MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalglem4 28156
Description: Lemma for colinearalg 28157. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–   ๐ถ,๐‘–   ๐‘–,๐พ   ๐‘–,๐‘

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 11734 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
21adantl 482 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
3 fveere 28148 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
43adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
5 fveere 28148 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
65adantll 712 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
74, 6jca 512 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„))
8 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
98recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
10 resubcl 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
1110ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
149, 13, 13mulassd 11233 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
158, 12remulcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
1615recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
17 recn 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1916, 18pncand 11568 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
2019oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
2113sqvald 14104 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
2221oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
2314, 20, 223eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
24 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ๐พ โ‰ค 0)
2512sqge0d 14098 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2))
2624, 25jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
2726orcd 871 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ‰ค 0)))
2812resqcld 14086 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
29 mulle0b 12081 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” ((๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ‰ค 0))))
308, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” ((๐พ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ‰ค 0))))
3127, 30mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ (๐พ ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0)
3223, 31eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
337, 32sylan 580 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
3433an32s 650 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
3534ralrimiva 3146 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 0)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
3635expr 457 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
37 recn 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3917ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
4240, 41remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
4342recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
4438, 39, 43sub32d 11599 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
45 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
4640recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
4741recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
48 subdir 11644 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
4945, 46, 47, 48mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
5047mullidd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
5150oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
5249, 51eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
5338, 43, 39subsub4d 11598 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))))
5444, 52, 533eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
5539, 39, 43sub32d 11599 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
5639subidd 11555 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = 0)
5756oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (0 โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
58 df-neg 11443 . . . . . . . . . . . 12 -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (0 โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
5957, 58eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
6039, 43, 39subsub4d 11598 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))))
6155, 59, 603eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) = -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
6254, 61oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
63 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
64 resubcl 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
6563, 64mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
6766, 41remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
6867recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
6968, 43mulneg2d 11664 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท -(๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7066recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
7170, 47, 46, 47mul4d 11422 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7271negeqd 11450 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7362, 69, 723eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
7466, 40remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
7541resqcld 14086 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
76 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
7763, 76, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
78 subge0 11723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ) โ†” ๐พ โ‰ค 1))
7963, 78mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ) โ†” ๐พ โ‰ค 1))
8079biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ))
8180adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ ๐พ))
82 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐พ)
8377, 76, 81, 82mulge0d 11787 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ))
8541sqge0d 14098 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2))
8674, 75, 84, 85mulge0d 11787 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
8747sqvald 14104 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
8887oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
8986, 88breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
9041, 41remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
9174, 90remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โˆˆ โ„)
9291le0neg2d 11782 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (0 โ‰ค (((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ†” -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0))
9389, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ -(((1 โˆ’ ๐พ) ยท ๐พ) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9473, 93eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
957, 94sylan 580 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9695an32s 650 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9796ralrimiva 3146 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0)
9897expr 457 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0))
9937ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
10017ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
10199, 100negsubdi2d 11583 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ -((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)))
102101oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (-((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
103 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
104 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
105103, 104, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
106105recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
107 peano2rem 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
108107ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
109108, 105remulcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
110109recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
111106, 110mulneg1d 11663 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (-((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
112108recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
113106, 112, 106mul12d 11419 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
114106sqvald 14104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
115114oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
116113, 115eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
117116negeqd 11450 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ -(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
118111, 117eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (-((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
119 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
120119recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
121 subdir 11644 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
12245, 121mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
123120, 106, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))))
124106mullidd 11228 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))
125124oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ (1 ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))))
126119, 105remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
127126recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
128127, 99, 100subsub3d 11597 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)))
129123, 125, 1283eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) = (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)))
130129oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)))) = (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))))
131102, 118, 1303eqtr3rd 2781 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) = -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
132105resqcld 14086 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
133 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
134 subge0 11723 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
13563, 134mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
136135ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
137133, 136mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (๐พ โˆ’ 1))
138105sqge0d 14098 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2))
139108, 132, 137, 138mulge0d 11787 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
140108, 132remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
141140le0neg2d 11782 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0))
142139, 141mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ -((๐พ โˆ’ 1) ยท (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ‰ค 0)
143131, 142eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
1447, 143sylan 580 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
145144an32s 650 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
146145ralrimiva 3146 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)
147146expr 457 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
14836, 98, 1473orim123d 1444 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ (0 โ‰ค ๐พ โˆง ๐พ โ‰ค 1) โˆจ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0)))
1492, 148mpd 15 1 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–)) ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–))) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)))) โ‰ค 0 โˆจ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–)) ยท (((๐พ ยท ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ดโ€˜๐‘–))) + (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘–))) โ‰ค 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆจ w3o 1086   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  2c2 12263  ...cfz 13480  โ†‘cexp 14023  ๐”ผcee 28135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024  df-ee 28138
This theorem is referenced by:  colinearalg  28157
  Copyright terms: Public domain W3C validator