MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdi 26827
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its right argument. Generalization of theorem 9.9(b) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝑀 and 𝑁 are odd positive integers). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdi (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdi
Dummy variables π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anrot 1101 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€))
2 lgsdilem 26817 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) Β· if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
31, 2sylanb 582 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) Β· if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
4 ancom 462 . . . . 5 (((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0))
5 ifbi 4550 . . . . 5 ((((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0)) β†’ if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1)
7 ancom 462 . . . . . 6 ((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0))
8 ifbi 4550 . . . . . 6 (((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0)) β†’ if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1)
10 ancom 462 . . . . . 6 ((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0))
11 ifbi 4550 . . . . . 6 (((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0)) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)
139, 12oveq12i 7418 . . . 4 (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) Β· if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
143, 6, 133eqtr4g 2798 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
15 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
16 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1715, 16zmulcld 12669 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€)
1815zcnd 12664 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1916zcnd 12664 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
20 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑀 β‰  0)
21 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑁 β‰  0)
2218, 19, 20, 21mulne0d 11863 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0)
23 nnabscl 15269 . . . . . . 7 (((𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
2417, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
25 nnuz 12862 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2624, 25eleqtrdi 2844 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
27 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
28 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
2928lgsfcl3 26811 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
3027, 15, 20, 29syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
31 elfznn 13527 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
32 ffvelcdm 7081 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3330, 31, 32syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3433zcnd 12664 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
35 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3635lgsfcl3 26811 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
3727, 16, 21, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
38 ffvelcdm 7081 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3937, 31, 38syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
4039zcnd 12664 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
41 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
4215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 β‰  0)
4416ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4521ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 β‰  0)
46 pcmul 16781 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁)) = ((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁)))
4741, 42, 43, 44, 45, 46syl122anc 1380 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁)) = ((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁)))
4847oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) = ((𝐴 /L π‘˜)↑((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁))))
4927ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
50 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
52 lgscl 26804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
5349, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
5453zcnd 12664 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
55 pczcl 16778 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
5641, 44, 45, 55syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
57 pczcl 16778 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0)
5841, 42, 43, 57syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0)
5954, 56, 58expaddd 14110 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁))) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
6048, 59eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
61 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))))
6261adantl 483 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))))
63 iftrue 4534 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
64 iftrue 4534 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)))
6563, 64oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
6665adantl 483 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
6760, 62, 663eqtr4rd 2784 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
68 1t1e1 12371 . . . . . . . . 9 (1 Β· 1) = 1
69 iffalse 4537 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = 1)
70 iffalse 4537 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) = 1)
7169, 70oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = (1 Β· 1))
72 iffalse 4537 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = 1)
7368, 71, 723eqtr4a 2799 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
7473adantl 483 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
7567, 74pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
7631adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
77 eleq1w 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
78 oveq2 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L π‘˜))
79 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑀) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
8078, 79oveq12d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
8177, 80ifbieq1d 4552 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
82 ovex 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) ∈ V
83 1ex 11207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
8482, 83ifex 4578 . . . . . . . . 9 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
8581, 28, 84fvmpt 6996 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
86 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) = (π‘˜ pCnt 𝑁))
8778, 86oveq12d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)))
8877, 87ifbieq1d 4552 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
89 ovex 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ V
9089, 83ifex 4578 . . . . . . . . 9 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
9188, 35, 90fvmpt 6996 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
9285, 91oveq12d 7424 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)))
9376, 92syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)))
94 oveq1 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁)) = (π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁)))
9578, 94oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))))
9677, 95ifbieq1d 4552 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
97 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
98 ovex 7439 . . . . . . . . 9 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) ∈ V
9998, 83ifex 4578 . . . . . . . 8 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) ∈ V
10096, 97, 99fvmpt 6996 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
10176, 100syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
10275, 93, 1013eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜)))
10326, 34, 40, 102prodfmul 15833 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
10427, 15, 16, 20, 21, 28lgsdilem2 26826 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
10527, 16, 15, 21, 20, 35lgsdilem2 26826 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑁 Β· 𝑀))))
10618, 19mulcomd 11232 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) = (𝑁 Β· 𝑀))
107106fveq2d 6893 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) = (absβ€˜(𝑁 Β· 𝑀)))
108107fveq2d 6893 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑁 Β· 𝑀))))
109105, 108eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
110104, 109oveq12d 7424 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
111103, 110eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
11214, 111oveq12d 7424 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
11397lgsval4 26810 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = (if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
11427, 17, 22, 113syl3anc 1372 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = (if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
11528lgsval4 26810 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))))
11627, 15, 20, 115syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))))
11735lgsval4 26810 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
11827, 16, 21, 117syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
119116, 118oveq12d 7424 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
120 neg1cn 12323 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
121 ax-1cn 11165 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
122120, 121ifcli 4575 . . . . 5 if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚
123122a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚)
124 nnabscl 15269 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
12515, 20, 124syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
126125, 25eleqtrdi 2844 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
127 elfznn 13527 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
12830, 127, 32syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
129128zcnd 12664 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
130 mulcl 11191 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
131130adantl 483 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
132126, 129, 131seqcl 13985 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
133120, 121ifcli 4575 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚
134133a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚)
135 nnabscl 15269 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
13616, 21, 135syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
137136, 25eleqtrdi 2844 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
138 elfznn 13527 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
13937, 138, 38syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
140139zcnd 12664 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
141137, 140, 131seqcl 13985 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
142123, 132, 134, 141mul4d 11423 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
143119, 142eqtrd 2773 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
144112, 114, 1433eqtr4d 2783 1 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   < clt 11245  -cneg 11442  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  abscabs 15178  β„™cprime 16605   pCnt cpc 16766   /L clgs 26787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16696  df-pc 16767  df-lgs 26788
This theorem is referenced by:  lgssq2  26831  lgsdinn0  26838  lgsquad2lem1  26877
  Copyright terms: Public domain W3C validator