
5	4	fveq2d 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))
6	3, 5	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))))
7	6	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
8		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12485	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		elrabi 3598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
11	10	ad2antll 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
12		mucl 25838	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
15		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
16		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
18		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
20	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
21		elfzelz 12969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	21	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	15, 16, 17, 18, 20, 22	dchrzrhcl 25941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
24		elfznn 12998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
26	25	nncnd 11703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	25	nnne0d 11737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
28	23, 26, 27	divcld 11467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
29	24	nnrpd 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30		rpdivcl 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	8, 29, 30	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
32	31	relogcld 25326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10720	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	28, 33	mulcld 10712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
35	34	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
36	14, 35	mulcld 10712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
37	7, 9, 36	dvdsflsumcom 25885	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
38		2fveq3 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
39		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
40	38, 39	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
41		oveq2 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
42	41	fveq2d 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / 1)))
43	40, 42	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
44		fzfid 13403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
45		fz1ssnn 13000	. . . . 5 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
47		dchrvmasum2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
48		flge1nn 13253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
49	9, 47, 48	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
50		nnuz 12334	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
52		eluzfz1 12976	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
54	43, 44, 46, 53, 34	musumsum 25889	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
55	15, 16, 17, 18, 19	dchrzrh1 25940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
56	55	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
57		1div1e1 11381	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
59	8	rpcnd 12487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
60	59	div1d 11459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
61	60	fveq2d 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 / 1)) = (log‘𝐴))
62	58, 61	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))) = (1 · (log‘𝐴)))
63	8	relogcld 25326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
64	63	recnd 10720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
65	64	mulid2d 10710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
66	54, 62, 65	3eqtrrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))))
67		fzfid 13403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
68	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
69		elfzelz 12969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
70	69	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
71	15, 16, 17, 18, 68, 70	dchrzrhcl 25941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
72		fznnfl 13292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
73	9, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
74	73	simprbda 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
75	74, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
76	75	zred 12139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
77	76, 74	nndivred 11741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
78	77	recnd 10720	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
79	71, 78	mulcld 10712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
80	19	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
81		elfzelz 12969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
82	81	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
83	15, 16, 17, 18, 80, 82	dchrzrhcl 25941	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
84		elfznn 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
85	84	nnrpd 12483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
86		rpdivcl 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
87	8, 85, 86	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88		elfznn 12998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
90		rpdivcl 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
91	87, 89, 90	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
92	91	relogcld 25326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℝ)
93	88	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94	92, 93	nndivred 11741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℝ)
95	94	recnd 10720	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
96	83, 95	mulcld 10712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
97	67, 79, 96	fsummulc2 15200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
98	71	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
99	76	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
100	99	recnd 10720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
101	74	nnrpd 12483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102	101	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
103	102	rpcnne0d 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
104		div12 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
105	98, 100, 103, 104	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
106	92	recnd 10720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ)
107	93	nnrpd 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
108	107	rpcnne0d 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
109		div12 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
110	83, 106, 108, 109	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
111	105, 110	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
112	102	rpcnd 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
113	102	rpne0d 12490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
114	98, 112, 113	divcld 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
115	93	nncnd 11703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
116	93	nnne0d 11737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
117	83, 115, 116	divcld 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
118	114, 117	mulcld 10712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
119	100, 106, 118	mulassd 10715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
120	100, 114, 106, 117	mul4d 10903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
121	69	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
122	15, 16, 17, 18, 80, 121, 82	dchrzrhmul 25942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
123	122	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
124		divmuldiv 11391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
125	98, 83, 103, 108, 124	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
126	123, 125	eqtr4d 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
127	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
128		divdiv1 11402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
129	127, 103, 108, 128	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
130	129	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)) = ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))
131	130	fveq2d 6667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))) = (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)))
132	126, 131	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))))
133	118, 106	mulcomd 10713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
134	132, 133	eqtrd 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
135	134	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
136	119, 120, 135	3eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
137	111, 136	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
138	137	sumeq2dv 15121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
139	97, 138	eqtrd 2793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
140	139	sumeq2dv 15121	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
141	37, 66, 140	3eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593   ≤ cle 10727   / cdiv 11348  ℕcn 11687  ℤcz 12033  ℤ_≥cuz 12295  ℝ⁺crp 12443  ...cfz 12952  ⌊cfl 13222  Σcsu 15103   ∥ cdvds 15668  Basecbs 16554  0_gc0g 16784  ℤRHomczrh 20282  ℤ/nℤczn 20285  logclog 25258  μcmu 25792  DChrcdchr 25928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-ec 8307  df-qs 8311  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-pc 16242  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-qus 16853  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-nsg 18357  df-eqg 18358  df-ghm 18436  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-rnghom 19551  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-lidl 20027  df-rsp 20028  df-2idl 20086  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-zring 20252  df-zrh 20286  df-zn 20289  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579  df-log 25260  df-mu 25798  df-dchr 25929

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  26193