Theorem dchrvmasum2lem 27413

Description: Give an expression for log𝑥 remarkably similar to Σ𝑛 ≤ 𝑥(𝑋(𝑛)Λ(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 27412. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasum2lem	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   1 ,𝑚   𝑚,𝑑,𝐴   𝑚,𝑁   𝜑,𝑑,𝑚   𝑚,𝑍   𝐷,𝑚   𝐿,𝑑,𝑚   𝑋,𝑑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
4		oveq2 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
5	4	fveq2d 6864	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))
6	3, 5	oveq12d 7407	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))))
7	6	oveq2d 7405	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
8		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		elrabi 3656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
11	10	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
12		mucl 27057	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12645	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
15		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
16		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
18		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
21		elfzelz 13491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	15, 16, 17, 18, 20, 22	dchrzrhcl 27162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
24		elfznn 13520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	25	nnne0d 12237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
28	23, 26, 27	divcld 11964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
29	24	nnrpd 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30		rpdivcl 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	8, 29, 30	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
32	31	relogcld 26538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	28, 33	mulcld 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
35	34	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
36	14, 35	mulcld 11200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
37	7, 9, 36	dvdsflsumcom 27104	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
38		2fveq3 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
39		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
40	38, 39	oveq12d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
41		oveq2 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
42	41	fveq2d 6864	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / 1)))
43	40, 42	oveq12d 7407	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
44		fzfid 13944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
45		fz1ssnn 13522	. . . . 5 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
47		dchrvmasum2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
48		flge1nn 13789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
49	9, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
50		nnuz 12842	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
52		eluzfz1 13498	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
54	43, 44, 46, 53, 34	musumsum 27108	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
55	15, 16, 17, 18, 19	dchrzrh1 27161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
56	55	oveq1d 7404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
57		1div1e1 11879	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
59	8	rpcnd 13003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
60	59	div1d 11956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
61	60	fveq2d 6864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 / 1)) = (log‘𝐴))
62	58, 61	oveq12d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))) = (1 · (log‘𝐴)))
63	8	relogcld 26538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
64	63	recnd 11208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
65	64	mullidd 11198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
66	54, 62, 65	3eqtrrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))))
67		fzfid 13944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
68	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
69		elfzelz 13491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
70	69	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
71	15, 16, 17, 18, 68, 70	dchrzrhcl 27162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
72		fznnfl 13830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
73	9, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
74	73	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
75	74, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
76	75	zred 12644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
77	76, 74	nndivred 12241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
79	71, 78	mulcld 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
80	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
81		elfzelz 13491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
82	81	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
83	15, 16, 17, 18, 80, 82	dchrzrhcl 27162	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
84		elfznn 13520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
85	84	nnrpd 12999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
86		rpdivcl 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
87	8, 85, 86	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88		elfznn 13520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
90		rpdivcl 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
91	87, 89, 90	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
92	91	relogcld 26538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℝ)
93	88	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94	92, 93	nndivred 12241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11208	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
96	83, 95	mulcld 11200	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
97	67, 79, 96	fsummulc2 15756	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
98	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
99	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
100	99	recnd 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
101	74	nnrpd 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
103	102	rpcnne0d 13010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
104		div12 11865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
105	98, 100, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
106	92	recnd 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ)
107	93	nnrpd 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
108	107	rpcnne0d 13010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
109		div12 11865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
110	83, 106, 108, 109	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
111	105, 110	oveq12d 7407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
112	102	rpcnd 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
113	102	rpne0d 13006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
114	98, 112, 113	divcld 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
115	93	nncnd 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
116	93	nnne0d 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
117	83, 115, 116	divcld 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
118	114, 117	mulcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
119	100, 106, 118	mulassd 11203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
120	100, 114, 106, 117	mul4d 11392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
121	69	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
122	15, 16, 17, 18, 80, 121, 82	dchrzrhmul 27163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
123	122	oveq1d 7404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
124		divmuldiv 11888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
125	98, 83, 103, 108, 124	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
126	123, 125	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
127	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
128		divdiv1 11899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
129	127, 103, 108, 128	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
130	129	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)) = ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))
131	130	fveq2d 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))) = (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)))
132	126, 131	oveq12d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))))
133	118, 106	mulcomd 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
134	132, 133	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
135	134	oveq2d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
136	119, 120, 135	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
137	111, 136	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
138	137	sumeq2dv 15674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
139	97, 138	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
140	139	sumeq2dv 15674	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
141	37, 66, 140	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079   ≤ cle 11215   / cdiv 11841  ℕcn 12187  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ℝ⁺crp 12957  ...cfz 13474  ⌊cfl 13758  Σcsu 15658   ∥ cdvds 16228  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  ℤRHomczrh 21415  ℤ/nℤczn 21418  logclog 26469  μcmu 27011  DChrcdchr 27149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-sin 16041  df-cos 16042  df-pi 16044  df-dvds 16229  df-gcd 16471  df-prm 16648  df-pc 16814  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-qus 17478  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-nsg 19062  df-eqg 19063  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-rhm 20387  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-lidl 21124  df-rsp 21125  df-2idl 21166  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-zring 21363  df-zrh 21419  df-zn 21422  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-limc 25773  df-dv 25774  df-log 26471  df-mu 27017  df-dchr 27150

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27414