Theorem natfn 17944

Description: A natural transformation is a function on the objects of 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natixp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
natixp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
natfn	⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐵)

Proof of Theorem natfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natixp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩𝑁⟨𝐾, 𝐿⟩))
3		natixp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	natixp 17942	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐾‘𝑥)))
6		ixpfn 8922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ X𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐾‘𝑥)) → 𝐴 Fn 𝐵)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4635   Fn wfn 6543  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Xcixp 8916  Basecbs 17180  Hom chom 17244   Nat cnat 17931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-ixp 8917  df-func 17844  df-nat 17933

This theorem is referenced by:  fuclid  17958  fucrid  17959  curfuncf  18230  yonedainv  18273  yonffthlem  18274