MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasum2lem 26999
Description: Give an expression for logπ‘₯ remarkably similar to Σ𝑛 ≀ π‘₯(𝑋(𝑛)Ξ›(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 26998. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Distinct variable groups:   1 ,π‘š   π‘š,𝑑,𝐴   π‘š,𝑁   πœ‘,𝑑,π‘š   π‘š,𝑍   𝐷,π‘š   𝐿,𝑑,π‘š   𝑋,𝑑,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ 𝑛 = (𝑑 Β· π‘š))
31, 2oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
4 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
54fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))
63, 5oveq12d 7427 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))))
76oveq2d 7425 . . 3 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
8 dchrvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
98rpred 13016 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 elrabi 3678 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1110ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
12 mucl 26645 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1413zcnd 12667 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
15 rpvmasum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
16 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
17 rpvmasum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
18 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
19 dchrisum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
21 elfzelz 13501 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2221adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2315, 16, 17, 18, 20, 22dchrzrhcl 26748 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
24 elfznn 13530 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625nncnd 12228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2725nnne0d 12262 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 β‰  0)
2823, 26, 27divcld 11990 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) ∈ β„‚)
2924nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
30 rpdivcl 12999 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
318, 29, 30syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231relogcld 26131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332recnd 11242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ β„‚)
3428, 33mulcld 11234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3534adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3614, 35mulcld 11234 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) ∈ β„‚)
377, 9, 36dvdsflsumcom 26692 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
38 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)))
39 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
41 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
4241fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / 1)))
4340, 42oveq12d 7427 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
44 fzfid 13938 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
45 fz1ssnn 13532 . . . . 5 (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•
4645a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•)
47 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
48 flge1nn 13786 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
499, 47, 48syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
50 nnuz 12865 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5149, 50eleqtrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
52 eluzfz1 13508 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5443, 44, 46, 53, 34musumsum 26696 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
5515, 16, 17, 18, 19dchrzrh1 26747 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = 1)
5655oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = (1 / 1))
57 1div1e1 11904 . . . . 5 (1 / 1) = 1
5856, 57eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = 1)
598rpcnd 13018 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6059div1d 11982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 1) = 𝐴)
6160fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝐴 / 1)) = (logβ€˜π΄))
6258, 61oveq12d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))) = (1 Β· (logβ€˜π΄)))
638relogcld 26131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6463recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6564mullidd 11232 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· (logβ€˜π΄)) = (logβ€˜π΄))
6654, 62, 653eqtrrd 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))))
67 fzfid 13938 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
6819adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
69 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7069adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7115, 16, 17, 18, 68, 70dchrzrhcl 26748 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
72 fznnfl 13827 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
739, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
7473simprbda 500 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7574, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
7675zred 12666 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
7776, 74nndivred 12266 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
7877recnd 11242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
7971, 78mulcld 11234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
8019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
81 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8281adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8315, 16, 17, 18, 80, 82dchrzrhcl 26748 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
84 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8584nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
86 rpdivcl 12999 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
878, 85, 86syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88 elfznn 13530 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
8988nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
90 rpdivcl 12999 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9187, 89, 90syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9291relogcld 26131 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ ℝ)
9388adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
9492, 93nndivred 12266 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
9594recnd 11242 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9683, 95mulcld 11234 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
9767, 79, 96fsummulc2 15730 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
9871adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
9976adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
10099recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
10174nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
102101adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
103102rpcnne0d 13025 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
104 div12 11894 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10598, 100, 103, 104syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10692recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚)
10793nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
108107rpcnne0d 13025 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
109 div12 11894 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
11083, 106, 108, 109syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
111105, 110oveq12d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
112102rpcnd 13018 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
113102rpne0d 13021 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
11498, 112, 113divcld 11990 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ∈ β„‚)
11593nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
11693nnne0d 12262 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š β‰  0)
11783, 115, 116divcld 11990 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
118114, 117mulcld 11234 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
119100, 106, 118mulassd 11237 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
120100, 114, 106, 117mul4d 11426 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
12169ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
12215, 16, 17, 18, 80, 121, 82dchrzrhmul 26749 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
123122oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
124 divmuldiv 11914 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚) ∧ ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
12598, 83, 103, 108, 124syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
126123, 125eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
12759ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128 divdiv1 11925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
129127, 103, 108, 128syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
130129eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)) = ((𝐴 / 𝑑) / π‘š))
131130fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))) = (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)))
132126, 131oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))))
133118, 106mulcomd 11235 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
134132, 133eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
135134oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
136119, 120, 1353eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
137111, 136eqtrd 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
138137sumeq2dv 15649 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
13997, 138eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
140139sumeq2dv 15649 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
14137, 66, 1403eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  logclog 26063  ΞΌcmu 26599  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-mu 26605  df-dchr 26736
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27000
  Copyright terms: Public domain W3C validator