Theorem colinearalglem4 26414

Description: Lemma for colinearalg 26415. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem4	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem colinearalglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin01 10964	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
2	1	adantl 474	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾))
3		fveere 26406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4	3	adantlr 703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
5		fveere 26406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	5	adantll 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
7	4, 6	jca 504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
8		simprl 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	recnd 10467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		resubcl 10750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
11	10	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
14	9, 13, 13	mulassd 10462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
15	8, 12	remulcld 10469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
17		recn 10424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19	16, 18	pncand 10798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) = (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
20	19	oveq1d 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
21	13	sqvald 13321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
22	21	oveq2d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
23	14, 20, 22	3eqtr4d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
24		simprr 761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 𝐾 ≤ 0)
25	12	sqge0d 13426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
26	24, 25	jca 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
27	26	orcd 860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0)))
28	12	resqcld 13425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
29		mulle0b 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
30	8, 28, 29	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0 ↔ ((𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ≤ 0))))
31	27, 30	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → (𝐾 · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
32	23, 31	eqbrtrd 4948	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
33	7, 32	sylan 572	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
34	33	an32s 640	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
35	34	ralrimiva 3127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0)
36	35	expr 449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
37		recn 10424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
39	17	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
40		simprl 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	11	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 10469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
44	38, 39, 43	sub32d 10829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
45		ax-1cn 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	40	recnd 10467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	41	recnd 10467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
48		subdir 10874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an2i 1446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
50	47	mulid2d 10457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
51	50	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
52	49, 51	eqtr2d 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
53	38, 43, 39	subsub4d 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
54	44, 52, 53	3eqtr3rd 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
55	39, 39, 43	sub32d 10829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)))
56	39	subidd 10785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = 0)
57	56	oveq1d 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58		df-neg 10672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (0 − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
59	57, 58	syl6eqr 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
60	39, 43, 39	subsub4d 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
61	55, 59, 60	3eqtr3rd 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) = -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
62	54, 61	oveq12d 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
63		1re 10438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 10750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
65	63, 64	mpan 678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
66	65	ad2antrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
67	66, 41	remulcld 10469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 10467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
69	68, 43	mulneg2d 10894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · -(𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
70	66	recnd 10467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
71	70, 47, 46, 47	mul4d 10651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
72	71	negeqd 10679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) · (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
73	62, 69, 72	3eqtrd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) = -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
74	66, 40	remulcld 10469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ((1 − 𝐾) · 𝐾) ∈ ℝ)
75	41	resqcld 13425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
76		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
77	63, 76, 64	sylancr 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
78		subge0 10953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
79	63, 78	mpan 678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 1))
80	79	biimpar 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
81	80	adantrl 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ (1 − 𝐾))
82		simprl 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ 𝐾)
83	77, 76, 81, 82	mulge0d 11017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1)) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
84	83	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ ((1 − 𝐾) · 𝐾))
85	41	sqge0d 13426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
86	74, 75, 84, 85	mulge0d 11017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
87	47	sqvald 13321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
88	87	oveq2d 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
89	86, 88	breqtrd 4952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → 0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
90	41, 41	remulcld 10469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
91	74, 90	remulcld 10469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∈ ℝ)
92	91	le0neg2d 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (0 ≤ (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
93	89, 92	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → -(((1 − 𝐾) · 𝐾) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
94	73, 93	eqbrtrd 4948	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
95	7, 94	sylan 572	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
96	95	an32s 640	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
97	96	ralrimiva 3127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0)
98	97	expr 449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
99	37	ad2antlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
100	17	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
101	99, 100	negsubdi2d 10813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))
102	101	oveq1d 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
103		simplr 757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
104		simpll 755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
105	103, 104, 10	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 10467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107		peano2rem 10753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
108	107	ad2antrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
109	108, 105	remulcld 10469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
110	109	recnd 10467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
111	106, 110	mulneg1d 10893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	108	recnd 10467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
113	106, 112, 106	mul12d 10648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	106	sqvald 13321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
115	114	oveq2d 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116	113, 115	eqtr4d 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
117	116	negeqd 10679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -(((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
118	111, 117	eqtrd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (-((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
119		simprl 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
120	119	recnd 10467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
121		subdir 10874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
122	45, 121	mp3an2 1429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
123	120, 106, 122	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
124	106	mulid2d 10457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
125	124	oveq2d 6991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − (1 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
126	119, 105	remulcld 10469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
127	126	recnd 10467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
128	127, 99, 100	subsub3d 10827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
129	123, 125, 128	3eqtrd 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
130	129	oveq2d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐾 − 1) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
131	102, 118, 130	3eqtr3rd 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) = -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
132	105	resqcld 13425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
133		simprr 761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 1 ≤ 𝐾)
134		subge0 10953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
135	63, 134	mpan2 679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
136	135	ad2antrl 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ (𝐾 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐾))
137	133, 136	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (𝐾 − 1))
138	105	sqge0d 13426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2))
139	108, 132, 137, 138	mulge0d 11017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)))
140	108, 132	remulcld 10469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
141	140	le0neg2d 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (0 ≤ ((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
142	139, 141	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → -((𝐾 − 1) · (((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
143	131, 142	eqbrtrd 4948	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
144	7, 143	sylan 572	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
145	144	an32s 640	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
146	145	ralrimiva 3127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
147	146	expr 449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	36, 98, 147	3orim123d 1424	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 0 ∨ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1) ∨ 1 ≤ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
149	2, 148	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − ((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · (((𝐾 · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 834   ∨ w3o 1068   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3083   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339   ≤ cle 10474   − cmin 10669  -cneg 10670  2c2 11494  ...cfz 12707  ↑cexp 13243  𝔼cee 26393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-seq 13184  df-exp 13244  df-ee 26396

This theorem is referenced by:  colinearalg  26415