MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir 26683
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its left argument. Generalization of theorem 9.9(a) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that ๐ด and ๐ต are odd positive integers). Together with lgsqr 26702 this implies that the product of two quadratic residues or nonresidues is a residue, and the product of a residue and a nonresidue is a nonresidue. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdir
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11110 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2 0cn 11148 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
31, 2ifcli 4534 . . . . . 6 if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ โ„‚
43mulid2i 11161 . . . . 5 (1 ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)
5 iftrue 4493 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘2) = 1 โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) = 1)
65adantl 483 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) = 1)
76oveq1d 7373 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = (1 ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)))
8 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1211zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1410, 13sqmuld 14064 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) = 1)
1615oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = (1 ยท (๐ตโ†‘2)))
1712sqcld 14050 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1918mulid2d 11174 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (1 ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ตโ†‘2))
2014, 16, 193eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
2120eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1 โ†” (๐ตโ†‘2) = 1))
2221ifbid 4510 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0) = if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0))
234, 7, 223eqtr4a 2803 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0))
243mul02i 11345 . . . . 5 (0 ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = 0
25 iffalse 4496 . . . . . . 7 (ยฌ (๐ดโ†‘2) = 1 โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) = 0)
2625adantl 483 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง ยฌ (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) = 0)
2726oveq1d 7373 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง ยฌ (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = (0 ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)))
28 dvdsmul1 16161 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
298, 11, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต))
308, 11zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
31 dvdssq 16444 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†” (๐ดโ†‘2) โˆฅ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2)))
328, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ต) โ†” (๐ดโ†‘2) โˆฅ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2)))
3329, 32mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆฅ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2))
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆฅ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2))
35 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆฅ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) โ†” (๐ดโ†‘2) โˆฅ 1))
3634, 35syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1 โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆฅ 1))
37 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3837neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
39 sqeq0 14026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) = 0 โ†” ๐ด = 0))
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = 0 โ†” ๐ด = 0))
4138, 40mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘2) = 0)
42 zsqcl2 14044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
44 elnn0 12416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐ดโ†‘2) = 0))
4543, 44sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐ดโ†‘2) = 0))
4645ord 863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (ยฌ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) = 0))
4741, 46mt3d 148 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
4948nnzd 12527 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
50 1nn 12165 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•
51 dvdsle 16193 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆฅ 1 โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1))
5249, 50, 51sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆฅ 1 โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1))
5348nnge1d 12202 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
5452, 53jctird 528 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆฅ 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (๐ดโ†‘2))))
5548nnred 12169 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
56 1re 11156 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
57 letri3 11241 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (๐ดโ†‘2))))
5855, 56, 57sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (๐ดโ†‘2))))
5954, 58sylibrd 259 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆฅ 1 โ†’ (๐ดโ†‘2) = 1))
6036, 59syld 47 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1 โ†’ (๐ดโ†‘2) = 1))
6160con3dimp 410 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง ยฌ (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ยฌ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1)
6261iffalsed 4498 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง ยฌ (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0) = 0)
6324, 27, 623eqtr4a 2803 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โˆง ยฌ (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0))
6423, 63pm2.61dan 812 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)) = if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0))
65 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (๐ด /L 0))
66 lgs0 26661 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
678, 66syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
6865, 67sylan9eqr 2799 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
69 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (๐ต /L 0))
70 lgs0 26661 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ต /L 0) = if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0))
7111, 70syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต /L 0) = if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0))
7269, 71sylan9eqr 2799 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0))
7368, 72oveq12d 7376 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = (if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) ยท if((๐ตโ†‘2) = 1, 1, 0)))
74 oveq2 7366 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ต) /L 0))
75 lgs0 26661 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L 0) = if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0))
7630, 75syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L 0) = if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0))
7774, 76sylan9eqr 2799 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = if(((๐ด ยท ๐ต)โ†‘2) = 1, 1, 0))
7864, 73, 773eqtr4rd 2788 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
79 lgsdilem 26675 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))
8079adantr 482 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))
81 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
82 nnabscl 15211 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
8381, 82sylan 581 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
84 nnuz 12807 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8583, 84eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
86 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
87 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
88 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
89 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
9089lgsfcl3 26669 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)):โ„•โŸถโ„ค)
9186, 87, 88, 90syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)):โ„•โŸถโ„ค)
92 elfznn 13471 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
93 ffvelcdm 7033 . . . . . . 7 (((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)):โ„•โŸถโ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
9491, 92, 93syl2an 597 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
9594zcnd 12609 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
96 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
97 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
9897lgsfcl3 26669 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)):โ„•โŸถโ„ค)
9996, 87, 88, 98syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)):โ„•โŸถโ„ค)
100 ffvelcdm 7033 . . . . . . 7 (((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)):โ„•โŸถโ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
10199, 92, 100syl2an 597 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
102101zcnd 12609 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
10386adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
10496adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
105 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„™)
106 lgsdirprm 26682 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜) = ((๐ด /L ๐‘˜) ยท (๐ต /L ๐‘˜)))
107103, 104, 105, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜) = ((๐ด /L ๐‘˜) ยท (๐ต /L ๐‘˜)))
108107oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) = (((๐ด /L ๐‘˜) ยท (๐ต /L ๐‘˜))โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
109 prmz 16552 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
110 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
11186, 109, 110syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด /L ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
112111zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด /L ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
113 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
11496, 109, 113syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต /L ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
115114zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต /L ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
11687adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11788adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
118 pczcl 16721 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐‘˜ pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
119105, 116, 117, 118syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
120112, 115, 119mulexpd 14067 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐ด /L ๐‘˜) ยท (๐ต /L ๐‘˜))โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) = (((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) ยท ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘))))
121108, 120eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) = (((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) ยท ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘))))
122 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
123122adantl 483 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
124 iftrue 4493 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
125 iftrue 4493 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
126124, 125oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)) = (((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) ยท ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘))))
127126adantl 483 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)) = (((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) ยท ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘))))
128121, 123, 1273eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)))
129 1t1e1 12316 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท 1) = 1
130129eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 1 = (1 ยท 1)
131 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = 1)
132 iffalse 4496 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = 1)
133 iffalse 4496 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = 1)
134132, 133oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)) = (1 ยท 1))
135130, 131, 1343eqtr4a 2803 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)))
136135adantl 483 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)))
137128, 136pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)))
138137adantr 482 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) = (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)))
13992adantl 483 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
140 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘˜ โˆˆ โ„™))
141 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›) = ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜))
142 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘) = (๐‘˜ pCnt ๐‘))
143141, 142oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
144140, 143ifbieq1d 4511 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
145 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
146 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) โˆˆ V
147 1ex 11152 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ V
148146, 147ifex 4537 . . . . . . . 8 if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) โˆˆ V
149144, 145, 148fvmpt 6949 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
150139, 149syl 17 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
151 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ด /L ๐‘›) = (๐ด /L ๐‘˜))
152151, 142oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
153140, 152ifbieq1d 4511 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
154 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) โˆˆ V
155154, 147ifex 4537 . . . . . . . . 9 if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) โˆˆ V
156153, 89, 155fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
157139, 156syl 17 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
158 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ต /L ๐‘›) = (๐ต /L ๐‘˜))
159158, 142oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)))
160140, 159ifbieq1d 4511 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
161 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)) โˆˆ V
162161, 147ifex 4537 . . . . . . . . 9 if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) โˆˆ V
163160, 97, 162fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
164139, 163syl 17 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1))
165157, 164oveq12d 7376 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜)) = (if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1) ยท if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘˜)โ†‘(๐‘˜ pCnt ๐‘)), 1)))
166138, 150, 1653eqtr4d 2787 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(absโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) = (((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))โ€˜๐‘˜)))
16785, 95, 102, 166prodfmul 15776 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) = ((seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
16880, 167oveq12d 7376 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))) = ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)) ยท ((seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
16930adantr 482 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
170145lgsval4 26668 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
171169, 87, 88, 170syl3anc 1372 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
17289lgsval4 26668 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
17386, 87, 88, 172syl3anc 1372 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
17497lgsval4 26668 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
17596, 87, 88, 174syl3anc 1372 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))))
176173, 175oveq12d 7376 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))) ยท (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
177 neg1cn 12268 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
178177, 1ifcli 4534 . . . . . 6 if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ โ„‚
179178a1i 11 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) โˆˆ โ„‚)
180 mulcl 11136 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
181180adantl 483 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
18285, 95, 181seqcl 13929 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
183177, 1ifcli 4534 . . . . . 6 if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) โˆˆ โ„‚
184183a1i 11 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) โˆˆ โ„‚)
18585, 102, 181seqcl 13929 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
186179, 182, 184, 185mul4d 11368 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘))) ยท (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)))) = ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)) ยท ((seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
187176, 186eqtrd 2777 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)) ยท ((seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ต /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
188168, 171, 1873eqtr4d 2787 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
18978, 188pm2.61dane 3033 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191  -cneg 11387  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  seqcseq 13907  โ†‘cexp 13968  abscabs 15120   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548   pCnt cpc 16709   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgssq  26688  lgsmulsqcoprm  26694  lgsdirnn0  26695  lgsquad2lem1  26735
  Copyright terms: Public domain W3C validator