Theorem dchrvmasum2lem 27468

Description: Give an expression for log𝑥 remarkably similar to Σ𝑛 ≤ 𝑥(𝑋(𝑛)Λ(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 27467. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasum2lem	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Distinct variable groups:   1 ,𝑚   𝑚,𝑑,𝐴   𝑚,𝑁   𝜑,𝑑,𝑚   𝑚,𝑍   𝐷,𝑚   𝐿,𝑑,𝑚   𝑋,𝑑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(𝑚,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
3	1, 2	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
4		oveq2 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
5	4	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))
6	3, 5	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))))
7	6	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
8		dchrvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12954	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		elrabi 3643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
11	10	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
12		mucl 27112	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
15		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
16		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
18		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
21		elfzelz 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℤ)
23	15, 16, 17, 18, 20, 22	dchrzrhcl 27217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
24		elfznn 13474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	25	nnne0d 12200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ≠ 0)
28	23, 26, 27	divcld 11922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
29	24	nnrpd 12952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30		rpdivcl 12937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	8, 29, 30	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
32	31	relogcld 26593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	28, 33	mulcld 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
35	34	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
36	14, 35	mulcld 11157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
37	7, 9, 36	dvdsflsumcom 27159	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
38		2fveq3 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
39		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
40	38, 39	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
41		oveq2 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
42	41	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴 / 𝑛)) = (log‘(𝐴 / 1)))
43	40, 42	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
44		fzfid 13901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
45		fz1ssnn 13476	. . . . 5 ⊢ (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
47		dchrvmasum2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
48		flge1nn 13746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
49	9, 47, 48	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
50		nnuz 12795	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
52		eluzfz1 13452	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
54	43, 44, 46, 53, 34	musumsum 27163	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))))
55	15, 16, 17, 18, 19	dchrzrh1 27216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
56	55	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
57		1div1e1 11837	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
58	56, 57	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
59	8	rpcnd 12956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
60	59	div1d 11914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
61	60	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐴 / 1)) = (log‘𝐴))
62	58, 61	oveq12d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) · (log‘(𝐴 / 1))) = (1 · (log‘𝐴)))
63	8	relogcld 26593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
64	63	recnd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
65	64	mullidd 11155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
66	54, 62, 65	3eqtrrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) · (log‘(𝐴 / 𝑛)))))
67		fzfid 13901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
68	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
69		elfzelz 13445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
70	69	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℤ)
71	15, 16, 17, 18, 68, 70	dchrzrhcl 27217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
72		fznnfl 13787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
73	9, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ 𝐴)))
74	73	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
75	74, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
76	75	zred 12601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
77	76, 74	nndivred 12204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
79	71, 78	mulcld 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
80	19	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
81		elfzelz 13445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
82	81	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
83	15, 16, 17, 18, 80, 82	dchrzrhcl 27217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
84		elfznn 13474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
85	84	nnrpd 12952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
86		rpdivcl 12937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
87	8, 85, 86	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88		elfznn 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
90		rpdivcl 12937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
91	87, 89, 90	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) ∈ ℝ+)
92	91	relogcld 26593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℝ)
93	88	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94	92, 93	nndivred 12204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11165	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
96	83, 95	mulcld 11157	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
97	67, 79, 96	fsummulc2 15712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))
98	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
99	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
100	99	recnd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
101	74	nnrpd 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
103	102	rpcnne0d 12963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
104		div12 11823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (μ‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
105	98, 100, 103, 104	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)))
106	92	recnd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ)
107	93	nnrpd 12952	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
108	107	rpcnne0d 12963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
109		div12 11823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
110	83, 106, 108, 109	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚)) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
111	105, 110	oveq12d 7379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
112	102	rpcnd 12956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
113	102	rpne0d 12959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
114	98, 112, 113	divcld 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
115	93	nncnd 12166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
116	93	nnne0d 12200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
117	83, 115, 116	divcld 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
118	114, 117	mulcld 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
119	100, 106, 118	mulassd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
120	100, 114, 106, 117	mul4d 11350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = (((μ‘𝑑) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
121	69	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
122	15, 16, 17, 18, 80, 121, 82	dchrzrhmul 27218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
123	122	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
124		divmuldiv 11846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ) ∧ ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
125	98, 83, 103, 108, 124	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
126	123, 125	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
127	59	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
128		divdiv1 11857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
129	127, 103, 108, 128	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚) = (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))
130	129	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (𝐴 / (𝑑 · 𝑚)) = ((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))
131	130	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))) = (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)))
132	126, 131	oveq12d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))))
133	118, 106	mulcomd 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) · (log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
134	132, 133	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚)))) = ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))))
135	134	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))) = ((μ‘𝑑) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))))
136	119, 120, 135	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) / 𝑑)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
137	111, 136	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
138	137	sumeq2dv 15630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
139	97, 138	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
140	139	sumeq2dv 15630	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) · (log‘(𝐴 / (𝑑 · 𝑚))))))
141	37, 66, 140	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) · ((log‘((𝐴 / 𝑑) / 𝑚)) / 𝑚))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032   · cmul 11036   ≤ cle 11172   / cdiv 11799  ℕcn 12150  ℤcz 12493  ℤ_≥cuz 12756  ℝ⁺crp 12910  ...cfz 13428  ⌊cfl 13715  Σcsu 15614   ∥ cdvds 16184  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  ℤRHomczrh 21459  ℤ/nℤczn 21462  logclog 26524  μcmu 27066  DChrcdchr 27204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110  ax-mulf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-fac 14202  df-bc 14231  df-hash 14259  df-shft 14995  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15615  df-ef 15995  df-sin 15997  df-cos 15998  df-pi 16000  df-dvds 16185  df-gcd 16427  df-prm 16604  df-pc 16770  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-pt 17369  df-prds 17372  df-xrs 17428  df-qtop 17433  df-imas 17434  df-qus 17435  df-xps 17436  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-nsg 19059  df-eqg 19060  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-rhm 20413  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168  df-rsp 21169  df-2idl 21210  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-met 21308  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-fbas 21311  df-fg 21312  df-cnfld 21315  df-zring 21407  df-zrh 21463  df-zn 21466  df-top 22843  df-topon 22860  df-topsp 22882  df-bases 22895  df-cld 22968  df-ntr 22969  df-cls 22970  df-nei 23047  df-lp 23085  df-perf 23086  df-cn 23176  df-cnp 23177  df-haus 23264  df-tx 23511  df-hmeo 23704  df-fil 23795  df-fm 23887  df-flim 23888  df-flf 23889  df-xms 24269  df-ms 24270  df-tms 24271  df-cncf 24832  df-limc 25828  df-dv 25829  df-log 26526  df-mu 27072  df-dchr 27205

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  27469