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Theorem cosadd 16112
Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosadd ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))

Proof of Theorem cosadd
StepHypRef Expression
1 addcl 11194 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
2 cosval 16070 . . 3 ((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) + (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / 2))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) + (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / 2))
4 coscl 16074 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6 coscl 16074 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
76adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
85, 7mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
9 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
10 sincl 16073 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1110adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
12 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
139, 11, 12sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
14 sincl 16073 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
16 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
179, 15, 16sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
1813, 17mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
198, 18addcld 11237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
205, 13mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) ∈ β„‚)
217, 17mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
2220, 21addcld 11237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
2319, 22, 19ppncand 11615 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) + ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
24 adddi 11201 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡)))
259, 24mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡)))
2625fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) = (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡))))
27 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
28 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
299, 27, 28sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
30 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
31 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
329, 30, 31sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
33 efadd 16041 . . . . . . 7 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))))
3429, 32, 33syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))))
35 efival 16099 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))))
36 efival 16099 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐡)) = ((cosβ€˜π΅) + (i Β· (sinβ€˜π΅))))
3735, 36oveqan12d 7430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))) = (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) + (i Β· (sinβ€˜π΅)))))
385, 17, 7, 13muladdd 11676 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) + (i Β· (sinβ€˜π΅)))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
3937, 38eqtrd 2770 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
4026, 34, 393eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
41 negicn 11465 . . . . . . . 8 -i ∈ β„‚
42 adddi 11201 . . . . . . . 8 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡)))
4341, 42mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (𝐴 + 𝐡)) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡)))
4443fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡))) = (expβ€˜((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡))))
45 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
4641, 27, 45sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
47 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
4841, 30, 47sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐡) ∈ β„‚)
49 efadd 16041 . . . . . . 7 (((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (-i Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))))
5046, 48, 49syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((-i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐡))) = ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))))
51 efmival 16100 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) = ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΄))))
52 efmival 16100 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐡)) = ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΅))))
5351, 52oveqan12d 7430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))) = (((cosβ€˜π΄) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΅)))))
545, 17, 7, 13mulsubd 11677 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΄))) Β· ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (i Β· (sinβ€˜π΅)))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
5553, 54eqtrd 2770 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(-i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
5644, 50, 553eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
5740, 56oveq12d 7429 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) + (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) = (((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) + ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) βˆ’ (((cosβ€˜π΄) Β· (i Β· (sinβ€˜π΅))) + ((cosβ€˜π΅) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))))
58192timesd 12459 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) = ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) + (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
5923, 57, 583eqtr4d 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) + (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) = (2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))))
6059oveq1d 7426 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((expβ€˜(i Β· (𝐴 + 𝐡))) + (expβ€˜(-i Β· (𝐴 + 𝐡)))) / 2) = ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / 2))
61 2cn 12291 . . . . 5 2 ∈ β„‚
62 2ne0 12320 . . . . 5 2 β‰  0
63 divcan3 11902 . . . . 5 (((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / 2) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
6461, 62, 63mp3an23 1451 . . . 4 ((((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / 2) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
6519, 64syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / 2) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))))
669a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ i ∈ β„‚)
6766, 11, 66, 15mul4d 11430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄))))
68 ixi 11847 . . . . . . 7 (i Β· i) = -1
6968oveq1i 7421 . . . . . 6 ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄)))
7011, 15mulcomd 11239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))
7170oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· ((sinβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
7269, 71eqtrid 2782 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· i) Β· ((sinβ€˜π΅) Β· (sinβ€˜π΄))) = (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
7315, 11mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
7473mulm1d 11670 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))
7567, 72, 743eqtrd 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))
7675oveq2d 7427 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄)))) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
778, 73negsubd 11581 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
7865, 76, 773eqtrd 2774 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((i Β· (sinβ€˜π΅)) Β· (i Β· (sinβ€˜π΄))))) / 2) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
793, 60, 783eqtrd 2774 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  expce 16009  sincsin 16011  cosccos 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018
This theorem is referenced by:  tanaddlem  16113  tanadd  16114  cossub  16116  sinmul  16119  cosmul  16120  addcos  16121  subcos  16122  sincossq  16123  cos2t  16125  demoivreALT  16148  cosppi  26236  coshalfpip  26240
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