Theorem natfn 18125

Description: A natural transformation is a function on the objects of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
natfn	⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐵)

Proof of Theorem natfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 18123	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐾‘𝑥)))
6		ixpfn 8924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐾‘𝑥)) → 𝐴 Fn 𝐵)
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Xcixp 8918  Basecbs 17380  Hom chom 17432   Nat cnat 18112

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-ixp 8919  df-func 18026  df-nat 18114

This theorem is used by:  fuclid  18137  fucrid  18138  curfuncf  18405  yonedainv  18448  yonffthlem  18449  natoppf  50306  fucorid2  50440  precofval2  50446  termcnatval  50612  funcsn  50618  0fucterm  50620