Theorem colinearalglem4 28880

Description: Lemma for colinearalg 28881. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem4	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin01 11633	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3		fveere 28872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4	3	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
5		fveere 28872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	5	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
7	4, 6	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
8		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		resubcl 11417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
11	10	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
14	9, 13, 13	mulassd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
15	8, 12	remulcld 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
17		recn 11088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19	16, 18	pncand 11465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
20	19	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
21	13	sqvald 14042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
22	21	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
23	14, 20, 22	3eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
24		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
25	12	sqge0d 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
26	24, 25	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
27	26	orcd 873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0)))
28	12	resqcld 14024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29		mulle0b 11985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
30	8, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
31	27, 30	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
32	23, 31	eqbrtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
33	7, 32	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
34	33	an32s 652	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
35	34	ralrimiva 3122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
36	35	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
37		recn 11088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
39	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
40		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 11134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
44	38, 39, 43	sub32d 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
45		ax-1cn 11056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	40	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	41	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
48		subdir 11543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
50	47	mullidd 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
51	50	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
52	49, 51	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
53	38, 43, 39	subsub4d 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
54	44, 52, 53	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
55	39, 39, 43	sub32d 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
56	39	subidd 11452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = 0)
57	56	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58		df-neg 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
59	57, 58	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
60	39, 43, 39	subsub4d 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
61	55, 59, 60	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
62	54, 61	oveq12d 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
63		1re 11104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
65	63, 64	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
66	65	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
67	66, 41	remulcld 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
69	68, 43	mulneg2d 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
70	66	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
71	70, 47, 46, 47	mul4d 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
72	71	negeqd 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
73	62, 69, 72	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
74	66, 40	remulcld 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
75	41	resqcld 14024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
77	63, 76, 64	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78		subge0 11622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
79	63, 78	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
80	79	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
81	80	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
83	77, 76, 81, 82	mulge0d 11686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
85	41	sqge0d 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
86	74, 75, 84, 85	mulge0d 11686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
87	47	sqvald 14042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
88	87	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
89	86, 88	breqtrd 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
90	41, 41	remulcld 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
91	74, 90	remulcld 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∈ ℝ)
92	91	le0neg2d 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
93	89, 92	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
94	73, 93	eqbrtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
95	7, 94	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
96	95	an32s 652	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
97	96	ralrimiva 3122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
98	97	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
99	37	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
100	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
101	99, 100	negsubdi2d 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))
102	101	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
103		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
104		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
105	103, 104, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107		peano2rem 11420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108	107	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109	108, 105	remulcld 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
110	109	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
111	106, 110	mulneg1d 11562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	108	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113	106, 112, 106	mul12d 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	106	sqvald 14042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
115	114	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116	113, 115	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
117	116	negeqd 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
118	111, 117	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
119		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120	119	recnd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121		subdir 11543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
122	45, 121	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
123	120, 106, 122	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
124	106	mullidd 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
125	124	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
126	119, 105	remulcld 11134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
128	127, 99, 100	subsub3d 11494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
129	123, 125, 128	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
130	129	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
131	102, 118, 130	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
132	105	resqcld 14024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134		subge0 11622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
135	63, 134	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136	135	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137	133, 136	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138	105	sqge0d 14036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
139	108, 132, 137, 138	mulge0d 11686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
140	108, 132	remulcld 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141	140	le0neg2d 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
142	139, 141	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
143	131, 142	eqbrtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
144	7, 143	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
145	144	an32s 652	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
146	145	ralrimiva 3122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
147	146	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	36, 98, 147	3orim123d 1446	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
149	2, 148	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003   ≤ cle 11139   − cmin 11336  -cneg 11337  2c2 12172  ...cfz 13399  ↑cexp 13960  𝔼cee 28859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-seq 13901  df-exp 13961  df-ee 28862

This theorem is referenced by:  colinearalg  28881