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Theorem colinearalglem4 26709
Description: Lemma for colinearalg 26710. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 11162 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
21adantl 485 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3 fveere 26701 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
43adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
5 fveere 26701 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
65adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
74, 6jca 515 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
8 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
98recnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10 resubcl 10948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
1110ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
1312recnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
149, 13, 13mulassd 10662 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
158, 12remulcld 10669 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
1615recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
17 recn 10625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑖) ∈ ℝ → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1916, 18pncand 10996 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
2019oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
2113sqvald 13512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
2221oveq2d 7165 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
2314, 20, 223eqtr4d 2869 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
2512sqge0d 13617 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
2624, 25jca 515 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
2726orcd 870 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ≤ 0)))
2812resqcld 13616 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29 mulle0b 11509 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ≤ 0))))
308, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ≤ 0))))
3127, 30mpbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0)
3223, 31eqbrtrd 5074 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
337, 32sylan 583 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
3433an32s 651 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
3534ralrimiva 3177 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
3635expr 460 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
37 recn 10625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑖) ∈ ℝ → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
3917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
4111adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
4240, 41remulcld 10669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
4342recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
4438, 39, 43sub32d 11027 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐶𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)))
45 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
4640recnd 10667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
4741recnd 10667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
48 subdir 11072 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
4945, 46, 47, 48mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5047mulid2d 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))
5150oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5249, 51eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5338, 43, 39subsub4d 11026 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
5444, 52, 533eqtr3rd 2868 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5539, 39, 43sub32d 11027 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐴𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)))
5639subidd 10983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) = 0)
5756oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
58 df-neg 10871 . . . . . . . . . . . 12 -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5957, 58syl6eqr 2877 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
6039, 43, 39subsub4d 11026 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
6155, 59, 603eqtr3rd 2868 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
6254, 61oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
63 1re 10639 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
64 resubcl 10948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
6563, 64mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
6766, 41remulcld 10669 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
6867recnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
6968, 43mulneg2d 11092 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7066recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
7170, 47, 46, 47mul4d 10850 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7271negeqd 10878 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7362, 69, 723eqtrd 2863 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7466, 40remulcld 10669 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
7541resqcld 13616 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7763, 76, 64sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78 subge0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
7963, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
8079biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
8180adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
8377, 76, 81, 82mulge0d 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
8483adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
8541sqge0d 13617 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
8674, 75, 84, 85mulge0d 11215 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
8747sqvald 13512 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
8887oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
8986, 88breqtrd 5078 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
9041, 41remulcld 10669 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
9174, 90remulcld 10669 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ ℝ)
9291le0neg2d 11210 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
9389, 92mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9473, 93eqbrtrd 5074 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
957, 94sylan 583 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9695an32s 651 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9796ralrimiva 3177 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9897expr 460 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
9937ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
10017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
10199, 100negsubdi2d 11011 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)))
102101oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
103 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
104 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
105103, 104, 10syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
106105recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
107 peano2rem 10951 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108107ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109108, 105remulcld 10669 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
110109recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
111106, 110mulneg1d 11091 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
112108recnd 10667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113106, 112, 106mul12d 10847 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
114106sqvald 13512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
115114oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
116113, 115eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
117116negeqd 10878 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
118111, 117eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
119 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120119recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121 subdir 11072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
12245, 121mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
123120, 106, 122syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
124106mulid2d 10657 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))
125124oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
126119, 105remulcld 10669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
127126recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
128127, 99, 100subsub3d 11025 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖)))
129123, 125, 1283eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖)))
130129oveq2d 7165 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))))
131102, 118, 1303eqtr3rd 2868 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
132105resqcld 13616 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134 subge0 11151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
13563, 134mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136135ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137133, 136mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138105sqge0d 13617 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
139108, 132, 137, 138mulge0d 11215 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
140108, 132remulcld 10669 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141140le0neg2d 11210 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0))
142139, 141mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0)
143131, 142eqbrtrd 5074 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
1447, 143sylan 583 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
145144an32s 651 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
146145ralrimiva 3177 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
147146expr 460 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
14836, 98, 1473orim123d 1441 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
1492, 148mpd 15 1 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  cle 10674  cmin 10868  -cneg 10869  2c2 11689  ...cfz 12894  cexp 13434  𝔼cee 26688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-exp 13435  df-ee 26691
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