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Theorem lgsdir 27496

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its left argument. Generalization of theorem 9.9(a) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝐴 and 𝐵 are odd positive integers). Together with lgsqr 27515 this implies that the product of two quadratic residues or nonresidues is a residue, and the product of a residue and a nonresidue is a nonresidue. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgsdir	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdir Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11153	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		0cn 11193	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	ifcli 4535	. . . . . 6 ⊢ if((𝐵↑2) = 1, 1, 0) ∈ ℂ
4	3	mullidi 11209	. . . . 5 ⊢ (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)
5		iftrue 4493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
6	5	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
7	6	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
8		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	10, 13	sqmuld 14190	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
15		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴↑2) = 1)
16	15	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2)))
17	12	sqcld 14176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	18	mullidd 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
20	14, 16, 19	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
21	20	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 ↔ (𝐵↑2) = 1))
22	21	ifbid 4511	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
23	4, 7, 22	3eqtr4a 2824	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
24	3	mul02i 11394	. . . . 5 ⊢ (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = 0
25		iffalse 4496	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
26	25	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
27	26	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
28		dvdsmul1 16330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
29	8, 11, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
30	8, 11	zmulcld 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
31		dvdssq 16620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2)))
32	8, 30, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2)))
33	29, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2))
35		breq2 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → ((𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2) ↔ (𝐴↑2) ∥ 1))
36	34, 35	syl5ibcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → (𝐴↑2) ∥ 1))
37		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
38	37	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ 𝐴 = 0)
39		sqeq0 14152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
40	9, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
41	38, 40	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴↑2) = 0)
42		zsqcl2 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℕ₀)
43	8, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ₀)
44		elnn0 12501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℕ ∨ (𝐴↑2) = 0))
45	43, 44	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ∈ ℕ ∨ (𝐴↑2) = 0))
46	45	ord 877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ (𝐴↑2) ∈ ℕ → (𝐴↑2) = 0))
47	41, 46	mt3d 149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
48	47	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
49	48	nnzd 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
50		1nn 12239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
51		dvdsle 16363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) ≤ 1))
52	49, 50, 51	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) ≤ 1))
53	48	nnge1d 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → 1 ≤ (𝐴↑2))
54	52, 53	jctird 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
55	48	nnred 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
56		1re 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		letri3 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
58	55, 56, 57	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
59	54, 58	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) = 1))
60	36, 59	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → (𝐴↑2) = 1))
61	60	con3dimp 413	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → ¬ ((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1)
62	61	iffalsed 4498	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0) = 0)
63	24, 27, 62	3eqtr4a 2824	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
64	23, 63	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
65		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 /_L 𝑁) = (𝐴 /_L 0))
66		lgs0 27474	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /_L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
67	8, 66	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 /_L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
68	65, 67	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
69		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵 /_L 𝑁) = (𝐵 /_L 0))
70		lgs0 27474	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 /_L 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
71	11, 70	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 /_L 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
72	69, 71	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐵 /_L 𝑁) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
73	68, 72	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
74		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) /_L 0))
75		lgs0 27474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 · 𝐵) /_L 0) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
76	30, 75	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 0) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
77	74, 76	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
78	64, 73, 77	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
79		lgsdilem 27488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
80	79	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
81		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
82		nnabscl 15373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
83	81, 82	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
84		nnuz 12896	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
85	83, 84	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘1))
86		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
87		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
88		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
89		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
90	89	lgsfcl3 27482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
91	86, 87, 88, 90	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
92		elfznn 13577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
93		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
94	91, 92, 93	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12696	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
96		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
97		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
98	97	lgsfcl3 27482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
99	96, 87, 88, 98	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
100		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
101	99, 92, 100	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
102	101	zcnd 12696	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
103	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
104	96	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
105		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
106		lgsdirprm 27495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) = ((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘)))
107	103, 104, 105, 106	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) = ((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘)))
108	107	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘))↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
109		prmz 16728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
110		lgscl 27475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
111	86, 109, 110	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
112	111	zcnd 12696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℂ)
113		lgscl 27475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
114	96, 109, 113	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
115	114	zcnd 12696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℂ)
116	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
117	88	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
118		pczcl 16903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
119	105, 116, 117, 118	syl12anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
120	112, 115, 119	mulexpd 14193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
121	108, 120	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
122		iftrue 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
123	122	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
124		iftrue 4493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
125		iftrue 4493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
126	124, 125	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
127	126	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
128	121, 123, 127	3eqtr4d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
129		1t1e1 12397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 1) = 1
130	129	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1 · 1)
131		iffalse 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
132		iffalse 4496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
133		iffalse 4496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
134	132, 133	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (1 · 1))
135	130, 131, 134	3eqtr4a 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
136	135	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
137	128, 136	pm2.61dan 824	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
138	137	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
139	92	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
140		eleq1w 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
141		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛) = ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘))
142		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
143	141, 142	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
144	140, 143	ifbieq1d 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
145		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
146		ovex 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ V
147		1ex 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
148	146, 147	ifex 4538	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
149	144, 145, 148	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
150	139, 149	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
151		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /_L 𝑛) = (𝐴 /_L 𝑘))
152	151, 142	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
153	140, 152	ifbieq1d 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
154		ovex 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ V
155	154, 147	ifex 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
156	153, 89, 155	fvmpt 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
157	139, 156	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
158		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵 /_L 𝑛) = (𝐵 /_L 𝑘))
159	158, 142	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
160	140, 159	ifbieq1d 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
161		ovex 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ V
162	161, 147	ifex 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
163	160, 97, 162	fvmpt 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
164	139, 163	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
165	157, 164	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
166	138, 150, 165	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)))
167	85, 95, 102, 166	prodfmul 15940	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
168	80, 167	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
169	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
170	145	lgsval4 27481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
171	169, 87, 88, 170	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
172	89	lgsval4 27481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
173	86, 87, 88, 172	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
174	97	lgsval4 27481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐵 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
175	96, 87, 88, 174	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐵 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
176	173, 175	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
177		neg1cn 12198	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
178	177, 1	ifcli 4535	. . . . . 6 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
180		mulcl 11179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
181	180	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
182	85, 95, 181	seqcl 14054	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
183	177, 1	ifcli 4535	. . . . . 6 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) ∈ ℂ
184	183	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
185	85, 102, 181	seqcl 14054	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
186	179, 182, 184, 185	mul4d 11417	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
187	176, 186	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
188	168, 171, 187	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
189	78, 188	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ifcif 4487 class class class wbr 5109 ↦ cmpt 5192 ⟶wf 6532 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11093 ℝcr 11094 0cc0 11095 1c1 11096 · cmul 11100 < clt 11238 ≤ cle 11239 -cneg 11437 ℕcn 12228 2c2 12290 ℕ₀cn0 12499 ℤcz 12586 ℤ_≥cuz 12857 ...cfz 13530 seqcseq 14033 ↑cexp 14093 abscabs 15281 ∥ cdvds 16305 ℙcprime 16724 pCnt cpc 16891 /_L clgs 27458

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-2o 8450 df-oadd 8453 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9398 df-inf 9399 df-dju 9883 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-4 12300 df-5 12301 df-6 12302 df-7 12303 df-8 12304 df-9 12305 df-n0 12500 df-xnn0 12573 df-z 12587 df-uz 12858 df-q 12968 df-rp 13012 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-fl 13821 df-mod 13899 df-seq 14034 df-exp 14094 df-hash 14363 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-dvds 16306 df-gcd 16548 df-prm 16725 df-phi 16820 df-pc 16892 df-lgs 27459

This theorem is referenced by: lgssq 27501 lgsmulsqcoprm 27507 lgsdirnn0 27508 lgsquad2lem1 27548

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