Theorem colinearalglem4 28167

Description: Lemma for colinearalg 28168. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem4	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin01 11738	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
2	1	adantl 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3		fveere 28159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4	3	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
5		fveere 28159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	5	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
7	4, 6	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
8		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		resubcl 11524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
11	10	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
14	9, 13, 13	mulassd 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
15	8, 12	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
17		recn 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19	16, 18	pncand 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
20	19	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
21	13	sqvald 14108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
22	21	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
23	14, 20, 22	3eqtr4d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
24		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
25	12	sqge0d 14102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
26	24, 25	jca 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
27	26	orcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0)))
28	12	resqcld 14090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29		mulle0b 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
30	8, 28, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
31	27, 30	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
32	23, 31	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
33	7, 32	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
34	33	an32s 651	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
35	34	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
36	35	expr 458	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
37		recn 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
39	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
40		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	11	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
44	38, 39, 43	sub32d 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
45		ax-1cn 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	40	recnd 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	41	recnd 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
48		subdir 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an2i 1467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
50	47	mullidd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
51	50	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
52	49, 51	eqtr2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
53	38, 43, 39	subsub4d 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
54	44, 52, 53	3eqtr3rd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
55	39, 39, 43	sub32d 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
56	39	subidd 11559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = 0)
57	56	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58		df-neg 11447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
59	57, 58	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
60	39, 43, 39	subsub4d 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
61	55, 59, 60	3eqtr3rd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
62	54, 61	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
63		1re 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 11524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
65	63, 64	mpan 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
66	65	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
67	66, 41	remulcld 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
69	68, 43	mulneg2d 11668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
70	66	recnd 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
71	70, 47, 46, 47	mul4d 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
72	71	negeqd 11454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
73	62, 69, 72	3eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
74	66, 40	remulcld 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
75	41	resqcld 14090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
77	63, 76, 64	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78		subge0 11727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
79	63, 78	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
80	79	biimpar 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
81	80	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
83	77, 76, 81, 82	mulge0d 11791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
84	83	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
85	41	sqge0d 14102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
86	74, 75, 84, 85	mulge0d 11791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
87	47	sqvald 14108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
88	87	oveq2d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
89	86, 88	breqtrd 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
90	41, 41	remulcld 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
91	74, 90	remulcld 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∈ ℝ)
92	91	le0neg2d 11786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
93	89, 92	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
94	73, 93	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
95	7, 94	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
96	95	an32s 651	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
97	96	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
98	97	expr 458	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
99	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
100	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
101	99, 100	negsubdi2d 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))
102	101	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
103		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
104		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
105	103, 104, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107		peano2rem 11527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108	107	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109	108, 105	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
110	109	recnd 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
111	106, 110	mulneg1d 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	108	recnd 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113	106, 112, 106	mul12d 11423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	106	sqvald 14108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
115	114	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116	113, 115	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
117	116	negeqd 11454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
118	111, 117	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
119		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120	119	recnd 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121		subdir 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
122	45, 121	mp3an2 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
123	120, 106, 122	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
124	106	mullidd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
125	124	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
126	119, 105	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
128	127, 99, 100	subsub3d 11601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
129	123, 125, 128	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
130	129	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
131	102, 118, 130	3eqtr3rd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
132	105	resqcld 14090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134		subge0 11727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
135	63, 134	mpan2 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136	135	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137	133, 136	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138	105	sqge0d 14102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
139	108, 132, 137, 138	mulge0d 11791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
140	108, 132	remulcld 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141	140	le0neg2d 11786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
142	139, 141	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
143	131, 142	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
144	7, 143	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
145	144	an32s 651	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
146	145	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
147	146	expr 458	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	36, 98, 147	3orim123d 1445	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
149	2, 148	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  ...cfz 13484  ↑cexp 14027  𝔼cee 28146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028  df-ee 28149

This theorem is referenced by:  colinearalg  28168