Theorem natfn 18032

Description: A natural transformation is a function on the objects of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
natfn	⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐵)

Proof of Theorem natfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 18030	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐾‘𝑥)))
6		ixpfn 8903	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐾‘𝑥)) → 𝐴 Fn 𝐵)
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Xcixp 8897  Basecbs 17287  Hom chom 17339   Nat cnat 18019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-ixp 8898  df-func 17933  df-nat 18021

This theorem is used by:  fuclid  18044  fucrid  18045  curfuncf  18312  yonedainv  18355  yonffthlem  18356  natoppf  50040  fucorid2  50174  precofval2  50180  termcnatval  50346  funcsn  50352  0fucterm  50354