MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalglem4 28707
Description: Lemma for colinearalg 28708. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–   ๐ถ,๐‘–   ๐‘–,๐พ   ๐‘–,๐‘

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 11760 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
21adantl 481 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
3 fveere 28699 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
43adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
5 fveere 28699 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
65adantll 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
74, 6jca 511 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„))
8 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
98recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
10 resubcl 11546 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
1110ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
149, 13, 13mulassd 11259 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
158, 12remulcld 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
1615recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
17 recn 11220 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1916, 18pncand 11594 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
2019oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
2113sqvald 14131 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
2221oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
2314, 20, 223eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ๐พ โ‰ค 0)
2512sqge0d 14125 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2))
2624, 25jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
2726orcd 872 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ‰ค 0)))
2812resqcld 14113 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
29 mulle0b 12107 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” ((๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ‰ค 0))))
308, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” ((๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ‰ค 0))))
3127, 30mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0)
3223, 31eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
337, 32sylan 579 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
3433an32s 651 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
3534ralrimiva 3141 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
3635expr 456 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
37 recn 11220 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
4240, 41remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
4342recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
4438, 39, 43sub32d 11625 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
45 ax-1cn 11188 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
4640recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4741recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
48 subdir 11670 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
4945, 46, 47, 48mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
5047mullidd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
5150oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
5249, 51eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
5338, 43, 39subsub4d 11624 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))))
5444, 52, 533eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
5539, 39, 43sub32d 11625 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
5639subidd 11581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = 0)
5756oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (0 โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
58 df-neg 11469 . . . . . . . . . . . 12 -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (0 โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
5957, 58eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
6039, 43, 39subsub4d 11624 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))))
6155, 59, 603eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) = -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
6254, 61oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
63 1re 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
64 resubcl 11546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
6563, 64mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
6766, 41remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
6867recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
6968, 43mulneg2d 11690 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7066recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7170, 47, 46, 47mul4d 11448 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7271negeqd 11476 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7362, 69, 723eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7466, 40remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
7541resqcld 14113 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
76 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
7763, 76, 64sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
78 subge0 11749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ) โ†” ๐พ โ‰ค 1))
7963, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ) โ†” ๐พ โ‰ค 1))
8079biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ))
8180adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ))
82 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐พ)
8377, 76, 81, 82mulge0d 11813 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ))
8541sqge0d 14125 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2))
8674, 75, 84, 85mulge0d 11813 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
8747sqvald 14131 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
8887oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
8986, 88breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
9041, 41remulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
9174, 90remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆˆ โ„)
9291le0neg2d 11808 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (0 โ‰ค (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ†” -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0))
9389, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9473, 93eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
957, 94sylan 579 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9695an32s 651 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9796ralrimiva 3141 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9897expr 456 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0))
9937ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
10017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
10199, 100negsubdi2d 11609 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ -((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)))
102101oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (-((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
103 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
104 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
105103, 104, 10syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
106105recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
107 peano2rem 11549 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
108107ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
109108, 105remulcld 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
110109recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
111106, 110mulneg1d 11689 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (-((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
112108recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
113106, 112, 106mul12d 11445 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
114106sqvald 14131 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
115114oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
116113, 115eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
117116negeqd 11476 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ -(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
118111, 117eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (-((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
119 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
120119recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
121 subdir 11670 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
12245, 121mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
123120, 106, 122syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
124106mullidd 11254 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
125124oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
126119, 105remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
127126recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
128127, 99, 100subsub3d 11623 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)))
129123, 125, 1283eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)))
130129oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))))
131102, 118, 1303eqtr3rd 2776 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) = -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
132105resqcld 14113 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
133 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
134 subge0 11749 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
13563, 134mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
136135ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
137133, 136mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1))
138105sqge0d 14125 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2))
139108, 132, 137, 138mulge0d 11813 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
140108, 132remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
141140le0neg2d 11808 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0))
142139, 141mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0)
143131, 142eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
1447, 143sylan 579 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
145144an32s 651 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
146145ralrimiva 3141 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
147146expr 456 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
14836, 98, 1473orim123d 1441 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โˆจ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)))
1492, 148mpd 15 1 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1084   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  2c2 12289  ...cfz 13508  โ†‘cexp 14050  ๐”ผcee 28686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-exp 14051  df-ee 28689
This theorem is referenced by:  colinearalg  28708
  Copyright terms: Public domain W3C validator