Theorem colinearalglem4 29225

Description: Lemma for colinearalg 29226. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem4	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin01 11737	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3		fveere 29217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4	3	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
5		fveere 29217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	5	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
7	4, 6	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
8		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		resubcl 11521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
11	10	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
14	9, 13, 13	mulassd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
15	8, 12	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
17		recn 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19	16, 18	pncand 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
20	19	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
21	13	sqvald 14178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
22	21	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
23	14, 20, 22	3eqtr4d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
24		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
25	12	sqge0d 14172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
26	24, 25	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
27	26	orcd 886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0)))
28	12	resqcld 14160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29		mulle0b 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
30	8, 28, 29	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
31	27, 30	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
32	23, 31	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
33	7, 32	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
34	33	an32s 664	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
35	34	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
36	35	expr 461	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
37		recn 11189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
39	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
40		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
44	38, 39, 43	sub32d 11600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
45		ax-1cn 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	40	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	41	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
48		subdir 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an2i 1493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
50	47	mullidd 11226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
51	50	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
52	49, 51	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
53	38, 43, 39	subsub4d 11599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
54	44, 52, 53	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
55	39, 39, 43	sub32d 11600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
56	39	subidd 11556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = 0)
57	56	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58		df-neg 11443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
59	57, 58	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
60	39, 43, 39	subsub4d 11599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
61	55, 59, 60	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
62	54, 61	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
63		1re 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 11521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
65	63, 64	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
66	65	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
67	66, 41	remulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
69	68, 43	mulneg2d 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
70	66	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
71	70, 47, 46, 47	mul4d 11421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
72	71	negeqd 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
73	62, 69, 72	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
74	66, 40	remulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
75	41	resqcld 14160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
77	63, 76, 64	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78		subge0 11726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
79	63, 78	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
80	79	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
81	80	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
83	77, 76, 81, 82	mulge0d 11790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
84	83	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
85	41	sqge0d 14172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
86	74, 75, 84, 85	mulge0d 11790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
87	47	sqvald 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
88	87	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
89	86, 88	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
90	41, 41	remulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
91	74, 90	remulcld 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∈ ℝ)
92	91	le0neg2d 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
93	89, 92	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
94	73, 93	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
95	7, 94	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
96	95	an32s 664	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
97	96	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
98	97	expr 461	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
99	37	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
100	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
101	99, 100	negsubdi2d 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))
102	101	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
103		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
104		simpll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
105	103, 104, 10	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107		peano2rem 11524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108	107	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109	108, 105	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
110	109	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
111	106, 110	mulneg1d 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	108	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113	106, 112, 106	mul12d 11418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	106	sqvald 14178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
115	114	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116	113, 115	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
117	116	negeqd 11450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
118	111, 117	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
119		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120	119	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121		subdir 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
122	45, 121	mp3an2 1476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
123	120, 106, 122	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
124	106	mullidd 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
125	124	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
126	119, 105	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
128	127, 99, 100	subsub3d 11598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
129	123, 125, 128	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
130	129	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
131	102, 118, 130	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
132	105	resqcld 14160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134		subge0 11726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
135	63, 134	mpan2 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136	135	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137	133, 136	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138	105	sqge0d 14172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
139	108, 132, 137, 138	mulge0d 11790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
140	108, 132	remulcld 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141	140	le0neg2d 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
142	139, 141	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
143	131, 142	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
144	7, 143	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
145	144	an32s 664	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
146	145	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
147	146	expr 461	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	36, 98, 147	3orim123d 1470	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
149	2, 148	mpd 16	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   ≤ cle 11243   − cmin 11440  -cneg 11441  2c2 12294  ...cfz 13534  ↑cexp 14096  𝔼cee 29203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097  df-ee 29206

This theorem is referenced by:  colinearalg  29226