MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerthlem2 16745
Description: Lemma for eulerth 16746. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
eulerth.2 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
eulerth.3 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
eulerth.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
eulerth.5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฆ)

Proof of Theorem eulerthlem2
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
21simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
32phicld 16735 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
43nnred 12252 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
54leidd 11805 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))
63adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
7 breq1 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
87anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
9 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘1))
10 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1))
119, 10oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)))
1211oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘))
13 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1))
1413oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘))
1512, 14eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘)))
1610oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)))
1716eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))
1815, 17anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1)))
198, 18imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))))
20 breq1 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
2120anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
22 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘ง))
23 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง))
2422, 23oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)))
2524oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
26 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง))
2726oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘))
2825, 27eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘)))
2923oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)))
3029eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1))
3128, 30anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)))
3221, 31imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1))))
33 breq1 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
3433anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
35 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)))
36 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1)))
3735, 36oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))))
3837oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
39 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)))
4039oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘))
4138, 40eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘)))
4236oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))))
4342eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))
4441, 43anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)))
4534, 44imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
46 breq1 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†” (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
4746anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
48 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)))
49 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
5048, 49oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
5150oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘))
52 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
5352oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘))
5451, 53eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘)))
5549oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
5655eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))
5754, 56anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†” ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1)))
5847, 57imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ฅ) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ฅ) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ฅ)) = 1)) โ†” ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))))
591simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
60 eulerth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
61 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
63 nnuz 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
643, 63eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
65 eluzfz1 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ 1 โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
67 eulerth.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
6866, 67eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐‘‡)
6962, 68ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ ๐‘†)
70 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜1) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘))
7170eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜1) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1))
72 eulerth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
7371, 72elrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜1) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1))
7469, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1))
7574simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘))
76 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐นโ€˜1) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ โ„ค)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ โ„ค)
7859, 77zmulcld 12697 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„ค)
7978zred 12691 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„)
802nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
81 modabs2 13897 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
8279, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
83 1z 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
84 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜1))
8584oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜1)))
8685oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
87 eulerth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
88 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) โˆˆ V
8986, 87, 88fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜1) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
9068, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜1) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
9183, 90seq1i 14007 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
9291oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘) mod ๐‘))
9359zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9493exp1d 14132 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
95 seq1 14006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1) = (๐นโ€˜1))
9683, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1) = (๐นโ€˜1)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1) = (๐นโ€˜1))
9894, 97oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜1)))
9998oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜1)) mod ๐‘))
10082, 92, 993eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘))
10196oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = (๐‘ gcd (๐นโ€˜1))
1022nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
103102, 77gcdcomd 16483 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜1)) = ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘))
10474simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜1) gcd ๐‘) = 1)
105103, 104eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜1)) = 1)
106101, 105eqtrid 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1)
107100, 106jca 510 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))
108107adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜1) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜1)) = 1))
109 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
111110lep1d 12170 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1))
112 peano2re 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„)
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„)
1144adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
115 letr 11333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
116110, 113, 114, 115syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
117111, 116mpand 693 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
118117imdistanda 570 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
119118imim1d 82 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1))))
12059adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
121 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
122121ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
123 zexpcl 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
124120, 122, 123syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
125 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
126125, 63eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
127109ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
128127, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„)
1294adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
130127lep1d 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘ง + 1))
131 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))
132127, 128, 129, 130, 131letrd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))
133 nnz 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
134133ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
1353nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
136135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
137 eluz 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
138134, 136, 137syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)))
139132, 138mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง))
140 fzss2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ง) โ†’ (1...๐‘ง) โІ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘ง) โІ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
142141, 67sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘ง) โІ ๐‘‡)
143142sselda 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡)
14462ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
145 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
146145eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
147146, 72elrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
148144, 147sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
149148simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
150 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
152151adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
153143, 152syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ง)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
154 zmulcl 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
155154adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
156126, 153, 155seqcl 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
157124, 156zmulcld 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
158157zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
15972ssrab3 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘† โІ (0..^๐‘)
1601, 72, 67, 60, 87eulerthlem1 16744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
161160ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
162159, 161sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
163 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
165164adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
166143, 165syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ง)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
167126, 166, 155seqcl 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
168167zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
16962adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
170 peano2nn 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„•)
171170ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„•)
172171nnge1d 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ง + 1))
173171nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ค)
174 elfz 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (1 โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
17583, 174mp3an2 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ง + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (1 โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
176173, 136, 175syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โ†” (1 โ‰ค (๐‘ง + 1) โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))))
177172, 131, 176mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
178177, 67eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ง + 1) โˆˆ ๐‘‡)
179169, 178ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ ๐‘†)
180 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘))
181180eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1))
182181, 72elrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1))
183179, 182sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1))
184183simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘))
185 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„ค)
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„ค)
187120, 186zmulcld 12697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ค)
18880adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
189 modmul1 13916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘))
1901893expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘)))
191158, 168, 187, 188, 190syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘)))
192124zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
193156zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
19493adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
195186zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„‚)
196192, 193, 194, 195mul4d 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท ๐ด) ยท ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))))
197194, 122expp1d 14138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท ๐ด))
198 seqp1 14008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))))
199126, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))))
200197, 199oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท ๐ด) ยท ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))))
201196, 200eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = ((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))))
202201oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
203187zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„)
204203, 188modcld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
205 modabs2 13897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
206203, 188, 205syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
207 modmul1 13916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„) โˆง ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘)) โ†’ ((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
208204, 203, 167, 188, 206, 207syl221anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
209 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))
210209oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))))
211210oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = (๐‘ง + 1) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
212 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ V
213211, 87, 212fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ง + 1) โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘ง + 1)) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
214178, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘ง + 1)) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘))
215214oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐บโ€˜(๐‘ง + 1))) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘)))
216 seqp1 14008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐บโ€˜(๐‘ง + 1))))
217126, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐บโ€˜(๐‘ง + 1))))
218204recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
219167zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
220218, 219mulcomd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘)))
221215, 217, 2203eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)))
222221oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) = ((((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
223187zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) โˆˆ โ„‚)
224219, 223mulcomd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)))
225224oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) ยท (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
226208, 222, 2253eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘))
227202, 226eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) = (((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) ยท (๐ด ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) mod ๐‘) โ†” (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘)))
228191, 227sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘)))
229102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
230229, 186gcdcomd 16483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘))
231183simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) gcd ๐‘) = 1)
232230, 231eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)
233 rpmul 16624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
234229, 156, 186, 233syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜(๐‘ง + 1))) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
235232, 234mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โ†’ (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
236199oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))))
237236eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1 โ†” (๐‘ gcd ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง) ยท (๐นโ€˜(๐‘ง + 1)))) = 1))
238235, 237sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1 โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))
239228, 238anim12d 607 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)))
240239an12s 647 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง (๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1)))
241240ex 411 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ (((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
242241a2d 29 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
243119, 242syld 47 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘ง) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜๐‘ง)) = 1)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง + 1) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(๐‘ง + 1)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘ง + 1)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘ง + 1))) = 1))))
24419, 32, 45, 58, 108, 243nnind 12255 . . . . . . . 8 ((ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1)))
2456, 244mpcom 38 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โ‰ค (ฯ•โ€˜๐‘)) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))
2465, 245mpdan 685 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1))
247246simpld 493 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘))
2483nnnn0d 12557 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
249 zexpcl 14068 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
25059, 248, 249syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
25167eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
252251, 151sylan2br 593 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
253154adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
25464, 252, 253seqcl 14014 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
255250, 254zmulcld 12697 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
256 mulcl 11217 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
257256adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
258 mulcom 11219 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
259258adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
260 mulass 11221 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
261260adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
262 ssidd 3997 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โІ โ„‚)
263 f1ocnv 6844 . . . . . . . . . . 11 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
26460, 263syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
2652adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26659adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
26762ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
268267adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
269159, 268sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘))
270 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
272266, 271zmulcld 12697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
27362ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)
274273adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)
275159, 274sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘))
276 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
277275, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
278266, 277zmulcld 12697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
279 moddvds 16236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))))
280265, 272, 278, 279syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))))
281 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
282281oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
283282oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘))
284 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) โˆˆ V
285283, 87, 284fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘))
286 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ง))
287286oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))
288287oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
289 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘) โˆˆ V
290288, 87, 289fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘))
291285, 290eqeqan12d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘)))
292291adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) mod ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)) mod ๐‘)))
29393adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
294271zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
295277zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
296293, 294, 295subdid 11695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง))))
297296breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆ’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ง)))))
298280, 292, 2973bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)))))
299102, 59gcdcomd 16483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘))
3001simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
301299, 300eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
302301adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
303102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
304271, 277zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค)
305 coprmdvds 16618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
306303, 266, 304, 305syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
307271zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
30880adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
309 elfzole1 13667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ))
310269, 309syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ))
311 elfzolt2 13668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) < ๐‘)
312269, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) < ๐‘)
313 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) < ๐‘)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
314307, 308, 310, 312, 313syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
315277zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
316 elfzole1 13667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
317275, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
318 elfzolt2 13668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) < ๐‘)
319275, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) < ๐‘)
320 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) < ๐‘)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ง))
321315, 308, 317, 319, 320syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ง))
322314, 321eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง)))
323 moddvds 16236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
324265, 271, 277, 323syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฆ) mod ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ง) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))))
325 f1of1 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘†)
32660, 325syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘†)
327 f1fveq 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐น:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
328326, 327sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
329322, 324, 3283bitr3d 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
330306, 329sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
331302, 330mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐ด ยท ((๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
332298, 331sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
333332ralrimivva 3191 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‡ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
334 dff13 7259 . . . . . . . . . . . 12 (๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โ†” (๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‡ ((๐บโ€˜๐‘ฆ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
335160, 333, 334sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘†)
33667ovexi 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‡ โˆˆ V
337336f1oen 8987 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐‘‡ โ‰ˆ ๐‘†)
33860, 337syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰ˆ ๐‘†)
339 fzofi 13966 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
340 ssfi 9191 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^๐‘) โˆˆ Fin โˆง ๐‘† โІ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
341339, 159, 340mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘† โˆˆ Fin
342 f1finf1o 9289 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โ‰ˆ ๐‘† โˆง ๐‘† โˆˆ Fin) โ†’ (๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โ†” ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†))
343338, 341, 342sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บ:๐‘‡โ€“1-1โ†’๐‘† โ†” ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†))
344335, 343mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
345 f1oco 6855 . . . . . . . . . 10 ((โ—ก๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡ โˆง ๐บ:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†) โ†’ (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
346264, 344, 345syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
347 f1oeq23 6823 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆง ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡ โ†” (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(ฯ•โ€˜๐‘))))
34867, 67, 347mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡ โ†” (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
349346, 348sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ):(1...(ฯ•โ€˜๐‘))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
350252zcnd 12692 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
35167eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘ค โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘)))
352 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘† โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค) = (โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค)))
353160, 352sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค) = (โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค)))
354353fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค)) = (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค))))
35560adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
356160ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘†)
357 f1ocnvfv2 7280 . . . . . . . . . . 11 ((๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โˆง (๐บโ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค))) = (๐บโ€˜๐‘ค))
358355, 356, 357syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ค))) = (๐บโ€˜๐‘ค))
359354, 358eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ค) = (๐นโ€˜((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค)))
360351, 359sylan2br 593 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (1...(ฯ•โ€˜๐‘))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ค) = (๐นโ€˜((โ—ก๐น โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘ค)))
361257, 259, 261, 64, 262, 349, 350, 360seqf1o 14035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
362361, 254eqeltrd 2825 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค)
363 moddvds 16236 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
3642, 255, 362, 363syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) mod ๐‘) = ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
365247, 364mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
366254zcnd 12692 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
367366mullidd 11257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))
368361, 367eqtr4d 2768 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) = (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))))
369368oveq2d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
370250zcnd 12692 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
371 ax-1cn 11191 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
372 subdir 11673 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
373371, 372mp3an2 1445 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
374370, 366, 373syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (1 ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)))))
375 zsubcl 12629 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
376250, 83, 375sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
377376zcnd 12692 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
378377, 366mulcomd 11260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
379369, 374, 3783eqtr2d 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) โˆ’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
380365, 379breqtrd 5170 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
381246simprd 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1)
382 coprmdvds 16618 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
383102, 254, 376, 382syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ((seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘)) ยท ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ gcd (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(ฯ•โ€˜๐‘))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
384380, 381, 383mp2and 697 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1))
385 moddvds 16236 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
38683, 385mp3an3 1446 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
3872, 250, 386syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) โˆ’ 1)))
388384, 387mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  {crab 3419   โІ wss 3941   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ—กccnv 5672   โˆ˜ ccom 5677  โŸถwf 6539  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โ‰ˆ cen 8954  Fincfn 8957  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  โ„+crp 13001  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654   mod cmo 13861  seqcseq 13993  โ†‘cexp 14053   โˆฅ cdvds 16225   gcd cgcd 16463  ฯ•cphi 16727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-phi 16729
This theorem is referenced by:  eulerth  16746
  Copyright terms: Public domain W3C validator