MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalglem4 28925
Description: Lemma for colinearalg 28926. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 11788 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
21adantl 481 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3 fveere 28917 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
43adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
5 fveere 28917 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
65adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
74, 6jca 511 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
8 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
98recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
1110ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
1312recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
149, 13, 13mulassd 11285 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
158, 12remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
1615recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
17 recn 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑖) ∈ ℝ → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1916, 18pncand 11622 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
2019oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
2113sqvald 14184 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
2221oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
2314, 20, 223eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
2512sqge0d 14178 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
2624, 25jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
2726orcd 873 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ≤ 0)))
2812resqcld 14166 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29 mulle0b 12140 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ≤ 0))))
308, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ≤ 0))))
3127, 30mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0)
3223, 31eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
337, 32sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
3433an32s 652 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
3534ralrimiva 3145 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0)
3635expr 456 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0))
37 recn 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑖) ∈ ℝ → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
3837ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
3917ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
4111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
4240, 41remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
4342recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
4438, 39, 43sub32d 11653 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐶𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)))
45 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
4640recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
4741recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
48 subdir 11698 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
4945, 46, 47, 48mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5047mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))
5150oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
5249, 51eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5338, 43, 39subsub4d 11652 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
5444, 52, 533eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5539, 39, 43sub32d 11653 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐴𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)))
5639subidd 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) = 0)
5756oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
58 df-neg 11496 . . . . . . . . . . . 12 -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
5957, 58eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐴𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
6039, 43, 39subsub4d 11652 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴𝑖) − (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) − (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))))
6155, 59, 603eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
6254, 61oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
63 1re 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
64 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
6563, 64mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
6665ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
6766, 41remulcld 11292 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
6867recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
6968, 43mulneg2d 11718 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7066recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
7170, 47, 46, 47mul4d 11474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7271negeqd 11503 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7362, 69, 723eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
7466, 40remulcld 11292 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
7541resqcld 14166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7763, 76, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78 subge0 11777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
7963, 78mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
8079biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
8180adantrl 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
8377, 76, 81, 82mulge0d 11841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
8541sqge0d 14178 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
8674, 75, 84, 85mulge0d 11841 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
8747sqvald 14184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
8887oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
8986, 88breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
9041, 41remulcld 11292 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
9174, 90remulcld 11292 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ ℝ)
9291le0neg2d 11836 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
9389, 92mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9473, 93eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
957, 94sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9695an32s 652 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9796ralrimiva 3145 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0)
9897expr 456 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0))
9937ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
10017ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
10199, 100negsubdi2d 11637 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)))
102101oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
103 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
104 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
105103, 104, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
106105recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
107 peano2rem 11577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108107ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109108, 105remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
110109recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
111106, 110mulneg1d 11717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -(((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
112108recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113106, 112, 106mul12d 11471 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
114106sqvald 14184 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
115114oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
116113, 115eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
117116negeqd 11503 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
118111, 117eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
119 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120119recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121 subdir 11698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
12245, 121mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
123120, 106, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))))
124106mullidd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))
125124oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − (1 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))
126119, 105remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
127126recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
128127, 99, 100subsub3d 11651 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) − ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖)))
129123, 125, 1283eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖)))
130129oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))))
131102, 118, 1303eqtr3rd 2785 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
132105resqcld 14166 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134 subge0 11777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
13563, 134mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136135ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137133, 136mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138105sqge0d 14178 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2))
139108, 132, 137, 138mulge0d 11841 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)))
140108, 132remulcld 11292 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141140le0neg2d 11836 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0))
142139, 141mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))↑2)) ≤ 0)
143131, 142eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
1447, 143sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
145144an32s 652 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
146145ralrimiva 3145 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)
147146expr 456 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
14836, 98, 1473orim123d 1445 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0)))
1492, 148mpd 15 1 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖))) · ((𝐴𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐶𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) + (𝐴𝑖)) − (𝐶𝑖))) ≤ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  2c2 12322  ...cfz 13548  cexp 14103  𝔼cee 28904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104  df-ee 28907
This theorem is referenced by:  colinearalg  28926
  Copyright terms: Public domain W3C validator