Theorem cosadd 15518

Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cosadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem cosadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10619	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		cosval 15476	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) + (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) + (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / 2))
4		coscl 15480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
6		coscl 15480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
7	6	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
9		ax-icn 10596	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
10		sincl 15479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
12		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	9, 11, 12	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
14		sincl 15479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
16		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
17	9, 15, 16	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
19	8, 18	addcld 10660	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
20	5, 13	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) ∈ ℂ)
21	7, 17	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
22	20, 21	addcld 10660	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ)
23	19, 22, 19	ppncand 11037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))))
24		adddi 10626	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
25	9, 24	mp3an1 1444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
26	25	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
27		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
29	9, 27, 28	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
30		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
32	9, 30, 31	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
33		efadd 15447	. . . . . . 7 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
34	29, 32, 33	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))))
35		efival 15505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
36		efival 15505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
37	35, 36	oveqan12d 7175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
38	5, 17, 7, 13	muladdd 11098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
39	37, 38	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
40	26, 34, 39	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
41		negicn 10887	. . . . . . . 8 ⊢ -i ∈ ℂ
42		adddi 10626	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
43	41, 42	mp3an1 1444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + 𝐵)) = ((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵)))
44	43	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))))
45		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
46	41, 27, 45	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
47		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
48	41, 30, 47	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) ∈ ℂ)
49		efadd 15447	. . . . . . 7 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
50	46, 48, 49	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘((-i · 𝐴) + (-i · 𝐵))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))))
51		efmival 15506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
52		efmival 15506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵))))
53	51, 52	oveqan12d 7175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))))
54	5, 17, 7, 13	mulsubd 11099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐵) − (i · (sin‘𝐵)))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
55	53, 54	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
56	44, 50, 55	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))))
57	40, 56	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) + (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) − (((cos‘𝐴) · (i · (sin‘𝐵))) + ((cos‘𝐵) · (i · (sin‘𝐴)))))))
58	19	2timesd 11881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) + (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))))
59	23, 57, 58	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) + (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) = (2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))))
60	59	oveq1d 7171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · (𝐴 + 𝐵))) + (exp‘(-i · (𝐴 + 𝐵)))) / 2) = ((2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))) / 2))
61		2cn 11713	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
62		2ne0 11742	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
63		divcan3 11324	. . . . 5 ⊢ (((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))) / 2) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))))
64	61, 62, 63	mp3an23 1449	. . . 4 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) ∈ ℂ → ((2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))) / 2) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))))
65	19, 64	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))) / 2) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))))
66	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
67	66, 11, 66, 15	mul4d 10852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) = ((i · i) · ((sin‘𝐵) · (sin‘𝐴))))
68		ixi 11269	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
69	68	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · ((sin‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = (-1 · ((sin‘𝐵) · (sin‘𝐴)))
70	11, 15	mulcomd 10662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐵) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
71	70	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · ((sin‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
72	69, 71	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · ((sin‘𝐵) · (sin‘𝐴))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
73	15, 11	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
74	73	mulm1d 11092	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
75	67, 72, 74	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
76	75	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
77	8, 73	negsubd 11003	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
78	65, 76, 77	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((i · (sin‘𝐵)) · (i · (sin‘𝐴))))) / 2) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
79	3, 60, 78	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538  ici 10539   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  2c2 11693  expce 15415  sincsin 15417  cosccos 15418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424

This theorem is referenced by:  tanaddlem  15519  tanadd  15520  cossub  15522  sinmul  15525  cosmul  15526  addcos  15527  subcos  15528  sincossq  15529  cos2t  15531  demoivreALT  15554  cosppi  25076  coshalfpip  25080