MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerthlem2 16661
Description: Lemma for eulerth 16662. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
eulerth.2 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
eulerth.3 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
eulerth.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
eulerth.5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฆ)

Proof of Theorem eulerthlem2
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
21simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
32phicld 16651 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
43nnred 12175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
54leidd 11728 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))
63adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
7 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
87anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
9 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘1))
10 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1))
119, 10oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)))
1211oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘))
13 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1))
1413oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘))
1512, 14eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘)))
1610oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)))
1716eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))
1815, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1)))
198, 18imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))))
20 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
2120anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
22 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘ง))
23 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง))
2422, 23oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)))
2524oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
26 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง))
2726oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘))
2825, 27eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘)))
2923oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)))
3029eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1))
3128, 30anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)))
3221, 31imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1))))
33 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
3433anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
35 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)))
36 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1)))
3735, 36oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))))
3837oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
39 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)))
4039oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘))
4138, 40eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘)))
4236oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))))
4342eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))
4441, 43anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)))
4534, 44imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
46 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
4746anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
48 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)))
49 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
5048, 49oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
5150oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘))
52 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
5352oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘))
5451, 53eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘)))
5549oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
5655eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))
5754, 56anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1)))
5847, 57imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))))
591simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
60 eulerth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
61 f1of 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
63 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
643, 63eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
65 eluzfz1 13455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ 1 โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
67 eulerth.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
6866, 67eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐‘‡)
6962, 68ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ ๐‘†)
70 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜1) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘))
7170eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜1) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1))
72 eulerth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
7371, 72elrab2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜1) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1))
7469, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1))
7574simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘))
76 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ โ„ค)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ โ„ค)
7859, 77zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„ค)
7978zred 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„)
802nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
81 modabs2 13817 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
8279, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
83 1z 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
84 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜1))
8584oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜1)))
8685oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
87 eulerth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
88 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) โˆˆ V
8986, 87, 88fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜1) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
9068, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜1) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
9183, 90seq1i 13927 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
9291oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) mod ๐‘))
9359zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9493exp1d 14053 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
95 seq1 13926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1) = (๐นโ€˜1))
9683, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1) = (๐นโ€˜1)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1) = (๐นโ€˜1))
9894, 97oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜1)))
9998oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
10082, 92, 993eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘))
10196oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = (๐‘ gcd (๐นโ€˜1))
1022nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
103102, 77gcdcomd 16401 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜1)) = ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘))
10474simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1)
105103, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜1)) = 1)
106101, 105eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1)
107100, 106jca 513 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))
108107adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))
109 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
111110lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1))
112 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„)
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„)
1144adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
115 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
116110, 113, 114, 115syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
117111, 116mpand 694 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
118117imdistanda 573 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
119118imim1d 82 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1))))
12059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
121 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
122121ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
123 zexpcl 13989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
124120, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
125 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
126125, 63eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
127109ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
128127, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„)
1294adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
130127lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1))
131 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))
132127, 128, 129, 130, 131letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))
133 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
134133ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
1353nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
136135adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
137 eluz 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
138134, 136, 137syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
139132, 138mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง))
140 fzss2 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง) โ†’ (1...๐‘ง) โŠ† (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘ง) โŠ† (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
142141, 67sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘ง) โŠ† ๐‘‡)
143142sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡)
14462ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
145 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
146145eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
147146, 72elrab2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
148144, 147sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
149148simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
150 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
152151adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
153143, 152syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ง)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
154 zmulcl 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
155154adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
156126, 153, 155seqcl 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
157124, 156zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
158157zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
15972ssrab3 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘† โŠ† (0..^๐‘)
1601, 72, 67, 60, 87eulerthlem1 16660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
161160ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
162159, 161sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
163 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
165164adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
166143, 165syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ง)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
167126, 166, 155seqcl 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
168167zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
16962adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
170 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„•)
171170ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„•)
172171nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ง + 1))
173171nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ค)
174 elfz 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (1 โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
17583, 174mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (1 โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
176173, 136, 175syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (1 โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
177172, 131, 176mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
178177, 67eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ ๐‘‡)
179169, 178ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ ๐‘†)
180 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘))
181180eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1))
182181, 72elrab2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1))
183179, 182sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1))
184183simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘))
185 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„ค)
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„ค)
187120, 186zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ค)
18880adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
189 modmul1 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘))
1901893expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘)))
191158, 168, 187, 188, 190syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘)))
192124zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
193156zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
19493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
195186zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„‚)
196192, 193, 194, 195mul4d 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท ๐ด) ยท ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))))
197194, 122expp1d 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท ๐ด))
198 seqp1 13928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))))
199126, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))))
200197, 199oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท ๐ด) ยท ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))))
201196, 200eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = ((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))))
202201oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
203187zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„)
204203, 188modcld 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
205 modabs2 13817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
206203, 188, 205syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
207 modmul1 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„) โˆง ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘)) โ†’ ((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
208204, 203, 167, 188, 206, 207syl221anc 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
209 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))
210209oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))))
211210oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
212 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ V
213211, 87, 212fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ง + 1) โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘ง + 1)) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
214178, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘ง + 1)) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
215214oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐บโ€˜(๐‘ง + 1))) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘)))
216 seqp1 13928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐บโ€˜(๐‘ง + 1))))
217126, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐บโ€˜(๐‘ง + 1))))
218204recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
219167zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
220218, 219mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘)))
221215, 217, 2203eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)))
222221oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) = ((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
223187zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„‚)
224219, 223mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)))
225224oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
226208, 222, 2253eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘))
227202, 226eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘)))
228191, 227sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘)))
229102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
230229, 186gcdcomd 16401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘))
231183simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1)
232230, 231eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)
233 rpmul 16542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
234229, 156, 186, 233syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
235232, 234mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โ†’ (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
236199oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))))
237236eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1 โ†” (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
238235, 237sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))
239228, 238anim12d 610 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)))
240239an12s 648 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)))
241240ex 414 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
242241a2d 29 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
243119, 242syld 47 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
24419, 32, 45, 58, 108, 243nnind 12178 . . . . . . . 8 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1)))
2456, 244mpcom 38 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))
2465, 245mpdan 686 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))
247246simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘))
2483nnnn0d 12480 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
249 zexpcl 13989 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
25059, 248, 249syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
25167eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
252251, 151sylan2br 596 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
253154adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
25464, 252, 253seqcl 13935 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
255250, 254zmulcld 12620 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
256 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
257256adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
258 mulcom 11144 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
259258adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
260 mulass 11146 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
261260adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
262 ssidd 3972 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โŠ† โ„‚)
263 f1ocnv 6801 . . . . . . . . . . 11 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
26460, 263syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
2652adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26659adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
26762ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
268267adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
269159, 268sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘))
270 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
272266, 271zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
27362ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)
274273adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)
275159, 274sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘))
276 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
277275, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
278266, 277zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
279 moddvds 16154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))))
280265, 272, 278, 279syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))))
281 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
282281oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
283282oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘))
284 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) โˆˆ V
285283, 87, 284fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘))
286 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ง))
287286oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))
288287oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
289 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) โˆˆ V
290288, 87, 289fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
291285, 290eqeqan12d 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘)))
292291adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘)))
29393adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
294271zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
295277zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
296293, 294, 295subdid 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง))))
297296breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))))
298280, 292, 2973bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)))))
299102, 59gcdcomd 16401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘))
3001simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
301299, 300eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
302301adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
303102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
304271, 277zsubcld 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
305 coprmdvds 16536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
306303, 266, 304, 305syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
307271zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
30880adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
309 elfzole1 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ))
310269, 309syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ))
311 elfzolt2 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) < ๐‘)
312269, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) < ๐‘)
313 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) < ๐‘)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
314307, 308, 310, 312, 313syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
315277zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
316 elfzole1 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
317275, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
318 elfzolt2 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) < ๐‘)
319275, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) < ๐‘)
320 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) < ๐‘)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ง))
321315, 308, 317, 319, 320syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ง))
322314, 321eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง)))
323 moddvds 16154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
324265, 271, 277, 323syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
325 f1of1 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘†)
32660, 325syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘†)
327 f1fveq 7214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐น:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
328326, 327sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
329322, 324, 3283bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
330306, 329sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
331302, 330mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
332298, 331sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
333332ralrimivva 3198 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‡ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
334 dff13 7207 . . . . . . . . . . . 12 (๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โ†” (๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‡ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
335160, 333, 334sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘†)
33667ovexi 7396 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‡ โˆˆ V
337336f1oen 8920 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐‘‡ โ‰ˆ ๐‘†)
33860, 337syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰ˆ ๐‘†)
339 fzofi 13886 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
340 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โŠ† (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
341339, 159, 340mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘† โˆˆ Fin
342 f1finf1o 9222 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โ‰ˆ ๐‘† โˆง ๐‘† โˆˆ Fin) โ†’ (๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โ†” ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†))
343338, 341, 342sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โ†” ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†))
344335, 343mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
345 f1oco 6812 . . . . . . . . . 10 ((โ—ก๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡ โˆง ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†) โ†’ (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
346264, 344, 345syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
347 f1oeq23 6780 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆง ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡ โ†” (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(ฯ•โ€˜๐‘))))
34867, 67, 347mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡ โ†” (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
349346, 348sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
350252zcnd 12615 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
35167eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘ค โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
352 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘† โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค) = (โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค)))
353160, 352sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค) = (โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค)))
354353fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค)) = (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค))))
35560adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
356160ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘†)
357 f1ocnvfv2 7228 . . . . . . . . . . 11 ((๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โˆง (๐บโ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค))) = (๐บโ€˜๐‘ค))
358355, 356, 357syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค))) = (๐บโ€˜๐‘ค))
359354, 358eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ค) = (๐นโ€˜((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค)))
360351, 359sylan2br 596 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ค) = (๐นโ€˜((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค)))
361257, 259, 261, 64, 262, 349, 350, 360seqf1o 13956 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
362361, 254eqeltrd 2838 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
363 moddvds 16154 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
3642, 255, 362, 363syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
365247, 364mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
366254zcnd 12615 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
367366mulid2d 11180 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
368361, 367eqtr4d 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) = (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
369368oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
370250zcnd 12615 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
371 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
372 subdir 11596 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
373371, 372mp3an2 1450 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
374370, 366, 373syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
375 zsubcl 12552 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
376250, 83, 375sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
377376zcnd 12615 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
378377, 366mulcomd 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
379369, 374, 3783eqtr2d 2783 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
380365, 379breqtrd 5136 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
381246simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1)
382 coprmdvds 16536 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
383102, 254, 376, 382syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
384380, 381, 383mp2and 698 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1))
385 moddvds 16154 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
38683, 385mp3an3 1451 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
3872, 250, 386syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
388384, 387mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ—กccnv 5637   โˆ˜ ccom 5642  โŸถwf 6497  โ€“1-1โ†’wf1 6498  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574   mod cmo 13781  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  ฯ•cphi 16643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-phi 16645
This theorem is referenced by:  eulerth  16662
  Copyright terms: Public domain W3C validator