MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdi 26685
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its right argument. Generalization of theorem 9.9(b) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝑀 and 𝑁 are odd positive integers). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdi (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdi
Dummy variables π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anrot 1101 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€))
2 lgsdilem 26675 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) Β· if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
31, 2sylanb 582 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) Β· if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
4 ancom 462 . . . . 5 (((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0))
5 ifbi 4509 . . . . 5 ((((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0)) β†’ if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 Β· 𝑁) < 0), -1, 1)
7 ancom 462 . . . . . 6 ((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0))
8 ifbi 4509 . . . . . 6 (((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0)) β†’ if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1)
10 ancom 462 . . . . . 6 ((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0))
11 ifbi 4509 . . . . . 6 (((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0)) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)
139, 12oveq12i 7370 . . . 4 (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) Β· if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
143, 6, 133eqtr4g 2802 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
15 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
16 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1715, 16zmulcld 12614 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€)
1815zcnd 12609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1916zcnd 12609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
20 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑀 β‰  0)
21 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝑁 β‰  0)
2218, 19, 20, 21mulne0d 11808 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0)
23 nnabscl 15211 . . . . . . 7 (((𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
2417, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
25 nnuz 12807 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2624, 25eleqtrdi 2848 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
27 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
28 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
2928lgsfcl3 26669 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
3027, 15, 20, 29syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
31 elfznn 13471 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
32 ffvelcdm 7033 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3330, 31, 32syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3433zcnd 12609 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
35 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3635lgsfcl3 26669 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
3727, 16, 21, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
38 ffvelcdm 7033 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
3937, 31, 38syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
4039zcnd 12609 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
41 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
4215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 β‰  0)
4416ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4521ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 β‰  0)
46 pcmul 16724 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁)) = ((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁)))
4741, 42, 43, 44, 45, 46syl122anc 1380 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁)) = ((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁)))
4847oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) = ((𝐴 /L π‘˜)↑((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁))))
4927ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
50 prmz 16552 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
52 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
5349, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
5453zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
55 pczcl 16721 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
5641, 44, 45, 55syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
57 pczcl 16721 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0)
5841, 42, 43, 57syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0)
5954, 56, 58expaddd 14054 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑((π‘˜ pCnt 𝑀) + (π‘˜ pCnt 𝑁))) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
6048, 59eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
61 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))))
6261adantl 483 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))))
63 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
64 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)))
6563, 64oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
6665adantl 483 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) Β· ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁))))
6760, 62, 663eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
68 1t1e1 12316 . . . . . . . . 9 (1 Β· 1) = 1
69 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = 1)
70 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) = 1)
7169, 70oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = (1 Β· 1))
72 iffalse 4496 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = 1)
7368, 71, 723eqtr4a 2803 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ β„™ β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
7473adantl 483 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
7567, 74pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
7631adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
77 eleq1w 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
78 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L π‘˜))
79 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑀) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
8078, 79oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
8177, 80ifbieq1d 4511 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
82 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) ∈ V
83 1ex 11152 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
8482, 83ifex 4537 . . . . . . . . 9 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
8581, 28, 84fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
86 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) = (π‘˜ pCnt 𝑁))
8778, 86oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)))
8877, 87ifbieq1d 4511 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
89 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ V
9089, 83ifex 4537 . . . . . . . . 9 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
9188, 35, 90fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
9285, 91oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)))
9376, 92syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) Β· if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1)))
94 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁)) = (π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁)))
9578, 94oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))))
9677, 95ifbieq1d 4511 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
97 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
98 ovex 7391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))) ∈ V
9998, 83ifex 4537 . . . . . . . 8 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1) ∈ V
10096, 97, 99fvmpt 6949 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
10176, 100syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))
10275, 93, 1013eqtr4rd 2788 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜)))
10326, 34, 40, 102prodfmul 15776 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
10427, 15, 16, 20, 21, 28lgsdilem2 26684 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
10527, 16, 15, 21, 20, 35lgsdilem2 26684 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑁 Β· 𝑀))))
10618, 19mulcomd 11177 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) = (𝑁 Β· 𝑀))
107106fveq2d 6847 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) = (absβ€˜(𝑁 Β· 𝑀)))
108107fveq2d 6847 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑁 Β· 𝑀))))
109105, 108eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
110104, 109oveq12d 7376 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
111103, 110eqtr4d 2780 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
11214, 111oveq12d 7376 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
11397lgsval4 26668 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = (if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
11427, 17, 22, 113syl3anc 1372 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = (if(((𝑀 Β· 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 Β· 𝑁))), 1)))β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))))
11528lgsval4 26668 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))))
11627, 15, 20, 115syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))))
11735lgsval4 26668 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
11827, 16, 21, 117syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
119116, 118oveq12d 7376 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
120 neg1cn 12268 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
121 ax-1cn 11110 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
122120, 121ifcli 4534 . . . . 5 if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚
123122a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚)
124 nnabscl 15211 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
12515, 20, 124syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
126125, 25eleqtrdi 2848 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
127 elfznn 13471 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
12830, 127, 32syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
129128zcnd 12609 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
130 mulcl 11136 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
131130adantl 483 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
132126, 129, 131seqcl 13929 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
133120, 121ifcli 4534 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚
134133a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚)
135 nnabscl 15211 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
13616, 21, 135syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
137136, 25eleqtrdi 2848 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
138 elfznn 13471 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
13937, 138, 38syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
140139zcnd 12609 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
141137, 140, 131seqcl 13929 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
142123, 132, 134, 141mul4d 11368 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€))) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
143119, 142eqtrd 2777 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘€)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
144112, 114, 1433eqtr4d 2787 1 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 β‰  0 ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (𝐴 /L (𝑀 Β· 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) Β· (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057   < clt 11190  -cneg 11387  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  ...cfz 13425  seqcseq 13907  β†‘cexp 13968  abscabs 15120  β„™cprime 16548   pCnt cpc 16709   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgssq2  26689  lgsdinn0  26696  lgsquad2lem1  26735
  Copyright terms: Public domain W3C validator