Theorem colinearalglem4 26697

Description: Lemma for colinearalg 26698. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem4	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin01 11166	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
2	1	adantl 484	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3		fveere 26689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4	3	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
5		fveere 26689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	5	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
7	4, 6	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
8		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		resubcl 10952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
11	10	ancoms 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
14	9, 13, 13	mulassd 10666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
15	8, 12	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
17		recn 10629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19	16, 18	pncand 11000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
20	19	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
21	13	sqvald 13510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
22	21	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
23	14, 20, 22	3eqtr4d 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
24		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
25	12	sqge0d 13615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
26	24, 25	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
27	26	orcd 869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0)))
28	12	resqcld 13614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29		mulle0b 11513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
30	8, 28, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
31	27, 30	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
32	23, 31	eqbrtrd 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
33	7, 32	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
34	33	an32s 650	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
35	34	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
36	35	expr 459	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
37		recn 10629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
39	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
40		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	11	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
44	38, 39, 43	sub32d 11031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
45		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	40	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	41	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
48		subdir 11076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
50	47	mulid2d 10661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
51	50	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
52	49, 51	eqtr2d 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
53	38, 43, 39	subsub4d 11030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
54	44, 52, 53	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
55	39, 39, 43	sub32d 11031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
56	39	subidd 10987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = 0)
57	56	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58		df-neg 10875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
59	57, 58	syl6eqr 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
60	39, 43, 39	subsub4d 11030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
61	55, 59, 60	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
62	54, 61	oveq12d 7176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
63		1re 10643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 10952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
65	63, 64	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
66	65	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
67	66, 41	remulcld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
69	68, 43	mulneg2d 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
70	66	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
71	70, 47, 46, 47	mul4d 10854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
72	71	negeqd 10882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
73	62, 69, 72	3eqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
74	66, 40	remulcld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
75	41	resqcld 13614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
77	63, 76, 64	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78		subge0 11155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
79	63, 78	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
80	79	biimpar 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
81	80	adantrl 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
83	77, 76, 81, 82	mulge0d 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
84	83	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
85	41	sqge0d 13615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
86	74, 75, 84, 85	mulge0d 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
87	47	sqvald 13510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
88	87	oveq2d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
89	86, 88	breqtrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
90	41, 41	remulcld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
91	74, 90	remulcld 10673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∈ ℝ)
92	91	le0neg2d 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
93	89, 92	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
94	73, 93	eqbrtrd 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
95	7, 94	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
96	95	an32s 650	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
97	96	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
98	97	expr 459	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
99	37	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
100	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
101	99, 100	negsubdi2d 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))
102	101	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
103		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
104		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
105	103, 104, 10	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107		peano2rem 10955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108	107	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109	108, 105	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
110	109	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
111	106, 110	mulneg1d 11095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	108	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113	106, 112, 106	mul12d 10851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	106	sqvald 13510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
115	114	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116	113, 115	eqtr4d 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
117	116	negeqd 10882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
118	111, 117	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
119		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120	119	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121		subdir 11076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
122	45, 121	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
123	120, 106, 122	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
124	106	mulid2d 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
125	124	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
126	119, 105	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
128	127, 99, 100	subsub3d 11029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
129	123, 125, 128	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
130	129	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
131	102, 118, 130	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
132	105	resqcld 13614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134		subge0 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
135	63, 134	mpan2 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136	135	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137	133, 136	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138	105	sqge0d 13615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
139	108, 132, 137, 138	mulge0d 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
140	108, 132	remulcld 10673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141	140	le0neg2d 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
142	139, 141	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
143	131, 142	eqbrtrd 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
144	7, 143	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
145	144	an32s 650	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
146	145	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
147	146	expr 459	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	36, 98, 147	3orim123d 1440	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
149	2, 148	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∨ w3o 1082   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873  2c2 11695  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  𝔼cee 26676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433  df-ee 26679

This theorem is referenced by:  colinearalg  26698