MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasum2lem 26860
Description: Give an expression for logπ‘₯ remarkably similar to Σ𝑛 ≀ π‘₯(𝑋(𝑛)Ξ›(𝑛) / 𝑛) given in dchrvmasumlem1 26859. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
dchrvmasum2.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Distinct variable groups:   1 ,π‘š   π‘š,𝑑,𝐴   π‘š,𝑁   πœ‘,𝑑,π‘š   π‘š,𝑍   𝐷,π‘š   𝐿,𝑑,π‘š   𝑋,𝑑,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐺(π‘š,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6852 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ 𝑛 = (𝑑 Β· π‘š))
31, 2oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
4 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
54fveq2d 6851 . . . . 5 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))
63, 5oveq12d 7380 . . . 4 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))))
76oveq2d 7378 . . 3 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
8 dchrvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
98rpred 12964 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 elrabi 3644 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1110ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
12 mucl 26506 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1413zcnd 12615 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
15 rpvmasum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
16 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
17 rpvmasum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
18 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
19 dchrisum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
21 elfzelz 13448 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2221adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2315, 16, 17, 18, 20, 22dchrzrhcl 26609 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
24 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625nncnd 12176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2725nnne0d 12210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑛 β‰  0)
2823, 26, 27divcld 11938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) ∈ β„‚)
2924nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
30 rpdivcl 12947 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
318, 29, 30syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231relogcld 25994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) ∈ β„‚)
3428, 33mulcld 11182 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3534adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) ∈ β„‚)
3614, 35mulcld 11182 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) ∈ β„‚)
377, 9, 36dvdsflsumcom 26553 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
38 2fveq3 6852 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)))
39 id 22 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1))
41 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 1))
4241fveq2d 6851 . . . . 5 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)) = (logβ€˜(𝐴 / 1)))
4340, 42oveq12d 7380 . . . 4 (𝑛 = 1 β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
44 fzfid 13885 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
45 fz1ssnn 13479 . . . . 5 (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•
4645a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) βŠ† β„•)
47 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
48 flge1nn 13733 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
499, 47, 48syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„•)
50 nnuz 12813 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5149, 50eleqtrdi 2848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
52 eluzfz1 13455 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)))
5443, 44, 46, 53, 34musumsum 26557 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))))
5515, 16, 17, 18, 19dchrzrh1 26608 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = 1)
5655oveq1d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = (1 / 1))
57 1div1e1 11852 . . . . 5 (1 / 1) = 1
5856, 57eqtrdi 2793 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) = 1)
598rpcnd 12966 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6059div1d 11930 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 1) = 𝐴)
6160fveq2d 6851 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝐴 / 1)) = (logβ€˜π΄))
6258, 61oveq12d 7380 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) / 1) Β· (logβ€˜(𝐴 / 1))) = (1 Β· (logβ€˜π΄)))
638relogcld 25994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6463recnd 11190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6564mulid2d 11180 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· (logβ€˜π΄)) = (logβ€˜π΄))
6654, 62, 653eqtrrd 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) Β· (logβ€˜(𝐴 / 𝑛)))))
67 fzfid 13885 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) ∈ Fin)
6819adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
69 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7069adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
7115, 16, 17, 18, 68, 70dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
72 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
739, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ 𝐴)))
7473simprbda 500 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7574, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
7675zred 12614 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
7776, 74nndivred 12214 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
7877recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
7971, 78mulcld 11182 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
8019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
81 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8281adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
8315, 16, 17, 18, 80, 82dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
84 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8584nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
86 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
878, 85, 86syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+)
88 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
8988nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
90 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9187, 89, 90syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) ∈ ℝ+)
9291relogcld 25994 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ ℝ)
9388adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
9492, 93nndivred 12214 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
9594recnd 11190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9683, 95mulcld 11182 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
9767, 79, 96fsummulc2 15676 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
9871adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
9976adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
10099recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
10174nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
102101adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
103102rpcnne0d 12973 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
104 div12 11842 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10598, 100, 103, 104syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)))
10692recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚)
10793nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
108107rpcnne0d 12973 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
109 div12 11842 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
11083, 106, 108, 109syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š)) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
111105, 110oveq12d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
112102rpcnd 12966 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
113102rpne0d 12969 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
11498, 112, 113divcld 11938 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ∈ β„‚)
11593nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
11693nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ π‘š β‰  0)
11783, 115, 116divcld 11938 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
118114, 117mulcld 11182 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
119100, 106, 118mulassd 11185 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
120100, 114, 106, 117mul4d 11374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
12169ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
12215, 16, 17, 18, 80, 121, 82dchrzrhmul 26610 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))))
123122oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
124 divmuldiv 11862 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚) ∧ ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
12598, 83, 103, 108, 124syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)))
126123, 125eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
12759ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128 divdiv1 11873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
129127, 103, 108, 128syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((𝐴 / 𝑑) / π‘š) = (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))
130129eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)) = ((𝐴 / 𝑑) / π‘š))
131130fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))) = (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)))
132126, 131oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))))
133118, 106mulcomd 11183 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) Β· (logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
134132, 133eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š)))) = ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
135134oveq2d 7378 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
136119, 120, 1353eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) / 𝑑)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
137111, 136eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
138137sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
13997, 138eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
140139sumeq2dv 15595 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑑 Β· π‘š))) / (𝑑 Β· π‘š)) Β· (logβ€˜(𝐴 / (𝑑 Β· π‘š))))))
14137, 66, 1403eqtr4d 2787 1 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(𝐴 / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) Β· ((logβ€˜((𝐴 / 𝑑) / π‘š)) / π‘š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926  ΞΌcmu 26460  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-mu 26466  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  26861
  Copyright terms: Public domain W3C validator