MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasum2lem 26988
Description: Give an expression for logπ‘₯ remarkably similar to Σ𝑛 ≀ π‘₯(𝑋(𝑛)Ξ›(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 26987. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Distinct variable groups:   1 ,π‘š   π‘š,𝑑,𝐴   π‘š,𝑁   πœ‘,𝑑,π‘š   π‘š,𝑍   𝐷,π‘š   𝐿,𝑑,π‘š   𝑋,𝑑,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6893 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ 𝑛 = (𝑑 Β· π‘š))
31, 2oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
4 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
54fveq2d 6892 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))
63, 5oveq12d 7423 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))))
76oveq2d 7421 . . 3 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
8 dchrvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
98rpred 13012 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 elrabi 3676 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1110ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
12 mucl 26634 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1413zcnd 12663 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
15 rpvmasum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
16 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
17 rpvmasum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
18 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
19 dchrisum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
21 elfzelz 13497 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2221adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2315, 16, 17, 18, 20, 22dchrzrhcl 26737 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
24 elfznn 13526 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625nncnd 12224 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2725nnne0d 12258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 β‰  0)
2823, 26, 27divcld 11986 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) ∈ β„‚)
2924nnrpd 13010 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
30 rpdivcl 12995 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
318, 29, 30syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231relogcld 26122 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ β„‚)
3428, 33mulcld 11230 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3534adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3614, 35mulcld 11230 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) ∈ β„‚)
377, 9, 36dvdsflsumcom 26681 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
38 2fveq3 6893 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)))
39 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
41 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
4241fveq2d 6892 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / 1)))
4340, 42oveq12d 7423 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
44 fzfid 13934 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
45 fz1ssnn 13528 . . . . 5 (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•
4645a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•)
47 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
48 flge1nn 13782 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
499, 47, 48syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
50 nnuz 12861 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5149, 50eleqtrdi 2843 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
52 eluzfz1 13504 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5443, 44, 46, 53, 34musumsum 26685 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
5515, 16, 17, 18, 19dchrzrh1 26736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = 1)
5655oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = (1 / 1))
57 1div1e1 11900 . . . . 5 (1 / 1) = 1
5856, 57eqtrdi 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = 1)
598rpcnd 13014 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6059div1d 11978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 1) = 𝐴)
6160fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝐴 / 1)) = (logβ€˜π΄))
6258, 61oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))) = (1 Β· (logβ€˜π΄)))
638relogcld 26122 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6463recnd 11238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6564mullidd 11228 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· (logβ€˜π΄)) = (logβ€˜π΄))
6654, 62, 653eqtrrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))))
67 fzfid 13934 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
6819adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
69 elfzelz 13497 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7069adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7115, 16, 17, 18, 68, 70dchrzrhcl 26737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
72 fznnfl 13823 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
739, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
7473simprbda 499 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7574, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
7675zred 12662 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
7776, 74nndivred 12262 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
7877recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
7971, 78mulcld 11230 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
8019ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
81 elfzelz 13497 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8281adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8315, 16, 17, 18, 80, 82dchrzrhcl 26737 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
84 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8584nnrpd 13010 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
86 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
878, 85, 86syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88 elfznn 13526 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
8988nnrpd 13010 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
90 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9187, 89, 90syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9291relogcld 26122 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ ℝ)
9388adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
9492, 93nndivred 12262 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
9594recnd 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9683, 95mulcld 11230 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
9767, 79, 96fsummulc2 15726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
9871adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
9976adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
10099recnd 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
10174nnrpd 13010 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
102101adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
103102rpcnne0d 13021 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
104 div12 11890 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10598, 100, 103, 104syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10692recnd 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚)
10793nnrpd 13010 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
108107rpcnne0d 13021 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
109 div12 11890 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
11083, 106, 108, 109syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
111105, 110oveq12d 7423 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
112102rpcnd 13014 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
113102rpne0d 13017 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
11498, 112, 113divcld 11986 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ∈ β„‚)
11593nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
11693nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š β‰  0)
11783, 115, 116divcld 11986 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
118114, 117mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
119100, 106, 118mulassd 11233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
120100, 114, 106, 117mul4d 11422 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
12169ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
12215, 16, 17, 18, 80, 121, 82dchrzrhmul 26738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
123122oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
124 divmuldiv 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚) ∧ ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
12598, 83, 103, 108, 124syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
126123, 125eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
12759ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128 divdiv1 11921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
129127, 103, 108, 128syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
130129eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)) = ((𝐴 / 𝑑) / π‘š))
131130fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))) = (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)))
132126, 131oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))))
133118, 106mulcomd 11231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
134132, 133eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
135134oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
136119, 120, 1353eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
137111, 136eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
138137sumeq2dv 15645 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
13997, 138eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
140139sumeq2dv 15645 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
14137, 66, 1403eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  Basecbs 17140  0gc0g 17381  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043  logclog 26054  ΞΌcmu 26588  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-mu 26594  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  26989
  Copyright terms: Public domain W3C validator